n lim ⁄ ¶ - 정답과 해설

= lim

n⁄ ¶

= lim

n⁄ ¶

= =

= =;18%6; ;18%6;

;2!;_;3!;

;5!; (32-1)

[;2!;x¤ ]1)_[;3!;x‹ ]1) [;5!;xﬁ ]2!

:)1 xdx_:)1 x¤ dx :!2 x› dx

{ lim_n_{⁄ ¶};n!; ;Kn+! ;nK;}_[ lim_n_{⁄ ¶};n!; ;Kn+! {;nK;}2 ]

nlim⁄ ¶;n!; ;Kn+! {1+ ;nK;}4

;n!; ;Kn+! ;nK;_;n!; ;Kn+! {;nK;}2

;n!; ;Kn+! {1+ ;nK;}4

;Kn+! k_;Kn+! k¤

;Kn+! (n+k)›

(1+2+y+n)(1¤ +2¤ +y+n¤ ) (n+1)› +(n+2)› +y+(2n)›

22

조건 ㈎에서 x의 값이 증가할 때 f(x)의 값도 증가하고, 조건 ㈏에서 f—⁄ (1)=1, f—⁄ (5)=5이므로 조건을 만족하 는 두 함수 y=f(x), y=f—⁄ (x)의 그래프 중 하나는 다음 그림과 같다.

n lim⁄ ¶ ;Kn+![ f {1+ }+f —⁄ {1+ }]

= lim

n ⁄ ¶ ;Kn+![ f {1+ }+f —⁄ {1+ }]

= [ lim_n_{⁄ ¶};Kn+! f{1+ }_

+ lim

n ⁄ ¶;Kn+! f—⁄ {1+ }_ ]

= :!5 { f(x)+f—⁄ (x)}dx

= { :!5 f(x) dx+:!5 f —⁄ (x) dx} yy㉠

이때, 위의 그림에서 :!5 f(x)dx=B¡+B™+C+D, :!5 f—⁄ (x)dx=C+D이므로

:!5 f(x)dx+:!5 f—⁄ (x)dx

=(B¡+B™+C+D)+(C+D)

=A+B¡+B™+C+D+D(∵ A=C)

=4_5+4_1=24 따라서 ㉠에서

n lim⁄ ¶ ;Kn+![ f {1+ }+f —⁄ {1+ }]= _24=6 6

조건 ㈎에서 x의 값이 증가할 때 f(x)의 값도 증가하고, 조건 ㈏에서 f(1)=1, f(5)=5이므로 f(x)=x라 하고 풀어도 논리적으로 오류는 없다.

이때, f —⁄ (x)=x이므로

n ⁄ ¶lim ;Kn+![ f {1+ }+f —⁄ {1+ }]

= lim

n ⁄ ¶ ;Kn+!{1+ +1+ }

= lim

n ⁄ ¶;n!;;Kn+!{2+;n*;k}

4k n 4k

;n!; n

4k n 4k

;n!; n

;4!;

4k n 4k

;n!; n

;4!;

;n$;

4k n

;n$;

;4!; n

;n$;

4k n 4k

;4!; n

4k n 4k

;n!; n

O D

C B™

B¡

x y y=f^-1(x) y=x

y=f(x)

1 5

1 5 해결단계

❶ 단계 lim

n ⁄ ¶;n!; ;Kn+! [ f {1+:¢n:}+f —⁄ {1+:¢n:}]를 정적분으로 표현 한다.

조건 ㈎와 조건 ㈏를 이용하여 :!5 f(x)dx+:!5 f—⁄ (x)dx 의 값을 구하다.

❷ 단계

n ⁄ ¶lim;n!; ;;;Kn+! [ f {1+:¢n:}+f —⁄ {1+:¢n:}]의 값을 구한다.

❸ 단계

BL미적분2(해)-09~11(095~136) 2014.12.3 7:49 PM 페이지115 다민 2540DPI 175LPI

24

반원의 호에 대한 중심각 의 크기는 p이므로 오른 쪽 그림과 같이

∠AOP˚=

점 P˚에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 P’˚H”=O’P˚” sin =2 sin kp

n kp

P˚

P¡ P«–¡

P™

A H O B

;::;n y

23

ⁿ^lim^{⁄ ¶}^{;Kn+! f}^{1+ ^}_

= lim

n⁄ ¶;Kn+! f{1+ }_ _ _

= lim

n⁄ ¶;Kn+! f{1+ }_ _ _ lim

n⁄ ¶

= [ :)2 xf(x+1)dx]_

= :)2 xf(x+1)dx yy㉠

이때,:)2 xf(x+1)dx는 닫힌 구간 [0, 2]에서의 함수 y=xf(x+1)의 정적분이므로 함수 y=xf(x+1)의 그 래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 닫힌 구간 [1, 3]에서의 함수 y=(x-1)f(x)의 정적분과 일치한다.

∴ :)2 xf(x+1)dx= :!3 (x-1)f(x)dx

즉, :!3 (x-1)f(x)dx=a:B^b+2(x+c)f(x)dx이므 로 a= , b=1, c=-1

∴ abc=;8!;_1_(-1)=-;8!; - ;8!;

;8!;

;2!;

;4!;

n¤

2n¤ +n-1 2

n 2k

;4!; n

n¤

2n¤ +n-1 2

n 2k

;4!; n

k 2n¤ +n-1 2k

=x =dx

함수의 그래프의 평행이동과 정적분

함수 y=f(x+p)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방 향으로 -p만큼 평행이동한 것이다. 즉, 함수 y=f(x+p)의 그래프 를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동하면 함수 y=f(x)의 그래프와 일치한다.

따라서 정적분의 피적분함수가 f(x+p) (p는 상수) 꼴인 경우에는 함 수의 그래프의 평행이동에 의하여

:Ab f(x+p)dx=:_a+p^b+pf(x)dx

한편, f(x)가 주기가 p인 주기함수인 경우에는 :Ab f(x+p)dx=:Ab f(x)dx

aa+p b+p

y=f(x)

x b

y=f(x+p)

x 필수 원리 특강

blacklabel

25

⑴ f'(x)=3x¤ +2ax+2a-3에서 삼차함수 f(x)가 극 값을 갖지 않으려면 이차방정식 f'(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다.

이차방정식 f'(x)=0의 판별식을 D라 하면

=a¤ -3(2a-3)…0에서 a¤ -6a+9…0, (a-3)¤ …0

∴ a=3 (∵ a는 실수)

⑵ f(x)=: f'(x)dx

=: (3x¤ +2ax+2a-3)dx

=: (3x¤ +6x+3)dx (∵ a=3)

=x‹ +3x¤ +3x+C(단, C는 적분상수) 이때, f(0)=1이므로 C=1

∴ f(x)=x‹ +3x¤ +3x+1=(x+1)‹

∴:@4 dx

=:@4 dx

=:@4 {x+3+ } dx

=[ x¤ +3x+4ln |x-1|]4@

=(8+12+4 ln 3)-(2+6+0)

=12+4 ln 3

⑴ 3 ⑵ 12+4ln 3

;2!;

4 x-1 x¤ +2x+1

x-1 (x+1)¤

x-1 (x+1)‹

(x+1)(x-1) f(x) (x+1)(x-1) D

∴ S˚= AB”_P’˚H”

= _4_2 sin

=4 sin

∴ lim

n⁄ ¶ ;nK-+1! S˚= lim_n_{⁄ ¶};nK-+1! 4 sin _

=:)1 4 sin pxdx

=[- cos px]1)

= -{- }

=;ç*; ;ç*;

;ç$;

1 n kp

n 1

n kp

;2!; n

;2!;

단계 채점 기준 배점

⑴ 함수 f(x)가 극값을 갖지 않을 조건을 이용하여 실

수 a의 값을 구한 경우 40%

⑵ f '(x)로부터 f(x)를 구한 경우 20%

정적분의 값을 구한 경우 40%

= lim

n ⁄ ¶ [2n+ _ ]

= lim_{n ⁄ ¶} { }

= lim

n ⁄ ¶ 12n¤ +8n=6 2n¤

12n¤ +8n

;n!; 2n

n(n+1)

;n*; 2

;n!;

Ⅳ. 적분법 |

117

본문 pp. 93~94

논술형 서술형 5'5+ ;6¡0;

1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제 p. 94

3

- ⑤ ⑤ 4'2 ;4#;

;4“; 5

step

01

^해결단계

❶ 단계 (gΩf)(x)=x임을 이용하여 g'(f(x))를 구한다.

치환을 이용하여 g'(x)를 구한다.

❷ 단계

x=sin h로 치환하여 정적분의 값을 구한다.

❸ 단계

f(x)와 g(x)가 서로 역함수 관계이므로 (gΩf)(x)=x

위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 g'(f(x))f'(x)=1 ∴ g'(f(x))=

f(x)=cos x에서 f '(x)=-sin x이므로

g'(cos x)=- yy㉠

cos x=t로 놓으면 t=0일 때 x= , t=1일 때 x=0 이고 적분구간 0…t…1, 즉 0…x… 에서

cos xæ0, sin xæ0

즉, sin x="√1-cos¤ x="√1-t¤ 이므로 ㉠에서

g'(t)=-∴:)1 dx=:)1 (-"√1-x¤ )dx

이때, x=sin h{- …h… }로 놓으면 =cos h

x=0일 때 h=0, x=1일 때 h= 이므로 :)1 (-"√1-x¤ )dx=:)^;2“;(-"√1-sin¤ h¥cos h)dh

=:)^;2“;(-cos¤ h)dh

=-:)^;2“; dh

=-[ sin 2h+ h])^;2“;

=-;4“; - ;4“;

;2!;

;4!;

cos 2h+1 2

;2“;

;2“; dh

;2“;

1 g'(x)

"√1-t¤

;2“;

1 sin x

1 f '(x)

cos 2h=2 cos¤ h-1

❶ 단계 우함수, 주기함수의 성질을 이용하여 ㄱ의 참, 거짓을 판별한다.

❷ 단계 주기함수의 성질을 이용하여 ㄴ의 참, 거짓을 판별한다.

❸ 단계 부분적분법을 이용하여 정적분을 계산하고 ㄷ의 참, 거짓을 판 별한다.

02

^해결단계

ㄱ. 조건 ㈎에서

f(-x)= = =f(x)

이고, 조건 ㈏에서 f(x+2)=f(x)이므로 (x¤ -1)¤

x› +1 {(-x)¤ -1}¤

(-x)› +1

:_2@ f(x)dx

=2:)2 f(x)dx

=2{:)1 f(x)dx+:!2 f(x)dx}

=2:_1! f(x)dx{∵:!2 f(x)dx=:_0! f(x)dx}

=4:)1 f(x)dx (참)

ㄴ. 조건 ㈏에 의하여 1<x<2에서의 함수 f(x)의 도함 수는 -1<x<0에서의 함수 f(x)의 도함수와 같다.

-1<x<0에서 f(x)= 이므로

f '(x)=

= >0(∵ -1<x› -1<0) 따라서 1<x<2일 때, f'(x)>0이다. (참) ㄷ. ㄴ에서 -1<x<1일 때 f'(x)=

이때, 조건 ㈏에서 f(x+2)=f(2)이므로

| f '(x)|=[

∴:!3 x| f'(x)|dx

=:!2 xf'(x)dx-:@3 xf'(x)dx

=[xf(x)]2!-:!2 f(x)dx

-[xf(x)]3@+:@3 f(x)dx

=2f(2)-f(1)-:_0! f(x)dx

-3f(3)+2f(2)+:)1 f(x)dx

=4f(2)-f(1)-3f(3)

{∵ :_0! f(x)dx=:)1 f(x)dx}

=4f(0)-f(-1)-3f(-1)

(∵ f(x+2)=f(x))

=4f(0)-4f(-1)

=4_1-4_0=4(참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

f '(x) (1…x<2) -f '(x) (2…x…3) f '(x) (-1…x<0) -f '(x) (0…x…1)

4x(x› -1) (x› +1)¤

4xﬁ -4x (x› +1)¤

2_2x(x¤ -1)(x› +1)-(x¤ -1)¤ _4x‹

(x› +1)¤

(x¤ -1)¤

x› +1

✽

f '(x)= 이라 할

때, 함수 y=f'(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같다.

4x(x› -1) (x› +1)¤

풀이 첨삭 ✽

특강 blacklabel

O x

1 -1

y=f '(x)

← u(x)=x, v'(x)=f '(x) 로 놓으면

u'(x)=1, v(x)=f(x)

BL미적분2(해)-09~11(095~136) 2014.12.3 7:49 PM 페이지117 다민 2540DPI 175LPI

1등급 비법 노하우

구간별로 주어진 함수의 경우 구간에 따른 함수식을 먼저 구한 후, 치 환적분, 부분적분을 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 치환적분, 부분적 분 모두 처음에는 조금 어려운 개념일지 몰라도, 고난도 적분 문제를 해결하는 가장 중요한 개념이므로 자유자재로 다룰 수 있을 때까지 여 러 번 풀어보는 것이 좋다.

서울대 선배들의 강추 문제

04

^해결단계

주어진 그래프에서 f(x)=

3x+2=t로 놓으면 x= 에서

x=- 일 때 t=1, x= 일 때 t=3이므로 :_{- ;3!;}^;3!; 'ƒ3x+1¥f(3x+2) dx

=:!3 'ƒt-1¥f(t)¥ dt

= :!3 'ƒt-1(4-t) dt

= :!3 'ƒt-1 dt- :!3 t'ƒt-1 dt yy㉠

이때,

:!3 'ƒt-1dt= [ (t-1)^;2#;]3!

= _2'2=

또한, :!3 t'ƒt-1 dt에서 'ƒt-1=s로 놓으면 t=s¤ +1에서 =2s

t=1일 때 s=0, t=3일 때 s='2이므로 :!3 t'ƒt-1dt= :)^'2(s¤ +1)s¥2s ds

= :)^'2(s› +s¤ ) ds

= [ sﬁ + s‹ ])^'2

= { + }=

∴:_{- ;3!;}^;3!; 'ƒ3x+1¥f(3x+2) dx

= :!3 'ƒt-1dt- :!3 t'ƒt-1 dt (∵ ㉠)

-= = 4'2

5 4'2

5 36'2

44'2 45 16'2

;3!;

;3$;

44'2 45 2'2

3 4'2

;3@; 5

;3!;

;5!;

;3@;

;3!;

dt ds

;3!;

16'2

;9*; 9

;3@;

;3$;

;3!;

;3$;

;3!;

dx dt

t-2 3

3 (0…x<1) 4-x (1…x<3) 1 (3…x<4) (

{ 9

❶ 단계 3x+2=t로 치환하여 식을 정리한다.

❷ 단계 정적분의 성질을 이용하여 피적분함수를 나누고 무리함수만으 로 된 쪽의 정적분을 계산한다.

❸ 단계 다항함수와 무리함수의 곱 꼴인 함수의 정적분은 치환적분법을 이용하여 계산한다.

03

^해결단계

:)1 { f '(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)}dx=k yy㉠

ㄱ. 1-x=t로 놓으면 x=1-t에서

=-1

x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=0이므로 :)1 { f(x)g'(1-x)-g(x)f '(1-x)}dx

=-:!0 { f(1-t)g'(t)-g(1-t)f '(t)}dt

=:)1 { f(1-t)g'(t)-g(1-t)f '(t)}dt

=-:)1 { f '(t)g(1-t)-g'(t)f(1-t)}dt

=-:)1 { f '(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)}dx

=-k(∵ ㉠) (참) ㄴ. ㄱ에서

:)1 { f(x)g'(1-x)-g(x)f '(1-x)}dx=-k yy㉡

㉠-㉡을 하면

2k=:)1 { f '(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)}dx -:)1 { f(x)g'(1-x)-g(x)f '(1-x)}dx

=:)1 [{ f '(x)g(1-x)-g'(x)f(1-x)}

-{ f(x)g'(1-x)-g(x)f '(1-x)}]dx

=:)1 [{ f '(x)g(1-x)-f(x)g'(1-x)}

-{ g'(x)f(1-x)-g(x)f '(1-x)}]dx

=:)1 { f(x)g(1-x)-g(x)f(1-x)}'dx

=[ f(x)g(1-x)-g(x)f(1-x)]1)

={ f(1)g(0)-g(1)f(0)}

-{ f(0)g(1)-g(0)f(1)}

=2{ f(1)g(0)-g(1)f(0)} yy㉢

=0 (∵ f(0)=f(1), g(0)=g(1))

∴ k=0 (참)

ㄷ. ㉢에서 k=f(1)g(0)-g(1)f(0)

f(x)=ln (1+x› )이고 g(x)=sin px이므로 f(0)=0, f(1)=ln 2, g(0)=0, g(1)=0

∴ k=f(1)g(0)-g(1)f(0)

=ln 2_0-0_0

=0(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

dx dt

❶ 단계 1-x=t로 치환하고 주어진 식을 변형하여 ㄱ의 참, 거짓을 판별한다.

❷ 단계 주어진 식과 ㄱ에서 구한 식을 이용하여 ㄴ의 참, 거짓을 판별 한다.

❸ 단계 f(0), f(1), g(0), g(1)의 값을 구하여 ㄷ의 참, 거짓을 판 별한다.

0…t…1에서 함수 y=|x-t|의 그래프는 다음 그림과 같다.

O x t

1 y=|x-t|

풀이 첨삭 ✽

특강 blacklabel

Ⅳ. 적분법 |

119

본문 pp. 94~95

05

^해결단계

f(x)= lim_{n ⁄ ¶} {|nx-1|+|nx-2|+|nx-3|+y +|nx-n|}

= lim_{n ⁄ ¶} [|x- |+|x- |+|x- |+y +|x- |]

= lim_{n ⁄ ¶};Kn+!|x- |_

=:)1 |x-t|dt

=:)/ (x-t)dt+:?1 (t-x)dt

=[xt- ]/)+[ -xt]1?

=x¤ -x+

={x- }2 +

따라서 함수 f(x)는 x= 일 때 최솟값 을 가지므로 p= , q=

∴ p+q=;2!;+;4!;=;4#; ;4#;

;4!;

;2!;

;4!;

;2!;

;4!;

;2!;

t¤

2 t¤

;n!;

;nK;

;nN;

;n#;

;n@;

;n!;

1 n¤

❶ 단계 함수 f(x)를 어떤 함수 g(x)를 이용하여 lim

n⁄¶;Kn+! g{;nK;}_;n!; 꼴로 표현한다.

❷ 단계 f(x)를 정적분으로 표현한다.

❸ 단계 정적분의 성질을 이용하여 f(x)를 구한다.

06

f(x)='ƒ2x+1에서 x˚= (k=1, 2, 3, y, n)이 므로

f(x˚)='ƒ2x˚+1=Æ… +1

∴ S˚= _x˚_f(x˚)= _ _Æ… +1

= Æ… +1

∴ lim_{n ⁄ ¶} ;Kn+! S˚= lim_{n ⁄ ¶} ;Kn+! Æ… +1

= lim

n ⁄ ¶;Kn+! Æ… +1_

=:)1 x'ƒ4x+1 dx

;n!;

;nK; n

;n!;

;nK; n

4k n 2k

;2!; n

;2!;

4k n

2k n

단계 채점 기준 배점

S˚를 구한 경우 30%

lim

n⁄¶;n!; ;Kn+! S˚를 정적분으로 표현한 경우 30% 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구한 경우 40%

✽

이 것 이 수 능 p. 95

① 17 ⑤ ③

f(x)= :!^x+1 f(t) dt yy㉠

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)= f(x+1)

∴ f(x+1)= f '(x) yy㉡

㉡을 주어진 식에 대입하면

p¤:)1 xf(x+1)dx=p¤ :)1 [x_ f '(x)]dx

=2p:)1 xf'(x)dx

=2p[[xf(x)]1)-:)1 f(x)dx]

=2p[ f(1)-:)1 f(x)dx] yy㉢

한편, 함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므 로 f(1)=1에서 f(-1)=-1이다.

㉠에 x=-1을 대입하면 f(-1)= :!0 f(t)dt

즉, -1=;2“;:!0 f(t)dt이므로 1= :)1 f(t)dt;2“;

;2“;

;ç@;

;2“;

1

^해결단계

❶ 단계 f(x)=;2“; :!

x+1

f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하여 f(x+1)을 f'(x)로 나타낸다.

❷ 단계 ❶ 단계의 결과를 주어진 식에 대입하고 부분적분법을 이용하 여 식을 정리한다.

❸ 단계 함수 f(x)의 성질과 조건을 이용하여 정적분의 값을 구한다.

← u(x)=x, v'(x)=f '(x) 로 놓으면

u'(x)=1, v(x)=f(x)

4x+1=t로 놓으면 x= 에서 =

x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=5이므로 :)1 x'ƒ4x+1 dx=:!5 ¥'t¥ dt

= :!5 (t^;2#;-t^;2!;) dt

= [ t^;2%;- t^;2#;]5!

= [{ _25'5- _5'5}

-{ - }]

= + 5'5+ ;6¡0;

;6¡0; 12 5'5

;3@;

;5@;

;3@;

;5@;

;1¡6;

;3@;

;5@;

;1¡6;

;4!;

t-1 4

;4!;

dx dt t-1

BL미적분2(해)-09~11(095~136) 2014.12.3 7:49 PM 페이지119 다민 2540DPI 175LPI

S«=;Kn+![ f { }-f { }]k라 하면 n 2k-2

n 2k

3

^해결단계

❶ 단계 S«=;Kn+![ f { }- f { }] 라 하고 전개하여 식을 정리한다.

k n 2k-2

n 2k

급수를 정적분으로 나타내어 계산한다.

❷ 단계 lim

n⁄¶S«의 값을 구한다.

❸ 단계

x˚=1+ `(k=1, 2, y, n) 이므로

f(x˚)=e^1+;nK;

∴ A˚= {1+ }_e^1+;nK;

∴ lim_{n ⁄ ¶} ;Kn+! A˚

= lim

n ⁄ ¶ ;Kn+! {1+ }_e^1+;nK;

= lim

n ⁄ ¶ ;Kn+!{1+ }_e^1+;nK;

= :!2 xe≈ dx= {[xe≈ ]2!-:!2 e≈ dx}

= [(2e¤ -e)-[e≈ ]2!]

= {(2e¤ -e)-(e¤ -e)}

=;2!;e¤ ③

;2!;

;nK;

;n!;

;2!;

;nK;

;2!;

;n!;

;nK;

;2!;

;nK;

4

^해결단계

❶ 단계 A˚를 구한다.

❷ 단계 lim

n⁄¶;n!; ;Kn+! A˚를 정적분으로 나타낸다.

❸ 단계 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구한다.

O x

y y=e^x

x˚2 e 1 e^x˚

e²

S«=;Kn+![ f { }-f { }]

= [ f { }-f(0)]+ [ f { }-f { }]

+ [ f { }-f { }]+ [ f { }-f { }]

+y+ [ f { }-f { }]

+ [ f { }-f { }]

=- f(0)- f { }- f { }-y

- f { }+f(2)

=f(2)-;nK-+1) f{ }

n lim⁄ ¶;nK-+1) f{ }_ = lim

n ⁄ ¶ ;nK-+1) f{ }_

= :)2 f(x)dx

= (∵ 조건 ㈏)

∴ lim

n ⁄ ¶;Kn+![ f { }-f { }]

= lim

n ⁄ ¶S«= lim_{n ⁄ ¶}[ f(2)-;nK-+1) f { } ]

=f(2)- lim

n ⁄ ¶;nK-+1) f{ }

=1- (∵ 조건 ㈎)

=;8&; ⑤

;8!;

;n!;

2k n

;n!;

2k n k n 2k-2

n 2k

;8!;

;2!;

;n@;

;2!; n

;n!;

2k n

;n!;

2k n

2n-2

;n!; n

;n$;

;n!;

;n@;

;n!;

2n-2 n 2n

;nN; n

2n-4 n 2n-2

n n-1

;n^;

;n*;

;n$;

;n^;

;n#;

;n@;

;n$;

;n@;

;n!;

k n 2k-2

n 2k

g(e≈ )=[ 에서

e≈ =t로 놓으면 x=ln t이므로

g(t)=‡

∴:!^e¤g(x)dx=:!e f(ln x)dx+:E^e¤[g {;e{;}+5]dx

=6e¤ +4 yy㉠

이때,:E^e¤[ g {;e{;}+5]dx에서 =s로 놓으면

x=es에서 =e

x=e일 때 s=1, x=e¤ 일 때 s=e이므로 :E^e¤[g {;e{;}+5]dx=:!e { g(s)+5}e ds

=e:!e g(s)ds+e:!e 5ds

=e:!e g(s)ds+5e(e-1)

=e:!e f(ln s)ds+5e(e-1) 이때,:!e f(ln x)dx=k (k는 상수)로 놓으면 ㉠에서 k+ek+5e(e-1)=6e¤ +4

k(1+e)=e¤ +5e+4 k(1+e)=(e+1)(e+4)

∴ k=e+4

따라서 a=1, b=4이므로

a¤ +b¤ =17 17

dx ds

;e{;

f(ln t) (1…t<e) g{;eT;}+5 (e…t…e¤ )

f(x) (0…x<1) g(e≈ —⁄ )+5 (1…x…2)

2

^해결단계

❶ 단계 e≈ =t로 치환하여 g(t)를 구한다.

❷ 단계 구간을 나누어:!^e¤g(x)dx를 정리한다.

❸ 단계 치환적분법을 이용하여 정적분을 계산하고 값을 비교한다.

∴:)1 f(t)dt=

따라서 ㉢에서

p¤:)1 xf(x+1)dx=2p_[ f(1)-:)1 f(x) dx]

=2p_{1- }

=2(p-2) ①

;ç@;

← u(x)=x, v'(x)=e≈

으로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=e≈

Ⅳ. 적분법 |

121

본문 pp. 95~97

출제율 100% 우수 기출 대표문제 p. 97

1

③ e+ -2 ③ ④ ②

369 ②

;e!;

step

정적분의 활용

02

곡선 y=ln (x+1)과 y축 및 두 직선 y=-1, y=1로 둘 러싸인 도형은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.

y=ln (x+1)에서 x+1=e¥ ∴ x=e¥ -1 따라서 구하는 도형의 넓이는

:_1! |e¥ -1|dy=:_0! {-(e¥ -1)}dy+:)1 (e¥ -1)dy

=[-e¥ +y]0_!+[e¥ -y]1)

={-1+ +1}+(e-1-1)

=e+;e!;-2 e+;e!;-2

;e!;

01

a>0이므로 0…x…1에서 곡선 y=a sin¤ px와 x축으로 둘러싸인 도 형은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같 다. 즉, 구하는 도형의 넓이는

:)1 asin¤ pxdx

=a:)1 dx

= [x- sin 2px]1)=

이므로 ;2A;=2 ∴ a=4 ③

;2A;

;2¡ç;

;2A;

1-cos 2px 2

O x

y=a sin²px

1 a

O x

y y=ln (x+1)

y=1

y=-1 1

-1

03

^{곡선 y=} (x>0)과 직선 y=2x의 교점의 x좌표는

=2x에서 2x¤ =8 ∴ x=2 (∵ x>0)

또한, 곡선 y= (x>0)과 직선 y= x의 교점의 x좌 표는 = x에서 x¤ =16

∴ x=4 (∵ x>0)

따라서 곡선 y= (x>0)과 두 직선 y=2x, y= x로 둘러싸인 도형의 넓이는

:)2 {2x- x}dx+:@4 { - x}dx

=:)2 x dx+:@4 { - x}dx

=[ x¤ ]2)+[8ln |x|- x¤ ]4@;4#; ;4!;

;2!;

;[*;

;2#;

;2!;

;[*;

;2!;

;[*;

;2!;

;[*;

;2!;

;[*;

O x

y y=2x

y=;:;x 1 2

y=;:; x 8

2 4

04

y=3'ƒx-1에서 y'= 이므로 곡선 위의 점

(10, 9)에서의 접선의 기울기는 = 이고, 접

선의 방정식은

y-9= (x-10) ∴ y= x+4

곡선 y=3'ƒx-1과 접선 y= x+4 및 x축으로 둘 러싸인 도형은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 _18_9-:!1 0 3'ƒx-1 dx

=81-[2(x-1)^;2#;]1!0

=81-54=27 ④

y=3'ƒx-1에서 y¤ =9(x-1) x-1= y¤ ∴ x= y¤ +1

y= x+4에서 x=y-4

∴ x=2y-8

따라서 구하는 도형의 넓이는 :)9 [{ y¤ +1}-(2y-8)]dy

=:)9 { y¤ -2y+9}dy

=[ y‹ -y¤ +9y]9)

=27-81+81=27

;2¡7;

;9!;

;2!;

;9!;

;2!;

3 2'ƒ10-1 3

2'ƒx-1

05

^{함수 f(x)=}^{'x의 역함수가}

g(x)이므로 오른쪽 그림과 같이 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표는 곡선 y=f(x) 와 직선 y=x의 교점의 x좌표와 같으므로 'x=x에서 x=x¤

x¤ -x=0, x(x-1)=0

∴ x=0 또는 x=1

이때, 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)로 둘러싸인 도형의 넓 이는 곡선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓이 의 2배와 같으므로 구하는 넓이는

2:)1 ('x-x)dx

=2[ x^;2#;- x¤]1)

=2{ - }=2_ =;3@; ;2!; ;6!; ;3!; ②

;2!;

;3@;

O 1

x y y=g(x) y=x

y=f(x)

=10-(-8)

=3+(8 ln 4-4)-(8 ln 2-1)

=8 ln 4-8 ln 2

=16 ln 2-8 ln 2=8 ln 2 ③

O 1 10 4

-8

y=;2!;x+4 y

x y=3'ƒx-1

BL미적분2(해)-09~11(095~136) 2014.12.3 7:49 PM 페이지121 다민 2540DPI 175LPI

06

높이가 x인 지점에서의 단면의 넓이가 S(x)=x¤ +2x+5이므로 구하는 부피는 :)9 S(x)dx=:)9 (x¤ +2x+5)dx

=[ x‹ +x¤ +5x]9)

=243+81+45=369 369

;3!;

07

오른쪽 그림에서 x좌표가 x (0…x…p)인 점 P를 지나고 x축에 수직인 평 면으로 자를 때 생기는 정 삼각형의 한 변의 길이는 PQ”=sin x이므로 정삼각 형 PQR의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)= sin¤ x

따라서 구하는 입체도형의 부피는

:)» sin¤ x dx= :)» dx

= [x- sin 2x]»)

='3p ②

;2!;

'3 8

1-cos 2x 2 '3

4 '3

O P(x, 0)

Q R

p x y

y=sin x S(x)

sin x

단계형 서술형 ⑴ (1, -1) ⑵ ;5!;

01

1등급을 위한 최고의 변별력 문제 pp. 98~100

2

③ ④ - ln 2 +

① - ⑤ 8-2p ④ ③

① 24 60

⑤

e¤ -1

;3!; 4

;6!;

4 p¤

;3&;

;ç@;

;2!;

;4“;

step

곡선 y=ae≈ +b가 두 점 (0, 0), (ln 2, 2)를 지나므로 0=a+b, 2=2a+b

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-2

∴ y=2e≈ -2

따라서 곡선 y=2e≈ -2와 x축 및 두 직선 x=-1, x=1로 둘러싸 인 도형의 넓이는

:_1! |2e≈ -2|dx

=:_0! (-2e≈ +2)dx+:)1 (2e≈ -2)dx

=[-2e≈ +2x]0_!+[2e≈ -2x]1)

={-2+ +2}+(2e-2-2)

=2e+;e@;-4 ③

;e@;

O x

-1

1 y=2e^x-2

02

곡선 y=xsin x (0…x…2p)와 x축의 교점의 x좌표는 x sin x=0

∴ x=0 또는 x=p 또는 x=2p 따라서 곡선

y=x sin x (0…x…2p)와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓 이는

:)2 » |xsin x|dx

=:)» xsin xdx+:˘2 » (-xsin x)dx

=:)» xsin xdx-:˘2 » xsin xdx

=[-xcos x]»)-:)» (-cos x)dx

-[-xcos x]2 »˘+:˘2 » (-cos x)dx

=p+[sin x]»)+3p+[-sin x]2 »˘

=p+0+3p+0

=4p ④

O x

p 2p

y=x sin x

03

함수 f(x)=tan x의 역함 수가 g(x)이므로 두 곡선 y=f(x)와 y=g(x)는 직 선 y=x에 대하여 대칭이 다. 따라서 오른쪽 그림에서 A=B이므로

:)1 g(x)dx

= _1-:)^;4“;f(x) dx

= -:)^;4“;tan x dx

= -:)^;4“; dx

이때, :)^;4“; dx에서 cos x=t로 놓으면

=-sin x이고, x=0일 때 t=1, x= 일 때

t= 이므로

:)1 g(x)dx

= -:)^;4“; dx

= -:!^::!:^'2{- } dt

= -:

'2 ::!:1 dt

= -[ln |t|]1

'2 ::!:

= -ln 1+ln

=;4“;-;2!;ln 2 ;4“;-;2!;ln 2 1

;4“; '2

;4“;

;;t!;

;4“;

;;t!;

;4“;

sin x cos x

;4“;

1 '2

;4“;

dt dx

sin x cos x sin x cos x

;4“;

O A B

y y=f(x) y=x

;:;4

y=g(x)

1 1

← u(x)=x, v'(x)=sin x 로 놓으면

u'(x)=1, v(x)=-cos x

Ⅳ. 적분법 |

123

본문 pp. 97~98

04

05

^f(x)= ⁼ ⁼ ^-1

이때, a+1>0 (∵ a>0)이므 로 곡선 f(x)= 와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 :)a { -1}dx

=[(a+1)ln |x+1|-x]a)

=(a+1) ln (a+1)-a

즉, (a+1) ln (a+1)-a=1이므로 (a+1) ln (a+1)=a+1

ln (a+1)=1 (∵ a>0) a+1=e ∴ a=e-1

∴ f(x)=

∴ f(1)=e-2 ①

2 e-1-x

x+1 a+1 x+1

a-x x+1

a+1 x+1 a+1-(x+1)

x+1 a-x

x+1

x y a-x y=;::::;

x+1

-1 a a -1

06

점 (p, 0)을 지나는 직 선 l의 기울기를 m (m<0)이라 하면 방 정식은

y=m(x-p)

이때, 오른쪽 그림에서 두 영역 A, B의 넓이가 같으므로 :)» {sin x-m(x-p)}dx=0

:)» sin xdx-:)» m(x-p)dx=0

∴:)» sin xdx=:)» m(x-p)dx yy㉠

:)» sin xdx=[-cos x]»)=1+1=2, :)» m(x-p)dx=[ mx¤ -mpx]»)

= mp¤ -mp¤ =- mp¤

즉, ㉠에서 2=- mp¤이므로

m=- - 4

p¤

4 p¤

;2!;

f(x)= lim

n ⁄ ¶ (단, xæ0)

⁄ 0…x<1일 때, lim

n ⁄ ¶x« = lim

n ⁄ ¶x« ±¤ =0이므로

f(x)= =sin x

¤ x=1일 때, lim

n ⁄ ¶x« = lim

n ⁄ ¶x« ±¤ =1이므로

f(1)= = =1

‹ x>1일 때, lim_{n ⁄ ¶}x« =¶이므로

f(x)= lim

n ⁄ ¶ =x¤

∴ f(x)=

따라서 곡선 y=f(x)와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이는 :)1 sin xdx+:!2 x¤ dx

=[- cos x]1)+[ ]2!

={0+ }+{ - }

=;ç@;+;3&; ;ç@;+ ;3&;

;3!;

;3*;

;ç@;

x‹

;2“; 3

;ç@;

;2“;

sin ;2“;x (0…x…1) x¤ (x>1) ({

sin ;2“;x x¤ +1112x«

1111111+12x«1

;2@;

1+sin ;2“;

1+1

;2“;

0+sin ;2“;x 0+1 x« ±¤ +sin ;2“;x

x« +1

O x

y y=f(x)

1 2

1 4

단계 채점 기준 배점

x의 값의 범위를 나누어 함수 f(x)를 구한 경우 40% 구하는 도형의 넓이를 정적분으로 표현한 경우 40%

도형의 넓이를 구한 경우 20%

A B

x y

p y=sin x

07

²이상의 자연수 n에 대하여 xæ1에서 세 곡선 y=ln x, y=(ln x)« , y=(ln x)« ±⁄ 은 다음 그림과 같다.

ㄱ. 1…x…e일 때, 0…ln x…1이고 n은 2 이상의 자연 수이므로 (ln x)« æ(ln x)« ±⁄ (참)

ㄴ. 위의 그림에서

S«=e_1-:!e (ln x)« dx,

S«≠¡=e_1-:!e (ln x)« ±⁄ dx이므로

S«-S«≠¡=[e-:!e (ln x)« dx]

-[e-:!e (ln x)« ±⁄ dx]

=:!e {(ln x)« ±⁄ -(ln x)« }dx

<0(∵ ㄱ)

∴ S«<S«≠¡ (참)

ㄷ. 함수 f(x)=(ln x)« (xæ1)의 역함수가 g(x)이므 로 두 곡선 y=f(x),

y=g(x)는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

이때, 오른쪽 그림에서 A=B이므로 S«=:)1 g(x)dx (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

O x

y=ln x y=(ln x)ⁿ⁺¹

1 e

y=(ln x)ⁿ

O A B

y y=g(x)

y=x

y=f(x)

1 e

BL미적분2(해)-09~11(095~136) 2014.12.3 7:49 PM 페이지123 다민 2540DPI 175LPI

= 이므로 곡선 y= 는 y축에

대하여 대칭이다.

곡선 y= 와 세 직선 x=-1, x=1, y=4로 둘 러싸인 도형의 넓이는

:_1!{4- } dx

=2:)1 {4- } dx

=8:)1 {1- } dx

=8[x]1)-8:)1 dx

=8-8:)1 dx yy㉠

한편, :)1 dx에서 x=tan h{- <h< }로 놓으면 =sec¤ h이고, x=0일 때 h=0, x=1일 때 h= 이므로

:)1 dx=:)^;4“; dh

=:)^;4“; dh

=:)^;4“;dh

=[h]^;4“;)

따라서 구하는 도형의 넓이는 ㉠에서 8-8:)1 dx=8-8_

=8-2p 8-2p

구하는 도형의 넓이는 위의 그림에서 (A+B+C)-A와 같으므로

2_4-:_1! dx=8-8:)1 1 dx 1+x¤

4 1+x¤

O A

B C

x y

y=;::::; 4 1+x²

-1 1

;4“;

1 1+x¤

;4“;

sec¤ h sec¤ h sec¤ h 1+ tan¤ h 1

1+x¤

;4“;

dx dh

;2“;

1 1+x¤

4 1+x¤

4 1+(-x)¤

4 1+x¤

O x

y=;::::; 4 1+x²

-1 1

09

^해결단계

h {0…h< }인 직선 l의 방정식은

y=(tan h)x

곡선 y=-x‹ +x (xæ0)

와 직선 y=(tan h)x의 교점의 x좌표는 -x‹ +x=(tan h)x에서

x(x¤ +tan h-1)=0

∴ x=0 또는 x='ƒ1-tan h (∵ xæ0)

곡선 y=-x‹ +x (xæ0)와 직선 y=(tan h)x로 둘러 싸인 부분의 넓이 S(h)는

S(h)=:)^{'ƒ1-tan h}{(-x‹ +x)-(tan h)x} dx

=:)^{'ƒ1-tan h}{-x‹ +(1-tan h)x} dx

=[- x› + (1-tan h)x¤ ])^{'ƒ1-tan h}

= (1-tan h)¤

∴ lim

h⁄;4“;

-= lim

h⁄;4“; - ª º2

이때, f(h)=tan h라 하면 f'(h)=sec¤ h, f{ }=1이 므로

lim

h⁄;4“;

-= lim

h⁄;4“;

-=f '{ }=sec¤ =2

∴ lim

h⁄;4“;

-= [ f '{ }]2 = _2¤ =1

④

;4!;

;4“;

;4!;

S(h) {h-;4“;}2

;4“;

f(h)-f {;4“;}

h-;4“;

tan h-1 h-;4“;

;4“;

tan h-1 h-;4“;

;4!;

S(h) {h-;4“;}2

;4!;

;2!;

;4!;

;4“;

❶ 단계 곡선과 직선의 교점의 x좌표를 구한다.

정적분을 이용하여 넓이 S(h)를 구한다.

❷ 단계

극한값을 구한다.

❸ 단계

O x

S(h)

'ƒ1-tan h y=(tan h)x y=-x³+x

10

두 곡선 y=e≈ , y=xe≈ 의 교점의 x좌표는 e≈ =xe≈ 에서

e≈ (x-1)=0

∴ x=1 (∵ e≈ >0) 이때, 오른쪽 그림에서 A=:)1 (e≈ -xe≈ )dx, B=:!2 (xe≈ -e≈ )dx이므로

B-A=:!2 (xe≈ -e≈ )dx-:)1 (e≈ -xe≈ )dx

=:!2 (xe≈ -e≈ )dx+:)1 (xe≈ -e≈ )dx

=:)2 (xe≈ -e≈ )dx

=:)2 (x-1)e≈ dx

=[(x-1)e≈ ]2)-:)2 e≈ dx

=[(x-1)e≈ ]2)-[e≈ ]2)

=(e¤ +1)-(e¤ -1)=2 ③

O A

x y

y=e^x

2 1

y=xe^x

u'(x)=e≈, v(x)=x-1로 놓으면 u(x)=e≈ , v'(x)=1

08

원점을 지나고 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가

Ⅳ. 적분법 |

125

본문 p. 99

정적분의 성질

두 함수 f(x), g(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속일 때,

⑴:Aa f(x)dx=0, :Ab f(x)dx=-:Ba f(x)dx

(단, aæb인 경우)

⑵:Ab kf(x)dx=k:Ab f(x)dx (단, k는 상수)

⑶:Ab { f(x)—g(x)}dx=:Ab f(x)dx—:Ab g(x)dx

(복부호 동순)

⑷:Ab f(x)dx=:Ac f(x)dx+:Cb f(x)dx (단, c는 임의의 상수) 필수 개념

특강 blacklabel

11

^y=x¤^{에서 y'=2x}

y=2'ƒx-a에서 y'=

이때, 두 곡선 y=x¤ 과 y=2'ƒx-a의 교점의 x좌표를 k 라 하면 x=k에서의 함숫값과 접선의 기울기가 같으므로 k¤ =2'ƒk-a, 2k=

위의 두 식을 연립하여 풀면 k= , k‹ =1

(k-1)(k¤ +k+1)=0 ∴ k=1

즉, 두 곡선 y=x¤ 과 y=2'ƒx-a의 교점의 좌표는 (1, 1)이므로 x=1, y=1을 y=2'ƒx-a에 대입하면 1=2'ƒ1-a, 1-a=

∴ a=

따라서 두 곡선 y=x¤ 과

y=2Æ…x- 및 x축으로

둘러싸인 부분의 넓이는 :)1 x¤ dx-:_;4#;1 2Æ…x- dx

=[ x‹ ]1)-[ {x- }

;2#;]1

;4#;

= - _{ }^;2#;

= - _

=;3!;-;6!;=;6!; ;6!;

;8!;

;3$;

;3!;

;4!;

;3$;

;3!;

;4#;

;3$;

;3!;

;4#;

;4!;

1 k¤

1 'ƒk-a

1 'ƒx-a

O x

y y=x²

y=2Æ…x-;4#;

;:;4 1 1

12

밑이 e로 같으므로

='ƒx+1 x+3=3'ƒx+1 위의 식의 양변을 제 곱하면

x¤ +6x+9=9x+9, x¤ -3x=0 x(x-3)=0 ∴ x=0 또는 x=3

두 곡선 y=ln , y= ln (x+1)로 둘러싸인 도 형의 넓이는

:)3 [ ln (x+1)-ln ]dx

=:)3 [ ln (x+1)-ln (x+3)+ln 3]dx

= :)3 ln (x+1)dx-:)3 ln (x+3)dx+:)3 ln 3dx

= :)3 ln (x+1)dx-:)3 ln (x+3)dx+[(ln 3)x]3)

= :)3 ln (x+1)dx-:)3 ln (x+3)dx+3ln 3 yy㉠

이때,

:)3 ln (x+1)dx

=[xln (x+1)]3)-:)3 dx

=3 ln 4-:)3 {1- }dx

=3 ln 4-[x-ln |x+1|]3)

=3 ln 4-(3-ln 4)

=8 ln 2-3 yy㉡

:)3 ln (x+3)dx

=[xln (x+3)]3)-:)3 dx

=3 ln 6-:)3 {1- } dx

=3 ln 6-[x-3ln |x+3|]3)

=3 ln 6-(3-3 ln 6+3 ln 3)

=6 ln 6-3 ln 3-3 yy㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 구하는 넓이는 (8 ln 2-3)-(6 ln 6-3 ln 3-3)+3 ln 3

=4 ln 2- -6 ln 6+3 ln 3+3+3 ln 3

=4 ln 2-6(ln 6-ln 3)+

=4 ln 2-6 ln 2+

=-2 ln 2+ ①

두 곡선 y=ln , y= ln (x+1)의 교점의 좌표 는 (0, 0), (3, ln 2)이다.

;2!;

x+3 3

;2#;

;2!;

3 x+3

x x+3 1 x+1

x x+1

;2!;

x+3

;2!; 3

;2!;

x+3 3 x+3

접선의 방정식의 활용

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 점 (a, b)에서 공통인 접선을 가지면 f(a)=g(a)=b, f'(a)=g'(a)

필수 개념 특강

blacklabel

O 3

y x+3

y=ln ;::::;

3 1 y=;:; ln (x+1) 2

두 곡선 y=ln , y= ln (x+1)의 교점의 x좌

표는 ln = ln (x+1)에서

ln x+3=ln 'ƒx+1 3

;2!;

x+3 3

;2!;

x+3 3

← u'(x)=1, v(x)=ln (x+1)로 놓으면 u(x)=x, v'(x)= 1

x+1

← u'(x)=1, v(x)=ln (x+3)으로 놓으면 u(x)=x, v(x)= 1

x+3

BL미적분2(해)-09~11(095~136) 2014.12.3 7:49 PM 페이지125 다민 2540DPI 175LPI

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