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정답과 해설

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Academic year: 2022

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(1)

BLackLabel Answer

정답과 해설

BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지01 다민 2540DPI 175LPI

(2)

것이 수능

2

step

1등급을 위한 최고의 변별력 문제

3

step

1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제

1

step

출제율 100% 우수 기출 대표문제

pp.9~10

01 ③ 02 ⑤ 03 ② 04 ⑤ 05 ⑤ 06 4 07 ③ 08 ④ 09 ④ 10 -1 11 ① 12 x<-2

13 0<x<1 또는 x>4 14 a> ;2!;

pp.11~14

01 17 02 ① 03 ⑤ 04 r£<r™<r¡ 05 ④ 06 ③ 07 4 08 31 09 10 ② 11 ③ 12 1 13 14 ⑤ 15 60 16 ④ 17 0 18 ⑤ 19 2 20 19 21 6 22 4 23 a<1 24 ⑤ 25 ③ 26 ⑤ 27 ⑴ 최댓값:2, 최솟값:1 ;2!;

;6@4&;

;1∞1;

p.15

01 ㄱ, ㄴ, ㄷ 02 k<6 03 310 04 15 05;9!; 06 9 07 36일

p.16 1 ② 2 ⑤ 3 103

01

지수함수

지수함수와 로그함수

I

s p e e d c h e c k

빠른 정답 체크

pp.18~19

01 ② 02 ④ 03 -1 04 31 05 ⑤ 06 ① 07 log£ 10 08 ② 09 125 10 ① 11 ③ 12 ④ 13 13 14 ⑤ 15 ⑤ 16 ③

pp.20~23

01 ④ 02 ④ 03 2 04 ⑤ 05 ② 06 ③ 07 ④ 08 -5 09 0 10 370 11 ④ 12 64 13 ④ 14 ④ 15 10 16 16 17 ① 18 4 19 { }

10

20 63 21 0<k< 22 ① 23 <x<2 24 79 25 ⑴ 풀이 참조 ⑵ M=6, m=2 ⑶ 3

;1@3%;

;8!;

;2!;

p.24

01 20 02 10 03 2'3 04 31 05 4'2 06 86 07 6

p.25 1 ③ 2 ④ 3 12 4 ⑤

02

로그함수

pp.27~28

01 15 02 1 03 ② 04 ⑤ 05 6 06 ① 07 ① 08 ⑤ 09 ⑤ 10 ④ 11 ② 12 ③ 13 ⑤ 14 ① 15 2 16 5

8 ln 2

pp.29~31

01 ① 02 ④ 03 1 04 05 2 06 ③ 07 ln 2 08 ⑤ 09 ② 10 ① 11 7 12 ⑤ 13 2 14 4 15 ② 16 ④ 17 e 18 7 19 ⑴ e ⑵ e¤

;2!;

p.32

01 4 02 ㄱ, ㄷ 03 2 04;2!; 05 e¤ 06 4 ln 2

p.33 1 ⑤ 2 ③ 3 ④ 4 ②

03

지수함수와 로그함수의 미분

pp.46~47

01 ⑤ 02 ③ 03 5 04 -1 05 ④ 06 1 07 6 08 ③ 09 ③ 10 ④ 11 ③ 12 ⑤ 13 9

pp.48~51

01 ③ 02 ① 03 ④ 04 05 ③ 06 p 07 ② 08 ④ 09 ④

10 6 11 5 12 13 ③ 14 -9 15 ③ 16 p 17 p 18 ③ 19 a= 또는 <a< 20 11 21 ② 22 p 23 ② 24 …h… p또는 p…h… p

25 - p…x…- 또는 …x… p 26 ⑴ y=3 cos { t- p}+5 ⑵ 10-3'2 m

;7$; 2

;7“;

;4#;

;4“;

;4“;

;4#;

:¡6¡:

;6&;

;6%;

;6“;

;1#2%;

;2%;

;2!;

;4!;

;6&;

;2“;

'3

;3@; 2

p.52

01 - 02 - 03 ①

04 - 05 2p¤

06 a=30, b=p, c=40

;4#;

'3+1 2 '3

2

p.53 1 ④ 2 256

05

삼각함수의 그래프

pp.37~38

01 ⑤ 02 ③ 03 3 04 ③ 05 ④ 06 3'5p 07 ① 08 09 ④ 10 8'5 11 ④ 12 11 13 ② 14 ① 15 ③

;2!;

pp.39~42

01 ② 02 ④ 03 ⑤ 04 4 05 06 5 07 30 08 ②

09 10 ④ 11 ③ 12 ⑤ 13 ② 14 ② 15 ③

16 -'6 17 18 p 19 - 20 ⑤ 21 37 22 ① 23 ③

24 ③ 25 3 26 ⑴ 4p ⑵ 6p-9'3 2 '3

;2%; 2

;8&;

p"√p¤ +1 p¤ +1

;2%;

p.43

01 8 02 4 03 04 25

05 2'5 06 36 07 p 9

'1å0 10

p.44 1 ③ 2 ① 3 ④ 4 ④

04

삼각함수의 정의

II

삼각함수

(3)

것이 수능

2

step

1등급을 위한 최고의 변별력 문제

3

step

1등급을 넘어서는 종합 사고력 문제

1

step

출제율 100% 우수 기출 대표문제

p.55

01 ④ 02 ④ 03 ⑤ 04 - 05 ② 06 2 07 -2 08 ④

;3!;

pp.56~59

01 ② 02 03 85 04 ④ 05 -16 06 - 07 ⑤ 08 09 '5 10 ① 11 ③ 12 ⑤ 13 8-4'5 14 '3 15 ⑤ 16 ④ 17 6 18 ④ 19 ① 20 8 21 ② 22 ② 23 21 24 ② 25 ① 26 ⑤ 27 ⑴ -1…P…0 ⑵ h=;2“;일 때 최댓값 11, h=0일 때 최솟값 3

;4#;

:¡5™:

;6“;

p.60

01 -1 02 7 03 f(h)=x-y 04 ② 05 06 21 07 2

2+p 2-p

p.61 1 ⑤ 2 ① 3 ④ 4 16

06

삼각함수의 미분

T o m o r r o w

better than today

p.65

01 ② 02 -2 03 ① 04 24 05 ② 06 ④ 07 ③ 08 0

pp.66~68

01 ② 02 4 03 1 04 ④ 05 1 06 7 07 10 08 ③ 09 36e¤

10 ① 11 2 12 ① 13 16 14 ① 15 1 16 16 17 5 18 ② 19 ③ 20 ① 21 ⑤ 22 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 0

p.69

01 02 - 03 3 ln 2 04 3 05 2ep 06 5 07 ;3@;

;4!;

:¡9§:

p.70 1 10 2 ① 3 ① 4 ①

07

여러 가지 미분법

III

미분법

pp.72~73

01 y= 02 ④ 03 2 04 ② 05 4 06 ① 07 ⑤ 08 ② 09 ④ 10 ③ 11 ① 12 ⑤ 13 '3 14 ①

;e{;

pp.74~76

01 ② 02 ln 2 03 3 04 ② 05 ② 06 1 07 ② 08 09 ④ 10 ⑤ 11 8 12 ① 13 ② 14 4 15 5-2'5 16 e 17 ④ 18 ② 19 - 20 ⑴ -'2…sin x+cos x…'2 ⑵ 극댓값:'2-1

⑶ {y|y는 -'2-1…y…'2-1}

;4!;

;4“;

p.77

01 -ln 2 02 03 ③

04 ep 05 1 06 4 1-e2p

16

;4#;

p.78 1 8 2 50 3 ⑤ 4 ③

08

도함수의 활용

pp.88~89

01 ⑤ 02 1-'2 03 ② 04 18 05 21 06 ⑤ 07 ③ 08 ② 09 ① 10 ① 11 ③ 12 2+2 ln 2 13 ② 14 15 ①

;4“;

pp.90~93

01 ⑤ 02 4-e 03 ④ 04 ⑤ 05 ④ 06 ③ 07 ③ 08 8 09 1 10 ④ 11 ④ 12 ④ 13 ④ 14 ③ 15 ④ 16 2 17 -9 18 '2- 19 12 20 ④ 21 22 6 23 - 24 25 ⑴ 3 ⑵ 12+4ln 3

;ç*;

;8!;

;18%6;

4 p-1

p.94

01 - 02 ⑤ 03 ⑤ 04

05 065'5+ ;6¡0;

;4#; 12

4'2

;4“; 5

p.95 1 ① 2 17 3 ⑤ 4 ③

10

정적분

p.81

01 ① 02 2 03 ④ 04 e¤

05 ② 06 ① 07 ① 08;2“;

pp.82~84

01 ③ 02 38 03 ② 04 7 05 ④ 06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 2'2 10 11 2- 12 ② 13 0 14 -2 ln 2 15 ⑤ 16 ⑤ 17 ln '3 18 ② 19 p+3 20 1 21 ② 22 3e¤

23 ⑴ I(t)=;2!;e† (sin t-cos t) ;2!;ep

;8“;

;6!;

p.85

01 02 03

04 2+ln 05 p 06 pep 07 41

;1∞2;

;4%;

9

;4!; p-3 1

e2p-1

p.86 1 ② 2 ④ 3 ① 4 67

09

여러 가지 적분법

IV

적분법

p.97

01 ③ 02 e+ -2 03 ③ 04 ④ 05 ② 06 369 07 ②

;e!;

pp.98~100

01 ③ 02 ④ 03 - ln 2 04 + 05 ① 06 - 07 ⑤

08 8-2p 09 ④ 10 ③ 11 12 ① 13 14 24 15 16 60

17 ⑤ 18 ⑴ (1, -1) ⑵ ;5!;

e¤ -1

;3!; 4

;6!;

4

;3&;

;ç@;

;2!;

;4“;

p.101

01 3p 02 ㄱ, ㄴ, ㄷ 03 9 04 4 05:¡3¡: 06 16 ln 2+ :¶4∞:

p.102 1 ③ 2 ① 3 ④ 4 131

11

정적분의 활용

BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.4 8:49 PM 페이지03 다민 2540DPI 175LPI

(4)

|

지수함수와 로그함수

I

A n s w e r

출제율 100% 우수 기출 대표문제 pp. 9~10

1

4

-1

x<-2 0<x<1또는 x>4 a> ;2!;

step

지수함수

02

ㄱ. (a, b)<A이면 b=3å 에서 b;2!;=(3å );2!;=3;2A;

'b=3;2A; ∴{ ,'b}<A (참) ㄴ. (a+1, b)<A이면 b=3å ±⁄ =3_3å 에서

=3å{a, }<A (참) ㄷ. (-2a, b)<A이면 b=3—¤ å 에서

b—⁄ =(3—¤ å )—⁄ =3¤ å

;3B;

;3B;

;2A;

01

함수 f(x)=a≈ (a>0, a+1)에 대하여

① f(2)=a¤ , 2f(1)=2a이므로 f(2)+2f(1) (거짓)

② f(6)=afl , { f(3)}‹ =(a‹ )‹ =a· 이므로 f(6)+{ f(3)}‹ (거짓)

"√f(2x)="ça¤ ≈ =(a¤ ≈ );2!;=a≈ (∵ a>0)

"√f(2x)=f(x) (참)

④ f(-'2x)=a-'2x= =

= ={ f(x)}-'2 {"√f(x)}—⁄ =("ça≈ )—⁄ =(a;2{;)—⁄

=(a≈ )-;2!;={ f(x)}-;2!;

∴ f(-'2x)+{"√f(x)}—⁄ (거짓)

⑤ f(x+3)=ax+3=ax_a‹ =a‹ f(x)

∴ f(x+3)+3f(x) (거짓)

따라서 옳은 것은 ③이다. ③

1 { f(x)}'2

1 (a≈ )'2 1

a'2

04

a«≠¡=f(a«) (n=1, 2, 3)에서 a™=f(a¡),

a£=f(a™)=f( f(a¡)),

a¢=f(a£)=f( f(a™))=f( f( f(a¡)))

이므로 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 a™, a£, a¢의 대소 관계는 a£<a¢<a™이다.

x y

y=3-x y=x

2 1

f(a£)=a¢

f(a¡)=a™

f(a™)=a£

a¡ a£ a™

O

03

함수 y=2≈ 의 그래프가 점 (6, p)를 지나므로 p=2fl

∴ ‹'p=‹ "ç2fl =(2fl );3!;=2;3^;=2¤ yy`㉠

또한, 함수 y=2≈ 의 그래프가 점 (2, b)를 지나므로

b=2¤ yy`㉡

㉠, ㉡에서 ‹'p=b

05

ㄱ. 함수 y=5≈ 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그 래프의 식은

-y=5≈ ∴ y=-5≈ (거짓) ㄴ. 함수 y=5≈ 의 그래프를 x축의

방향으로 1만큼 평행이동한 그 래프의 식은 y=5≈ —⁄ 이므로 오 른쪽 그림과 같이 함수 y=5≈

의 그래프보다 아래쪽에 놓이 게 된다. (참)

ㄷ. y=3_5≈ =3log∞ 5_5≈ =5log∞ 3_5≈ =5x+log∞ 3

이므로 함수 y=3_5≈ 의 그래프는 함수 y=5≈ 의 그래 프를 x축의 방향으로 -log∞ 3만큼 평행이동한 것이 다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ⑤

지수함수 f(x)=a≈ (a>0, a+1)의 성질 임의의 두 실수 x, y에 대하여

⑴ f(x+y)=f(x)f(y)hj˚ f(x+y)=a≈ ±¥ =a≈ a¥ =f(x)f(y)

⑵ f(x-y)= hj˚ f(x-y)=a≈ —¥ = =

⑶ f(nx)={ f(x)}« hj˚ f(nx)=a« ≈ =(a≈ )« ={ f(x)}« (n은 실수)

⑷ f(-x)= hj˚ f(-x)=a—≈ =(a≈ )—⁄ = =

⑸ f(0)=1hj˚ f(0)=a‚ =1

⑹ f(x+1)=a f(x)hj˚ f(x+1)=a≈ ±⁄ =a_a≈ =af(x) 1 f(x) 1 a≈

1 f(x)

f(x) f(y) a≈

f(x) f(y)

필수 개념 특강

blacklabel

지수함수의 그래프의 평행이동 : y=k_a≈ (k>0) 꼴 y=k_a≈ =k⁄ _a≈ =klogå a_a≈

=alogå k_a≈ (∵ 로그의 성질)

=ax+logå k(∵ 지수법칙)

=ax(-logå k)

따라서 함수 y=k_a≈ 의 그래프는 함수 y=a≈ 의 그래프를 x축의 방 향으로 -logå k만큼 평행이동한 것이다.

풀이첨삭

특강 blacklabel

1

1

y=5x-1

O x

y y=5x

1

;:;5

=3¤ å{2a, }<A (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

;b!;

;b!;

(5)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |

005

본문 pp. 9~10

06

함수 y=2-x¤ +4x-3에서

f(x)=-x¤ +4x-3

=-(x-2)¤ +1

이라 하면 함수 f(x)는 x=2일 때, 최댓값 1을 갖는다.

이때, 함수 y=2f(x)에서 (밑)=2>1이므로 함수 f(x)가 최댓값을 가질 때 y도 최댓값을 갖는다.

따라서 주어진 함수는 x=2일 때, 최댓값 2⁄ =2를 가지므 로 m=2, n=2이다.

∴ m+n=4 4

07

y=4≈ +4—≈ -2(2≈ +2—≈ )+5에서 y=(2≈ +2—≈ )¤ -2-2(2≈ +2—≈ )+5

=(2≈ +2—≈ )¤ -2(2≈ +2—≈ )+3

2≈ +2—≈ =t로 놓으면 2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기 하평균의 관계에 의하여

t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ _2—≈ (단, 등호는 x=0일 때 성립)

=2

∴ tæ2

이때, y=f(t)라 하면 f(t)=t¤ -2t+3

=(t-1)¤ +2 (tæ2) 따라서 함수 y=f(t)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으 므로 t=2일 때, 최솟값 3

을 갖는다. ③

1 2

-3

f(x)=-(x-2)2+1

O x

y

1 2 2

3 f(t)=(t-1)2+2

O t

y

08

{ }-x+1={ }-(x-1)={ }x-1이므로

{ }

x¤ -3

={ }

-x+1

에서{ }

x¤ -3

={ }

x-1

밑이 로 같으므로 x¤ -3=x-1에서 x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0

∴ x=-1 또는 x=2

따라서 주어진 방정식의 모든 근의 합은

(-1)+2=1

;3@;

;3@;

;3@;

;2#;

;3@;

;3@;

;2#;

;2#;

09

(2x-1)≈ —‹ =11≈ —‹에서

x-3=0, 즉 x=3일 때,

주어진 방정식은 5‚ =11‚ =1이므로 성립한다.

¤ x-3+0, 즉 x+3일 때, 밑이 같아야 하므로 2x-1=11, 2x=12

∴ x=6

⁄, ¤에서 모든 근의 합은 3+6=9 ④

10

4≈ =2≈ ±⁄ +k에서 (2≈ )¤ -2_2≈ -k=0 2≈ =t(t>0)로 놓으면 주어진 방정식은 t¤ -2t-k=0(단, t>0) yy㉠

이때, 주어진 방정식이 서로 다른 두 근을 가지려면 t에 대 한 이차방정식 ㉠이 서로 다른 두 양의 실근을 가져야 한다.

11

쥐가 죽는 순간부터 t시간 후의 두 세균 S, T의 개체 수를 각각 S(t), T(t)라 하면

S(t)=4_2;4T;, T(t)=256_2;6T;(단, tæ0)

이때, 쥐가 죽은 후 두 세균 S, T의 개체 수가 같아지는 순 간을 t라 하면 S(t)=T(t)에서

4_2;4T;=256_2;6T;, 22+;4T;=28+;6T;

밑이 2로 같으므로 2+ =8+ 에서

=6 ∴ t=72

따라서 쥐가 죽은 순간부터 72시간 후의 세균 S의 개체 수는

S(72)=4_2:¶4™:=22+:¶4™:=2¤ ‚

;1:T2;

;6T;

;4T;

12

{ }x+ { }x>9{ }x+1에서

[{ }

x

]

2

+ { }

x

>9{ }

x

+1

{ }

x

=t(t>0)로 놓으면 t¤ + t>9t+1, 9t¤ -80t-9>0

(9t+1)(t-9)>0 ∴ t<- 또는 t>9 그런데 t>0이므로 t>9이다.

즉, { }

x

>9에서

{ }

x

>{ }

-2

이때, 0<(밑)=;3!;<1이므로 x<-2 x<-2

;3!;

;3!;

;3!;

;9!;

;9!;

;3!;

;3!;

;3!;

;9!;

;3!;

;3!;

;3!;

;9!;

;9!;

이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면

=1+k>0 ∴ k>-1

¤ (두 근의 곱)>0이므로 -k>0 ∴ k<0

⁄, ¤에서 -1<k<0

∴ p=-1, q=0 ∴ p+q=-1 -1

D 4

13

x>x‹ ≈ ±› (x>0)에서

0<x<1일 때,

x¤ <3x+4이므로 x¤ -3x-4<0 (x+1)(x-4)<0 ∴ -1<x<4 그런데 0<x<1이므로 0<x<1이다.

¤ x>1일 때,

x¤ >3x+4이므로 x¤ -3x-4>0

(x+1)(x-4)>0 ∴ x<-1 또는 x>4 그런데 x>1이므로 x>4이다.

⁄, ¤에서 주어진 부등식의 해는

0<x<1또는 x>4 0<x<1또는 x>4

¤ x=1일 때는 부등식이 성립하지 않으므로 생각하지 않는다.

14

2≈ —¤ = 에서 2≈ —¤ =2—;2#;

밑이 2로 같으므로 x-2=-;2#;

1 2'2

BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지05 다민 2540DPI 175LPI

(6)

|

단계형 서술형 ⑴ 최댓값:2, 최솟값:1 ;2!;

01

1등급을 위한 최고의 변별력 문제 pp. 11~14

2

17 r£<r™<r¡

4 31

1 60 0

2 19 6 4

a<1

;6@4&;

;1∞1;

step

f(2a)f(b)=4에서 2—¤ å _2—∫ =2¤ , 2—¤ å —∫ =2¤

밑이 2로 같으므로 -2a-b=2 yy`㉠

f(a-b)=2에서 2-(a-b)=2⁄

밑이 2로 같으므로 -a+b=1 yy`㉡

㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=-1, b=0 2‹ å +2‹ ∫ =2—‹ +2‚ = +1=

∴ p=8, q=9

∴ p+q=8+9=17 17

;8(;

;8!;

지수법칙

a>0, b>0이고 m, n이 실수일 때,

⑴ aμ _a« =aμ ±« ⑵ aμ ÷a« =aμ —« ⑶ (aμ )« =aμ «

⑷ (ab)« =a« b« { }n =

;bA;

필수 개념 특강

blacklabel

03

f(x)= 에 대하여

ㄱ. f{;2!;}= = = = (참)

ㄴ. f(1-x)= = =

∴ f(x)+f(1-x)= +

= =1(참)

ㄷ. ㄴ에서 f(x)+f(1-x)=1이므로

f {;10!1;}+f{;1!0)1);}=1, f{;10@1;}+f{;1ª0ª1;}=1, y, f {;1∞0º1;}+f{;1∞0¡1;}=1

f {;10K1;}=f{;10!1;}+f{;10@1;}+y+f{;1!0)1);}

=[ f{;10!1;}+f{;1!0)1);}]

+[ f{;10@1;}+f{;1ª0ª1;}]+y +[ f{;1∞0º1;}+f{;1∞0¡1;}]

=1_50=50(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

¡100 k=1

4≈ +2 4≈ +2

2 4≈ +2 4≈

4≈ +2

2 4≈ +2 4

4+2_4≈

4⁄ —≈

4⁄ —≈ +2

;2!;

;4@;

2 2+2 4;2!;

4;2!;+2 4≈

4≈ +2

02

A=« ±› "ça« ±‹ =a;::::;;n+3n+4, B=« ±‹ "ça« ±¤ =a;::::;;n+2n+3, C=« ±¤ "ça« ±⁄ =a;::::;;n+1n+2이므로

- =

= >0

> yy`㉠

- =

= 1 >0

(n+2)(n+3)

(n+2)¤ -(n+1)(n+3) (n+2)(n+3) n+1

n+2 n+2 n+3

n+2 n+3 n+3

n+4

1 (n+3)(n+4)

(n+3)¤ -(n+2)(n+4) (n+3)(n+4) n+2

n+3 n+3 n+4

04

f(10)=(1+r¡)⁄ ‚ , g(10)={1+ }2 0 ,

h(10)={1+ }4 0 이고 f(10)=g(10)=h(10)이므로

f(10)=g(10)에서

(1+r¡)⁄ ‚ ={1+ }2 0 , (1+r¡)⁄ ‚ =[{1+ }2 ]1 0

∴ 1+r¡={1+ }2 {∵ 1+r¡>0, 1+ >0}

즉, 1+r¡=1+r™+ 이므로

r¡-r™= >0 (∵ r™¤ >0) ∴ r¡>r™

¤ g(10)=h(10)에서

{1+ }2 0 ={1+ }4 0 , {1+ }2 0 =[{1+ }2 ]2 0

∴ 1+ ={1+ }2 {∵ 1+ >0, 1+r£>0}

4 r™

2

4 r™

2

4 r™

2

4 r™

2 r™¤

4

r™¤

4

r™

2 r™

2

r™

2 r™

2

4

r™

2

∴ x= ∴ A=[ ] 한편, 2<2å ≈에서 (밑)=2>1이므로 x¤ <ax yy`㉠

이때, A;B+∅이므로 <B이어야 한다.

따라서 x= 을 ㉠에 대입하면 부등식이 성립해야 하므로

{ }2 < a에서

a>;4!; ∴ a>;2!; a> ;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!; ∴ > yy`㉡

㉠, ㉡에서 > >

이때, 0<(밑)=a<1이므로 a;::::;;n+3n+4<a;::::;;n+2n+3<a;::::;;n+2n+1

∴ A<B<C

n=1일 때, A=fi"ça› =a;5$;, B=›"ça‹ =a;4#;, C=‹"ça¤ =a;3@;

이때, > > 이고, 0<(밑)=a<1이므로 a;5$;<a;4#;<a;3@; ∴ A<B<C

;3@;

;4#;

;5$;

n+1 n+2 n+2 n+3 n+3

n+4 n+1 n+2 n+2 n+3

(7)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |

007

본문 pp. 10~11

05

f(x)=a≈ (a>1)에 대하여

ㄱ. 2f(x)=15f(x+1)-f(x-1)에서 2a≈ =15a≈ ±⁄ -a≈ —⁄

a≈ >0이므로 위의 식의 양변을 a≈ 으로 나누면 2=15a-

15a¤ -2a-1=0(∵ a>1) (5a+1)(3a-1)=0

∴ a=- 또는 a=

그런데 a>1이므로 조건을 만족하는 a의 값이 존재하 지 않는다. (거짓)

ㄴ. f(x)=a≈ >0, f(-x)=a—≈ ={ }

x

>0이므로 산술 평균과 기하평균의 관계에 의하여

a≈ +a—≈ æ2"√a≈ _a—≈ (단, 등호는 x=0일 때 성립)

=2(참)

ㄷ. f(|x|)- { f(x)+f(-x)}

=a|x|- (a≈ +a—≈ )

=a|x|- a≈ - a—≈ yy㉠

xæ0일 때, a|x|=a≈이고, 위의 그림에서 xæ0일 때, 함수 y=a≈ 의 그래프가 함수 y=a—≈ 의 그래프 보다 위쪽에 있으므로 a≈ æa—≈

즉, ㉠에서

a≈ - a≈ - a—≈ = a≈ - a—≈ æ0

∴ f(|x|)æ { f(x)+f(-x)}

¤ x<0일 때, a|x|=a—≈이고, 위의 그림에서 x<0일 때, 함수 y=a—≈ 의 그래프가 함수 y=a≈ 의 그래프 보다 위쪽에 있으므로 a—≈ >a≈

즉, ㉠에서

a—≈ - a≈ - a—≈ = a—≈ - a≈ >0

∴ f(|x|)> { f(x)+f(-x)}

⁄, ¤에서 f(|x|)æ { f(x)+f(-x)} (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다. ④

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

O 1

x

y=a-x y y=ax

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;a!;

;3!;

;5!;

;a!;

ㄷ. 두 함수 y=a|x|, y= (a≈ +a—≈ )의 그래 프가 오른쪽 그림과 같으 므로

f(|x|)æ { f(x)+f(-x)}

ㄷ. 함수 f(x)=a≈ 에 대하여 a>1이므로 x의 값이 증가 하면 f(x)의 값도 증가한다.

이때, 모든 실수 x에 대하여 x…|x|, -x…|x|

이므로 f(x)…f(|x|), f(-x)…f(|x|)

∴ f(|x|)æ;2!;{ f(x)+f(-x)}

;2!;

;2!;

06

f(x)= = _5≈ =5log∞ ;2!;_5≈

=5-log∞ 2_5≈ =5x-log∞ 2

이므로 함수 f(x)= 의 그래프는 함수 y=5≈ 의 그래프 를 x축의 방향으로 log∞ 2만큼 평행이동한 것이다.

따라서 함수 f(x)= 의 그래프는 함수 y=5≈ 의 그래프 와 모양이 같다.

ㄱ. 함수 y=5≈ 은 실수 전체의 집합에서 일대일 대응이므 로 함수 f(x)= 도 실수 전체의 집합에서 일대일 대 응이다.

따라서 임의의 두 실수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)=f(x™)이면 x¡=x™이다.(참)

ㄴ. (밑)=5>1이므로 x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다. 즉, x¡<x™이면 f(x¡)<f(x™)이다. (거짓) ㄷ. 함수 y=5≈ 의 그래프는 아래로 볼록하므로 서로 다른

두 실수 x¡, x™에 대하여

f { }< 이다. (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

f(x¡)+f(x™) 2 x¡+x™

2

5≈

2 5≈

2 5≈

2

;2!;

5≈

2 즉, 1+ =1+ + 이므로

r™-r£= >0 (∵ r£¤ >0) ∴ r™>r£

, ¤에서 r£<r™<r¡ r£<r™<r¡

r£¤

8

r£¤

16

2 r™

2

O

1

x y y=a|x|

y=;2!;(ax+a-x)

볼록한 모양의 함수의 그래프

연속함수 y=f(x)의 그래프에 대하여 f{ }는 중점에서의 함

숫값을 의미하고, 는 함숫값들의 중점을 의미한다.

⑴ f{ }=

HjK f(x)는 직선

⑵ f{ }<

HjK f(x)는 아래로 볼록

⑶ f{ }>

HjK f(x)는 위로 볼록 f(x¡)+f(x™)

2 x¡+x™

2

f(x¡)+f(x™) 2 x¡+x™

2

f(x¡)+f(x™) 2 x¡+x™

2

f(x¡)+f(x™) 2

x¡+x™

2

풀이첨삭

특강 blacklabel

x™

y=f(x) f(x™)

f(x¡)

O x

y

f(x¡)+f(x™)

;:::::::::::;2

x¡+x™

;:::::;2 x¡+x™

f{;:::::;} 2

BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지07 다민 2540DPI 175LPI

(8)

|

07

두 점 A, D의 x좌표가 같으 므로

D(a, 3å )

이때, 두 점 D, C의 y좌표가 같으므로 점 C의 x좌표를 k라 하면 3å =3˚ —å 에서

a=k-a ∴ k=2a

∴ C(2a, 3å )

두 점 B, C의 x좌표가 같으므로 B(2a, 0) 직사각형 ABCD의 넓이가 324이므로 AB”_BC”=(2a-a)_3å =324에서 a_3å =4_3›

∴ a=4 4

O A(a, 0) B(2a, 0) C(2a, 3a)

x y y=3x y=3x-a D(a, 3a)

3a (2a-a)

함수 f(x)={ }

x-5

-64의 그래프는 함수 y={ }

x

그래프를 x축의 방향으로 5만큼, y축의 방향으로 -64 만큼 평행이동한 것이다.

이때, 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌 표를 k라 하면

0={ }

k-5

-64, 2fi —˚ =64, 2fi —˚ =2fl 밑이 2로 같으므로

5-k=6 ∴ k=-1

또한, 함수 y=f(x)의 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌 표를 l이라 하면

l=f(0)={ }

-5

-64

=2fi -64=-32

이때, 함수 y=f(x)의 그래프의 점근선의 방정식은 y=-64이므로

y=| f(x)|=

즉, 함수 y=| f(x)|의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 이 그래프와 직선 y=k가 제 1사 분면에서 만나기 위해서는 32<k<64이어야 한다.

따라서 구하는 자연수 k의 개 수는 64-32-1=31(개)

31 {;2!;}

x-5

-64 (x<-1) -{;2!;}

x-5

+64 (xæ-1) (

{ 9

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

❶ 단계 함수 f(x)={ }

x-5-64의 그래프가 x축, y축과 만나는 점 의 x좌표와 y좌표를 각각 구한다.

;2!;

함수 y=| f(x)|의 그래프를 그린다.

❷ 단계

직선 y=k가 ❷ 단계에서 그린 함수 y=| f(x)|의 그래프 와 제 1사분면에서 만나도록 하는 k의 값의 범위를 구한 후, 이를 만족하는 자연수 k의 개수를 구한다.

❸ 단계

08

해결단계

09

함수 f(x)=a≈ (a>1)의 그래프를 x축의 방향으로 t˚만 큼 평행이동시킨 그래프의 식을 y=g˚(x)라 하면 g˚(x)=ax-t˚

함수 y=g˚(x)의 그래프가 점 (k, 6)을 지나므로 6=ak-t˚ ∴ a-t˚=

한편, 함수 y=g˚(x)의 그래프의 y절편이 b˚이므로 b˚=g˚(0)=a-t˚=

b˚= =6_ {;a!;}k

=6_ {∵ 0< <1}

=6_ =

이때, b˚=5에서 =5이므로

6=5a-5, 5a=11 ∴ a=

∴ f(x)={ }/

∴ f(-1)={ }

-1

=;1∞1; ;1∞1;

:¡5¡:

:¡5¡:

:¡5¡:

6

;K'+! a-1

6 a-1

;a!;

a-1 ::a::

;a!;

;a!;

1-;a!;

;K'+!

6

;K'+!

;K'+!

6

6

10

오른쪽 그림에서 AB”=2이므로 점 A의 x좌표를 a라 하면 점 B의 x좌표는 a+2이고, 두 점 A, B의 y좌표는 같으므로 9å =3å ±¤, 3¤ å =3å ±¤

밑이 3으로 같으므로 2a=a+2 ∴ a=2

∴ k=9¤ =81

또한, 직선 y= = , 즉 y=27과 두 곡선이 만나는 두 점 C, D의 x좌표를 각각 c, d라 하면

9ç =27, 3∂ =27이므로 3¤ ç =3‹ , 3∂ =3‹

밑이 3으로 같으므로 c= , d=3

∴ CD”=d-c=3-;2#;=;2#; ②

;2#;

;;•3¡;;

;3K;

1 C D

2 B

A y=k

a c d a+2 k

y=3x y=9x

O x

y

k

;:;3 k y=;:; 3

11

ㄱ. 곡선 y=f(x)와 직선 y=x 는 점 (1, 1)에서 만나므로 오른쪽 그림에서 0<a<1이 면 f(a)<a이다. (참) ㄴ. 곡선 y=f(x) 위의 두 점

A(a, f(a)), B(b, f(b))

(0<a<b)에 대하여 직선 AB의 기울기는

= =2∫ -2å

b-a 2∫ -1-(2å -1)

b-a f(b)-f(a)

b-a

O x

y y=f(x) y=x

1 a 1 a f(a)

O x

y y=|{;2!;}

x-5

-64|

y=k 64

32

-1

(9)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |

009

본문 pp. 12~13

0<a<b<1일 때 오른쪽 그 림과 같이 두 점 A, B를 지 나는 직선의 기울기는 직선 y=x의 기울기 1보다 작으 므로

<1

∴ b-a>2∫ -2å (거짓) ㄷ. 0<a<b일 때 오른쪽 그림과

같이

(직선 OA의 기울기)

<(직선 OB의 기울기) 이므로

<

∴ b(2å -1)<a(2∫ -1) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ③

2∫ -1 b 2å -1

a 2∫ -2å

b-a

x

y y=f(x)

y=x

1 a b 1

f(a) f(b)

O B

A

O A

B

x

y y=f(x)

a b

2a-1 2b-1

12

오른쪽 그림과 같이

곡선 y={ }≈ 과 y축과의 교점의 좌표 가 (0, 1)이므로 A¡(0, 1)

∴ A¡H¡”=1

점 H™의 x좌표는 1이고 두 점 A™, H™의 x좌표는 같으 므로

A™{1, } ∴ A™H™”=

점 H£의 x좌표는 1+ = 이고 두 점 A£, H£의 x좌 표는 같으므로

A£{ , { };2#;} ∴ A£H£”={ }

;2#;

즉, 세 번째 정사각형의 한 변의 길이는{ }

;2#;이므로

S=‡{ }

;2#;°¤

={ }‹ =

∴ 8S=8_;8!;=1 1

;8!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

;2#;

;2#;

;2!;

;2!;

;2!;

;2!;

13

오른쪽 그림과 같이 x축 위에 있는 두 직사각형의 꼭짓점의 좌표를 각각 (a, 0), (a+3, 0), (b, 0)이라 하면 직사각 형 A의 가로, 세로의 길 이는 각각 3, { }

a

이고, 직사각형 B의 가로, 세로의 길이 는 각각 b-a-3,{ }

a+3

이다.

두 직사각형 A, B의 넓이를 각각 SÅ, Sı라 하면 SÅ=3_{ }

a

, Sı=(b-a-3){ }

a+3

이때, 3Sı=SÅ이므로 3(b-a-3){ }

a+3

=3_{ }

a

;3$; 에서

;3$;

;3$;

;3$;

;3$;

;3$;

O (=H¡)

H™

1 A™

;:;2

1

;:;2

3

;:;2

1 {;:;}2

3

;:;2

1 {;:;}2 1

H¢ y y y

x y

1

y={;:;} 1

x

2

{b-(a+3)}

3 A

B

a b

a+3 y=

4 {;:;}a 3

4 {;:;}/

4 3 {;:;}

a+3

3

1

O x

y

단계 채점 기준 배점

x축 위에 있는 두 직사각형의 꼭짓점의 x좌표를 각각 a, a+3, b로 놓고 직사각형 A의 가로, 세로의 길 이가 각각 3, { }

a

임을 이용하여 직사각형 A의 넓이를 구한 경우

;3$;

40%

직사각형 B의 가로, 세로의 길이가 각각 b-a-3,

{ }

a+3

임을 이용하여 직사각형 B의 넓이를 구한 경우

;3$; 30%

직사각형 A의 넓이가 직사각형 B의 넓이의 3배임 을 이용하여 직사각형 B의 가로의 길이를 구한 경우 30%

14

조건 ㈐에서 h(x)=f(x)+g(x)이므로 f(x)+g(x)=5≈ yy`㉠

h(-x)=f(-x)+g(-x)=5—≈ 이므로 조건 ㈎, ㈏에서 f(x)-g(x)=5—≈ yy`㉡

㉠+㉡`을 하면 2f(x)=5≈ +5—≈

∴ f(x)=

따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형으로 알맞은 것은

⑤이다. ⑤

5≈ +5—≈

2

y¡=5≈, y™=5—≈ 으로 놓으면 y= 이므로 y는 y¡과 y™의 평 균이다.

따라서 두 곡선 y¡=5≈ , y™=5—≈ 과 y 축에 평행한 직선이 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 y= 의 그래프

는 선분 PQ의 중점 M으로 이루어진 곡선이므로 위의 그림과 같다.

5≈ +5—≈

2 y¡+y™

2

풀이첨삭

특강 blacklabel

1Q P

M

O x

y

5x+5-x y=;::::::;; 2 y¡=5x

y™=5-x

15

y={;9!;}/ -2_{;3!;}/ -1=[{;3!;}/ ]2 -2_{ }/ -1 { }/ =t(t>0)로 놓으면

y=t¤ -2t-1=(t-1)¤ -2 이때, -2…x…3에서

…t…9이므로

y=(t-1)¤ -2 {단,t…9}

따라서 주어진 함수는 오른쪽 그림 과 같이 t=9일 때 최댓값 62, t=1일 때 최솟값 -2를 갖는다.

∴ M=62, m=-2

∴ M+m=62+(-2)

=60 60

;2¡7;

;2¡7;

;3!;

;3!;

(b-a-3){ }‹ =1

∴ b-a-3={ }‹ =

따라서 직사각형 B의 가로의 길이는 ;6@4&;이다. ;6@4&;

;6@4&;

;4#;

;3$;

9 -2

62

1 1

;::27

O t

y y=(t-1)2-2

BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지09 다민 2540DPI 175LPI

(10)

|

16

f(x)=x¤ -6x+3=(x-3)¤ -6 함수 y=f(x) (1…x…4)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=3일 때 최솟값 -6, x=1일 때 최댓값 -2를 갖는다.

∴ -6…f(x)…-2

함수 g(x)=a≈ (a>0, a+1) 에 대하여

0<a<1일 때,

x의 값이 증가하면 g(x)의 값은 감소하므로 합성함수 (gΩf)(x)는 f(x)=-6일 때 최댓값 27을 갖고, f(x)=-2일 때 최솟값 m을 갖는다.

즉, g(-6)=27에서 a—fl =27=3‹ 이므로 a—¤ =3, a¤ = ∴ a= (∵ a>0) g(-2)=m에서 a—¤ =m이므로

m=a—¤ =(a¤ )—⁄ ={ }

-1

=3

¤ a>1일 때,

x의 값이 증가하면 g(x)의 값도 증가하므로 합성함수 (gΩf)(x)는 f(x)=-2일 때 최댓값 27을 갖고, f(x)=-6일 때 최솟값 m을 갖는다.

즉, g(-2)=27에서 a—¤ =27이므로 a¤ = ∴ a= (∵ a>0)

그런데 <1이므로 a>1을 만족하지 않는다.

⁄, ¤에서 합성함수 (gΩf)(x)의 최솟값은 m=3이다.

'3

9

'3

;2¡7; 9

;3!;

'3

;3!; 3

17

y=(3≈ -1)¤ +(3—≈ -1)¤

=(3≈ )¤ +(3—≈ )¤ -2(3≈ +3—≈ )+2

=(3≈ +3—≈ )¤ -2(3≈ +3—≈ )

3≈ +3—≈ =t로 놓으면 3≈ >0, 3—≈ >0이므로 산술평균과 기 하평균의관계에의하여

t=3≈ +3—≈ æ2"√3≈ _3—≈ (단, 등호는 x=0일 때 성립)

=2

∴ tæ2

따라서 y=t¤ -2t=(t-1)¤ -1 (tæ2)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 주어진 함수

는 t=2, 즉 x=0일 때 최솟값 0을 갖는다.

∴ a=0, m=0

∴ a+m=0 0

y=(t-1)2-1

-1 1 2

O t

y

0<(밑)= <1이므로 합성함수 (gΩf)(x)는 함수 f(x)가 최솟값을 가질 때 최댓값을 갖는다.

그런데 1…x…4에서 함수

f(x)=-2(x-3)¤ +4의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 f(x)는 x=1일 때 최솟값 -4를 갖는다.

따라서 함수 (gΩf )(x)의 최댓값은 { }

-4

=3› =81

;3!;

;3!;

y=f(x)

3 1

4 4

-4 2

O x

y

18

조건 ㈐에서 f(3-x)=f(3+x)이므로 이차함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=3에 대하여 대칭이다.

f(x)=a(x-3)¤ +b (a, b는 상수, a+0)라 하면 조건 ㈎ f(1)=-4에서 4a+b=-4 yy`㉠

조건 ㈏ f(2)=2에서 a+b=2 yy`㉡

㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=-2, b=4

∴ f(x)=-2(x-3)¤ +4 (gΩf )(x)=g(f(x))={ }

f(x)

={ }

-2(x-3)¤ +4

;3!; 에서

;3!;

19

8≈ -4≈ ±⁄ -2≈ ±‹ +8=0에서 (2≈ )‹ -4_(2≈ )¤ -8_2≈ +8=0

2≈ =t(t>0)로 놓으면 t‹ -4t¤ -8t+8=0에서 (t+2)(t¤ -6t+4)=0

∴ t=-2 또는 t=3—'5 그런데 t>0이므로 t=3—'5

이때, 방정식 8≈ -4≈ ±⁄ -2≈ ±‹ +8=0의 서로 다른 두 근이 a, b이므로 이차방정식 t¤ -6t+4=0의 서로 다른 두 실 근은 2a, 2b이다.

(두 근의 곱)=2a_2b=(3+'5)(3-'5)=4

∴ 2a+b=2¤

밑이 2로 같으므로 a+b=2 2

O x

y

y=f(x)

1 3 4

-2

-5 -6

20

9≈ -2(a+4)3≈ -3a¤ +24a=0에서 (3≈ )¤ -2(a+4)3≈ -3a¤ +24a=0 3≈ =t (t>0)로 놓으면

t¤ -2(a+4)t-3a¤ +24a=0 yy㉠

x가 양수일 때, t>1이므로 주어진 방정식의 서로 다른 두 근이 모두 양수가 되려면 이차방정식 ㉠의 서로 다른 두 실 근은 모두 1보다 커야 한다. 즉,

f(t)=t¤ -2(a+4)t-3a¤ +24a라 하면 이차함수 y=f(t)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다.

이차방정식 f(t)=0의 판별식을 D라 하면

=(a+4)¤ -(-3a¤ +24a)>0에서 a¤ +8a+16+3a¤ -24a>0

4a¤ -16a+16>0

4(a-2)¤ >0 ∴ a+2인 실수

¤ f(1)>0에서 1-2(a+4)-3a¤ +24a>0 3a¤ -22a+7<0, (3a-1)(a-7)<0

<a<7

함수 y=f(t)의 그래프의 대칭축은 직선 t=a+4이 므로 a+4>1이어야 한다.

∴ a>-3

⁄, ¤, ‹에서 <a<2또는 2<a<7이다.

따라서 조건을 만족하는 정수 a는 1, 3, 4, 5, 6이므로 구하는 합은

1+3+4+5+6=19 19

;3!;

;3!;

D 4

t y=f(t)

1

(11)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수 |

011

본문 pp. 13~14

21

[ 에서 81¤ ≈ =X(X>0), 81¤ ¥ =Y(Y>0)

로 놓으면[ , 즉[

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 X, Y는 이차방정식 t¤ -36t+243=0의 두 근이다.

즉, (t-9)(t-27)=0에서 t=9 또는 t=27

∴ X=9, Y=27 또는 X=27, Y=9

X=9, Y=27일 때, 81¤ ≈ =9, 81¤ ¥ =27이므로 (3› )¤ ≈ =3¤, (3› )¤ ¥ =3‹

3° ≈ =3¤, 3° ¥ =3‹

밑이 3으로 같으므로 8x=2, 8y=3

∴ x= , y=

¤ X=27, Y=9일 때, 81¤ ≈ =27, 81¤ ¥ =9이므로 (3› )¤ ≈ =3‹, (3› )¤ ¥ =3¤

3° ≈ =3‹, 3° ¥ =3¤

밑이 3으로 같으므로 8x=3, 8y=2

∴ x= , y=

⁄, ¤에서

xy= _ = ∴ A=xy=

∴ 64A=64_;3£2;=6 6

;3£2;

;3£2;

;8#;

;4!;

;4!;

;8#;

;8#;

;4!;

X+Y=36 XY=243 X+Y=36

"√XY=9'3 81¤ ≈ +81¤ ¥ =36 81≈ ±¥ =9'3

22

점 A(a, b)는 곡선 y=2≈ +1위의 점이므로 b=2å +1 yy`㉠

∴ A(a, 2å +1) 점 B의 x좌표는 점 A의 x좌표와 같고, 점 B는 곡 선 y=4≈ +1 위의 점이므 로 B(a, 4å +1)

점 C의 y좌표는 점 B의 y좌표와 같으므로 점 C의 x좌 표를 c라 하면 점 C는 곡선 y=2≈ +1 위의 점이므로 4å +1=2ç +1, 2¤ å =2ç

밑이 2로 같으므로

c=2a ∴ C(2a, 4å +1)

점 D의 x좌표는 점 C의 x좌표와 같고, 점 D는 곡선 y=4≈ +1위의 점이므로 D(2a, 4¤ å +1)

∴ AB”=(4å +1)-(2å +1)=4å -2å ,

CD”=(4¤ å +1)-(4å +1)=4¤ å -4å =4¤ å -2¤ å

이때, =12이므로 =12에서

=12, 4å +2å =12 (2å )¤ +2å -12=0, (2å +4)(2å -3)=0

∴ 2å =3 (∵ 2å >0) 이것을 ㉠에 대입하면

b=3+1=4 4

(4å +2å )(4å -2å ) 4å -2å

4¤ å -2¤ å 4å -2å CD”

AB”

y=4x+1 y=2x+1

O x

y

C(2a, 4a+1) A(a, 2a+1) B(a, 4a+1)

2 D(2a, 42a+1)

23

x에 대한 이차부등식 x¤ -2(2å +1)x-3(2å -5)>0이 모 든 실수 x에 대하여 성립하려면

f(x)=x¤ -2(2å +1)x-3(2å -5)라 할 때, 이차함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽그림과같아야한다.

이차방정식 f(x)=0의판별식을 D라하면

=(2å +1)¤ +3(2å -5)<0에서 (2å )¤ +5_2å -14<0

이때, 2å =t(t>0)로 놓으면 t¤ +5t-14<0 (t+7)(t-2)<0 ∴ -7<t<2 그런데 t>0이므로 0<t<2에서 0<2å <2⁄

(밑)=2>1이므로 a<1 a<1 D

4

24

a_3—≈ …3-2x+1에서 a_{ }≈ …3_{ }¤ ≈

이때, { }≈ >0이므로 양변을{ }≈ 으로 나누면 a…3_{ }≈

{ }≈ =t(t>0)로 놓으면

a…3t yy㉠

-3…x…3에서 …t…27이므로 부등식 ㉠이 항상 성

립하려면

a…3_ ∴ a…

따라서 상수 a의 최댓값은 ;9!;이다. ⑤

;9!;

;2¡7;

;2¡7;

;3!;

;3!;

;3!;

;3!;

;3!;

;3!;

25

0<(밑)= x-1<1, 즉 3<x<6일 때, x¤ -8x>5x-40이므로 x¤ -13x+40>0 (x-5)(x-8)>0

∴ x<5 또는 x>8

그런데 3<x<6이므로 3<x<5

¤ (밑)= x-1=1, 즉 x=6일 때, 1<1이므로 만족하지 않는다.

∴ x+6

(밑)= x-1>1, 즉 x>6일 때, x¤ -8x<5x-40이므로 x¤ -13x+40<0 (x-5)(x-8)<0 ∴ 5<x<8 그런데 x>6이므로 6<x<8

⁄, ¤, ‹에서 3<x<5 또는 6<x<8

따라서 조건을 만족하는 정수 x는 4, 7이므로 구하는 합은

4+7=11

;3!;

;3!;

;3!;

x y=f(x)

26

해결단계

❶ 단계 주어진 식을 간단히 정리한다.

{;2!;}≈ =t (t>0)로 치환하여 t에 대한 이차부등식을 만든다.

❷ 단계

t>0일 때, f(t)>0일 조건을 이용하여 k의 최댓값을 구한다.

❸ 단계

BL미적분2(해)-01~03(001~038) 2014.12.3 6:32 PM 페이지11 다민 2540DPI 175LPI

참조

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