[공업수학1]02 공학함수 [호환 모드]

공학함수

목포해양대학교 곽재민

개요

|

함수

함수

y 공학적 현상의 수학적 모델링 y 시스템에 대한 입력과 출력의 관계 표시 y 다양한 함수들의 개념과 정의 습득 2 2

수와 구간

집합

|

집합

y 정수(Integer) | Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} y 자연수(Natural number) | N={0 1 2 3 } | N={0, 1, 2, 3, …} y 유리수(Rational number) | Q={ p/q ; p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0} | Q { p/q ; p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0} y 무리수(Irrational number) | p/q 의 형태로 나타낼 수 없는 수 (예; π, 등)2 |

계승

(factorial) 표현

3 y n! = n*(n-1)*(n-2)* … *2*1 3

수와 구간

실수

|

실수

(Real number)

y R : 실수의 집합, 유리수와 무리수 포함 실선 상에 점으로 표시 가능 y 실선 상에 점으로 표시 가능 y 그림 2.1

복소수

|

복소수

y 실선 상에 점으로 표시될 수 없음(9장에서 다룸) 4 4

수와 구간

|

구간

구간

(interval)

(

)

y 실선 상의 일부를 표현 y 그림 2.2

y 닫힌구간(closed interval) & 열린구간(open interval),

반개구간( i i t l) 반개구간(semi-open interval)

1 x 2 [ 1, 2]

− ≤ ≤ → − _{− ≤ <− → − −6 x 4 ( 6, 4) 3< ≤x 4 →(3, 4]}

y 상계 (upper bound) & 하계 (lower bound)

주어진 수집합내에 있는 모든 수보다 크거나 같은수

5

|

주어진 수집합내에 있는 모든 수보다 크거나 같은수

|

주어진 수집합내에 있는 모든 수보다 작거나 같은수

함수

함수

|

기본 개념

y 하나의 입력에 대해서는 하나의 출력만 발생하는 규칙이나 관계 시스템 x _f( )_x 입력의 두 배를 출력하는 시스템의 경우 시스템 f( ) y 입력의 두 배를 출력하는 시스템의 경우 예제2 ) 일때 다음을 구하시오

( )

x x f x x f : → 2 또는 = 2 (x) 2 x 1 f + y 예제2.1) 일때 다음을 구하시오. | (x) 2 x 1 f = + (3) ? (2 a) ? (t 1) ? f = f = f + = |

함수의 변수

y 함수로 표현된 시스템의 입력 (argument) 6 x y 예제2.2 일때, 다음을 구하시오f x( ) = ₅x 6 2

(

2)

?

(

)

?

(

)

?

f x

+

=

f

− =

x

f x

=

함수의 그래프

함수의 입출력 관계를 그래프로 표시

|

함수의 입출력 관계를 그래프로 표시

y

y

=

f

( )

x

=

2

x

그림 2.4

( )

2

y x

x

y x: 독립변수 (independent variable) 종속변수 ( )

( )

2

y x

=

x

y y: 종속변수 (dependent variable) 영역 (d i )과 범위 ( ) y 영역 (domain)과 범위 (range)

10

5

1

3

+

−

≤

≤

=

x

x

y

0 예) 함수 의 영역과 범위는? 7

31

14

10

5

,

1

3

≤

≤

−

≤

≤

+

y

x

x

y

0 0 2

( )

4

g x

x

y 예) 함수 의 영역과 범위는? y 예2.4) 함수 의 영역과 범위는? 7

( )

4

g x

=

x

−

2

( )

f x

=

x

함수의 규칙

하나의 입력에 대하여 하나의 출력을 발생시켜야 함

|

하나의 입력에 대하여 하나의 출력을 발생시켜야 함

|

일대일

(one-to-one) 함수(그림2.4, 2.8참고)

y 하나의 입력에 하나의 출력

f

( )

x

=

2

x

|

일대다

(one-to-many)

y 하나의 입력에 다수의 출력

x

→ ±

x

:

f x

( )

= ±

x

함수가 아님 |

다대일

(many-to-one) 함수(그림2.5, 2.7참고)

y 다수의 입력이 같은 출력을 발생다수의 입력이 같은 출력을 발생

f

( )

x

=

x

2 |

예

) 는 함수인가 함수가 아닌가?

₈

( )

f

( )

, 0

f x

= −

x

≤ < ∞

x

|

예

) 는 함수인가 함수가 아닌가?

f

( )

,

₈

함수의 매개변수

&합성

함수의 매개변수

&합성

|

매개변수표현

(parameter)

입력 와 출력 를 제 의 변수로 표현 가능 y 입력 x와 출력 y를 제3의 변수로 표현 가능 예

( )

t

y

g

( )

t

f

x

=

,

=

2

2

(0

t

5)

t

t

≤ ≤

y

_이

2

_인

_물선

y 예: |

합성

(composition)

2

,

2 , (0

t

5)

x

=

t

y

=

t

≤ ≤

2

y

4

2

y

t

=

이므로

=

x

인 포물선

입력의 제곱의 두 배 x ( ) 2 2x x f = 9 입력의 제곱 x ( ) 2 x x g = 입력의 두 배 ( )

(

)

( ) 2 2 2 2 2 4 h g x = g x = ⋅ x = x y 예2.6) 일때, 다음의 합성함수를 표시하라. 9 ( )x x g

( )

1 2 3, (t) t f t = +t g = + 예2.6) 일때, 다음의 합성함수를 표시하라.

( )

2 3, (t) 2 f t t + g

(

)

(a) f g t( ) , ( ) (f(t))b g

역함수

(I

NVERSE

F

UNCTION

)

f(x) x ( )x f g(x) g(f ( )x )= x |

g(x): f 의 역함수(inverse function), f

g( ) f

(

), f

-1 y 함수 f(x)의 출력을 특정 함수의 입력으로 넣었을때 함수 f(x)의 입력이 나

( )

(

)

1 ( ) f − x = g f x = x 함수 f(x)의 출력을 특정 함수의 입력으로 넣었을때 함수 f(x)의 입력이 나 오게 하는 특정함수를 함수 f(x)의 역함수로 부름 y 일대일 함수만 역함수를 가짐 2 z= x 새로운 변수 을 도입하면 |

f

-1

(x)=g(x)는 일대다 규칙이지 함수가 아님

10

( )

2 x x f = g

( )

x2 = x g z

( )

= = ±x z : g x

( )

= ± x 입력 x 입 | f x

( )

= x2, (x ≥ 0)

와 같이 영역을 제한한 경우는 역함수 존재

역함수

(I

NVERSE

F

UNCTION

)

예 ) 만약 f( ) 이면 1 임을 증명하시오 ( ) x f y 예2.7) 만약 f(x)=5x이면 임을 증명하시오. |

f(x)는 x를 입력받아 5x를 출력

따라서

f

1

( )는 5 를 입력받아 를 출력함

1 ( ) 5 x f − x = |

따라서

, f

-1

(x)는 5x를 입력받아 x를 출력함

1 (5 ) f − x = x 5 z = 라 하자x 1 ( ) 5 z f − z = =x _{* x나 z는 독립변수} 1 ( ) 5 x f − x = 따라서, 1 11 |

예

2.8)

|

예

2.9)

1 ( ) 2 x 1 ( ) . f x = + 일때 f − x 를 구하시오 1 g( ) . 2 x x = − 일때 의 역함수를 구하시오g 11 2

연속과 구간연속

함수

가 불연속

하다면

|

함수

f(x)가 불연속 (discontinuous)하다면

y f(x)의 그래프에서 갈라진 곳이 있음 그림 그림 2.11 |

함수

f(x)가 연속 (continuous)하다면

y f(x)의 그래프에서 갈라진 곳이 없음 |

구간 연속

(piecewise continuous)

( ) 1 / f x = x y 임의의 구간 내에서 유한 개수의 불연속점을 갖는 경우 그림 2.12 12 2 0 1 g(t) 2 1 3 t t t ≤ < ⎧ = ⎨ _{≤ <} ⎩ 12

주기함수

(P

ERIODIC

F

UNCTION

)

|

일정한 간격을 갖고 반복적인 형태를 갖는 함수

일정한 간격을 갖고 반복적인 형태를 갖는 함수

f (t) = +f(t T), T는 주기 그림 2.14 T = ? 주기기 y 예제2.11) 아래의 구형파의 그림2.15 참고(불연속점?)

1

0

≤ <

t

1

⎧

13

1,

0

1

(t)

2

0, 1

2

t

period T

t

≤ <

⎧

=

_⎨

=

≤ <

⎩

g

y HW) 58페이지 연습문제 7c,7g, 11c, 12e, 13a, 14, 16 13

상용 공학 함수

다항함수

|

다항함수

(polynomial function)

|

분수함수

(rational function)

|

지수함수

(exponential function)

|

로그함수

(log function)

( g

)

|

쌍곡선함수

(hyperbolic function)

|

절대값함수

(modulus function)

|

절대값함수

(modulus function)

|

램프함수

(ramp function)

|

단위계단함수

(

it t f

ti )

|

단위계단함수

(unit step function)

|

델타함수

(delta function)

14 14

다항함수

차 다항 함수

|

n차 다항 함수

음이 아닌 정수

( )

2 _{1 0} 2 1 1x ... a x a x a a x a x P = _n n + _n− n− + + + + y n: 음이 아닌 정수 y a_n: 상수 차수 다항함수의 가장 높은 거듭곱(지수) y 차수: 다항함수의 가장 높은 거듭곱(지수)

표

표

2.1

15 15

다항함수

전형적인 다항함수의 그래프

|

전형적인 다항함수의 그래프

그림 그림 2.16 16 16

다항함수

예제 옴의법칙 저항에 흐르는 전류와 저항양단전압간의 관계법칙 y 예제2.12 옴의법칙 : 저항에 흐르는 전류와 저항양단전압간의 관계법칙 y V=IR V:저항양단전압 종속변수 V:저항양단전압 I:저항에흐르는 전류 R:주어진온도에서의 일정한 저항값(상수로 간주한다고 가정) 독립변수 R:주어진온도에서의 일정한 저항값(상수로 간주한다고 가정) y 방정식 P(x)=0 의 실근(실수근)( ) ( ) : y=P(x)와 x축이 교차하는 점들의 값 y 그림 2.19의 예 참고 17 17

분수함수

분수함수

의 표현

|

분수함수

(rational function)의 표현

( )

( )

_{( )}

Q x P x R = _{ex R z)}

( )

₌ 2z2 + −z 1 y P(x), Q(x): 다항함수

( )

_{( )}

x Q )

( )

2 3 2 ex R z z + z − y P(x): 분자 (numerator), Q(x): 분모 (denominator) |

분수함수

y=f(x)의 그래프 : x와 y값을 표로 만들고 연결(수작업)

|

분수함수에 대한 그래프의 형태를 알기 위한 의미 있는 질문들

y x가 양의 값으로 커지면 함수는 어떻게 변하는가?가 양의 값으로 커지면 함수는 어떻게 변하는가 y x 가 음의 값으로 커지면 함수는 어떻게 변하는가? y x =0일 때 함수의 값은? ₁₈ y x 의 어떤 값이 분모를 0으로 만드는가? 18

분수함수

예

|

예

1 2 1 2 x y = + = + y x가 양의 무한대가 될 경우 x x y x가 음의 무한대가 될 경우 y x=0일 때 함수의 값은 그림 2.20 2 → ±∞ → y x 이면 ±∞ → → y x 0 이면 | 점근선 (asymptote) : 어떤함수의 그래프가 직선에 가깝게 접근하면 그 직선 을 점근선이라 부름 (y=2 x=0) 19 을 점근선이라 부름 (y=2, x=0) | 수평점근선, 수직점근선, 경사점근선 19

분수함수

|

다양한 분수 함수의 그래프

분수함수

그림 2.21 3 3 − -1 1 3 2 _{4 2 1} 경사 점근선 ( bli t t ) 3 1 1 3 x y x x + = = + 1 1 3 2 2 x y x x − = = − + + ₁ 1 3 1 2 4 2 + − + = + + + = x x x x x y y 경사 점근선 (oblique asymptote) | 분자의 차수가 분모의 차수보다 한 차수 높을 때 발생 y 극점 (pole) 20 y 극점 (pole) | 분모를 0으로 만드는 독립변수 x의 값 20

분수함수

y 수직점근선 : 분모를 0으로 만드는 x의 값에서 발생 예제 다음 분수함수를 스케치하시오

분수함수

y 예제2.14) 다음 분수함수를 스케치하시오. 2 x y = _{2 x → +∞ 이면 y → +0} 2 y x + −x 0 0 x y x y → +∞ → + → −∞ → − 이면 이면 2 2 ( 1)( 2) x x y = = + + |

극점

: x=1, x=-2 : 수직점근선 두개가 있음

2 2 (x 1)(x 2) x + −x − + |

개략적인 추세를 보고

, 표로 (x, y)점을 정리하면 그림 2.22

와 같이 스케치 가능

21 y 68페이지 연습문제2.4.2) 1f, 2b, 2g, 3h, 4e 21

지수함수

지수

|

지수

(exponent)

y 거듭곱 또는 멱 y 지수 법칙

( )

0 1 , , 1, , m n m n m n m n m m mn n m a a a a a a a a a a a + − − = = = = = y 지수함수의 형태 공학에서 많이 쓰이는 지수함수(엔지니어들이 말하는 지수함수)

( )

x a x f = y 공학에서 많이 쓰이는 지수함수(엔지니어들이 말하는 지수함수) 자연로그의 밑수 N i ’ b 무리수 ( 2 71828 )

( )

x e x f = f

( )

x = e−x

| e: 자연로그의 밑수, Napier’s number, 무리수 (e=2.71828…) | 그림 2.26, 그림 2.27(지수값이 양수일때와 음수일때를 주시) y 예제 2.17캐패시터의 방전(그림2.28,2.29참고) | 스위치가 닫히기 전 Cap.의 양단전압V, t=0에서 스위치가 열린경우 22 | 캐패시터 전압 22 /(RC) /( ) , 0 , 0 t t V t v Ve− Ve− τ t < ⎧ = ⎨ _{= ≥} ⎩

로그함수

로그 표현

|

로그 표현

y 밑수가 2인 로그 16은 4와 같다 4 주로 밑수로 또는 를 사용함 4 16 log₂ = 24 =16 b c a = log _ab = _c y 주로 밑수로 2, 10, 또는 e를 사용함 자연로그 (natural logarithm) x x log log₁₀ → log_e x → ln x 자연로그 (natural logarithm) |

로그 법칙

log log log_a A+ _a B = _a AB l 23 log log log g g g = − B A B A _{a a} a a a a a X X b b a log log log = 23 1 log log log = = a A A n a n a a 10 2 10 log log log 2 X X =

로그함수

|

로그 법칙

y 예제2.19) 다음을 간단히 하시오.

3

2

(a) log x + log x =

2 (b) 3log log 1 (c) 5 ln ln( ) x x x + = + = 3

(d) log( ) log 2 log 4 1 x xy + x − y = 예제2 20) 3 2 4 1 (e) ln(2 ) ln( ) ln 27 3 x x − + = l 14 y 예제2.20) 24 2 log 14 = 24

l 1 l 1 l 1 0

로그함수

|

로그함수

10

log 1_a = log 1_e = log 1= 0

로그함수

y a: 밑수, 양의 상수 그림 2.31

( )

x = log x, x > 0 f _a a: 밑수, 양의 상수 그림 2.31 |

로그함수의 역함수

|

로그함수의 역함수

y 지수함수와 로그함수는 역함수의 관계

( )

x a f

( )

x x f = x → −1 = log_a 영역(domain)과 범위(range)는?

( )

f

( )

f g_a

( )

( )

x a x f x a x f = log → −1 = y 예제2.22 연습해보세요! (공학용 계산기 필요) ₂₅ 일대일 함수이므로 역함수 존재 예제 연습해보세요 (공학용 계산기 필요) ₂₅

로그함수

로그 선형 그래프

|

로그

-선형 그래프

(변화의 폭이 매우 큰 값을 적은 폭으로 변화시켜 그래프 추이 관찰용이) y 함수의 입력 또는 출력의 한 쪽을 로그 스케일로 그린 그래프 y 예제2.23)

그림

과 표 참고

a x y Y a y = x → = log = log 3 x 3 , x - . − ≤ ≤ 일때 함수 y=7 을 로그 선형그래프로 그리시오

그림

2.33과 표 참고

|

로그

-로그 그래프

y 함수의 입출력을 모두 로그 스케일로 그린 그래프 26 nX x n y Y x y = n → = log = log = 26

쌍곡선함수

(생략)

|

Hyperbolic cosine & hyperbolic sine

e e x y e e x y x x x x 2 sinh , 2 cosh = + = = − = − − x x x y cosh sinh tanh 2 2 = = 3 4 y cosh는 다대일 함수 1 2 3 cosh(x) | X의 영역을 [0,∞)로 제한하면 역함수 정의 가능 와 는 일대일 함수 -2 -1 0 y tanh(x) sinh(x) y sinh와 tanh는 일대일 함수 | 역함수 정의 가능 27 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 x 27

절대함수

절대값

|

절대값

3 3 , 3 3 = − = |

절대함수

⎨ ⎧ ≥ = = x x, x 0 y 그림 2.37 y 실선 상의 두 점 a와 b 사이의 거리 ⎩ ⎨_{− <} = = 0 , x x x y y 절대값을 활용한 구간 표시 a b b a − = − 이면 28 a x a a x a x a x a x < < − < − = = = 이면 또는 이면 28 a x a x a x > 이면 < − 또는 >

램프함수

정의

|

정의

( )

x = _⎨⎧cx, x ≥ 0, c f 는상수 그림 2.45

( )

⎩ ⎨ _{< 0} , 0 x f 29 29

단위계단함수

정의

|

정의

( )

t = _⎨⎧1, t ≥ 0 u 그림 2.47

( )

⎩ ⎨ _{< 0} , 0 t 30 30

델타함수 또는 단위 임펄스 함수

면적이 인 사각함수

|

면적이

1인 사각함수

그림 2.55 y h의 값이 작아지면, 높이는 커지고 밑변은 감소하며 면적은 1로 유지 h Æ 0 일 때의 사각함수

δ

(t)를 델타함수 (d lt f ti ) 또는 단 y h Æ 0 일 때의 사각함수

δ

(t)를 델타함수 (delta function) 또는 단

위 임펄스 함수 (unit impulse function)로 정의

31 31

델타함수 또는 단위 임펄스 함수

가중치 임펄스

|

가중치 임펄스

(weighted impulse)

y k

δ

(t) |

임펄스 열

(impulse train): 임펄스가 이어져 있는 것

( ) ( )

t = t +3

( )

t −1 + 2

(

t − 2

)

f

δ

δ

δ

그림 2.57 32 32