BLackLabel Answer
정답과 해설
BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지01 다민 2540DPI 175LPI
것이 수능
2
이 step1등급을 위한 최고의 변별력 문제
3
step
1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제
1
step
출제율 100% 우수 기출 대표문제
pp.9~10
01 ③ 02 ⑤ 03 ② 04 ⑤ 05 ⑤ 06 4 07 ③ 08 ④ 09 ④ 10 -1 11 ① 12 x<-2
13 0<x<1 또는 x>4 14 a> ;2!;
pp.11~14
01 17 02 ① 03 ⑤ 04 r£<r™<r¡ 05 ④ 06 ③ 07 4 08 31 09 10 ② 11 ③ 12 1 13 14 ⑤ 15 60 16 ④ 17 0 18 ⑤ 19 2 20 19 21 6 22 4 23 a<1 24 ⑤ 25 ③ 26 ⑤ 27 ⑴ 최댓값:2, 최솟값:1 ⑵;2!;
;6@4&;
;1∞1;
p.15
01 ㄱ, ㄴ, ㄷ 02 k<6 03 310 04 15 05;9!; 06 9 07 36일
p.16 1 ② 2 ⑤ 3 103
01
지수함수지수함수와 로그함수
I
s p e e d c h e c k
빠른 정답 체크pp.18~19
01 ② 02 ④ 03 -1 04 31 05 ⑤ 06 ① 07 log£ 10 08 ② 09 125 10 ① 11 ③ 12 ④ 13 13 14 ⑤ 15 ⑤ 16 ③
pp.20~23
01 ④ 02 ④ 03 2 04 ⑤ 05 ② 06 ③ 07 ④ 08 -5 09 0 10 370 11 ④ 12 64 13 ④ 14 ④ 15 10 16 16 17 ① 18 4 19 { }
10
20 63 21 0<k< 22 ① 23 <x<2 24 79 25 ⑴ 풀이 참조 ⑵ M=6, m=2 ⑶ 3
;1@3%;
;8!;
;2!;
p.24
01 20 02 10 03 2'3 04 31 05 4'2 06 86 07 6
p.25 1 ③ 2 ④ 3 12 4 ⑤
02
로그함수pp.27~28
01 15 02 1 03 ② 04 ⑤ 05 6 06 ① 07 ① 08 ⑤ 09 ⑤ 10 ④ 11 ② 12 ③ 13 ⑤ 14 ① 15 2 16 5
8 ln 2
pp.29~31
01 ① 02 ④ 03 1 04 05 2 06 ③ 07 ln 2 08 ⑤ 09 ② 10 ① 11 7 12 ⑤ 13 2 14 4 15 ② 16 ④ 17 e 18 7 19 ⑴ e ⑵ e¤
;2!;
p.32
01 4 02 ㄱ, ㄷ 03 2 04;2!; 05 e¤ 06 4 ln 2
p.33 1 ⑤ 2 ③ 3 ④ 4 ②
03
지수함수와 로그함수의 미분pp.46~47
01 ⑤ 02 ③ 03 5 04 -1 05 ④ 06 1 07 6 08 ③ 09 ③ 10 ④ 11 ③ 12 ⑤ 13 9
pp.48~51
01 ③ 02 ① 03 ④ 04 05 ③ 06 p 07 ② 08 ④ 09 ④
10 6 11 5 12 13 ③ 14 -9 15 ③ 16 p 17 p 18 ③ 19 a= 또는 <a< 20 11 21 ② 22 p 23 ② 24 …h… p또는 p…h… p
25 - p…x…- 또는 …x… p 26 ⑴ y=3 cos { t- p}+5 ⑵ 10-3'2 m
;7$; 2
;7“;
;4#;
;4“;
;4“;
;4#;
:¡6¡:
;6&;
;6%;
;6“;
;1#2%;
;2%;
;2!;
;4!;
;6&;
;2“;
'3
;3@; 2
p.52
01 - 02 - 03 ①
04 - 05 2p¤
06 a=30, b=p, c=40
;4#;
'3+1 2 '3
2
p.53 1 ④ 2 256
05
삼각함수의 그래프pp.37~38
01 ⑤ 02 ③ 03 3 04 ③ 05 ④ 06 3'5p 07 ① 08 09 ④ 10 8'5 11 ④ 12 11 13 ② 14 ① 15 ③
;2!;
pp.39~42
01 ② 02 ④ 03 ⑤ 04 4 05 06 5 07 30 08 ②
09 10 ④ 11 ③ 12 ⑤ 13 ② 14 ② 15 ③
16 -'6 17 18 p 19 - 20 ⑤ 21 37 22 ① 23 ③
24 ③ 25 3 26 ⑴ 4p ⑵ 6p-9'3 2 '3
;2%; 2
;8&;
p"√p¤ +1 p¤ +1
;2%;
p.43
01 8 02 4 03 04 25
05 2'5 06 36 07 p 9
'1å0 10
p.44 1 ③ 2 ① 3 ④ 4 ④
04
삼각함수의 정의II
삼각함수것이 수능
2
이 step1등급을 위한 최고의 변별력 문제
3
step
1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제
1
step
출제율 100% 우수 기출 대표문제
p.55
01 ④ 02 ④ 03 ⑤ 04 - 05 ② 06 2 07 -2 08 ④
;3!;
pp.56~59
01 ② 02 03 85 04 ④ 05 -16 06 - 07 ⑤ 08 09 '5 10 ① 11 ③ 12 ⑤ 13 8-4'5 14 '3 15 ⑤ 16 ④ 17 6 18 ④ 19 ① 20 8 21 ② 22 ② 23 21 24 ② 25 ① 26 ⑤ 27 ⑴ -1…P…0 ⑵ h=;2“;일 때 최댓값 11, h=0일 때 최솟값 3
;4#;
:¡5™:
;6“;
p.60
01 -1 02 7 03 f(h)=x-y 04 ② 05 06 21 07 2
2+p 2-p
p.61 1 ⑤ 2 ① 3 ④ 4 16
06
삼각함수의 미분T o m o r r o w
better than today
p.65
01 ② 02 -2 03 ① 04 24 05 ② 06 ④ 07 ③ 08 0
pp.66~68
01 ② 02 4 03 1 04 ④ 05 1 06 7 07 10 08 ③ 09 36e¤
10 ① 11 2 12 ① 13 16 14 ① 15 1 16 16 17 5 18 ② 19 ③ 20 ① 21 ⑤ 22 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 0
p.69
01 02 - 03 3 ln 2 04 3 05 2ep 06 5 07 ;3@;
;4!;
:¡9§:
p.70 1 10 2 ① 3 ① 4 ①
07
여러 가지 미분법III
미분법pp.72~73
01 y= 02 ④ 03 2 04 ② 05 4 06 ① 07 ⑤ 08 ② 09 ④ 10 ③ 11 ① 12 ⑤ 13 '3 14 ①
;e{;
pp.74~76
01 ② 02 ln 2 03 3 04 ② 05 ② 06 1 07 ② 08 09 ④ 10 ⑤ 11 8 12 ① 13 ② 14 4 15 5-2'5 16 e 17 ④ 18 ② 19 - 20 ⑴ -'2…sin x+cos x…'2 ⑵ 극댓값:'2-1
⑶ {y|y는 -'2-1…y…'2-1}
;4!;
;4“;
p.77
01 -ln 2 02 03 ③
04 ep 05 1 06 4 1-e2p
16
;4#; e¤
p.78 1 8 2 50 3 ⑤ 4 ③
08
도함수의 활용pp.88~89
01 ⑤ 02 1-'2 03 ② 04 18 05 21 06 ⑤ 07 ③ 08 ② 09 ① 10 ① 11 ③ 12 2+2 ln 2 13 ② 14 15 ①
;4“;
pp.90~93
01 ⑤ 02 4-e 03 ④ 04 ⑤ 05 ④ 06 ③ 07 ③ 08 8 09 1 10 ④ 11 ④ 12 ④ 13 ④ 14 ③ 15 ④ 16 2 17 -9 18 '2- 19 12 20 ④ 21 22 6 23 - 24 25 ⑴ 3 ⑵ 12+4ln 3
;ç*;
;8!;
;18%6;
4 p-1
p.94
01 - 02 ⑤ 03 ⑤ 04
05 065'5+ ;6¡0;
;4#; 12
4'2
;4“; 5
p.95 1 ① 2 17 3 ⑤ 4 ③
10
정적분p.81
01 ① 02 2 03 ④ 04 e¤
05 ② 06 ① 07 ① 08;2“;
pp.82~84
01 ③ 02 38 03 ② 04 7 05 ④ 06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 2'2 10 11 2- 12 ② 13 0 14 -2 ln 2 15 ⑤ 16 ⑤ 17 ln '3 18 ② 19 p+3 20 1 21 ② 22 3e¤
23 ⑴ I(t)=;2!;e† (sin t-cos t) ⑵;2!;ep
;8“;
;6!;
p.85
01 02 03
04 2+ln 05 p 06 pep 07 41
;1∞2;
;4%;
9
;4!; p-3 1
e2p-1
p.86 1 ② 2 ④ 3 ① 4 67
09
여러 가지 적분법IV
적분법p.97
01 ③ 02 e+ -2 03 ③ 04 ④ 05 ② 06 369 07 ②
;e!;
pp.98~100
01 ③ 02 ④ 03 - ln 2 04 + 05 ① 06 - 07 ⑤
08 8-2p 09 ④ 10 ③ 11 12 ① 13 14 24 15 16 60
17 ⑤ 18 ⑴ (1, -1) ⑵ ;5!;
e¤ -1
;3!; 4
;6!;
4
;3&; p¤
;ç@;
;2!;
;4“;
p.101
01 3p 02 ㄱ, ㄴ, ㄷ 03 9 04 4 05:¡3¡: 06 16 ln 2+ :¶4∞:
p.102 1 ③ 2 ① 3 ④ 4 131
11
정적분의 활용BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.4 8:49 PM 페이지03 다민 2540DPI 175LPI
|
지수함수와 로그함수
I
A n s w e r출제율 100% 우수 기출 대표문제 pp. 9~10
1
③ ⑤ ② ⑤ ⑤ 4
③ ④ ④ -1 ①
x<-2 0<x<1또는 x>4 a> ;2!;
step
지수함수
02
ㄱ. (a, b)<A이면 b=3å 에서 b;2!;=(3å );2!;=3;2A;'b=3;2A; ∴{ ,'b}<A (참) ㄴ. (a+1, b)<A이면 b=3å ±⁄ =3_3å 에서
=3å ∴{a, }<A (참) ㄷ. (-2a, b)<A이면 b=3—¤ å 에서
b—⁄ =(3—¤ å )—⁄ =3¤ å
;3B;
;3B;
;2A;
01
함수 f(x)=a≈ (a>0, a+1)에 대하여① f(2)=a¤ , 2f(1)=2a이므로 f(2)+2f(1) (거짓)
② f(6)=afl , { f(3)}‹ =(a‹ )‹ =a· 이므로 f(6)+{ f(3)}‹ (거짓)
③"√f(2x)="ça¤ ≈ =(a¤ ≈ );2!;=a≈ (∵ a>0)
∴"√f(2x)=f(x) (참)
④ f(-'2x)=a-'2x= =
= ={ f(x)}-'2 {"√f(x)}—⁄ =("ça≈ )—⁄ =(a;2{;)—⁄
=(a≈ )-;2!;={ f(x)}-;2!;
∴ f(-'2x)+{"√f(x)}—⁄ (거짓)
⑤ f(x+3)=ax+3=ax_a‹ =a‹ f(x)
∴ f(x+3)+3f(x) (거짓)
따라서 옳은 것은 ③이다. ③
1 { f(x)}'2
1 (a≈ )'2 1
a'2≈
04
a«≠¡=f(a«) (n=1, 2, 3)에서 a™=f(a¡),a£=f(a™)=f( f(a¡)),
a¢=f(a£)=f( f(a™))=f( f( f(a¡)))
이므로 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
따라서 a™, a£, a¢의 대소 관계는 a£<a¢<a™이다.
⑤
x y
y=3-x y=x
2 1
f(a£)=a¢
f(a¡)=a™
f(a™)=a£
a¡
a¡ a£ a™
O
03
함수 y=2≈ 의 그래프가 점 (6, p)를 지나므로 p=2fl∴ ‹'p=‹ "ç2fl =(2fl );3!;=2;3^;=2¤ yy`㉠
또한, 함수 y=2≈ 의 그래프가 점 (2, b)를 지나므로
b=2¤ yy`㉡
㉠, ㉡에서 ‹'p=b ②
05
ㄱ. 함수 y=5≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그 래프의 식은-y=5≈ ∴ y=-5≈ (거짓) ㄴ. 함수 y=5≈ 의 그래프를 x축의
방향으로 1만큼 평행이동한 그 래프의 식은 y=5≈ —⁄ 이므로 오 른쪽 그림과 같이 함수 y=5≈
의 그래프보다 아래쪽에 놓이 게 된다. (참)
ㄷ. y=3_5≈ =3log∞ 5_5≈ =5log∞ 3_5≈ =5x+log∞ 3
이므로 함수 y=3_5≈ 의 그래프는 함수 y=5≈ 의 그래 프를 x축의 방향으로 -log∞ 3만큼 평행이동한 것이 다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤
지수함수 f(x)=a≈ (a>0, a+1)의 성질 임의의 두 실수 x, y에 대하여
⑴ f(x+y)=f(x)f(y)hj˚ f(x+y)=a≈ ±¥ =a≈ a¥ =f(x)f(y)
⑵ f(x-y)= hj˚ f(x-y)=a≈ —¥ = =
⑶ f(nx)={ f(x)}« hj˚ f(nx)=a« ≈ =(a≈ )« ={ f(x)}« (n은 실수)
⑷ f(-x)= hj˚ f(-x)=a—≈ =(a≈ )—⁄ = =
⑸ f(0)=1hj˚ f(0)=a‚ =1
⑹ f(x+1)=a f(x)hj˚ f(x+1)=a≈ ±⁄ =a_a≈ =af(x) 1 f(x) 1 a≈
1 f(x)
f(x) f(y) a≈
a¥
f(x) f(y)
필수 개념 특강
blacklabel
지수함수의 그래프의 평행이동 : y=k_a≈ (k>0) 꼴 y=k_a≈ =k⁄ _a≈ =klogå a_a≈
=alogå k_a≈ (∵ 로그의 성질)
=ax+logå k(∵ 지수법칙)
=ax—(-logå k)
따라서 함수 y=k_a≈ 의 그래프는 함수 y=a≈ 의 그래프를 x축의 방 향으로 -logå k만큼 평행이동한 것이다.
풀이첨삭 ✽
특강 blacklabel
1
1
y=5x-1
O x
y y=5x
1
;:;5
✽
=3¤ å ∴{2a, }<A (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤
;b!;
;b!;
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |
005
본문 pp. 9~10
06
함수 y=2-x¤ +4x-3에서f(x)=-x¤ +4x-3
=-(x-2)¤ +1
이라 하면 함수 f(x)는 x=2일 때, 최댓값 1을 갖는다.
이때, 함수 y=2f(x)에서 (밑)=2>1이므로 함수 f(x)가 최댓값을 가질 때 y도 최댓값을 갖는다.
따라서 주어진 함수는 x=2일 때, 최댓값 2⁄ =2를 가지므 로 m=2, n=2이다.
∴ m+n=4 4
07
y=4≈ +4—≈ -2(2≈ +2—≈ )+5에서 y=(2≈ +2—≈ )¤ -2-2(2≈ +2—≈ )+5=(2≈ +2—≈ )¤ -2(2≈ +2—≈ )+3
2≈ +2—≈ =t로 놓으면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기 하평균의 관계에 의하여
t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ _2—≈ (단, 등호는 x=0일 때 성립)
=2
∴ tæ2
이때, y=f(t)라 하면 f(t)=t¤ -2t+3
=(t-1)¤ +2 (tæ2) 따라서 함수 y=f(t)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으 므로 t=2일 때, 최솟값 3
을 갖는다. ③
1 2
-3
f(x)=-(x-2)2+1
O x
y
1 2 2
3 f(t)=(t-1)2+2
O t
y
08
{ }-x+1={ }-(x-1)={ }x-1이므로{ }
x¤ -3
={ }
-x+1
에서{ }
x¤ -3
={ }
x-1
밑이 로 같으므로 x¤ -3=x-1에서 x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0
∴ x=-1 또는 x=2
따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은
(-1)+2=1 ④
;3@;
;3@;
;3@;
;2#;
;3@;
;3@;
;2#;
;2#;
09
(2x-1)≈ —‹ =11≈ —‹에서⁄ x-3=0, 즉 x=3일 때,
주어진 방정식은 5‚ =11‚ =1이므로 성립한다.
¤ x-3+0, 즉 x+3일 때, 밑이 같아야 하므로 2x-1=11, 2x=12
∴ x=6
⁄, ¤에서 모든 근의 합은 3+6=9 ④
10
4≈ =2≈ ±⁄ +k에서 (2≈ )¤ -2_2≈ -k=0 2≈ =t(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t¤ -2t-k=0(단, t>0) yy㉠이때, 주어진 방정식이 서로 다른 두 근을 가지려면 t에 대 한 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.
11
쥐가 죽는 순간부터 t시간 후의 두 세균 S, T의 개체 수를 각각 S(t), T(t)라 하면S(t)=4_2;4T;, T(t)=256_2;6T;(단, tæ0)
이때, 쥐가 죽은 후 두 세균 S, T의 개체 수가 같아지는 순 간을 t라 하면 S(t)=T(t)에서
4_2;4T;=256_2;6T;, 22+;4T;=28+;6T;
밑이 2로 같으므로 2+ =8+ 에서
=6 ∴ t=72
따라서 쥐가 죽은 순간부터 72시간 후의 세균 S의 개체 수는
S(72)=4_2:¶4™:=22+:¶4™:=2¤ ‚ ①
;1:T2;
;6T;
;4T;
12
{ }x+ { }x>9{ }x+1에서[{ }
x
]
2
+ { }
x
>9{ }
x
+1
{ }
x
=t(t>0)로 놓으면 t¤ + t>9t+1, 9t¤ -80t-9>0
(9t+1)(t-9)>0 ∴ t<- 또는 t>9 그런데 t>0이므로 t>9이다.
즉, { }
x
>9에서
{ }
x
>{ }
-2
이때, 0<(밑)=;3!;<1이므로 x<-2 x<-2
;3!;
;3!;
;3!;
;9!;
;9!;
;3!;
;3!;
;3!;
;9!;
;3!;
;3!;
;3!;
;9!;
;9!;
⁄ 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면
=1+k>0 ∴ k>-1
¤ (두 근의 곱)>0이므로 -k>0 ∴ k<0
⁄, ¤에서 -1<k<0
∴ p=-1, q=0 ∴ p+q=-1 -1
D 4
13
xx¤>x‹ ≈ ±› (x>0)에서⁄ 0<x<1일 때,
x¤ <3x+4이므로 x¤ -3x-4<0 (x+1)(x-4)<0 ∴ -1<x<4 그런데 0<x<1이므로 0<x<1이다.
¤ x>1일 때,
x¤ >3x+4이므로 x¤ -3x-4>0
(x+1)(x-4)>0 ∴ x<-1 또는 x>4 그런데 x>1이므로 x>4이다.
⁄, ¤에서 주어진 부등식의 해는
0<x<1또는 x>4 0<x<1또는 x>4
¤ x=1일 때는 부등식이 성립하지 않으므로 생각하지 않는다.
14
2≈ —¤ = 에서 2≈ —¤ =2—;2#;밑이 2로 같으므로 x-2=-;2#;
1 2'2
BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지05 다민 2540DPI 175LPI
|
단계형 서술형 ⑴ 최댓값:2, 최솟값:1 ⑵ ;2!;
01
1등급을 위한 최고의 변별력 문제 pp. 11~14
2
17 ① ⑤ r£<r™<r¡ ④
③ 4 31 ② ③
1 ⑤ 60 ④ 0
⑤ 2 19 6 4
a<1 ⑤ ③ ⑤
;6@4&;
;1∞1;
step
f(2a)f(b)=4에서 2—¤ å _2—∫ =2¤ , 2—¤ å —∫ =2¤
밑이 2로 같으므로 -2a-b=2 yy`㉠
f(a-b)=2에서 2-(a-b)=2⁄
밑이 2로 같으므로 -a+b=1 yy`㉡
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 2‹ å +2‹ ∫ =2—‹ +2‚ = +1=
∴ p=8, q=9
∴ p+q=8+9=17 17
;8(;
;8!;
지수법칙
a>0, b>0이고 m, n이 실수일 때,
⑴ aμ _a« =aμ ±« ⑵ aμ ÷a« =aμ —« ⑶ (aμ )« =aμ «
⑷ (ab)« =a« b« ⑸{ }n = a«
;bA; b«
필수 개념 특강
blacklabel
03
f(x)= 에 대하여ㄱ. f{;2!;}= = = = (참)
ㄴ. f(1-x)= = =
∴ f(x)+f(1-x)= +
= =1(참)
ㄷ. ㄴ에서 f(x)+f(1-x)=1이므로
f {;10!1;}+f{;1!0)1);}=1, f{;10@1;}+f{;1ª0ª1;}=1, y, f {;1∞0º1;}+f{;1∞0¡1;}=1
∴ f {;10K1;}=f{;10!1;}+f{;10@1;}+y+f{;1!0)1);}
=[ f{;10!1;}+f{;1!0)1);}]
+[ f{;10@1;}+f{;1ª0ª1;}]+y +[ f{;1∞0º1;}+f{;1∞0¡1;}]
=1_50=50(참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤
¡100 k=1
4≈ +2 4≈ +2
2 4≈ +2 4≈
4≈ +2
2 4≈ +2 4
4+2_4≈
4⁄ —≈
4⁄ —≈ +2
;2!;
;4@;
2 2+2 4;2!;
4;2!;+2 4≈
4≈ +2
02
A=« ±› "ça« ±‹ =a;::::;;n+3n+4, B=« ±‹ "ça« ±¤ =a;::::;;n+2n+3, C=« ±¤ "ça« ±⁄ =a;::::;;n+1n+2이므로- =
= >0
∴ > yy`㉠
- =
= 1 >0
(n+2)(n+3)
(n+2)¤ -(n+1)(n+3) (n+2)(n+3) n+1
n+2 n+2 n+3
n+2 n+3 n+3
n+4
1 (n+3)(n+4)
(n+3)¤ -(n+2)(n+4) (n+3)(n+4) n+2
n+3 n+3 n+4
04
f(10)=(1+r¡)⁄ ‚ , g(10)={1+ }2 0 ,h(10)={1+ }4 0 이고 f(10)=g(10)=h(10)이므로
⁄ f(10)=g(10)에서
(1+r¡)⁄ ‚ ={1+ }2 0 , (1+r¡)⁄ ‚ =[{1+ }2 ]1 0
∴ 1+r¡={1+ }2 {∵ 1+r¡>0, 1+ >0}
즉, 1+r¡=1+r™+ 이므로
r¡-r™= >0 (∵ r™¤ >0) ∴ r¡>r™
¤ g(10)=h(10)에서
{1+ }2 0 ={1+ }4 0 , {1+ }2 0 =[{1+ }2 ]2 0
∴ 1+ ={1+ }2 {∵ 1+ >0, 1+r£>0}
4 r™
2 r£
4 r™
2
r£
4 r™
2 r£
4 r™
2 r™¤
4
r™¤
4
r™
2 r™
2
r™
2 r™
2 r£
4
r™
2
∴ x= ∴ A=[ ] 한편, 2x¤<2å ≈에서 (밑)=2>1이므로 x¤ <ax yy`㉠
이때, A;B+∅이므로 <B이어야 한다.
따라서 x= 을 ㉠에 대입하면 부등식이 성립해야 하므로
{ }2 < a에서
a>;4!; ∴ a>;2!; a> ;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!; ∴ > yy`㉡
㉠, ㉡에서 > >
이때, 0<(밑)=a<1이므로 a;::::;;n+3n+4<a;::::;;n+2n+3<a;::::;;n+2n+1
∴ A<B<C ①
n=1일 때, A=fi"ça› =a;5$;, B=›"ça‹ =a;4#;, C=‹"ça¤ =a;3@;
이때, > > 이고, 0<(밑)=a<1이므로 a;5$;<a;4#;<a;3@; ∴ A<B<C
;3@;
;4#;
;5$;
n+1 n+2 n+2 n+3 n+3
n+4 n+1 n+2 n+2 n+3
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |
007
본문 pp. 10~11
05
f(x)=a≈ (a>1)에 대하여ㄱ. 2f(x)=15f(x+1)-f(x-1)에서 2a≈ =15a≈ ±⁄ -a≈ —⁄
a≈ >0이므로 위의 식의 양변을 a≈ 으로 나누면 2=15a-
15a¤ -2a-1=0(∵ a>1) (5a+1)(3a-1)=0
∴ a=- 또는 a=
그런데 a>1이므로 조건을 만족하는 a의 값이 존재하 지 않는다. (거짓)
ㄴ. f(x)=a≈ >0, f(-x)=a—≈ ={ }
x
>0이므로 산술 평균과 기하평균의 관계에 의하여
a≈ +a—≈ æ2"√a≈ _a—≈ (단, 등호는 x=0일 때 성립)
=2(참)
ㄷ. f(|x|)- { f(x)+f(-x)}
=a|x|- (a≈ +a—≈ )
=a|x|- a≈ - a—≈ yy㉠
⁄ xæ0일 때, a|x|=a≈이고, 위의 그림에서 xæ0일 때, 함수 y=a≈ 의 그래프가 함수 y=a—≈ 의 그래프 보다 위쪽에 있으므로 a≈ æa—≈
즉, ㉠에서
a≈ - a≈ - a—≈ = a≈ - a—≈ æ0
∴ f(|x|)æ { f(x)+f(-x)}
¤ x<0일 때, a|x|=a—≈이고, 위의 그림에서 x<0일 때, 함수 y=a—≈ 의 그래프가 함수 y=a≈ 의 그래프 보다 위쪽에 있으므로 a—≈ >a≈
즉, ㉠에서
a—≈ - a≈ - a—≈ = a—≈ - a≈ >0
∴ f(|x|)> { f(x)+f(-x)}
⁄, ¤에서 f(|x|)æ { f(x)+f(-x)} (참)
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다. ④
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
O 1
x
y=a-x y y=ax
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;a!;
;3!;
;5!;
;a!;
ㄷ. 두 함수 y=a|x|, y= (a≈ +a—≈ )의 그래 프가 오른쪽 그림과 같으 므로
f(|x|)æ { f(x)+f(-x)}
ㄷ. 함수 f(x)=a≈ 에 대하여 a>1이므로 x의 값이 증가 하면 f(x)의 값도 증가한다.
이때, 모든 실수 x에 대하여 x…|x|, -x…|x|
이므로 f(x)…f(|x|), f(-x)…f(|x|)
∴ f(|x|)æ;2!;{ f(x)+f(-x)}
;2!;
;2!;
06
f(x)= = _5≈ =5log∞ ;2!;_5≈=5-log∞ 2_5≈ =5x-log∞ 2
이므로 함수 f(x)= 의 그래프는 함수 y=5≈ 의 그래프 를 x축의 방향으로 log∞ 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 함수 f(x)= 의 그래프는 함수 y=5≈ 의 그래프 와 모양이 같다.
ㄱ. 함수 y=5≈ 은 실수 전체의 집합에서 일대일 대응이므 로 함수 f(x)= 도 실수 전체의 집합에서 일대일 대 응이다.
따라서 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)=f(x™)이면 x¡=x™이다.(참)
ㄴ. (밑)=5>1이므로 x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다. 즉, x¡<x™이면 f(x¡)<f(x™)이다. (거짓) ㄷ. 함수 y=5≈ 의 그래프는 아래로 볼록하므로 서로 다른
두 실수 x¡, x™에 대하여
f { }< 이다. (참)
그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③
f(x¡)+f(x™) 2 x¡+x™
2
5≈
2 5≈
2 5≈
2
;2!;
5≈
2 즉, 1+ =1+ + 이므로
r™-r£= >0 (∵ r£¤ >0) ∴ r™>r£
⁄, ¤에서 r£<r™<r¡ r£<r™<r¡
r£¤
8
r£¤
16 r£
2 r™
2
✽ O
1
x y y=a|x|
y=;2!;(ax+a-x)
볼록한 모양의 함수의 그래프
연속함수 y=f(x)의 그래프에 대하여 f{ }는 중점에서의 함
숫값을 의미하고, 는 함숫값들의 중점을 의미한다.
⑴ f{ }=
HjK f(x)는 직선
⑵ f{ }<
HjK f(x)는 아래로 볼록
⑶ f{ }>
HjK f(x)는 위로 볼록 f(x¡)+f(x™)
2 x¡+x™
2
f(x¡)+f(x™) 2 x¡+x™
2
f(x¡)+f(x™) 2 x¡+x™
2
f(x¡)+f(x™) 2
x¡+x™
2
풀이첨삭 ✽
특강 blacklabel
x¡ x™
y=f(x) f(x™)
f(x¡)
O x
y
f(x¡)+f(x™)
;:::::::::::;2
x¡+x™
;:::::;2 x¡+x™
f{;:::::;} 2
BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지07 다민 2540DPI 175LPI
|
07
두 점 A, D의 x좌표가 같으 므로D(a, 3å )
이때, 두 점 D, C의 y좌표가 같으므로 점 C의 x좌표를 k라 하면 3å =3˚ —å 에서
a=k-a ∴ k=2a
∴ C(2a, 3å )
두 점 B, C의 x좌표가 같으므로 B(2a, 0) 직사각형 ABCD의 넓이가 324이므로 AB”_BC”=(2a-a)_3å =324에서 a_3å =4_3›
∴ a=4 4
O A(a, 0) B(2a, 0) C(2a, 3a)
x y y=3x y=3x-a D(a, 3a)
3a (2a-a)
함수 f(x)={ }
x-5
-64의 그래프는 함수 y={ }
x
의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -64 만큼 평행이동한 것이다.
이때, 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌 표를 k라 하면
0={ }
k-5
-64, 2fi —˚ =64, 2fi —˚ =2fl 밑이 2로 같으므로
5-k=6 ∴ k=-1
또한, 함수 y=f(x)의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌 표를 l이라 하면
l=f(0)={ }
-5
-64
=2fi -64=-32
이때, 함수 y=f(x)의 그래프의 점근선의 방정식은 y=-64이므로
y=| f(x)|=
즉, 함수 y=| f(x)|의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 이 그래프와 직선 y=k가 제 1사 분면에서 만나기 위해서는 32<k<64이어야 한다.
따라서 구하는 자연수 k의 개 수는 64-32-1=31(개)
31 {;2!;}
x-5
-64 (x<-1) -{;2!;}
x-5
+64 (xæ-1) (
{ 9
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
❶ 단계 함수 f(x)={ }
x-5-64의 그래프가 x축, y축과 만나는 점 의 x좌표와 y좌표를 각각 구한다.
;2!;
함수 y=| f(x)|의 그래프를 그린다.
❷ 단계
직선 y=k가 ❷ 단계에서 그린 함수 y=| f(x)|의 그래프 와 제 1사분면에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한 후, 이를 만족하는 자연수 k의 개수를 구한다.
❸ 단계
08
해결단계09
함수 f(x)=a≈ (a>1)의 그래프를 x축의 방향으로 t˚만 큼 평행이동시킨 그래프의 식을 y=g˚(x)라 하면 g˚(x)=ax-t˚함수 y=g˚(x)의 그래프가 점 (k, 6)을 지나므로 6=ak-t˚ ∴ a-t˚=
한편, 함수 y=g˚(x)의 그래프의 y절편이 b˚이므로 b˚=g˚(0)=a-t˚=
∴ b˚= =6_ {;a!;}k
=6_ {∵ 0< <1}
=6_ =
이때, b˚=5에서 =5이므로
6=5a-5, 5a=11 ∴ a=
∴ f(x)={ }/
∴ f(-1)={ }
-1
=;1∞1; ;1∞1;
:¡5¡:
:¡5¡:
:¡5¡:
6
;K'+! a-1
6 a-1
;a!;
a-1 ::a::
;a!;
;a!;
1-;a!;
;K'+!
6
;K'+!a˚
;K'+!
6 a˚
6 a˚
10
오른쪽 그림에서 AB”=2이므로 점 A의 x좌표를 a라 하면 점 B의 x좌표는 a+2이고, 두 점 A, B의 y좌표는 같으므로 9å =3å ±¤, 3¤ å =3å ±¤밑이 3으로 같으므로 2a=a+2 ∴ a=2
∴ k=9¤ =81
또한, 직선 y= = , 즉 y=27과 두 곡선이 만나는 두 점 C, D의 x좌표를 각각 c, d라 하면
9ç =27, 3∂ =27이므로 3¤ ç =3‹ , 3∂ =3‹
밑이 3으로 같으므로 c= , d=3
∴ CD”=d-c=3-;2#;=;2#; ②
;2#;
;;•3¡;;
;3K;
1 C D
2 B
A y=k
a c d a+2 k
y=3x y=9x
O x
y
k
;:;3 k y=;:; 3
11
ㄱ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=x 는 점 (1, 1)에서 만나므로 오른쪽 그림에서 0<a<1이 면 f(a)<a이다. (참) ㄴ. 곡선 y=f(x) 위의 두 점A(a, f(a)), B(b, f(b))
(0<a<b)에 대하여 직선 AB의 기울기는
= =2∫ -2å
b-a 2∫ -1-(2å -1)
b-a f(b)-f(a)
b-a
O x
y y=f(x) y=x
1 a 1 a f(a)
O x
y y=|{;2!;}
x-5
-64|
y=k 64
32
-1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |
009
본문 pp. 12~13
0<a<b<1일 때 오른쪽 그 림과 같이 두 점 A, B를 지 나는 직선의 기울기는 직선 y=x의 기울기 1보다 작으 므로
<1
∴ b-a>2∫ -2å (거짓) ㄷ. 0<a<b일 때 오른쪽 그림과
같이
(직선 OA의 기울기)
<(직선 OB의 기울기) 이므로
<
∴ b(2å -1)<a(2∫ -1) (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③
2∫ -1 b 2å -1
a 2∫ -2å
b-a
x
y y=f(x)
y=x
1 a b 1
f(a) f(b)
O B
A
O A
B
x
y y=f(x)
a b
2a-1 2b-1
12
오른쪽 그림과 같이곡선 y={ }≈ 과 y축과의 교점의 좌표 가 (0, 1)이므로 A¡(0, 1)
∴ A¡H¡”=1
점 H™의 x좌표는 1이고 두 점 A™, H™의 x좌표는 같으 므로
A™{1, } ∴ A™H™”=
점 H£의 x좌표는 1+ = 이고 두 점 A£, H£의 x좌 표는 같으므로
A£{ , { };2#;} ∴ A£H£”={ }
;2#;
즉, 세 번째 정사각형의 한 변의 길이는{ }
;2#;이므로
S=‡{ }
;2#;°¤
={ }‹ =
∴ 8S=8_;8!;=1 1
;8!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
;2#;
;2#;
;2!;
;2!;
;2!;
;2!;
13
오른쪽 그림과 같이 x축 위에 있는 두 직사각형의 꼭짓점의 좌표를 각각 (a, 0), (a+3, 0), (b, 0)이라 하면 직사각 형 A의 가로, 세로의 길 이는 각각 3, { }a
이고, 직사각형 B의 가로, 세로의 길이 는 각각 b-a-3,{ }
a+3
이다.
두 직사각형 A, B의 넓이를 각각 SÅ, Sı라 하면 SÅ=3_{ }
a
, Sı=(b-a-3){ }
a+3
이때, 3Sı=SÅ이므로 3(b-a-3){ }
a+3
=3_{ }
a
;3$; 에서
;3$;
;3$;
;3$;
;3$;
;3$;
O (=H¡)
H™
1 A™
;:;2
1
;:;2
3
;:;2
1 {;:;}2
3
;:;2
1 {;:;}2 1
A¡
A£ A¢
H£ H¢ y y y
x y
1
y={;:;} 1
x
2
{b-(a+3)}
3 A
B
a b
a+3 y=
4 {;:;}a 3
4 {;:;}/
4 3 {;:;}
a+3
3
1
O x
y
단계 채점 기준 배점
x축 위에 있는 두 직사각형의 꼭짓점의 x좌표를 각각 a, a+3, b로 놓고 직사각형 A의 가로, 세로의 길 이가 각각 3, { }
a
임을 이용하여 직사각형 A의 넓이를 구한 경우
;3$;
40%
직사각형 B의 가로, 세로의 길이가 각각 b-a-3,
{ }
a+3
임을 이용하여 직사각형 B의 넓이를 구한 경우
;3$; 30%
직사각형 A의 넓이가 직사각형 B의 넓이의 3배임 을 이용하여 직사각형 B의 가로의 길이를 구한 경우 30%
14
조건 ㈐에서 h(x)=f(x)+g(x)이므로 f(x)+g(x)=5≈ yy`㉠h(-x)=f(-x)+g(-x)=5—≈ 이므로 조건 ㈎, ㈏에서 f(x)-g(x)=5—≈ yy`㉡
㉠+㉡`을 하면 2f(x)=5≈ +5—≈
∴ f(x)=
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형으로 알맞은 것은
⑤이다. ⑤
5≈ +5—≈
2
y¡=5≈, y™=5—≈ 으로 놓으면 y= 이므로 y는 y¡과 y™의 평 균이다.
따라서 두 곡선 y¡=5≈ , y™=5—≈ 과 y 축에 평행한 직선이 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 y= 의 그래프
는 선분 PQ의 중점 M으로 이루어진 곡선이므로 위의 그림과 같다.
5≈ +5—≈
2 y¡+y™
2
풀이첨삭 ✽
특강 blacklabel
1Q P
M
O x
y
5x+5-x y=;::::::;; 2 y¡=5x
y™=5-x
✽
15
y={;9!;}/ -2_{;3!;}/ -1=[{;3!;}/ ]2 -2_{ }/ -1 { }/ =t(t>0)로 놓으면y=t¤ -2t-1=(t-1)¤ -2 이때, -2…x…3에서
…t…9이므로
y=(t-1)¤ -2 {단, …t…9}
따라서 주어진 함수는 오른쪽 그림 과 같이 t=9일 때 최댓값 62, t=1일 때 최솟값 -2를 갖는다.
∴ M=62, m=-2
∴ M+m=62+(-2)
=60 60
;2¡7;
;2¡7;
;3!;
;3!;
(b-a-3){ }‹ =1
∴ b-a-3={ }‹ =
따라서 직사각형 B의 가로의 길이는 ;6@4&;이다. ;6@4&;
;6@4&;
;4#;
;3$;
9 -2
62
1 1
;::27
O t
y y=(t-1)2-2
BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지09 다민 2540DPI 175LPI
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16
f(x)=x¤ -6x+3=(x-3)¤ -6 함수 y=f(x) (1…x…4)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=3일 때 최솟값 -6, x=1일 때 최댓값 -2를 갖는다.∴ -6…f(x)…-2
함수 g(x)=a≈ (a>0, a+1) 에 대하여
⁄ 0<a<1일 때,
x의 값이 증가하면 g(x)의 값은 감소하므로 합성함수 (gΩf)(x)는 f(x)=-6일 때 최댓값 27을 갖고, f(x)=-2일 때 최솟값 m을 갖는다.
즉, g(-6)=27에서 a—fl =27=3‹ 이므로 a—¤ =3, a¤ = ∴ a= (∵ a>0) g(-2)=m에서 a—¤ =m이므로
m=a—¤ =(a¤ )—⁄ ={ }
-1
=3
¤ a>1일 때,
x의 값이 증가하면 g(x)의 값도 증가하므로 합성함수 (gΩf)(x)는 f(x)=-2일 때 최댓값 27을 갖고, f(x)=-6일 때 최솟값 m을 갖는다.
즉, g(-2)=27에서 a—¤ =27이므로 a¤ = ∴ a= (∵ a>0)
그런데 <1이므로 a>1을 만족하지 않는다.
⁄, ¤에서 합성함수 (gΩf)(x)의 최솟값은 m=3이다.
④ '3
9
'3
;2¡7; 9
;3!;
'3
;3!; 3
17
y=(3≈ -1)¤ +(3—≈ -1)¤=(3≈ )¤ +(3—≈ )¤ -2(3≈ +3—≈ )+2
=(3≈ +3—≈ )¤ -2(3≈ +3—≈ )
3≈ +3—≈ =t로 놓으면 3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기 하평균의관계에의하여
t=3≈ +3—≈ æ2"√3≈ _3—≈ (단, 등호는 x=0일 때 성립)
=2
∴ tæ2
따라서 y=t¤ -2t=(t-1)¤ -1 (tæ2)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어진 함수
는 t=2, 즉 x=0일 때 최솟값 0을 갖는다.
∴ a=0, m=0
∴ a+m=0 0
y=(t-1)2-1
-1 1 2
O t
y
0<(밑)= <1이므로 합성함수 (gΩf)(x)는 함수 f(x)가 최솟값을 가질 때 최댓값을 갖는다.
그런데 1…x…4에서 함수
f(x)=-2(x-3)¤ +4의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 f(x)는 x=1일 때 최솟값 -4를 갖는다.
따라서 함수 (gΩf )(x)의 최댓값은 { }
-4
=3› =81 ⑤
;3!;
;3!;
y=f(x)
3 1
4 4
-4 2
O x
y
18
조건 ㈐에서 f(3-x)=f(3+x)이므로 이차함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=3에 대하여 대칭이다.f(x)=a(x-3)¤ +b (a, b는 상수, a+0)라 하면 조건 ㈎ f(1)=-4에서 4a+b=-4 yy`㉠
조건 ㈏ f(2)=2에서 a+b=2 yy`㉡
㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=-2, b=4
∴ f(x)=-2(x-3)¤ +4 (gΩf )(x)=g(f(x))={ }
f(x)
={ }
-2(x-3)¤ +4
;3!; 에서
;3!;
19
8≈ -4≈ ±⁄ -2≈ ±‹ +8=0에서 (2≈ )‹ -4_(2≈ )¤ -8_2≈ +8=02≈ =t(t>0)로 놓으면 t‹ -4t¤ -8t+8=0에서 (t+2)(t¤ -6t+4)=0
∴ t=-2 또는 t=3—'5 그런데 t>0이므로 t=3—'5
이때, 방정식 8≈ -4≈ ±⁄ -2≈ ±‹ +8=0의 서로 다른 두 근이 a, b이므로 이차방정식 t¤ -6t+4=0의 서로 다른 두 실 근은 2a, 2b이다.
(두 근의 곱)=2a_2b=(3+'5)(3-'5)=4
∴ 2a+b=2¤
밑이 2로 같으므로 a+b=2 2
O x
y
y=f(x)
1 3 4
-2
-5 -6
20
9≈ -2(a+4)3≈ -3a¤ +24a=0에서 (3≈ )¤ -2(a+4)3≈ -3a¤ +24a=0 3≈ =t (t>0)로 놓으면t¤ -2(a+4)t-3a¤ +24a=0 yy㉠
x가 양수일 때, t>1이므로 주어진 방정식의 서로 다른 두 근이 모두 양수가 되려면 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실 근은 모두 1보다 커야 한다. 즉,
f(t)=t¤ -2(a+4)t-3a¤ +24a라 하면 이차함수 y=f(t)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다.
⁄ 이차방정식 f(t)=0의 판별식을 D라 하면
=(a+4)¤ -(-3a¤ +24a)>0에서 a¤ +8a+16+3a¤ -24a>0
4a¤ -16a+16>0
4(a-2)¤ >0 ∴ a+2인 실수
¤ f(1)>0에서 1-2(a+4)-3a¤ +24a>0 3a¤ -22a+7<0, (3a-1)(a-7)<0
∴ <a<7
‹ 함수 y=f(t)의 그래프의 대칭축은 직선 t=a+4이 므로 a+4>1이어야 한다.
∴ a>-3
⁄, ¤, ‹에서 <a<2또는 2<a<7이다.
따라서 조건을 만족하는 정수 a는 1, 3, 4, 5, 6이므로 구하는 합은
1+3+4+5+6=19 19
;3!;
;3!;
D 4
t y=f(t)
1
Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |
011
본문 pp. 13~14
21
[ 에서 81¤ ≈ =X(X>0), 81¤ ¥ =Y(Y>0)로 놓으면[ , 즉[
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 X, Y는 이차방정식 t¤ -36t+243=0의 두 근이다.
즉, (t-9)(t-27)=0에서 t=9 또는 t=27
∴ X=9, Y=27 또는 X=27, Y=9
⁄ X=9, Y=27일 때, 81¤ ≈ =9, 81¤ ¥ =27이므로 (3› )¤ ≈ =3¤, (3› )¤ ¥ =3‹
3° ≈ =3¤, 3° ¥ =3‹
밑이 3으로 같으므로 8x=2, 8y=3
∴ x= , y=
¤ X=27, Y=9일 때, 81¤ ≈ =27, 81¤ ¥ =9이므로 (3› )¤ ≈ =3‹, (3› )¤ ¥ =3¤
3° ≈ =3‹, 3° ¥ =3¤
밑이 3으로 같으므로 8x=3, 8y=2
∴ x= , y=
⁄, ¤에서
xy= _ = ∴ A=xy=
∴ 64A=64_;3£2;=6 6
;3£2;
;3£2;
;8#;
;4!;
;4!;
;8#;
;8#;
;4!;
X+Y=36 XY=243 X+Y=36
"√XY=9'3 81¤ ≈ +81¤ ¥ =36 81≈ ±¥ =9'3
22
점 A(a, b)는 곡선 y=2≈ +1위의 점이므로 b=2å +1 yy`㉠∴ A(a, 2å +1) 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표와 같고, 점 B는 곡 선 y=4≈ +1 위의 점이므 로 B(a, 4å +1)
점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로 점 C의 x좌 표를 c라 하면 점 C는 곡선 y=2≈ +1 위의 점이므로 4å +1=2ç +1, 2¤ å =2ç
밑이 2로 같으므로
c=2a ∴ C(2a, 4å +1)
점 D의 x좌표는 점 C의 x좌표와 같고, 점 D는 곡선 y=4≈ +1위의 점이므로 D(2a, 4¤ å +1)
∴ AB”=(4å +1)-(2å +1)=4å -2å ,
CD”=(4¤ å +1)-(4å +1)=4¤ å -4å =4¤ å -2¤ å
이때, =12이므로 =12에서
=12, 4å +2å =12 (2å )¤ +2å -12=0, (2å +4)(2å -3)=0
∴ 2å =3 (∵ 2å >0) 이것을 ㉠에 대입하면
b=3+1=4 4
(4å +2å )(4å -2å ) 4å -2å
4¤ å -2¤ å 4å -2å CD”
AB”
y=4x+1 y=2x+1
O x
y
C(2a, 4a+1) A(a, 2a+1) B(a, 4a+1)
2 D(2a, 42a+1)
23
x에 대한 이차부등식 x¤ -2(2å +1)x-3(2å -5)>0이 모 든 실수 x에 대하여 성립하려면f(x)=x¤ -2(2å +1)x-3(2å -5)라 할 때, 이차함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽그림과같아야한다.
이차방정식 f(x)=0의판별식을 D라하면
=(2å +1)¤ +3(2å -5)<0에서 (2å )¤ +5_2å -14<0
이때, 2å =t(t>0)로 놓으면 t¤ +5t-14<0 (t+7)(t-2)<0 ∴ -7<t<2 그런데 t>0이므로 0<t<2에서 0<2å <2⁄
(밑)=2>1이므로 a<1 a<1 D
4
24
a_3—≈ …3-2x+1에서 a_{ }≈ …3_{ }¤ ≈이때, { }≈ >0이므로 양변을{ }≈ 으로 나누면 a…3_{ }≈
{ }≈ =t(t>0)로 놓으면
a…3t yy㉠
-3…x…3에서 …t…27이므로 부등식 ㉠이 항상 성
립하려면
a…3_ ∴ a…
따라서 상수 a의 최댓값은 ;9!;이다. ⑤
;9!;
;2¡7;
;2¡7;
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
;3!;
25
⁄ 0<(밑)= x-1<1, 즉 3<x<6일 때, x¤ -8x>5x-40이므로 x¤ -13x+40>0 (x-5)(x-8)>0∴ x<5 또는 x>8
그런데 3<x<6이므로 3<x<5
¤ (밑)= x-1=1, 즉 x=6일 때, 1<1이므로 만족하지 않는다.
∴ x+6
‹ (밑)= x-1>1, 즉 x>6일 때, x¤ -8x<5x-40이므로 x¤ -13x+40<0 (x-5)(x-8)<0 ∴ 5<x<8 그런데 x>6이므로 6<x<8
⁄, ¤, ‹에서 3<x<5 또는 6<x<8
따라서 조건을 만족하는 정수 x는 4, 7이므로 구하는 합은
4+7=11 ③
;3!;
;3!;
;3!;
x y=f(x)
26
해결단계❶ 단계 주어진 식을 간단히 정리한다.
{;2!;}≈ =t (t>0)로 치환하여 t에 대한 이차부등식을 만든다.
❷ 단계
t>0일 때, f(t)>0일 조건을 이용하여 k의 최댓값을 구한다.
❸ 단계