변형
ABCD
의 꼭짓점D
의 좌표를 구하면?①
D
②D
③D
④D
⑤D
52.
세 점A
,B
,C
에 대하여
AP
BP
CP
이 최소가 되는 점P
의 좌표를 구하시오.53.
다음 그림과 같이∠A °
이고,
AB
AC
인∆ABC
에서 변
BC
의 중점을M
이라 할 때, 선분AM
의 길이를 구하면? ①
②
③
④
⑤
54.
절편이
이고
절편이
인 직선 위에 두 점
,
이 있을 때, 상수
,
의 곱
의 값을 구하시오.55.
좌표평면 위의 서로 다른 네 점A B C D
가 다음 조건을 만 족시킨다.가
두 점A B
는
축 위에 있고 점C
는
축 위에 있다.나
점B
의
좌표는 양수이고 점A
의
좌표는 음수이다.다
점D
의
좌표는 점A
의
좌표보다 크다.라
AB
BC
CA
AD
BD
CD
네 점A B C D
의
좌표를 각각
라고 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은? ①
②
③
을P
선분AB
를
으로 외분하는 점을Q
라 하고 직선AB
위 에 있지 않은 한 점을C
선분AC
를
로 외분하는 점을D
라고 하자. 삼각형APC
의 넓이와 삼각형AQD
의 넓이를 각각
라 고 할 때,
의 값을 구하시오.57.
그림과 같이
AB
BC
이고∠ABC
인 직각이등변삼각형ABC
가 있다. 점P
는 점A
를 출발하여 선분AC
를 따라
초에
만큼의 일정 한 속력으로 점C
를 향해 움직이고, 점Q
는 점B
를 출발하여 선분AB
를 따라
초에
만큼의 일정 한 속력으로 점A
를 향해 움직이고 있다. 두 점P Q
가 각각 점A
와 점B
를 동시에 출발 할 때, 출발한 지
초 후 두 점P Q
사이의 거리를
라고 하자. ≤ ≤
일 때,
의 최솟값을 구하시오.58.
그림과 같이
AB
,
AD
인 직사각 형ABCD
가 있다. 변AB
의 중점을M
, 변BC
의 중점을N
이라 하고 직사각형ABCD
를 직선MN
을 접는 선으로 하여 접었을 때, 점B
가 접힌 점을E
라고 하자. 점D
와 직선EM
사이의 거리는? (단,점E
는 직사각형ABCD
의 내부에 있다.) ①
②
③
④
⑤
59.
그림과 같이 점A
에서 직선
에 내린 수선의 발을A′
, 점B
에서 직선
에 내린 수선의 발을B′
이라고 하자. 선 분A′B′
을 두 선분AA′ BB′
의 길이의 비로 내분하는 점을P
라고 할 때,
의 값을 구하시오.60.
두 점A
,B
에 대하여 선분AB
와
축과의 교61.
좌표평면 위의 두 점A B
에 대하여 선분AB
를
(
)으로 외분하는 점을Q
라 하자. 삼각형OAQ
의 넓이가
일 때,
의 값은? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
62.
삼각형ABC
의 변BC
위에
BD
CD
가 되도록 점D
를 잡을 때,
AB
AC
AD
CD
이 성립한다. 두 실수
의 합
의 값은? ①
②
③
④ 7 ⑤
63.
세 점A B C
이 한 직선 위에 있도 록 하는 모든 실수
의 값의 합을
라 할 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
64.
직선
이 직선
과는 수직이고, 직선
과는 평행할 때, 상수
에 대하여
의 값을 구하시오.65.
좌표평면 위의 두 점A B
에 대하여 선분AB
를
(
)으로 외분하는 점을Q
라 하자. 삼각형OAQ
의 넓이가
일 때,
의 값은? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
66.
그림과 같이 세 개의 정사각형이
축 위에 놓여 있다. 세 점A B C
는 한 직선 위에 있고, 가장 작은 정사각형의 한 변의 길이는
가장 큰 정사각형의 한 변의 길이는
이다. 이때, 세 점A B C
를 동시에 지나는 직선의 방정식이 될 수 있는 것은? ①
②
③
④
⑤
67.
그림과 같이 좌표평면에 세 점O B B
와 삼각형OAB
의 무게중심G
가 있다. 점G
와 직선OA
사이의 거리가
일 때,
의 값은? (단,
는 양수이다.) ①
②
③
④
⑤
68.
그림과 같이 원점을 지나는 직선
이 원점O
와 다섯 개의 점A
,B
,C
,D
,E
을 선분으로 이 은 도형OABCDE
의 넓이를 이등분한다. 이때 직선
의 기울기는
이다.
의 값은? (단,
는 서로소인 자연수이다.) ①
②
③
④
⑤
69.
점
를 지나고, 기울기가
인 직선의 방정식이
일 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
70.
좌표평면 위의 네 점A B C D
를 꼭 짓점으로 하는 사각형ABCD
가 마름모일 때, 삼각형ABC
의 무게 중심의 좌표를 구하시오.A
B
C
로 내분하는 점이 제
사분면 위에 있을 때, 실수
의 값의 범위를 구하시오. (단,
이다.)72.
삼각형ABC
의 두 꼭짓점A B
의 좌표가 각각
이고, 삼각형ABC
의 무게중심이 점G
일 때, 선분OC
의 길이는? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
73.
그림과 같이 좌표평면 위에 모든 변 이
축 또는
축에 평행한 두 직사각형ABCD EFGH
가 있다. 기울기가
인 한 직선이 두 직사각형ABCD EFGH
의 넓이를 각각 이등분할 때,
의 값 을 구하시오.74.
두 직선
,
이 이루는 각을 이등분하 는 직선의 방정식을 구하시오.75.
그림과 같이 좌표평면 위에 마름모ABCD
가 있다. 두 점A
,C
의 좌표가 각각
,
이고, 두 점B
,D
를 지나는 직선
의 방정식이
일 때,
의 값을 구하시오. (단,
,
는 상수이다.)
만큼,
축의 방향으로
만큼 평행이동한 원을
라 하자. 원
의 넓이가 직선
에 의하여 이등분되도록 하는 상수
의 값은? ①
②
③
④
⑤
77.
두 점A
B
에 대하여
,AB
일 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
78.
그림과 같은 직사각형ABCD
의 넓이를 이등분하는 직선
이 점
를 지날 때, 직선
의 기울기는? ①
②
③
④
⑤
79.
그림과 같은 두 직사각형의 넓이를 동시에 이등분하는 직선의 방정식이
일 때, 두 상수
의 곱
의 값은? ①
②
③
④
⑤
80.
세 점O A B
를 꼭짓점으로 하는 삼각형OAB
가 다음 조건을 만족시킬 때,
의 값은?81.
모든 실수
에 대하여
이 항상 실수가 되도록 하는 모든 정수
의 값의 곱은? ①
②
③
④
⑤
82.
평면 위에 반지름의 길이 가
인 원 O 가 있다. 그림은 원 O 위의 두 점 A C 와 원 내부의 점 B 를 잡아 AB , BC , ∠ABC ° 가 되도록 원과 원의 내부의 일부를 잘라낸 도 형이다. O B 이라 할 때, 의 값을 구하시오.83.
그림과 같이 세 꼭짓점이A
,B
,C
인 삼각형ABC
에서∠A
의 내각의 이등분선이 변BC
와 만나는 점을P
라고 할 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
84.
두 직선
이 제
사분면에서 만 나도록 하는
의 값의 범위가
일 때,
의 값을 구하시오.85.
그림과 같이 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 각 꼭짓점을A B C D
라 하면
BC
이다.∠EBC
가 되도록 변 위에 점E
를 정하고 선분BE
를 따라 이 종이를 접으 면 점C
는 점C′
으로 옮겨진다. 점C′
과 대각선BD
사이의 거리가
일 때,
의86.
그림과 같이 정사각형ABCD
의 내부에
AP
,
BP
,
CP
을 만족시키는 점P
가 있다. 정사각형ABCD
의 한 변의 길이는? ①
②
③
④
⑤
87.
그림과 같은 평행사변형OABC
의 두 꼭짓점A C
를 지나는 직선
이
축,
축과 만나는 점을 각각P Q
라고 하자. 두 점A B
의 좌표가 각각A
,B
일 때, 삼각형OPQ
의 넓이는? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
88.
그림과 같이 좌표평면에서 점A
과 직선
위의 서로 다른 두 점B C
가
AB
AC
를 만족시킨다. 선분BC
의 중점이
축 위에 있을 때, 양수
의 값은? ①
②
③
④
⑤
89.
그림과 같이 수직으로 만나는 두 직선 도로가 있다. 두 도로가 만나는 지점인O
에서A
는 서쪽으로km
,B
는 남쪽으로
떨어진 지점에 있다.A
는 시속km
의 일정한 속력 으로 동쪽 방향,B
는 시속
의 일정한 속력으로 북쪽 방향을 향해서 동시에 출발하였다. 출발한 지
시간 후의A B
사이의 거리를
라고 할 때,
≤
을 만족시키는
의 값의 범위는? (단, 도로의 폭은 생각하지 않는다.) ①
≤ ≤
②
≤ ≤
③
≤ ≤
④
≤ ≤
⑤
≤ ≤
점을 각각
A B
, 직선
가
축,
축과 만나는 점을 각각C D
라 하고 두 직선
,
의 교점을P
라고 하자. 두 삼각형ACP BDP
의 넓이가 서로 같고
OA
AC
이다. 직선
의 기울기가
일 때, 직선
의 기울기는? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
91.
어느 지역에 그림과 같이 도로A
와 도로B
가C
지점에서
를 이루며 만난다.C
지점을 기준으로 동쪽으로km
, 북쪽으로km
떨어진 지점에 물류창고가 있다. 이 물류창고와 도로B
사이 의 거리가 최소가 되도록 새로운 도로D
를 건설하려고 할 때, 도로D
의 길이는 ? (단, 도로의 폭은 생각하지 않는다.) ①km
②
km
③km
④
km
⑤
km
92.
그림과 같이
축, 직선
, 직선
로 이루어진 삼각형의 내부의 점P
에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리가 같을 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
B
에 대하여∠AOB
의 이등분선이 선 분AB
와 만나는 점P
의 좌표는P
이다.
의 값은? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
94.
좌표평면 위의 점A
을 꼭짓점으로 하는 정삼각형ABC
의 무게중심이 점G
일 때, 정삼각형ABC
의 넓이를 구하시오.95.
두 점A B
에서 같은 거리에 있는
축 위의 점P
의 좌표를 구하시오.96.
그림과 같이 한 변의 길이가
인 정사각형OABC
모양의 종이를 점O
가 원점에, 두점A C
가 각각
축,
축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았 다. 두점D E
는 각각 두 선분OC
,AB
를
로 내분하는 점이고, 선분OA
위의 점F
에 대하여
OF
이 다. 선분OC
위의 점P
와 선분AB
위 의 점Q
에 대하여 선분PQ
를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점O
는 선분BC
위의 점O′
으로, 점F
는 선분DE
위의 점F′
으로 옮겨졌 다. 이때, 좌표평면에서 직선PQ
의 방정식은
이다.
의 값은?(단,
은 상수이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) ①
②
③
④
⑤
97.
그림과 같이 직선
위의 점P
≠
에서
축,
축에 내린 수선의 발을 각각Q
,R
라 하고, 점P
를 지나고 직선QR
에 수직인 직선을
이라 하자. 위의 과정에서 (가)에 알맞은 식을
라 하고, (나), (다)에 알 맞은 수를 각각
라 할 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
98.
두 직선
이 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수
의 값의 합을 구하시오.99.
원점O
와 원
위의 점P
에 대하여 선분OP
를
로 내분하는 점Q
가 나타내는 도형의 방정식을
라 할 때,
의 값을 구하시오.100.
그림과 같이 원
을 접어서
에서
축에 접하도록 하였을 때, 직선PQ
의 방정식을 구하시오.101.
원
위에 두 점O
,A
가 있다. 이 원 위의 점P
에 대하여∠OAP °
일 때, 직선OP
의 기울기를 구하시오.102.
AB
,
AD
인 직사각형ABCD
가 있다. 그림과 같이 반지름의 길이가
이고 점A
,B
가 중심인 두 사분원과 변CD
의 중점M
이 중심인 반원이 점Q
,R
에서 동시에 접한다.
AB
의 중점을P
라 할 때, 삼각형PQR
의 넓이는
이다.
의 값은?
단,
는 서로소인 자연수
①
②
③
④
⑤
103.
그림과 같이 반지름의 길이가
인 원이 직선
에 접하면서 움직인 다. 점P
에서 화살표 방향으로 원 을 움직여 원이 점Q
에서 멈추었을 때의 원의 방정식은
이다. 이 때, 선분PQ
의 길이를 구하시오.104.
그림에서 원
와
축으로 둘러싸인 부분의 넓이를
, 직선
로 둘러싸인 부분의 넓이를
라 하자.
일 때,
의 값을 구하시오. 원
에 그은 두 접선이
축과 만나는 점을 각각B C
라 할 때, 삼각형ABC
의 넓이는? ①
②
③
④
⑤
106.
원점O
와 세 점A
,B
,C
를 꼭지점으로 하는 사각형OABC
의 둘레 위에 있는 임의의 점
에 대하여
의 최댓값을
, 최솟값을
이라 할 때,
의 값을 구하시오.107.
그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루어진 태극문양이 있다. 태극문양과 직선
이 서로 다른 다섯점에서 만나게 되는
의 범위는? ①
②
③
④
⑤
108.
원
에 접하는 기울기가 양수인 직선이
축,
축과 만나는 점을 각각A B
라 하고∆AOB
의 둘레의 길이의 합을
이라 할 때,
AB
의 길이를 구하시오. (단, 점O
는 원점이다.) 서 서로 수직이 되는 두 직선의 교점을P
라고 할 때, 점P
가 나타 내는 도형 위의 점과 직선
사이의 거리의 최댓값은
이다.
의 값은? (단,
와
는 서로소인 자연수이다.) ①
②
③
④
⑤
110.
지름AB
의 길이가
인 반원의 둘레 위에 한 점P
를 택할 때,
AP
BP
의 최댓값을 구하시오.111.
좌표평면에서 두 점A
,B
이 있다. 반지름의 길 이가
이고 선분AB
와 만나는 원의 중심을P
라 할 때, 선분OP
의 길이의 최댓값은
, 최솟값은
이다.
의 값은? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
A B P O A B C
O
112.
그림과 같이
와 직선
가 제
사분면에 있 는 원 위의 점P
에서 접할 때, ․
의 값을 구하시오.113.
원의 두 현AB CD
의 연장선이 만나는 점을P
라 하면
PA×
PB
PC×
PD
가 항상 성립한다. 이 원의 성질을 이용하여 원
과 직선
의 두 교점을 각각A B
라 할 때,
OA×
OB
의 값을 구하시오. (단, 점O
는 원점이다.)114.
그림과 같이 원
위의
사분면에 있는 임의의 점R
과
축 위의 점P
를 연결한 선분이
축과 만나는 점을Q
라 할 때,
PQ ․
PR
의 값은? ①
②
③
④
⑤
115.
두 원
에 대하여 두 원 밖의 한 점P
에서 두 원에 그은 접선의 길이가 항상 같을 때, 점P
의 자취의 방정식을 구하시오.116.
두 원
,
의 공통현의 길이 는? ①
②
③
④
⑤
117.
반지름의 길이가 1인 원의 중심에서
만큼 떨어져 있는 직선
위의 임의의 한 점P
에서 이 원에 두 접선을 그을 때, 접점A B
를 지나는 직선AB
는 점P
의 위치에 관계없이 한 점Q
를 지난다. 원의 중심에서 점Q
까지의 거리를
라 할 때,
의 값을 구하시오.118.
점A
를 지나는 직선이 원
과 점P Q
에서 만난다.
AP
PQ
일 때, 선분AP
의 길이를 구하시오.P
A
B
C
D
인 세 원이 서로 외접하고 있다. 중심이O
인 원이
축과 만나는 점 중
죄표가 음수인 점A
에서 중심이Q
인 원에 그은 접선의 접 점을B
라고 할때, 점P
와 직선AB
사이의 거리를 구하시오. ( 단,O
는 원점이고 점B
는 제
사분면 위의 점이다.)120.
두 원
의 중심을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식은? ①
②
③
④
⑤
121.
좌표평면에서 원
위를 움직이는 점A
와 직선
위를 움직이는 두 점B C
를 연결하여 삼각형ABC
를 만들 때, 정삼각형이 되는 삼각형ABC
의 넓이의 최솟값과 최댓값의 비는? ①
②
③
④
⑤
122.
점
를 지나는 직선과 원
이 만나서 생기는 현의 길이의 최솟값과 최댓값을 각각 구하시오. 에 동시에 접하는 네 원
,
,
,
의 반지름의 길이를 각각
,
,
,
라 하자. 직각삼각형ABC
의 넓이가
이고
일 때,
의 값을 구하시오.124.
그림과 같이 원
위 의 두 정점A
,B
과 원 위의 동점P
를 꼭짓점으로 하는 삼각형ABP
의 넓이의 최댓값 은
이다.
의 값을 구하 시오. (단,
는 서로소인 자연수이다.)125.
임의의 실수
에 대하여
,
이라 할 때,
가 그리는 자취의 길이는?126.
그림과 같이 한 변의 길이가
인 정사각형ABCD
에 내접하는 원이 있다. 선분BC
를
로 내분하는 점을P
라 하자. 선분AP
가 정사각형ABCD
에 내접하는 원과 만나는 두 점을Q P
라 할 때, 선분QR
의 길이는? ①
②
③
④
⑤
127.
직선
이 원
과 서로 다른 두 점P Q
에서 만날 때,
OP ․
OQ
의 값은?
단,O
는 원점
①
②
③
④
⑤
128.
이차함수
의 그래프와 원
에 동시에 접 하는 직선이
일 때,
의 값을 구하시오. (단,
,
는 상수이고
이다.)129.
중심이 직선
위에 있고
축에 접하며 점
를 지 나는 원은 두 개 있다. 이 두 원의 반지름의 길이의 합을 구하시오.130.
원 밖의 한 점A
에서 원
에 그은 두 접 선이 수직일 때, 모든 상수
의 값의 합은? ①
②
③
④
⑤
131.
중심이 제
사분면 위에 있 고, 반지름의 길이가
인 원C
가
축,
축에 동시에 접한다. 점A
와
축 위의 한 점B
를 지나는 직선이 빗금 친 부분과 어 두운 부분의 넓이를 같게 할 때, 직선AB
의 기울기를 구하시오.132.
점P
에서 원
에 그은 접선의 접점을Q
라고 할 때, 선분PQ
의 길이는? ①
②
③
④
⑤
O A C B접점을 각각
B
라고 할 때, 사각형OBPA
의 넓이는? (단,O
는 원점이다.) ①
②
③
④
⑤
134.
그림과 같이 두 점A
,B
와 원
위의 점P
를 꼭짓점으로 하는 삼각형ABP
의 넓이를
라고 하자.
가 정수가 되도록 하는 점P
의 개수는? ①
②
③
④
⑤
135.
원
이
의 둘레를 이등분할 때, 모든
의 값의 곱은? ①
②
③
④
⑤
136.
두 점A B
가 있다. 원
위의 점P
에 대하여 삼각형PAB
의 넓이 의 최솟값을 구하시오. 원
에 그은 두 접선의 기울기를 각각
라고 할 때,
의 값은? ①
②
③
④
⑤
138.
제
사분면에서
축,
축 및 직선
에 접하는 두 원의 넓이의 합은? ①
②
③
④
⑤
139.
두 정점A B
에 대하여
AP
BP
인∆PAB
의 최대 넓이를 구하시오.140.
그림과 같이 두 점 A , B 을 지나고 반지름의 길이가 인 원이 있다. 원점 O 와 원 위를 움직이는 점 P 에 대하 여 선분 O P 의 길이가 정수가 되게 하는 점 P 의 개수를 구하시오. (단, 원의 중심은 제 사분면에 있다.)<정답과 풀이>
51. 정답 : ③ AC 의 중점은 M
, BD 의 중점은 M′
따라서 , 52. 정답 : 구하는 점 P 의 좌표를 라 하면 AP , BP , CP 이므로 AP BP CP 즉 , 일 때, AP BP CP은 최솟값 를 가지므로 구하는 점 P의 좌표는 이다. 53. 정답 : ④ ∠ 이므로 중선정리에 의해서, , , ∴ 54. 정답 :
절편이
,
절편이
인 직선의 방정식은
⋯ ㉠
두 점
,
이 ㉠위에 있으므로
∴
∴
∴ ×
55. 정답 : ③ 56. 정답 :
57. 정답 :
58. 정답 : ④59. 정답 :
60. 정답 :
아야 하므로
∴
근과 계수와의 관계에 의해 실수
의 합은
이다.∴
64. 정답 : 직선
이 직선
과 수직이므로⋅ ⋅
∴
직선
이 직선
과 평행이므로
≠
∴
∴
⋅
65. 정답 : ④A
,B
,C
라 두 면,A
,B
,C
가 한 직선 위에 있으므로
,
, ∵
따라서, 기울기
이고,A
를 지나는 직선의 방정식은
이다.A
B
C
67. 정답 : ① 68. 정답 : ②O
A
B
C
D
E
R
P
Q
직선
과 선분CD
의 교점을P
라 하고P
에서
축,
축에 내린 수선의 발을 각각Q R
이라 하면 삼각형OQP
의 넓이와 삼각형OPR
의 넓이가 서로 같으므로 사각형ABCQ
와 사각형DERP
의 넓이가 서로 같다. 따라서 ×
ER ×
에서
ER
이고P
이므로 직선
의 기울기는
이다.∴
71. 정답 :
72. 정답 : ④ 73. 정답 :
74. 정답 : 75. 정답 : 4 직선
은 선분AC
의 수직이등분선이다. (직선AC
의 기울기)
직선
은 기울기가
이고 점
를 지나므로 직선
의 방정식은
∴
,
따라서
D A 76. 정답 : ⑤ 원
의 방정식은
원
의 넓이가 직선
에 의하여 이등분되려면 원
의 중심이 직선
위에 있어야 한다. 원
의 중심의 좌표가
이므로 ×
에서
77. 정답 : ④ 78. 정답 : ③ 79. 정답 : ③ 80. 정답 : ④ 81. 정답 :
모든 실수
에 대하여
이 항상 실수가 되려면 모든 실수
에 대하여 부등식
의 판별식을
라고 하면
≤
따라서 ≤ ≤
. 그러므로 구하는 정수
의 값은
× × × ×
82. 정답 :
그림과 같이 원 O 의 중심을 좌표평면의 원점으로 하고 점 A 의 좌표를 로 놓으면, 점 B 와 점 C 의 좌표는 각각 이다. 한편, O A
이므로 ⋯ ㉠ 또한 O C
이므로 ⋯ ㉡ ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면, 또는 이다. 이때, 점 B 의 좌표는 또는 이다. 그런데 은 원 내부의 점이 아니므로 조건을 만족시키는 점 B 의 좌표는 이다. 따라서 O B
이므로84. 정답 :
의
절편은
절편은
이므로 그래프는 아래 그림과 같다.
과 제
사분면에서 만날 때는 아래 그림의 ㉠, ㉡사이에 위치해야 한다. (ⅰ) 점
을 지날 때 :
에서
(ⅱ) 점
를 지날 때 :
에서
∴
따라서,
이므로
85. 정답 :
87. 정답 : ③88. 정답 : ③ 89. 정답 : ④ 90. 정답 : ③ 91. 정답 : ⑤ 92. 정답 : ② 93. 정답 : ③
95. 정답 :
라 하자.
, . ∴ . ∴ P
96. 정답 : ⑤ 97. 정답 : ③98. 정답 : 두 직선 이 서로 수직이 되기 위해서는 ⋅ 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 의 값의 합은 이다 99. 정답 :
100. 정답 :
접혀진 원은 중심이
이고 반지름이
인 원의 일부이다. 즉
이고 직선PQ
는
와
의 공통현이다. 공통현의 방정식은
에서
일 때 이므로
∴
101. 정답 :
∠OAP
이므로 현OP
는△OAP
의 외접원의 지름이다. 따라서 직선OP
는 원의 중심을 지난다.
을 변형하면
102. 정답 : ②
중심이 M 인 반원이 두 사분원과 동시에 접하므로 AM BM 삼각형 ABM 은 이등변삼각형이므로 MP ⊥ AB AM , MR 이므로 ∆ABM ∆RQ M 삼각형 RQ M 의 높이를 라 할 때, AB RQ MP ∆P Q R × RQ ×
P M
× ×
∴ 103. 정답
점
는 원
과 직선
의 접점이므로
⋅
∴
따라서 점
의 좌표는
이므로
104. 정답 75 이면, 중심 에서 직선 까지 거리는 이다. 따라서
이고 이다. ∴ 105. 정답 : ③ 접점을 P 이라고 하면 접선의 방정식은 이 접선이 점 A 를 지나므로 … ㉠ 접점 P 은 원 위에 있으므로 … ㉡ ㉠과 ㉡을 연립해서 풀면
또는
접선의 방정식은 또는 [출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기
라 하면
는 중심이
이고 반지름이
인 원이다. 최대값은B
또는C
를 지날 때이므로
∴
최대값
최소값은 점A B
를 지나는 직선
과 접할 때이므로
× ×
∴
최소값
따라서
107. 정답 : ④ 은 항상 을 지나고 주어진 도형과 개의 교점에서 만나는 경우는 인 반원과 두 점에서 만나는 경우이다. 따라서 기울기 이고 , 과 접할 때는 에서 직선까지의 거리가 일 때 이므로
, , , 이므로 기울기
, 이므로
. [다른 풀이] 주어진 직선은 값에 관계없이 을 지난다. 서로 다른 개의 교점을 가질 때는 과 사이의 직선인 경우이다. 의 경우 기울기는 이다. 의 경우 과 이 접 할 때이다. , , . 즉 , 이때 구하는 는 양수 이므로
∴
108. 정답 :
110. 정답 :
AP
,
BP
라 하면
를 만족하는
,
에 대하여
라 하면
의 최대값은 원에 접할 때이다. 원의 중심
에서 직선
까지의 거리가
∴
× ×
(
)∴
111. 정답 : ④112. 정답 : 25 [다른 풀이] 113. 정답 :
114. 정답 : ③ 원과 축의 다른 교점을 P ′ 라 하자. ∆P O Q ∆P RP ′ AA닮음 P Q P P ′ P O P R , P Q ㆍ P R P P ′ㆍ P O × ∴ P Q ㆍ P R 115. 정답 :
116. 정답 : ⑤원의 중심을 원점에 두고, 직선 이 축에 평행하도록 하면 직선 의 방정식은 점 에서 원에 그은 두 접선의 접점의 좌표를 라 하면, 접선의 방정식은 두 접선 모두 점 를 지나므로 직선 은 두 점 를 지나고, 두 점을 지나는 직선은 유일하므로 직선 의 방정식은 이 직선은 의 값에 관계없이 항상 한 정점
을 지난다. 따라서 원의 중심에서 점 까지의 거리 이다. ∴ 118. 정답 :
119. 정답 :
120. 정답 : ③ 121. 정답 : ③ 원 위를 움직이는 점 A 와 직선 사이의 거리를 구하고자 하는 정삼각형의 높이이고, 원점과 직선 사이의 거리는
. 정삼각형의 넓이가 최소일 때는 삼각형 ABC이고 높이는 122. 정답 :
123. 정답 : 14124. 정답 :
중심 O 에서 변 AB 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 두 점 A B 를 지나는 직선의 방정식이 이므로 O H
∴ ∆P AB ≤ × AB ×
O H
∴ [별해] 선분 AB 의 중점을 M 이라 하면 M
이고, O M
따라서 ∆P AB 의 넓이가 최대일 때 높이는
이다. AB
이므로 ∆P AB 의 최댓값은
이다. 125. 정답
이므로
,
이다. 이 식을
에 대입하면∴
이므로 자취는 중심이
이고 반지름이
인 원이다. 따라서 자취의 길이는 원의 둘레의 길이
이다. 126. 정답 : ⑤ 127. 정답 ① [출제의도] 할선의 성질을 이용하여 원과 직선사이의 관계에 대한 문 제 해결하기 원의 방정식은
원이
축과 접하고 접점을R
이라 하면 할선과 접선의 성질에 의해아래 그림과 같이 ⅰ) 직선
가 이차함수
의 그래프에 접하므로 이차 방정식
의 판별식은
이다. 그러므로
⋯ ①
ⅱ) 직선
가 원
에 접하므로
이다. 그러므로
⋯ ②
①
,②
를 연립하여 풀면,
,
이다. 따라서
O
129. 정답 :
중심이 직선
위에 있으므로 원의 중심은
라고 할 수 있고,
축에 접하므로 반지름은
이다. 그리고
이 원이
를 지나므로
∴
따라서 두 원의 반지름은
이다. 따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은
이다. 130. 정답 : ③
131. 정답 :
132. 정답 : ③ 133. 정답 : ① 134. 정답 : ④선분 AB 는 기울기가 이며 A 을 지나므로 , 이다. 그리고 원의 방정식의 표준형은 이므로 원의 중심은 이고 반지름의 길 이는 이다. AB 를 삼각형 P AB 의 밑변으로 한다면 높이는 원의 중심 에 서 직선 까지 거리에서 원의 반지름 을 뺀 것과 같다. AB
