1. Laplace’s Equation of Continuity
흐름의 연속성, Darcy의 법칙을 이용 2차원 평면 흐름의 지배방정식 정상류상태를 나타냄 흙은 등방성(Isotropic) 균질성(Homogeneous) 흙은 포화되어 있고 모관현상은 무시 흙 입자는 비압축성이며 물이 흐르는 동안 흙의 압축, 팽창은 없음1.1 Continuity Equation
in x z q =v dy dz+v dx dy 유입량 x z out x z v v q =(v + dx) dy dz+(v + dz) dx dy x z 유출량 정상상태의 물의 흐름: 2차원 흐름 수평방향과 수직방향으로 흐르는 유량1.2 Continuity Equation
연속방정식(Continuity Equation)
in out Δq=q -q =0 in out x z x z x z Δq = q -q v v = v dy dz+v dx dy- v + dx dy dz- v + dz dx dy x z x z v v = - + dx dy dz = 0 x z x z v v + = 0 x z x x x x h v =k i =k x z z z z h v =k i =k z 2 2 x 2 z 2 h h k +k =0 x z If isotropic & homogeneous, then
2 2 2 2 h h + = 0 x z or Laplace equation
Flow Problem
해석적 방법으로 흐름문제를 해결하기 위한 연속방정식의 이용
두 개 층의 흙에서 일차원 흐름 두 토층의 수두차이, h1 흐름은 z 방향으로만 진행 또는, 여기에서, A1과 A2는 상수Flow Problem
경계조건-1 일 때, 경계조건-2 일 때, 조건에 의하여, 따라서,
상부층을 통과하는 흐름
Flow Problem
경계조건-1 일 때, 경계조건-2 일 때, 조건에 의하여, 따라서,
하부층을 통과하는 흐름
Flow Problem
상부층을 통과하는 물 = 하부층을 통과하는 물의 양
따라서,
변수
h
2를 제거하면,
상부층에서,
하부층에서,
2 유선망(Flow Net)
등방성 흙에서 연속방정식
서로 직교하는 두 개의 곡선
유선(
flow line)
등수두선(
equipotential line)
투수층 흐름
2.1 Flow Net Conditions
1. 등수두선과 유선은 서로 직교한다.
2. 유선망에서의 각 요소는 거의 정방형이다.
유로
flow channel
N
f
수두낙차
potential drop
N
d2.2 Potential & Stream Functions
포텐셜 함수
와 흐름 함수
2 2 2 2 φ φ + = 0 x z x z v v + = 0 x z φ=k h
(속도)포텐셜 x z φ φ v = , v = x z φ(x, z)
ψ(x, z)
x z ψ ψ v = , v = -x z φ(x, z)
ψ(x, z)
포텐셜 함수 흐름 함수 φ ψ φ ψ , -x z z x 2 2 2 2 ψ ψ + = 0 x z 2.3 Potential & Stream Functions
z x v dz = v dx z x -v dx + v dz = 0 ψ ψ dψ = dx + dz = 0 x z ← 유선함수 에 대한 관계식 대입ψ
ψ=const. ← 곡선 가 지정되면 이 곡선의 기울기는 유속의 합성벡터의 기울기와 일치 유선함수에 의한 2차곡선 → 유선(flow line) → 물분자의 이동궤적 ψ(x, z)2.4 Potential & Stream Functions
포텐셜함수 φ(x, z) 의 물리적 의미 → 따른 전미분 φ φ dφ = dx + dz = 0 x z
2 2 2 1 1 1 ψ ψ ψ z x 1 2 ψ ψ ψ ψ ψ Δq= -v dx+v dz = dx+ dz = dψ = ψ -ψ x z
→ 두 유선 ψ , ψ1 2의 사이를 흐르는 유량은 항상 일정 φ=const.2.5 Potential & Stream Functions
φ φ dφ = dx + dz = 0 x z x z = v dx+v dz = 0 x z v dz = -dx v φ=const. ← 포텐셜 함수에 의한 2차곡선 → 등포텐셜선(equipotential line) 동일한 포텐셜의 연결선 유선의 기울기와 역부호를 가진 역수 → 기울기가 서로 반대 곡선이 서로 직교 2개의 곡선(유선과 등포텐셜선)을 평면좌표 (x, z) 상에 나타냄 → 유선망(flow net)2.6 Flow Net
유선망(Flow net)
서로 직교하는 여러 개의 유선과 등포텐셜선으로 이루어짐 투수성 지반(흙)에서 물의 흐름 문제를 해석 침투수량, 간극수압, 동수경사(수두낙차) 등 결정 등수두선과 유선은 서로 직교2.7 Flow Net
유선망에서의 경계조건
AB는 이 선을 따라 전수두가 동일 → 등수두선 CD는 이 선을 따라 전수두가 동일 → 등수두선 널말뚝을 따라 상류면에서 하류면으로 흐르는 BCD → 유선 불투수층의 경계면 FG → 유선2.8 Flow Net
유선망의 작도
경계조건을 만족하도록 원활한 곡선이 되도록 작성
유선망에서 이루어지는 요소는 정사각형(curve linear square) Trial and Error
2.9 Flow Net
유선망을 이용한 침투량
유로(Flow Channel) → 두개의 유선 사이의 통로 유로는 정방형 요소를 형성 2 3 1 2 1 2 1 2 d h -h h -h Δq=k i A=k l =k l = l l ΔH =k Δh=k N 1 2 Δq=Δq =Δq = f d N q=k ΔH N
유선망을 이용한 동수경사
d ΔH/N Δh i= =3. Example (Flow Net)
Ex) 아래의 그림은 투수층에서 널말뚝 주위의 흐름에 대한 유선망 kx=kz=510-3cm/sec 일 때 다음의 사항을 결정하라 a. a, b, c, d점에 피에조미터를 세우면 지표면위로 올라온 물의 높이는? b. 단위 폭당 유로 Ⅱ를 흐르는 침투량? c. 단위 폭당 투수층 전체를 흐르는 전침투량?3. Example (Flow Net)
Ex) 아래의 그림은 투수층에서 널말뚝 주위의 흐름에 대한 유선망 kx= kz= 510-3 cm/sec 일 때 다음의 사항을 결정하라 a. a, b, c, d점에 피에조미터를 세우면 지표면위로 올라온 물의 높이는? b. 단위 폭당 유로 Ⅱ를 흐르는 침투량? c. 단위 폭당 투수층 전체를 흐르는 전침투량? a. a점 : 4.5-0.5=4m b점 : 4.5-2Χ0.5=3.5m c점 : 4.5-5Χ0.5=2m d점 : 4.5-5Χ0.5=2m b. c. f d N =3, N 6 ΔH=3m -3 -1 3 d ΔH 300 Δq=k =5 10 =2.5 10 cm /sec/cm N 6 -3 f d -1 3 N 3 q=k ΔH =5 10 300 N 6 =7.5 10 cm /sec/cm 4. Anisotropy and Nonhomogeneity of Permeability
투수계수의 비등방성 및 비균질성
흙은 퇴적되어 자연적으로 형성 → 대략 평행한 층을 이룸 수직방향과 수평방향의 투수계수가 다름 수평방향의 투수계수가 연직방향보다 일반적으로 더 큼 한 위치에서 방향에 따라 투수계수가 다름 → 비등방 (Anisotropy) 두 위치에서의 투수계수가 다름 → 비균질 (Nonhomogeneity)4.1 Flow Nets in Anisotropic Soil
비등방성 흙에서의 유선망
자연적으로 퇴적된 토층 → 수직방향보다 수평방향의 투수성이 큼 점성토 지반일수록 이러한 경향이 우세 2 2 x 2 z 2 h h k +k =0 x z x zif k k , then ← This is not laplace equation
2 2 2 2 h h + =0 x' z 2 2 2 2 z x h h + =0 z k x k z x x = k /k x ← x`는 x방향의 새로운 좌표
4.2 Flow Nets in Anisotropic Soil
비등방성 흙에서의 유선망 작도
z 방향은 그대로 x 방향은 관계를 이용하여 치수를 축소(또는 확대)하여 스케치 유선망 작도, 유선과 등수두선으로 이루어지는 요소는 정사각형 유선망을 이용하여 Nd, Nf를 구하여 침투유량 결정 z x x = k /k x f x z d N q= k k ΔH N e x z k = k k 등가투수계수4.3 Flow Nets in Anisotropic Soil
e x z k = k k T e e Δh Δq =K b=K Δh l N x x x x z z Δh Δh Δq =k b=k k k l k k T N Δq =Δq case (a)에서의 유량 case (b)에서의 유량 →4.4 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil
1 1 1 2 2 2q=k i A =k i A
비균질한 흙에서의 유선망
자연적으로 형성된 토층 → 성층구조, 비균질 1 1 2 2 1 2 1i =Δh/l , i =Δh/l , A =A =l 1
1 1 2 1 1 2 Δh Δh k l = k l l l l k4.5 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil
층의 경계가 경사진 비균질한 흙에서의 유선망
토층의 경계면 AB의 법선과 α각으로 유입하는 경우 법선과 β각으로 유출 1 2 k tanα = k tanβ 1 1 2 2 Δh Δh q=k b =k b CA BD 1 2 CA BD =tanα, =tanβ b b 1 2 k k = tanα tanβ4.6 Flow Net in Nonhomogeneous Soil
비균질한 흙에서의 유선망 작도 예
매질 1의 투수계수가 매질 2의 투수계수보다 2배 큰 경우 1 2 k tanα =2= k tanβ 2 2 k 1 l tan 2 tan l =2 l
수학적 해법에 의한 침투량
Harr (1962)
S : 널말뚝의 근입깊이
T
: 투수층의 두께
q/kH
vs.S/T
그래프
수학적 해법에 의한 댐
아래의 침투량 산정
Harr (1962)
S : 널말뚝의 근입깊이
T
: 투수층의 두께
x : 댐 중앙에서
널말뚝까지의 길이
B : 댐 단면의 폭
q/kH
vs.x/b 그래프
수리구조물의 양압력
압력수두 + 위치수두
= 전수두
압력수두
단위중량
= 간극수압
S : 널말뚝의 근입깊이
T
: 투수층의 두께
x : 댐 중앙에서
5.1 Example (Uplift Pressure)
유선망을 이용한 양압력(Uplift pressure)
댐 등의 수리구조물 저면에서 연직상향으로 작용하는 수압 → 양압력 p p w w p h = ; p=h γ γ f d N =2, N 7 ΔH=7-0=7m d ΔH Δh= =7/7=1m N a점 - 전수두 : 7-1=6m, 위치수두 : -2m 압력수두 : 6-(-2)=8m 수압 : 8mΧ9.81kN/m3=78.48kN/m2 . 수압분포 면적을 구하면 단위폭당 양압력 →6. Flow nets in Seepage through an earth Dam
흙 댐을 침투하는 유선망
흙 댐을 물이 통과할 경우 유선망의 경계조건 불분명 가장 위에 있는 유선의 경로를 추정하기 어려움 가장 위에 있는 유선이 정해지면 이 경로에서의 응력은 항상 대기압과 같으므로 손실수두는 위치수두 뿐임 이러한 특성의 유선 → 침윤선 (phreatic line)
침윤선을 결정하는 방법
Casagrande & Kozeny AE=0.3(AG) 되도록 E점 설정 포물선의 정리에 따라 CY=YQ=S, CL=LM의 관계적용 → x=X, z=H → 포물선의 특성으로 부터 CD=1/2·S → D점 결정 D점과 E점을 통하는 포물선 작도 A점에서 포물선과 만나도록 AJ 작도
6.1 Determination of Phreatic Line
Y Q
2 2
x +z =x+S
2 2
6.2 Flow through an Earth Dam
Dupuit (1863)
6.3 Chart for Solution of Flow on Earth Dam
Gilboy’s Solution (1934)
> 30° 일 때, 커지는 오차(Dupuit, 1863)를 제한 Based on Casagrande method (1932)
1. d/H 결정
2. 에 대한 m 결정 3. L = m H/sin
