를 만족시키는 정수
의 최댓값이
일 때, 정수
의 값은? ①
②
③
④
⑤
2.
부등식
를 만족시키는 정수
의 개수를 구 하시오.3.
이차부등식
의 해가
가 되도록 하는 두 상수
의 곱
의 값은? ①
②
③
④
⑤
4.
이차부등식
을 만족시키는 정수
의 개수는? ①
②
③
④
⑤
5.
이차함수
에 대하여 이차부등식
을 만족시키는 해가 없도록 하는 정수
의 개수는? ①
②
③
④
⑤
≤ ≤
일 때,
의 값을 구하시오.7.
이차부등식
≤
의 해가 단 하나 뿐일 때, 그 해를 구하시오. (단,
는 실수이다.)8.
에 대한 이차부등식
이 모든 실수
에 대하여 성립하도록 하는 모든 정수
의 값의 합은? ①
②
③
④
⑤
9.
이차부등식
의 해가
일 때, 이차부등식
≤
의 해 중에서 정수의 개수는? ①
②
③
④
⑤
10.
≤ ≤
에서 이차부등식
≤
가 항상 성 립할 때, 실수
의 최솟값을 구하시오.11.
부등식
≥
의 값을 구하시오. (단,
는
보다 크지 않은 최대의 정수이다.)12.
실수
에 대하여
일 때, 대소 관계가 항상 성립하는 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ.
ㄴ.
ㄷ.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ13.
두 이차함수
,
에 대하여 연립부등식
≤
의 해가 ≤
일 때, 부등식
을 만족시키는 정수
의 개수는? (단,
는 실수이다.) ①
②
③
④
⑤
14.
이차방정식
의 서로 다른 두 실근을
라고 하자.
,
가 성립할 때, 양수
의 값의 범위는? ①
②
③
④
⑤
15.
연립부등식 ≤
를 만족시키는 모든 정수
의 값의 합은?16.
실수
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? <보기> ㄱ.
이면
이다. ㄷ.
이면
이다. ㄴ.
이면
이다. ㄹ.
이면
이다. ① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, ㄷ ③ ㄷ, ㄹ ④ ㄴ, ㄹ ⑤ ㄱ, ㄷ17.
이차부등식
≥
의 해가
뿐일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은? (단,
는 실수이다.) <보기> ㄱ.
ㄴ.
ㄷ.
의 해는 모든 실수이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ18.
연립부등식
을 만족시키는 정수 해의 개수가
가 되도록 하는 모든 정수
의 값의 합은? ①
②
③
④
⑤
19.
일 때,
,
,
의 대소를 바르게 비교한 것은? ①
②
③
④
⑤
20.
이차방정식
의 두 근이 모두 양수가대한 이차방정식
의 두 실근을
라고 하자.
를
에 대한 식으로 나타낸 것은? (단,
는 상수이다.) ①
②
③
④
⑤
22.
이차함수
의 그래프는 그림과 같이 두 점
을 지난다. 상수
에 대하여 부등식
≤
의 해가 ≤ ≤
일 때, 부등식
≤
의 해는 ≤ ≤
이다. 두 상수
의 합
의 값은? ①
②
③
④
⑤
23.
부등식
≤
을 만족시키는 실수
가 존재하도 록 하는 실수
의 최댓값을 구하시오.24.
부등식
을 만족하는 실수
가 존재하기 위한 실수
값의 범위를 구하시오.25.
등식
를 만족시키는 실수
에 대하여 부등식
≤
의 해는 ≤ ≤
또는
이다. 세 실수
의 합
의 값을 구하시오. (단,
는
보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 연립이차부등식
의 해가 존재하도록 하는 양의 정수
의 개수는? ①
②
③
④
⑤
27.
어느 책 대여점에서는 회원과 비회원에 대한 책 대여료를 다음 과 같은 방식으로 계산한다. 구분 회원 가입비 한 권당 대여료 회원
원
원 비회원 없음
원 회원으로 가입하여 이용할 경우 책을
권 이상 빌리면 비회원으로 빌릴 때보다 돈이 덜 든다고 한다.
의 최솟값을 구하시오.28.
모든 실수
에 대하여 부등식 ≤ ≤
가 성 립할 때, 점
가 나타내는 선분의 길이는
이다. 서로소인 두 자연수
의 합
의 값은? (단,
는 실수 이다.) ①
②
③
④
⑤
29.
부등식 ≤
을 만족하는 자연수
의 개수가
개일 때, 실수
의 최솟값을 구하시오.30.
에 대한 이차방정식
이 서로 다 른 부호의 두 실근을 가진다. 양의 근의 절댓값이 음의 근의 절댓값 보다 클 때, 실수
의 값의 범위는? ①
②
③
④
⑤
또는
31.
부등식
의 해가 존재하기 위한 실수
의 값의 범위는? ①
② ≤
③
④ ≥
⑤ ≤
32.
에 대한 이차방정식
이 임의의 실수
에 대하여 실근이 존재할 때,
의 값 또는 범위를 구하시오.33.
에 대한 이차부등식
의 해가
일 때,
에 대한 이차부등식
의 해는
이다. 이때
의 값은? ①
②
③
④
⑤
34.
이차함수
에 대하여
을 만족시키는 모든 정수
의 값의 합은? ①
②
③
④
⑤
35.
이차부등식
이 모든 실수
에 대 하여 성립할 때, 정수
의 개수를 구하시오.36.
최고차항의 계수가 각각
인 두 이차함수
,
가 다음 조건을 만족시킨다.가
두 함수
와
의 그래프는 직선
를 축으 로 한다.나
부등식≥
의 해는 ≤ ≤
이다. ×
의 값을 구하시오. (단,
는 상수이다.)37.
두 실수
,
에 대하여
,
일 때, 다음 중 대 소를 비교한 것으로 옳지 않은 것은? ①
②
③
④
⑤
38.
연립부등식
≥
≤
의 해가 ≤ ≤
이다.
의 값을 구하시오.
≤ ≤
가 성립할 때,
의 값은? (단,
은 상수이다.) ①
②
③
④
⑤
40.
최근 어린이 비만이 사회문제로 크게 대두되고 있다. 키와 몸무 게를 이용하여 비만의 정도를 추정하는 체질량지수(BMI
)는 몸무게 (kg
)를 키(m
)의 제곱으로 나눈 값이다. 다음은 체질량지수를 나타낸 표이다. 키가 cm
이고 체질량지수가
인 비만 어린이가 몸무 게를 감량하여 정상범위에 들어가려고 한다. 이 어린이가 감량하려는 몸무게가
(kg
) 일 때, 자연수
의 최솟값을 구하시오.41.
에 대한 일차부등식
의 해가 이다. 이를 만족하는 양수 , 에 대하여 의 값을 구하시오. (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) 지나고, 이차함수 의 그래프는 직선 을 축으로 한다. 두 함수 와 의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표가 각각 , 일 때, 방정식 의 모든 실근의 곱을 구하시오. (단, 두 함수 , 의 최고차항의 계수는 양수이다.) O 43.
부등식 의 해는? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① ≦ ② ≦ ③ ≦ ④ ≦ ⑤ ≦ 44.
최고차항의 계수가 각각 , 인 두 이차함수 , 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 두 함수 와 의 그래프는 직선 를 축으로 한다. (나) 부등식 ≥ 의 해는 ≤ ≤ 이다. × 의 값을 구하시오. (단, 는 상수이다.)45.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 의 그래프는 다음과 같다. O
함수
를
라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
< 보 기 >
ㄱ. 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다. ㄴ. 방정식 은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 부등식 ≤ 의 해는 ≤ ≤ 이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ46.
이차항의 계수가 음수인 이차함수 의 그래프와 직선 이 두 점에서 만나고 그 교점의 좌표가 각각 과 이다. 이때, 이차부등식 을 만족시키는 모든 정수 의 값 의 합은? ① ② ③ ④ ⑤ 47.
연립부등식
≤ ≤ ≤ 을 만족하는 정수 의 개수는? (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 48.
그림은 두 점 , 을 지나는 이차함수 의 그래프를 나타낸 것이다. 부등식
≤ 의 해가 ≤ ≤ 일 때, 상수 의 값은? O ① ② ③ ④ ⑤ 49.
모든 실수 에 대하여 부등식 ≤ ≤ 이 성립할 때, 점 가 나타내는 도형의 길이는? ① ② ③ ④ ⑤ 50.
수직선 위의 두 점 A B 에 대하여 점 P 가 AP BP ≤ 을 만족시킬 때, 선분 O P 의 길이의 최댓값과 최솟 값의 합은? (단, O 는 원점이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 1. 정답 ③
의 해는
이므로 정수
의 최댓값이
가 되기 위해서는 ≤
즉, ≤
이다. 따라서 정수
의 값은
이다. 2. 정답
(ⅰ)
일 때,
에서
(ⅱ) ≤
일 때,
가 항상 성립하므로 ≤
(ⅲ) ≥
일 때,
에서 ≤
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 부등식
의 해는
이다. 따라서 정수
는
,
,
,
이므로 개수는
이다. 3. 정답 ① 해가
이고 이차항의 계수가
인 이차부등식을 구하면
이므로
이다. 따라서
4. 정답 ③
∴
따라서 정수
의 개수는
5. 정답 ② 이차함수
이고 이차부등식
에서 주어진 이차부등식을 만족시키는 해가 없으려면 이차함수
의 그래프가
축과 한 점에서 만나거나 만나지 않아 야 한다. 이차방정식
의 판별식을
라 할 때,
≤
이므로 ≤ ≤
따라서 정수
의 개수는
6. 정답
부등식 ≤
의 해가 ≤ ≤
이므로 이차함수
는
이고,
이므로
따라서
이므로
7. 정답
또는
이차부등식
≤
의 해가 하나뿐이므로
∴
또는
(i)
일 때, 주어진 부등식은
≤
,
≤
∴
(ii)
일 때, 주어진 부등식은
≤
,
≤
∴
이상에서 주어진 부등식의 해는
또는
[참고] 문제에서 주어진 조건은 해가 단 하나뿐인데 답이
또는
의 두 개이므로 모순이라고 오해하기 쉽다. 하지만
일 때 주어진 부등식은 오직 단 하나의 실근
를 갖고,
일 때 주어진 부등식은 오직 단 하나의 실근
를 가지므로 모 순이 아니다. 8. 정답 ①
이므로 모든 실수
에 대 하여 이차부등식이 항상 성립하기 위해서는
이어야 한다.∴
그러므로 모든 정수
의 값의 합은
이다. 9. 정답 ② 이차부등식
의 해가
이므로 (
)
∴
,
≤
⇔
≤
⇔ ≤
⇔ ≤ ≤
따라서 정수
의 개수는
의
개다. 10. 정답 :
11. 정답
또는 ≥
≥
에서
≥
≥
, ≥
∴≤
또는≥
∴
또는 ≥
12. [정답] ③
이므로
이다. ㄱ.
이므로
이다.(참) ㄴ. (반례)
이면
이므로
이다.(거짓) ㄷ.
의 양변을 제곱하여 좌변에서 우변을 빼면
이므로
이다.(참) 13. 정답 ④ 14. 정답 15. 정답 : ④ 16. 정답 : ④ 17. 정답 : ③ 18. 정답 ②
에서
,
,
이므로
,
,
∵
∴
,
,
이므로
. 20. 정답
21. 정답 ⑤
의 해가
이므로
, 즉
이때, 이차방정식
즉,
또는
.
이고
이므로
.∴
22. 정답 ④ 23. 정답 :
24. 정답
25. 정답 :
26. 정답 : ③ 27. 정답
빌릴 책의 수를
이라 하면 회원으로 가입하여 빌릴 경우의 비용은
이고, 비회원으로 빌릴 경우의 비용은
이다. 따라서 비회원의 경우보다 회원으로 가입하여 빌릴 때 돈이 덜 들려면 29. 정답
≥
이므로 ≤
또는
.
가
개의 자연수이려면
는
보다 큰 자연수.∴
의 최솟값은
30. 정답 ① 따라서,
31. 정답 : ③32. 정답 :
실근이 존재하려면 주어진 이차방정식의 판별식을
이라 할 때
≥
,
≥
㉠이 모든 실수
에 대한 이차방정식
의 판별식을
라 하면
≤
,
≤
∴
33. 정답 : ④ 이차부등식의 해가
이므로 이차부등식
에서
이고
과 계수의 비가 같다.
라 하면
따라서
는
에서
이므로
이다.∴
. 따라서
34. 정답 : ③ 아래와 같다. 35. 정답 :
개
, 판별식
이면 된다.
이면
또는
⋯
㉠
이면
,
,
⋯
㉡ 식 ㉠, ㉡에서
이므로 정수
가 되어 한 개다. 37. 정답 : ③ ①
∴
②
∴
③
∵
∵
④
∵
∴
⑤
. ∴
38. 정답
부등식 ≥
의 해는 ≥
이고
≤
의 해는 ≤ ≤
이다. 그러므로 주어진 연립부등식의 해는 ≤ ≤
이다. 따라서
,
이므로
이다. 39. 정답 ② 모든 실수
에 대하여
≤
이므로
≥
이다.
의 판별식을
라 하면
≤
이다. 따라서 ≥
…… ① 이다. 모든 실수
에 대하여 ≤
이므로
≥
이다.
의 판별식을
′
라 하면
′
≤
이다. 따라서 ≤
…… ② 이다. 따라서 ①, ②에 의해
≤ ≤
…… ③
≤
≤
이다.
≤
이므로
이고 ③에서 ≤ ≤
이므로
이다. 따라서
이다. <참고>
,
,
이라 하면 모든 실수
에 대하여 ≤ ≤
가 성립하면 된다.
이므로
의 그래프와
의 그래프는 서로 접한다. 따라서 ≤ ≤
가 성립하기 위해서는 그림과 같이
의 그래프가
와
의 그래프에 동시에 접해야 한다. 따라서
에서
의 판별식을
라 하면
…… ① 이다.
에서
의 판별식을
′
라 하면
′
…… ② 이다. ①과 ②를 연립하면
이므로
이다. 40. 정답
키가m
이고 체질량지수가
이므로kg
을 감량하여 정상체중이 되기 위해서는 ≤
×
≤ ×
≤
이므로 자연수
의 최솟값은
이다. 41. 정답 이므로 이고 이다. 연립하여 풀면 , (은 양의 정수)라 하면 ≤ 이므로 ≤ 42. 정답 방정식 의 실근은 함수 와 의 그래프가 만나는 점의 좌표이다. ≥ 이고 의 그래프는 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 그래프이므로 와 의 그래프는 그림과 같다. 의 그래프와 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이므로 만나는 점의 좌표는 , ∴ 방정식 의 근은 또는 따라서 모든 실근의 곱은 O 43. 정답 ③ 에서 ∴ 이 때, 는 정수이므로 에서 ≦ 에서 ≦ 에서 ≦ 따라서 주어진 부등식의 해는 ≦ 44. 정답 최고차항의 계수가 각각 , 인 두 이차함수 , 의 그래프의 축은 직선 이므로 , 조건 (나)에서 ≤ ≤ × ∴ 따라서 × × × 45. 정답 ④
