2013 1-2.역행렬과 연립 일차방정식 (프리미엄) 2-1 중간[25문제]
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(2) 2013년 1학기 중간고사 대비. -3 2. 11.. zb1 1). 행렬. 1-2.역행렬과 연립 일차방정식. -2 3. (. -1 A = -2 5 3. 하면?. ). 0. 에 대하여. ( 10 01) ( 04 40) ( 00 00). 4π. A+A-1. 15.. zb 15). 을 구. A. 이차정사각행렬. 에 대하여 <보기>에서 항상 옳. E. 은 것을 모두 고른 것은? (단,. O. ( -510 -25 ) ( -46 -66 ). 5π. 는 단위행렬,. 는 영행렬) <보기>. A 2 +E= O 이면 A 의 역행렬이 존재한다. A 2 = A 이고 B=-A 이면 A+3E 의 역행렬. ㄱ. ㄴ.. 이 존재한다.. A 2 -A-3E=O. ㄷ.. A+E. 이면. 의 역행렬이 존재한. 다.. 12.. zb1 2). { 2bxx+- ayy==5c ( d3 -13 ) ( xy) = ( 52). 연립일차방정식 나타내면. a , b, c, d a 3 2 3 2 -3. 13.. zb1 3). xy <0. zb1 4). -2 4, 8. x, y. P( a , b) 3. ab > 0. 이차정사각행렬. A, B. 에 대한 <보기>의 설명에서. O. E. 는 단위. 는 영행렬이다.) <보기>. (ㄱ) (나) (ㄷ). AB = kE ( k=/ O ) 이면 AB = BA 이다. AB = O, A =/ O 이면 B = O 이다. A -B =3E, AB = O 이면 BA = O 이다. (ㄱ). (ㄴ). (ㄱ), (ㄷ). (ㄴ), (ㄷ). (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ). 이. 4. 17.. zb 17). A 에 대하여 A 13 = 41 , A 2 13 = 23 가 성립할 때, A - 1 23 의 모든 성분의 합은?. () () () () (). 이차정사각행렬. 5 8. 6 9. 7. 가 무수히. 을 만족하는 점. 가 그리는 자취의 길이는?. 4. ㄱ, ㄴ, ㄷ. 행렬,. -2 3 2 3 -2. 에 대한 일차연립방정식. 많은 해를 가질 때. ㄱ, ㄷ. 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단,. k 의 값은?. 3+ b ) ( x) = ( -2 b ) ( x) ( a5--2b 4-3 a y 1 -3a y. 실수. zb 16). d. 2 3 2 -2 -3. 인 해를 가질 때, 상수. -6 8. 14.. 16.. ( k+48 k-22 ) ( xy) = 4 ( xy). 연립일차방정식. ㄱ, ㄴ. 이다. 이 때, 상수. c. -3 2 3 -3 -2. ㄴ. 을 행렬을 이용하여. 의 값을 각각 맞게 구한 것은?. b. ㄱ. 18.. zb 18). 5. 집합. P ={1, 2, 3}. 에. 대하여. 함수. f. 가. - 2 -.
(3) 2013년 1학기 중간고사 대비. f : P→ P. 1-2.역행렬과 연립 일차방정식. ( f(1)1 f(2)4 ). 일 때, 행렬. 갖지 않도록 하는 모든 함수. 1 4. 2 5. f. ( -54 -53 ). 이 역행렬을. 의 개수를 구하면?. 3 이차정사각행렬. 23.. 실수. zb 22). 19.. zb1 9). 행렬. ( ). P = 13 39. 집합의 부분집합. 2×2 행렬 전체의 Q = { X |PX = P} 일 때,. 에 대하여. Q. 가. A 의 역행렬이 - A- E 일 때, 행렬 E +3( A + A 2+ A 3 + … + A 2011 )+ A 2012 을 간 단히 하면? (단, E 는 단위행렬이다.) E A A+E 2A 2( A + E ). 22.. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? <보기> (ㄱ) (ㄴ) (ㄷ). 1 P∈Q 6 X ∈Q 이면 X 의 역행렬은 존재한다. X ∈Q, Y∈Q 이면 XY = Q 이다. (ㄱ). (ㄴ). (ㄱ), (ㄷ). 20.. zb2 0). zb 23). A, B. 에 대하여 <보기>에서 항상. E. 성립하는 것만을 모두 고른 것은? (단, 행렬이고. O. 24.. zb 24). 는 단위. 는 영행렬이다.). ㄴ. ㄷ. ㄹ.. 21.. zb2 1). A 2 = E 이면 A =E 또는 A =- E 이다. AB = BA 이면 A 2B 2 = B 2A 2 이다. A 2 = O 이면 A = O 이다. ( A + B) 2 = ( A - B ) 2 이면 AB =- BA 이다. ㄱ, ㄴ. ㄱ, ㄷ. ㄴ, ㄹ. ㄷ, ㄹ. ㄴ, ㄷ. ( ) ( ). A, B 가 A = 11 12 , B = 03 04 일 때, 등식 AXA = AB, AYA = BA 를 만족하는 행렬 X , Y 에 대하여 행렬 X + Y 는?. 행렬. ( -35 -45 ) ( -53 -54 ). )( ) ( )( ) 5π 8π. 6π. (. -2 x 에 대하여 행렬 x2 mx mx+6 역행렬을 가질 때, 자연수 m 의 값의 합을. 임의의 실수. ). 이. 구하여라.. <보기> ㄱ.. (. 4π 7π. (ㄷ). (ㄱ), (ㄴ), (ㄷ). 이차정사각행렬. x, y 에 대한 연립방정식 a 6+ b x 0 1 x 6- b a y = 2 1 0 y 의 해가 무수히 많을 때, 점 ( a , b) 의 자취의 길이는?. 25.. zb 25). 이차 정사각행렬 2 -2 -3 =. A. A E O. A. 와 단위행렬. 이 성립할 때,. A. E. 에 대하여. 의 역행렬을. 구하면?. A -2E A 1 ( A +2E ) 3. A-E 1 ( A -2E ) 3. ( -35 -45 ) ( 54 35). - 3 -.
(4) 2013년 1학기 중간고사 대비. 1-2.역행렬과 연립 일차방정식. ∴. k<0, k> 14. () () () ( ) ( ) ( ) 12 2 -3 A = ( 23 -5 6 ) ( 0 3) = ( 3 0 ) 2 -3 -5 -28 A ( 10) = A ( -5 6 ) = ( 3 0 ) ( 6 ) = ( -15). 6) [정답] [해설]. 1) [정답]. AB = BA 이므로 A +2BA= AB + E 는 A +2BA= BA + E 이다. A + BA= E 이므로 A ( E + B )= E ∴ A 의 역행렬은 B + E 이다.. [해설]. ( )( ) ( AB∈M AB = ( a0 ab) ( c0 dc) = ( ac0 adac+ bc) BA = ( c0 dc) ( a0 ab) = ( ac0 adac+ bc). 2) [정답]. AB = a0 ab c0 dc = ac0 adac+ bc. [해설]ㄱ.. -1. ). 4 이므로. 2a + b =4 를 만족하는 자연수 ( a , b)= (1,2) 이다. n 그러므로 A 의 모든 성분의 합은 2n +2 이다.(참). ( 2a-+1b 2ba+1) ( xy ) = ( xx+- yy) ( - b2a-1 2ab-1+2) ( xy ) = ( 00) x=0, y=0. 3) [정답] [해설]. 를 간단히 정리하면. 이고,. 해를 갖기 위해. 이외의. (2b +2)(- b -1)-2a ( a -1)= 0 이어야. 한다.. 2a 2 -2a +2b2 +4b-2=0 이므로 정리하면 ( a 2 + a )+( b 2+2b+1)=0 , ( a - 12 ) 2 +( b+1) 2= 14 이 1 인 원이다. 므로 반지름이 2 1 2= 1 π 따라서 도형의 넓이는 π 2 4 따라서. 4) [정답] [해설]. ( -35 -32 ). (). (. ) (. 1 5 -3 5 -3 A - 1 = 10-9 -3 2 = -3 2. ). k<0, k> 14 2 2 [해설] x - k(4x-1)≠0, x -4kx+ k≠0 이므로 D >0 를 2 만족해야 한다. D = (-4k) -4k>0, 4k(4k-1)>0 ,. 5) [정답]. 이므로. 7) [정답] 이므로. AB = BA 2 2 이므로, ( A + B ) ( A - B )= A - B 성립.(참) ㄷ. M의 성분 a , b가 자연수 이고 성분의 합이. 이므로. 3. 이다.(참). ㄴ.. A 10 = 23 , A 23 = -5 6 A 10 23 = 23 -5 6 이다.. A 2 = E 이므로, A 2 = A 4= E , A 3 = A 5 = A . 따라서 (준식) =3A +2E 2 한편 A - E = ( A - E )( A + E )= O 인데, ( A - E) - 1 이 존재하므로 양변에 ( A - E) - 1 를 곱하면 ( A - E ) - 1 ( A - E )( A + E )= ( A - E ) - 1 O ⇒ A+E= O ∴ A =- E ∴ 3A +2E =-3E +2E=- E [해설]. 8) [정답] [해설] 케일리 해밀턴의 정리에 의해. A 2 + A + E =0 이므로 A 3 - E =0, A 3 = E A 3 + A 2+6A+2E= E +( A 2+ A + E)+(5A+ E ) =5A +2E. -1, 0, 1 2 2 [해설] ( x+2a )( x- a )+9 ≠0, x + ax-2a +9≠0 2 2 2 판별식 D = a -4(-2a +9)<0, a <4 이므로 ∴ -2< a <2. 9) [정답]. 이고,. 10) [정답] [해설] 케일리 해밀턴 정리에 의해. A 2 -(5-4)A +(-20+21)E = O ∴ A2-A+E= O ⇒ A 3 = A 2 - A = A - E - A =- E 2 3 2 따라서 A - A + A =- A + A - E= O , A 4 - A 5 + A 6= A - A 2 + A 3= O ⋯ 2015÷3=671 ⋯ 2 이므로 2014- A 2015 = A - A 2 = E (준식) = A 따라서 E 의 모든 성분의 합은 2 11) [정답]. - 4 -.
(5) 2013년 1학기 중간고사 대비. [해설]. (. 1-2.역행렬과 연립 일차방정식. )(. -1 -3 -1 A + A - 1 = -2 5 3 + 5 2. (. -2 = -5 10 5. ). ). 또한. 따라서 역행렬을 갖지 않도록 하는 함수는. 19) [정답]. a =3, b =3, c =2, d =2. 13) [정답] [해설]. k=-2 or 8. k( k-6)-16=0, k 2 -6k-16=0 이므로. k=-2 인 경우 xy <0 을 만족하지 않는다. k=8 인 경우 xy <0 을 만족한다. 14) [정답]. (. (ㄷ). )( ) ( ). 1 사분면에서 절편이 3 과 4 인 직선이므로 자취의 길이는 5 이다. 15) [정답]. - A 2= E 이므로 A 의 역행렬은 - A 이다.(참) ( A +3E )( A -4E )= A 2 - A -12E =-12E 이므로 ㄴ. ( A +3E ) 의 역행렬은 - 121 ( A -4E ) (참) 2 ㄷ. A - A -3E =0 이므로 A 2 - A -2E = E, ( A + E )( A -2 E )= E 이다. ( A + E ) 의 역행렬은 ( A -2E ) (참). [해설] ㄱ.. 16) [정답]. AB = kE ( k≠O ) 이라면 A 와 B는 역함수 관계에 있 다. 그러므로 AB = BA 이다. ㄴ. AB = O 이라고 해서 A≠O, B≠O 일 수 있다. A = 10 00 , B = 01 00 인 경우 AB = O 이지만 A≠O, B≠0 이다. ㄷ. A - B =3E 이므로 B = A -3E 이다. AB = A ( A -3E )= A 2 -3A = O 이다. BA = ( A -3E )A = A 2 -3A = O 이다.(참). [해설] ㄱ.. ( ) ( ) ( ) ( ) () (). ( ). ( ). 1 4 = 4 2 이므로, 1 4 = A - 1 4 2 이다. [해설] A 31 13 31 13 - 1 2 = 4 , 따라서 모든 성분의 합은 5 이다. ∴A 3 1. 18) [정답]. f (1)f (2)-4= 0, f (1)f (2)= 4 이어야 하므로 f (1)= 2, f (2)= 2 가 되어야 한다.( 1 가지). [해설]. ( )( ) ( ) ( ) P 2 =10P이므로, 101 P∈Q. P는 역행렬이 존재하지 않으므로, 101 P도 역행렬이 존재하. 지 않는다.. 제. 17) [정답]. (ㄴ) (ㄱ)에서 그런데,. a 3 x 0 4- b 4 y = 0 이므로 4a -3(4- b)=0, 4a +3b =12 이고, ab > 0 이므로. [해설] 식을 정리하면. 3 가지이다.. 30 P 2 = 13 39 13 39 = 10 30 90 1 ≠ 186 18 54 =6P이므로, 6 P∈/ Q. [해설] (ㄱ). 12) [정답] [해설]. f (3) 은 1, 2, 3 중 한 가지를 선택하면 된다.( 3 가지). X ∈Q , Y∈Q 일 때, PXY = PY = P이므로, XY∈Q. 20) [정답]. AB = BA 이므로 행렬의 왼쪽에 B , 오른쪽에 A 를 곱 2 2 해주면 BABA = B ( BA )A = B A (참) 2 2 2 ㄹ. ( A + B ) = A + AB + BA + B ( A - B) 2 = A 2- AB - BA + B 2 2 2 이므로 ( A + B ) =( A - B ) 에서 AB + BA =- AB - BA 2AB =-2BA 이므로 AB =- BA (참). [해설] ㄴ.. ( ) ( ) ( 02 01) ( ) ( ) ( -33 -44 ) -4 -3 -4 X + Y = ( 02 01) + ( -3 3 4 )=( 5 5 ). 21) [정답] [해설]. 2 -1 = X = BA - 1 = 03 04 -1 1 2 -1 0 0 = Y = A - 1B = -1 1 31. 22) [정답]. A (- A - E )= E, A 2+ A + E =0 ( A - E )( A 2 + A + E)=0, A 3 - E =0, A 3= E E +3( A + A 2+ A 3 + … + A 2011 )+ A 2012 = E +3( A 2011 )+ A 2012 = E +3A + A 2=2A. [해설]. 23) [정답]. ( 4-a b 4+a b) ( xy) = ( 00). [해설] 위 식을 왼쪽으로 이항하여 정리하면 이므로,. a 2 -(4- b)(4+ b)= 0. a 2 + b 2=16 이므로 반지름이 4 인 원이다. ∴자취의 길이는. 2π×4=8π 이다.. 35 [해설] x( mx+6)-2( mx-2)≠0 , mx2 +2(3- m )x+4≠0 m > 0 , D = (3- m ) 2 -4m <0, m 2-10m+9< 0 ( m -1)( m -9)< 0, 1< m < 9 이므로 이를 만족하는. 24) [정답]. - 5 -.
(6) 2013년 1학기 중간고사 대비. 1-2.역행렬과 연립 일차방정식. m =2∼8 까지의 자연수 이므로 이것의 합은 35 . 25) [정답] [해설]. A ( A -2E )= 3E 이므로 13 A ( A -2E )= E. ∴A - 1 = 13 ( A -2E ). - 6 -.
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