0 7 y=ax+4에서

x절편：y=0을 대입하면 0=ax+4 ∴ x=-;a$;

y절편：x=0을 대입하면 y=4 그런데 a>0이므로 -;a$;<0

오른쪽 그림의 어두운 부분의 넓이가 4이므로

;2!;_;a$;_4=4 ∴ a=2 ^x

y

O 4

4a

-일차함수의 그래프의 성질

0 3

개념원리확인하기

01⑴ ㄱ, ㄴ, ㅁ ⑵ ㄷ, ㄹ ⑶ ㄱ, ㄴ, ㅁ ⑷ ㄹ 02⑴ a>0, b>0 ⑵ a<0, b>0 ⑶ a<0, b<0 03⑴ ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㄹ ⑵ ㄴ과 ㅁ

04⑴ a=-;3!;, b+-2 ⑵ a=-;3!;, b=-2

본문 230쪽

⑴ 그래프가 오른쪽 위로 향하는 직선은 (기울기)>0이 므로 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.

01

이런 문제가시험에 나온다

01^④ 02^② 03^{⑴ -6 ⑵ -3} 04⑴ 1 ⑵ 5 ⑶ 0 0520

06^{⑴ -2 ⑵ -17} 07²

본문 228쪽

0 1

x의 값이 2만큼 감소할 때, y의 값이 4만큼 증가하면

(기울기)= = =-2

이므로 기울기가 -2인 것을 찾는다.

4 -2 (y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량)

0 2

① y=-4x+1에 y=0을 대입하면 0=-4x+1 ∴ x=;4!;

② y=x-4에 y=0을 대입하면 0=x-4 ∴ x=4

③ y=4x-1에 y=0을 대입하면 0=4x-1 ∴ x=;4!;

④ y=2x-;2!;에 y=0을 대입하면 0=2x-;2!; ∴ x=;4!;

⑤ y=;2!;x-;8!;에 y=0을 대입하면 0=;2!;x-;8!; ∴ x=;4!;

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⑵ 그래프가 오른쪽 아래로 향하는 직선은 (기울기)<0 이므로 ㄷ, ㄹ이다.

⑶ x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 직선은 (기울기)>0이므로 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.

⑷ y축에 가장 가까운 직선은 기울기의 절댓값이 가장 커야 하므로 ㄹ이다.

⑴ 그래프가 오른쪽 위로 향하므로 기울기는 양수이다.

∴ a>0

또, y절편은 x축보다 위에 있으므로 b>0

⑵ 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 기울기는 음수이다.

∴ a<0

또, y절편은 x축보다 위에 있으므로 b>0

⑶ 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 기울기는 음수이다.

∴ a<0

또, y절편은 x축보다 아래에 있으므로 b<0 02

⑴ 서로 평행한 직선은 기울기는 같고 y절편은 달라야 하므로 ㄱ과 ㅂ, ㄷ과 ㄹ이다.

⑵ 서로 일치하는 직선은 기울기와 y절편이 각각 같아 야 하므로 ㄴ과 ㅁ이다.

03

⑴ 두 그래프가 서로 평행하려면 기울기는 같고 y절편 은 달라야 하므로 a=-;3!;, b+-2

⑵ 두 그래프가 서로 일치하려면 기울기와 y절편이 각 각 같아야 하므로 a=-;3!;, b=-2

04

핵심문제익히기

1ㄴ, ㄷ 2a<0, b>0 3⑴ ⑤ ⑵ -3 4⑴ -7 ⑵ -3

본문 231~232쪽 (확인문제)

1 ㄱ. x절편：0=-3x-;2!; ∴ x=-;6!;

y절편：y=0-;2!;=-;2!;

ㄴ. 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같으므로 제 2, 3, 4 사분면을 지난다.

ㄷ. 기울기가 - 이므로 x의 값의 증가량이 2이면 y의 값의 증가 량은 -6이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

;1#;

1 O 6

x y

--1 --2

2 그래프가 오른쪽 위로 향하므로 기울기는 양수이다.

즉, -a>0 ∴ a<0

또, y절편은 x축보다 아래에 있으므로 -b<0 ∴ b>0

3 ⑴ 두 일차함수의 그래프가 평행하려면 기울기는 같고 y절편은 달라야 한다.

y=-3x+1의 그래프의 기울기는 -3, y절편은 1 이므로 ⑤ y=-3x+2의 그래프와 평행하다.

⑵ 두 일차함수의 그래프가 평행하면 기울기가 같으므 로 a=2

y=2x-3의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로 b=2_(-1)-3=-5

∴ a+b=2+(-5)

=-3

4 ^{⑴ y=-} x+5의 그래프를 y축의 방향으로 a만큼 평 행이동하면

y=- x+5+a

이때 y=- x+5+a와 y=-;2!;x-2의 그래프가 일치하므로

5+a=-2

∴ a=-7

⑵ y=3ax-b의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행 이동하면 y=3ax-b+2

이때 y=3ax-b+2와 y=-6x+3의 그래프가 일 치하므로

3a=-6, -b+2=3

∴ a=-2, b=-1

∴ a+b=-3

;2!;

;2!;

;2!;

이런 문제가시험^{에 나온다}

01③ 02③ 03^-1 04;5(; 05² 06^①

본문 233쪽

0 1

두 일차함수의 그래프가 평행하려면 기울기는 같고 y절 편은 달라야 한다.

y=-2x+1의 그래프의 기울기는 -2, y절편은 1이다.

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0 4

두 일차함수의 그래프가 만나지 않는다는 것은 평행하 다는 뜻이므로 두 그래프의 기울기가 같고 y절편은 달 라야 한다.

즉, 2a-3=-3a+6에서 5a=9 ∴ a=;5(;

0 5

주어진 그래프의 기울기가 =2이므로 y=mx+1의 그래프의 기울기도 2이다.

∴ m=2

;3^;

0 6

y=ax-b의 그래프가 오른쪽 위로 향하므로 a>0이고 y절편은 x축보다 아래에 있으므로 -b<0, 즉 b>0이다.

y= x+a의 그래프에서 기울기는

>0이고 y절편은 a>0이므로 y= x+a의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다.

;aB;

;aB;

O y

x

;aB;

⑴ 높이가 올라감에 따라 기온이 변하므로 지면으로부 터의 높이를 x(m), 그 높이에서의 기온을 y(æ)로 놓는다.

⑵ 높이가 5 m씩 높아짐에 따라 기온이 0.5 æ씩 내려 가므로 1 m씩 높아짐에 따라 기온은 =0.1(æ) 씩 내려간다.

높이가 0 m일 때의 기온이 21 æ이므로 y를 x에 대 한 식으로 나타내면

y=21-0.1x

⑶ x=100이면 y=21-0.1_100=11 따라서 구하는 기온은 11 æ이다.

⑷ y=5이면 5=21-0.1x

∴ x=160

따라서 구하는 높이는 160 m이다.

0.5 5 02

핵심문제^익히기

1y=20-0.05x, 15.5 L 2y=580-20x, 29시간

본문 236쪽 (확인문제)

1 10분마다 0.5 L의 비율로 물이 흘러 나가므로 1분에는 0.05 L만큼 물이 흘러 나간다.

따라서 x분 후에 물통에 남아 있는 물의 양 y L는 y=20-0.05x

0 3

y=(a+2)x+a의 그래프를 y축의 음의 방향으로 -5 만큼 평행이동하면

y=(a+2)x+a-(-5)

이때 y=(a+2)x+a+5와 y=-x+b의 그래프가 일 치하므로

a+2=-1, a+5=b

∴ a=-3, b=2

∴ a+b=-1

일차함수의 활용

0 4

개념원리확인하기

01⑴ 0.1 ⑵ y=60-0.1x ⑶ 36 cm 02⑴ (x m 지점의) 기온 ⑵ 0.1, y=21-0.1x

⑶ 11, 11 æ ⑷ 160, 160 m

본문 235쪽

⑴ 양초의 길이는 20분마다 2 cm씩 줄어들므로 1분에 는 =0.1(cm)만큼 줄어든다.

⑵ 현재 양초의 길이가 60 cm이므로 y를 x에 대한 식 으로 나타내면

y=60-0.1x

⑶ 4시간, 즉 4_60=240(분) 후의 양초의 길이는 x=240일 때이므로

y=60-0.1_240=36

따라서 4시간 후의 양초의 길이는 36 cm이다.

;2™0;

01

0 2

^{① x절편：0=-};4!;x-2 ∴ x=-8

y절편：y=0-2=-2

② (기울기)= =-;4!;

③ 그래프를 그리면 오른쪽 그림 과 같으므로 제 2, 3, 4 사분 면을 지난다.

④ x=-12, y=1을 y=- x-2에 대입하면 1={-;4!;}_(-12)-2

⑤ y=- x-2와 y=-;4!;x+5의 그래프는 기울기 가 같고 y절편이 다르므로 서로 평행하다.

;4!;

;4!;

y

-2 -8

O x -2

8

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1시간 30분, 즉 90분 후에 남아 있는 물의 양은 x=90을 y=20-0.05x에 대입하면

y=20-0.05_90=15.5

따라서 구하는 물의 양은 15.5 L이다.

2 태풍이 시속 20 km로 이동하므로 x시간 동안 이동한 거리는 20x km이다.

따라서 x시간 후에 태풍의 중심과 서울 사이의 거리 y km는

y=580-20x

태풍의 중심이 서울에 도착하는 것은 서울까지의 거리 가 0 km일 때이므로 y=0을 y=580-20x에 대입하면 0=580-20x

∴ x=29

따라서 구하는 시간은 29시간이다.

이런 문제가시험에 나온다

01^{41 L}

02⑴ y=25-0.006x ⑵ 4 æ ⑶ 1000 m 03^{46 cm} 0420분 052초 06^{⑴ y=-};6!;x+30 ⑵ 20 cm ⑶ 180분

본문 237쪽

01

1 L의 휘발유로 10 km를 달릴 수 있으므로 1 km를 가 는데 0.1 L의 휘발유가 필요하다.

∴ y=50-0.1x

따라서 90 km를 달린 후에 남아 있는 휘발유의 양은 x=90을 y=50-0.1x에 대입하면

y=50-0.1_90=41

따라서 구하는 휘발유의 양은 41 L이다.

02

⑴ 높이가 100 m씩 높아질 때마다 기온은 0.6 æ씩 내 려가므로 1 m씩 높아질 때마다 기온은 0.006 æ씩 내려간다.

∴ y=25-0.006x

⑵ x=3500을 대입하면 y=25-0.006_3500=4 따라서 구하는 기온은 4 æ이다.

⑶ y=19를 대입하면 19=25-0.006x

∴ x=1000

따라서 구하는 높이는 1000 m이다.

0 3

10 g마다 4 cm가 늘어났으므로 1 g의 물건을 달면 용 수철의 길이가 cm만큼 늘어난다.

따라서 무게가 x g인 물건을 달았을 때, 용수철의 길이 를 y cm라 하면

y=30+;5@;x x=40을 대입하면 y=30+;5@;_40=46

따라서 구하는 용수철의 길이는 46 cm이다.

;5@;

0 4

x분 후에 남아 있는 양초의 길이를 y cm라 하면 양초 A는 10분마다 8 cm씩 짧아지므로 1분에는 0.8 cm씩 짧아진다.

∴ y=40-0.8x

양초 B는 10분마다 5 cm씩 짧아지므로 1분에는 0.5 cm 씩 짧아진다.

∴ y=34-0.5x

두 양초의 길이가 같아지므로 40-0.8x=34-0.5x

∴ x=20

따라서 두 양초의 길이가 같아지는 것은 20분 후이다.

0 5

x초 후의 △ABP의 넓이를 y cm¤ 라 하면 BP”=3x(cm)이므로

y=;2!;_3x_12=18x y=18x에 y=36을 대입하면 36=18x ∴ x=2

따라서 △ABP의 넓이가 36 cm¤ 가 되는 것은 점 P가 점 B를 출발한 지 2초 후이다.

0 6

⑴ 주어진 그래프가 두 점 (0, 30), (180, 0)을 지나므로 (기울기)= =-;6!;

또, y절편이 30이므로 y=-;6!;x+30

⑵ x=60을 대입하면 y={-;6!;}_60+30=20 따라서 구하는 길이는 20 cm이다.

⑶ y=0을 대입하면

0=-;6!;x+30 ∴ x=180

따라서 초가 완전히 타 버리는 것은 180분 후이다.

-30 180

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06

f(-2)=(-3)_(-2)+6

=12

f {-;3!;}=(-3)_{-;3!;}+6

=7

∴ f(-2)-2f{-;3!;}=12-2_7

=-2

07

^(기울기)= =;5@;

∴ (y의 값의 증가량)=4 (y의 값의 증가량)

6-(-4)

08

⁼

=(기울기)=-;5#;

f(-3)-f(2) 1111112-3-2 (y의 값의 증가량)

1122211114(x의 값의 증가량)

09

y=3ax+4의 그래프를 y축의 방향으로 -7만큼 평행 이동하면

y=3ax+4-7

∴ y=3ax-3

이 그래프와 y=6x+b의 그래프가 일치하므로 3a=6, -3=b ∴ a=2, b=-3

∴ a-b=2-(-3)=5

10

y=-;3@;x+2에서

x=0일 때, y=2이므로 y절편은 2, y=0일 때, x=3이므로 x절편은 3이다.

따라서 두 점 (3, 0), (0, 2)를 직 선으로 연결하여 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

O 2

3 y

x

11

y=ax+b의 그래프가 y=- x-;3!;의 그래프와 평 행하므로

a=-;4#; ∴ y=-;4#;x+b 이 그래프가 점{2, ;2&;}을 지나므로

;2&;={-;4#;}_2+b ∴ b=5

∴ ab={-;4#;}_5=-:¡4∞:

;4#;

12

① 주어진 그래프는 두 점 (5, 0), (0, 2)를 지나므로 (기울기)= =-;5@;

② 주어진 그래프는 기울기가 - 이고 y절편이 2이므 로 y=-;5@;x+2이다.

x=-1, y=;;¡5™;;를 y=-;5@;x+2에 대입하면

;;¡5™;;={-;5@;}_(-1)+2

;5@;

2-0 0-5

02

① y=3x：일차함수

② y=;10{0;_500=5x：일차함수

③ y=;2!;_10_x=5x：일차함수

④ xy=30 ∴ y= ：일차함수가 아니다.

⑤ y=3000-400x：일차함수 32230x

03

^y=- x+1의 그래프를 y축의 방향으로 -7만큼 평 행이동하면

y=-;4!;x+1-7 ∴ y=-;4!;x-6

③ -:¡2£:={-;4!;}_2-6

;4!;

04

^{(기울기)= =-2}

이므로 기울기가 -2인 그래프를 찾으면 된다.

-4 5-3

05

두 일차함수의 그래프가 평행하려면 기울기는 같고 y절 편은 달라야 한다.

y=-3(x+1)+2에서 y=-3x-1 이므로 기울기는 -3이고 y절편은 -1이다.

③ y=3(1-x)+4=-3x+7

Step^{(기본문제)} 본문 238~239쪽

01ㄱ, ㅁ 02④ 03③ 04③ 05③ 06-2 074 08_-;5#; 095 10④ 11_-:¡4∞: 12②, ④ 13③

01

ㄴ, ㄹ. y=(x에 관한 이차식)의 꼴이므로 일차함수가 아니다.

ㄷ, ㅂ. x가 분모에 있으므로 일차함수가 아니다.

따라서 일차함수인 것은 ㄱ, ㅁ이다.

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13

240 g의 가스를 4시간 동안 연소시키므로 1시간에 60 g, 1분에는 1 g을 연소시킨다.

∴ y=240-x

Step^{(발전문제)} 본문 240~242쪽

01③ 02a=2, b=-6 03③ 04②

05_-;6%; 06② 07_-;3$; 08④ 09②

10① 11③ 12_:¡2∞: 138 146초 15④ 16② 175초 18y=-20x+90 193개 2028 m

01

^(기울기)= =;6!;, =;6!;

a+2=1 ∴ a=-1

a+2 6 a-(-2)

1-(-5)

02

그래프의 y절편이 -6이므로 b=-6

x절편이 3이므로 x=3, y=0을 y=ax-6에 대입하면 0=3a-6 ∴ a=2

03

주어진 그래프는 두 점 (-4, 0), (0, 5)를 지나므로 (기울기)= =;4%;

이 직선과 평행하므로 기울기 a=;4%;

∴ y=;4%;x+b

이 그래프의 x절편이 4이므로 x=4, y=0을 대입하면 0=;4%;_4+b ∴ b=-5

∴ 4a+b=4_;4%;-5=0 5-0 0-(-4)

04

오른쪽 위로 향하는 그래프는 기울기가 양수이고, 오른 쪽 아래로 향하는 그래프는 기울기가 음수이다.

또한, 그래프가 y축에 가까울수록 기울기의 절댓값은 크다.

따라서 주어진 그래프에서 ㉠, ㉡의 기울기가 음수이고,

05

y=;2!;x-3에서

y=0일 때, x=6이므로 x절편은 6이다.

y=3x+5에서

x=0일 때, y=5이므로 y절편은 5이다.

따라서 x절편은 6, y절편은 5인 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 구하는 기울기는 -;6%;이다.

O 5

6 x y

06

두 점 (-2, -8), (k, 4)를 지나는 직선의 기울기와 두 점 (k, 4), (4, 10)을 지나는 직선의 기울기는 같으 므로

= , =

12(4-k)=6(k+2), 18k=36 ∴ k=2 6 4-k 12

k+2 10-4

4-k 4-(-8)

k-(-2)

07

y=ax-3의 그래프가 y=2x-5의 그래프와 평행하므 로 a=2 ∴ y=2x-3

y=2x-3의 그래프는 y=bx+1의 그래프와 x축 위에 서 만나므로 두 그래프의 x절편은 서로 같다.

y=2x-3에서 y=0일 때, x= 이므로 x절편은 이다.

따라서 x= , y=0을 y=bx+1에 대입하면 0= b+1 ∴ b=-;3@;

∴ ab=2_{-;3@;}=-;3$;

;2#;

;2#;

;2#;

;2#;

08

^{a=(기울기)=} =;2#;

b=(y절편)=-3 ∴ y=;2#;x-3

① y=0일 때, x=2이므로 x절편은 2이다.

② 기울기가 양수이므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

③ -15= _(-8)-3이므로 점 (-8, -15)를 지난다.

④ △OAB=;2!;_2_3=3

⑤ 기울기는;2#;이다.

y

-3 O 2 x

A

B

;2#;

-3-0 0-2

09

주어진 그래프가 오른쪽 아래로 향하므로 기울기는 음 수이다. ∴ a<0

㉡의 기울기의 절댓값이 ㉠보다 크므로 ㉡의 기울기가 가장 작다.

③ x절편은 5, y절편은 2이다.

④ y=- x+2의 그래프와 y=- x-2의 그래프는 기울기가 같고 y절편이 다르므로 서로 평행하다.

⑤ x의 값이 5만큼 증가할 때, y의 값은 2만큼 감소한다.

;5@;

;5@;

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11

m, n은 기울기의 부호가 서로 같으나 l은 다르다.

따라서 ㉢의 그래프는 l이다.

즉, -a>0, b-3>0에서 a<0, b>3 또한, m, n 중 y절편이 큰 것은 m이다.

b>3이므로 ㉠의 그래프가 m, ㉡의 그래프가 n이다.

12

^y= x+3의 그래프의 x절편은 -2, y절편은 3이고, y=-x+3의 그래프의 x절편은 3, y절편은 3이므로 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이는

;2!;_5_3=:¡2∞:

y

O 3

3

-2 x

y=;2;

y=-x+3 3x+3

;2#;

13

네 일차함수의 그래프를 그 리면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 네 직선으로 둘러싸 인 도형은 마름모이므로 구 하는 넓이는

;2!;_4_4=8

x y

y=x-2 y=-x-2 y=x+2 y=-x+2

O -2

-2 2

2

14

매초 3 cm의 속력으로 움직이므로 x초 후에는 3x cm 만큼 이동한다. 즉, BP”=(24-3x)cm이다.

15

^기울기는 =-3이고 y절편이 24이므로 y=-3x+24

x=3을 대입하면 y=(-3)_3+24=15

따라서 불을 붙인 지 3시간 후의 양초의 길이는 15 cm 이다.

24 -8

16

y=ax+6의 그래프의 x절편은 - , y절편은 6이므로

;2!;_{-;a^;}_6=12 -:¡a•:=12 ∴ a=-;2#;

;a^;

O 6

x y=ax+6 --6

a y

17

x초 후의 삼각형 ABP와 삼각형 DPC의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면 점 P가 BC” 위를 매초 2 cm의 속력으로 움직이므로 x초 후에 BP”=2x cm, PC”=(16-2x)cm

∴ △ABP+△DPC

=;2!;_8_2x+;2!;_5_(16-2x)

=3x+40

y=55를 대입하면 55=3x+40 ∴ x=5

따라서 두 삼각형의 넓이의 합이 55 cm¤ 가 되는 것은 점 P가 점 B를 출발한 지 5초 후이다.

18

동생이 출발할 때, 형은 이미 90 km를 달렸으므로 동 생이 출발하여 x시간 동안

형이 달린 거리는 60x+90(km) 동생이 달린 거리는 80x(km)

∴ y=60x+90-80x=-20x+90

19

제 1 사분면을 지나지 않는 일차 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 (기울기)<0, ( y절편)…0 이어야 한다.

y=(-2k+1)x+k-3에서 기울기 -2k+1<0이어야 하 므로

k>;2!; yy㉠

O x

y

10

ab>0이므로 a와 b는 같은 부호이다. 그런데 a+b<0 이므로 a<0, b<0이다.

따라서 y=ax+b에서 기울기 a는 음수이고, y절편 b도 음수이므로 오른쪽 그림과 같이 제 1 사분면을 지나지 않는다.

O x

y 또, y절편이 양수이므로 b>0

∴ -;aB;>0, -b<0

따라서 y=- x-b의 그래프 는 기울기가 양수이고, y절편이 음수이므로 오른쪽 그림과 같이 제 2 사분면을 지나지 않는다.

y

O x

y=-abx-b

;aB;

∴ y=;2!;_(24-3x)_10=120-15x y=30을 대입하면

30=120-15x ∴ x=6

따라서 △ABP의 넓이가 30 cm¤ 가 되는 것은 점 P가 점 C를 출발한 지 6초 후이다.

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