확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 32 2018. 2. 6. 오전 10:29
Ⅲ. 통계 33 E(X^2)=0\2/7+1\4/7+4\1/7=8/7
.t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2
=8/7-(6/7)^^2=20/49
[3단계] 따라서 확률변수 X의 표준편차는 σ(X)=◈~V(X)=rt 20/49= 2rt57
답 2rt5
7
275
평균&: E(2X-5)=2E(X)-5=2\3-5=1 분산&: V(2X-5)=2^2&V(X)=4\9=36 표준편차&: σ(2X-5) =|2|σ(X)
=2\3 σ(X)=◈~V(X)=3
=6
답 평균&: 1, 분산&: 36, 표준편차&: 6
277
[1단계] 확률변수 X의 평균과 분산을 구한다.
E(X) =0\1/5+1\3/10+2\3/10+3\1/5 =3/2
E(X^2) =0^2&\1/5+1^2&\3/10+2^2&\3/10+3^2&\1/5 =3 3/10
.t3 V(X) =E(X^2)-{E(X)}^2 =33/10-(3/2)^^2=21/20 [2단계] 확률변수 Y의 평균과 분산을 구한다.
E(Y) =E(10X+5)=10E(X)+5 =10\3/2+5=20
V(Y) =V(10X+5)=10^2&V(X) =100\21/20=105
답 평균&: 20, 분산&: 105
279
확률변수 X가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2이고 그 확률은 각각
P(X=0)= _3&C_2_5&C_2 =3/10, P(X=1)= _2&C_1&\_3&C_1_5&C_2 =6/10 P(X=2)= _2C_2_5&C_2 =1/10
이므로 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 0 1 2 합계
P(X=x) 3/10 6/10 1/10 1 따라서 확률변수 X에 대하여
E(X)=0\3/10+1\6/10+2\1/10=4/5 E(X^2)=0^2&\3/10+1^2&\6/10+2^2&\1/10=1 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=1-(&4/5)^^2=9/25 .t3 V(5X+3)=5^2&V(X)=25\9/25=9
답9
2813(X-1)^3의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
3(X-1)^3 -24 -3 0
X -1 0 1
P(X=x) 1/2 1/3 1/6 .t3 E(3(X-1)^3)
=(-24)\1/2+(-3)\1/3+0\1/6=-13
답-13
282
확률의 총합은 1이므로
P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1 에서 k
2^1& +k 2^2& +k
2^3& +k 2^4 =1 (
1/2+ 12^2 +1 2^3 +1
2^4 )k=1 1516 k=1 .t3 k1= /156
답16/15
283
확률변수 X가 취할 수 있는 값은 10000, 5000, 0이고, X의 확률분포는 다음 표와 같다.
X 10000 5000 0 합계
P(X=x) 1/10 2/5 1/2 1 따라서 확률변수 X의 기댓값은
E(X)=10000\1/10+5000\2/5+0\1/2
=3000
답3000
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 33 2018. 2. 6. 오전 10:29
34 정답과 풀이
확률변수 Y의 평균이 0, 표준편차가 1이므로 E(Y)=E( X+ba )=E(X)+b
a =0 …… ㉠
σ(Y)=σ( X-ba )=|1/a|σ(X)=1 …… ㉡ 이때 E(X)=10, σ(X)=2이므로
이를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 10+ba =0, |1/a|\2=1 .t3 a=2, b=-10 (.T3 a>0) .t3 a-b=2-(-10)=12
답12
285E(Y)=5, E(Y^2)=28에서
V(Y)=E(Y^2)-{E(Y)}^2=28-25=3 이때 Y= X-1004 에서 X=4Y+100이므로 E(X) =E(4Y+100)=4E(Y)+100
=4\5+100=120
V(X)=V(4Y+100)=4^2V(Y)=16\3=48
답E(X)=120, V(X)=48
286
[1단계] 확률변수 X의 평균을 구한다.
확률의 총합은 1이므로 3
/
10+p+1/10+p+p=1, 3p=3/5 .t3 p=1 /5
.t3 E(X)=1\3/10+2\1/5+3\1/10+4\1/5 + 5 \ 1/5
= 1/54
[2단계] 확률변수 5X+3의 평균을 구한다.
E(5X+3)=5E(X)+3=5\14/5+3=17
답17
287
[1단계] 확률변수 X의 평균과 분산을 구한다.
E(X)=0\2/7+1\3/7+2\2/7=1 E(X^2)=0^2&\2/7+1^2&\3/7+2^2&\2/7=11/7
.t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=11/7-1^2=4/7 [2단계] 확률변수 7X의 분산을 구한다.
V(7X)=7^2V(X)=49\4/7=28
답28
289
⑴ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 12 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(10, 1/2)을 따 른다.
따라서 확률변수 X의 확률질량함수는 P(X=x)=_1_0&C_x(1/2)^^x(1/2)^^10-^^x=_1_0&C_x(1/2)^^10
(단, x=0, 1, 2, .c3, 10)
⑵ P(X=4)=_1_0&C_4(1/2)^^10=105/512
답 ⑴ P(X=x)=_1_0&C_x(1/2)^^10 (단, x=0, 1, 2, .c3, 10)
⑵ 105/512
291
⑴ 평균은 E(X)=25\1/5=5 분산은 V(X)=25\1/5\4/5=4 표준편차는 σ(X)=rt4=2
⑵ 평균은 E(X)=120\1/6=20 분산은 V(X)=120\1/6\5/6=50/3
표준편차는 σ(X)=rt50/3= 5rt63
답 ⑴ 평균&: 5, 분산&: 4, 표준편차&: 2
⑵ 평균&: 20, 분산&: 50/3, 표준편차&: 5rt63
293
제품 한 개를 검사할 때, 불량품이 나올 확률은 100 =5 1
20 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(100, 1/20)을 따른다.
따라서 확률변수 X의
평균은 E(X)=100\1/20=5, 분산은 V(X)=100\1/20\19/20=19/4
답 평균&: 5, 분산&: 19/4
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 34 2018. 2. 6. 오전 10:29
Ⅲ. 통계 35 295
평균이 0.8이므로
np=0.8 …… ㉠
표준편차가 0.8이므로 q=1-p인 q에 대하여 rtnpq=0.8 .t3 npq=0.64 …… ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 0.8q=0.64 .t3 q=0.8 .t3 p=1-q=1-0.8=0.2 p=0.2를 ㉠에 대입하면 0.2n=0.8 .t3 n=4
답n=4, p=0.2
297
⑴ 한 개의 동전을 한 번 던질 때, 앞면이 나올 확률은 1
/ 2이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B(10, 1/2)을 따르 므로
E(X)=10\1/2=5
.t3 E(2X+5)=2E(X)+5=2\5+5=15(원)
⑵ 확률변수 X는 이항분포 B(100, 1/5)을 따르므로 E(X)=100\1/5=20,
V(X)=100\1/5\4/5=16
따라서 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2에서 16=E(X^2)-20^2
.t3 E(X^2)=416
답 ⑴ 15원 ⑵ 416
298
확률변수 X의 확률질량함수는
P(X=x)=_n&C_x~(1/2)^^x(1/2)^^n-^^x=_n&C_x~(1/2)^^n이므로 P(X=2)=10P(X=1)에서
_n&C_2~(1/2)^^n=10\_n&C_1~(1/2)^^n _n&C_2=10\_n&C_1
n(n-1)
2 =10n, n^2&-21n=0 n(n-21)=0
이때 n은 자연수이므로 n=21
답21
299
혈액암 치료제의 완치율이 0.8이므로 확률변수 X는 이 항분포 B(10000, 0.8)을 따른다.
따라서 확률변수 X의 표준편차는 σ(X)=◈~10000\0.8\0.2=40
답40
300
한 개의 주사위를 한 번 던질 때, 3의 배수의 눈이 나올 확률은 1/3이다.
따라서 확률변수 X는 이항분포 B(180, 1/3)을 따르므 로
E(X)=180\1/3=60 V(X)=180\1/3\2/3=40 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2에서 40=E(X^2)-60^2
.t3 E(X^2)=40+3600=3640
답3640
301
확률변수 X는 이항분포 B(72, 1/6)을 따르므로 E(X)=72\1/6=12
V(X)=72\1/6\5/6=10
따라서 확률변수 2X-4의 평균과 분산은 E(2X-4)=2E(X)-4=2\12-4=20 V(2X-4)=2^2V(X)=4\10=40
답 평균&: 20, 분산&: 40
302
확률변수 X가 이항분포 B(100, 1/10)을 따르므로 E(X)=100\1/10=10
V(X)=100\1/10\9/10=9
⑴ (주어진 식)=E(X)=10
⑵ (주어진 식)=E(X^2)이므로 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2에서 9=E(X^2)-10^2
.t3 E(X^2)=9+100=109
답 ⑴ 10 ⑵ 109
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 35 2018. 2. 6. 오전 10:29
36 정답과 풀이
확률변수 X~가 취할 수 있는 값은 0, 1, 2, 3, 4이므로 받을 수 있는 상금 5^X의 확률분포는 다음과 같다.
따라서 구하는 기댓값은
E(5^X)=sigk=0^4 `&5^k&\_4&C_k(1/2)^^k(1/2)^^4-^^k
=sigk=0^4 `_4&C_k(5/2)^^k(1/2)^^4-^^k=(5/2+1/2)^^4
2\1\k+1/2\1\(k+4k)=1 3k=1 .t3 k1 /= 3
⑵ =1 /k 3이므로 확률밀도함수 ~f~(x)는 다음과 같다.
~f~(x)=_{ 1/3&x (0-<x-<1)
&x-2/3 (1-<x-<2) 확률 P(0-<X-<1)은 함수
Ⅲ. 통계 37
⑴ P(56-<X-<68)
=P( 56-604 -<Z-< 68-604 ) .t3 P(0-<Z-<c)=0.3413 따라서 표준정규분포표를 이용하면
38 정답과 풀이
.t3 P(0-<Z-< a-637 )=0.34
[3단계] 표준정규분포표에서 P(0-<Z-<1)=0.34
Ⅲ. 통계 39 3240-<x-<2에서 정의된 함수 y=~f~(x)가 확률밀도함수가
되려면
(ⅰ) 0-<x-<2에서~ f~(x)->0
(ⅱ) y=~f~(x)의 그래프와 x축 사이의 전체 넓이는 1임 을 만족해야 한다.
[가] 1-<x-<2에서 ~f~(x)-<0이므로 확률밀도함수의 그래프가 될 수 없다.
[나] 0-<x-<2에서 ~f~(x)->0이고, y=~f~(x)의 그래프 와 x축 사이의 전체 넓이는
1 /
2\2\1=1
즉, 확률밀도함수의 그래프가 될 수 있다.
[다] 0-<x-<2에서 f~(x)->0이지만 y=~f~(x)의 그래프 와 x축 사이의 전체 넓이는
1 /
2\pai\1^2=1/2&pai
즉, 확률밀도함수의 그래프가 될 수 없다. .t3 V_B<V_A=V_C
따라서 주어진 곡선 A, B, C가 나타내는 정규분포의
P(n-<X-<120)=P(0-<Z-< 240-2nn )
=P(0-<Z-<1) -P(0-<Z-<0.5)
=0.4332-0.1915
40 정답과 풀이
=k`^{(1-1/2)+(1/2-1/3)+.c3+(1/8-1/9)}
=k`(1-1/9)
=8/9&k=1 .t3 k9 /= 8
답9/8
330
확률변수 X가 취할 수 있는 값은 50, 100, 500이고, X의 확률분포는 다음 표와 같다.
X 50 100 500 합계
P(X=x) 2/5 1/5 2/5 1
.t3 E(X)=50\2/5+100\1/5+500\2/5 = 2 4 0
답240
331
확률변수 X가 취할 수 있는 값은 1, 2, 4이고, X의 확 률분포는 다음 표와 같다.
X 1 2 4 합계
P(X=x) 1/3 1/2 1/6 1
따라서 E(X)=1\1/3+2\1/2+4\1/6=2이므로 E(5X+3)=5E(X)+3=5\2+3=13
답13
332E(Y)=11, E(Y^2)=124이므로
V(Y)=E(Y^2)-{E(Y)}^2=124-11^2=3 Y=1/2&X+5에서 X=2Y-10이므로 E(X) =E(2Y-10)=2E(Y)-10
=2\11-10=12 V(X) =V(2Y-10)=2^2V(Y)
=4\3=12
.t3 E(X^2) =V(X)+{E(X)}^2
=12+12^2=156
답156
확률의 총합은 1이므로 b+1/4+1/4=1 .t3 b=1/2 확률변수 X의 평균이 4이므로
E(X)=2\1/2+4\1/4+a\1/4=2+a/4=4 .t3 a=8
따라서 E(X^2)=2^2&\1/2+4^2&\1/4+8^2&\1/4=22 이므로
V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=22-4^2=6
답6
334
평균이 4이므로
np=4 …… ㉠
분산이 2이므로 q=1-p인 q에 대하여 npq=2 …… ㉡
㉠ 을 ㉡에 대입하면 4q=2 .t3 q=1/2 .t3 p=1-q=1-1/2=1/2 p
=
1 /2을 ㉠에 대입하면 1
/
2&n=4 .t3 n=8
따라서 확률변수 X는 이항분포 B(8, 1/2)을 따르므로 확률변수 X의 확률질량함수는
P(X=x)=_8&C_x~(1/2)^^x(1/2)^^8-^^x=_8&C~_x(1/2)^^8 .t3 P(X=3)P(X=2) =
_8&C_3~(1/2)^^8
_8&C_2~(1/2)^^8= _8&C_3_8&C_2 =2
답2
335
⑴ 확률밀도함수 y=~f~(x)의 그래프와 x축 사이의 전체 넓이는 1이므로
1 /
2\(1+4)\k=1 .t3 k=2 /5
⑵ 구하는 확률은 오른쪽 그 림의 색칠한 부분의 넓이 와 같으므로
O 1 2 3 4 y
y=f(x) kk
-2
x
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 40 2018. 2. 6. 오전 10:29
Ⅲ. 통계 41 P(1-<X-<4)=1-1/2\1\k/2=1-k/4
=1-1/4\2/5=9/10
답 ⑴ 2/5 ⑵ 9/10
336
정규분포곡선은 직선 x=m에 대하여 대칭이므로 P(X-<20)=P(X->28)에서
m= 20+282 =24
또, V(3X-6)=3^2V(X)=9σ^2=36이므로 σ^2=4 .t3 σ=2
.t3 m+σ=24+2=26
답26
337
확률변수 X가 정규분포 N(50, 10^2)을 따르므로 Z= X-5010 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
또, 확률변수 Y가 정규분포 N(40, 8^2)을 따르므로 Z= Y-408 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(50-<X-<k)=P( 50-5010 -<Z-<k-50 10 )
=P(0-<Z-< k-5010 ) P(24-<Y-<40)=P( 24-408 -<Z-< 40-408 )
=P(-2-<Z-<0)
=P(0-<Z-<2) 따라서 k-5010 =2이므로 k=70
답70
338
학생들의 한 달 동안의 참고서 구입 비용을 X만 원이 라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(6, 2^2)을 따르므로 Z= X-62 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 구하는 확률은 P(X->4)=P(Z-> 4-62 )
=P(Z->-1)
=0.5+P(0-<Z-<1)
=0.5+0.3413
=0.8413
답0.8413
f(z)
O
-1 z
339
[1단계] 확률변수 X가 정규분포 N(78, 7^2)을 따르므로 확률변수 Z= X-787 은 표준정규분포 N(0, 1) 을 따른다.
P(X-<a)
=P(Z-< a-787 )
=P(Z-<0)
+P(0-<Z-< a-787 )
=0.5
+P(0-<Z-< a-787 )
=0.9772
.t3 P(0-<Z-< a-787 )=0.4772 [2단계] 그런데 표준정규분포표에서
P(0-<Z-<2)=0.4772이므로 a-787 =2
.t3 a=92
답92
340
[1단계]100명의 이동전화 이용자 중 통화에 성공한 사람 의 수를 X명이라 하면 확률변수 X는 이항분포 B(100, 0.8)을 따르므로
m =100\0.8
=80
σ^2 =100\0.8\0.2
=16
이때 n=100은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X 는 정규분포 N(80, 4^2)을 따른다.
[2단계] 확률변수 Z= X-804 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은 P(X->88)
=P(Z-> 88-804 )
=P(Z->2)
=0.5-P(0-<Z-<2)
=0.5-0.4772
=0.0228
답0.0228
f(z)
O -a-787 z
f(z)
O 2 z
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 41 2018. 2. 6. 오전 10:29
42 정답과 풀이
자연수 k(4-<k-<n)에 대하여 확률변수 X의 값이 k일 확률은 1부터 (k-1)까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다른 3장의 카드와 k가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므 로
P(X=k)=_k-_1&C_3 _n&C_4
이다. 자연수 r(1-<r-<k)에 대하여 _k&C_r=k/r\_k-_1&C_r-_1
즉, k\_k-_1&C_3=4\ _k&C_4 이다.
그러므로
E(X)=sigk=4^n {k\P(X=k)}
= 1_n&C_4& sigk=4^n (k\_k-_1&C_3)
= 4_n&C_4& sigk=4^n _k~&C_4 이다. sigk=4^n _k&~C_4=_n+_1&C_5이므로 E(X)= 4_n&C_4& \_n+_1&C_5
= 4\4!\(n-4)!n! \ (n+1)!5!(n-4)!
=(n+1)\ 4/5 이다.
따라서 ~f~(k)=_k-_1&C_3,~ g~(k)=_k&C_4, a4 /= 5이므로 a\~f~(6)\~g(5)=4/5\_5&C_3&\_5&C_4
=4/5\10\5=40
답40
342
확률변수 X가 정규분포 N(m, 5^2)을 따르고,
~f~(10)=~f~(20)일 때 m=15,
~f(4)=~f~(22)일 때 m=13
이므로 주어진 조건을 만족하는 m은 13<m<15이어 야 한다.
즉, m=14이므로
P(17-<X-<18)=P( 17-145 -<Z-< 18-145 )
=P(0.6-<Z-<0.8)
=P(0-<Z-<0.8)-P(0-<Z-<0.6)
=0.288-0.226=0.062
답0.062
343
한 개의 동전을 20~번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확 률변수 X~라 하면 뒷면이 나오는 횟수는 20-X=Y~이 다.
이때 Y~는 이항분포 B(20, 1/2)~을 따르므로 E(Y)=20\1/2=10~
V(Y)=20\1/2\1/2=5~
σ(Y)=rt5~
.t3 E(X)=E(20-Y)=20-10=10
~ V(X)=V(20-Y)=V(Y)=5~
σ(X)=rt5~
ㄱ. 확률변수 X, Y의 평균, 분산, 표준편차가 모두 같 으므로
P(8-<X-<12)=P(8-<Y-<12)~(거짓) ㄴ. ㄷ. 확률변수 X, Y의 평균과 분산이 각각 같다.
(참) 따라서 보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
답 ㄴ, ㄷ
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 42 2018. 2. 6. 오전 10:29
Ⅲ. 통계 43 345
⑴ 모평균 m=20, 모표준편차 σ=a 표본의 크기 n=4이므로
표본평균 ^-에 대하여 X b=m=20
σ(X^-)= art4 =4에서 a=8 .t3 ab=160
⑵ 모표준편차가 σ=12이므로 표본평균 X^-의 표준편차 가 2 이하인 것을 식으로 나타내면
σ(X^-)= 12rtn -<2에서 rtn->6 .t3 n->36
따라서 n의 최솟값은 36이다.
답 ⑴ 160 ⑵ 36
347
[1단계] 주어진 표로부터 확률변수 X의 평균 m과 분산 σ^2을 구하면
E(X)=0\4/9+1\4/9+2\1/9=2/3 E(X^2)=0^2&\4/9+1^2&\4/9+2^2&\1/9=8/9 .t3 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2
=8/9-(2/3)^^2=4/9 .t3 m=2/3, σ^2=4/9
[2단계] 이때 표본의 크기가 100이므로 표본평균 X^-에 대하여
평균은 E(X^-)=m=2/3 분산은 V(X^-)= σ^2n =
``4``
`100=1 /9 225
답 평균&: 2/3, 분산&: 12/25
349
[1단계] 모평균 m=170, 모표준편차 σ=20, 표본의 크기 n=100이므로 표본평균 X^-의 평균과 분산은 E(X^-)=m=170
V(X^-)= σ^2n =20^2 100 =4
2 통계적 추정
따라서 표본평균 ^-는 정규분포 N(170, 2^2)을X 따른다.[2단계] 이제 다음과 같은 문제로 변신했다.
확률변수 ^-가 정규분포 N(170, 2^2)을 따를 X 때, 확률 P(X^-->175)를 구하여라.
확률변수 Z= X^--170
2 은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은 P(X^-->175)
=P(Z-> 175-1702 )
=P(Z->2.5)
=0.5-P(0-<Z-<2.5)
=0.5-0.4938
=0.0062
답0.0062
351
약품 1병의 용량을 확률변수 X라 하면 모평균이 m, 모표준편차가 10, 표본의 크기가 25이므로 표본평균 X ^-는 정규분포 (m, 2^2)을 따른다.
이때 Z= X^--m
2 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(X^-->2000)=P^^(Z-> 2000-m2 ^^)
=0.9772
=0.5+0.4772
=0.5+P(0-<Z-<2)
=0.5+P(-2-<Z-<0)
=P(Z->-2)
따라서 2000-m2 =-2이므로 2000-m=-4 .t3 m=2004
답2004
352E(X^-)=20이므로 m=20
모표준편차가 4, 표본의 크기가 n, 표본평균 X^-의 표준 편차가 1/2이므로
σ(X^-)= 4rtn =1/2에서 rtn=8
O 2.5 z f(z)
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 43 2018. 2. 6. 오전 10:29
44 정답과 풀이
구슬을 임의로 1개 꺼낼 때, 구슬에 적힌 수를 확률변수 X라 하고, X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같 다.
X 0 1 2 합계
P(X=x) 1/4 1/2 1/4 1
E(X)=0\1/4+1\1/2+2\1/4=1 E(X^2)=0^2&\1/4+1^2&\1/2+2^2&\1/4=3/2 V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=3/2-1^2=1/2 이때 표본의 크기가 2이므로
V(X^-)=
`1`2
``2``=1/4
답1/4
357
생산되는 제품의 길이를 확률변수 X라 하면 X는 정규 분포 N(m, 4^2)을 따르므로 Z= X-m4 은 표준정규 분포 N(0, 1)을 따른다.
이때
P(a-<X-<m)=P( a-m4 -<Z-<m-m 4 )
=P( a-m4 -<Z-<0)
=0.3413 이므로 - a-m4 =1 .t3 a-m=-4 .c3.c3 ㉠
또, 모집단이 N(m, 4^2)을 따르고 표본의 크기가 16이 므로 표본평균을 ^-라 하면 XX ^-는 정규분포
N(m, 4^216 ), 즉 N(m, 1^2)을 따른다.
이때 Z= X^--m
1 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(X^-->a+2)=P(Z->a+2-m)
=P(Z->-2)(.T3 ㉠)
=0.5+P(0-<Z-<2)
=0.5+0.4772
=0.9772
답0.9772
.t3 m+n=20+64=84
답84
353
주어진 표에서
E(X)=(-1)\1/4+0\1/2+1\1/4=0 V(X)=(-1)^2&\1/4+0^2&\1/2+1^2&\1/4-0^2
= 1/2 이므로
E(X^-)=E(X)=0, V(X^-)= V(X)6 =1/12 .t3 E(X^-)+V(X^-)=0+1/12=1/12
답1/12
354
모집단이 정규분포 N(50, 10^2)을 따르고 표본의 크기 가 25이므로 표본평균 X^-는 정규분포 N(50, 10^225 ), 즉 N(50, 2^2)을 따른다.
이때 Z= X^--50
2 으로 놓으면 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로 구하는 확률은
P(X^-->52)
=P(Z-> 52-502 )
=P(Z->1)
=0.5-P(0-<Z-<1)
=0.5-0.34
=0.16
답0.16
355
주어진 표에서
E(X)=(-1)\1/5+0\3/10+1\1/2=3/10 따라서 표본평균 X^-에 대하여
E(X^-)=E(X)=3/10이므로 E(100X^-)=100E(X^-)
=100\3/10=30
답30
O 1 z
f(z)
확률과 통계_3단원 정답(32-48p) 6차.indd 44 2018. 2. 6. 오전 10:29
Ⅲ. 통계 45 359
표본평균 X^-=60, 표본의 크기 n=36이다.
이때 표본의 크기가 충분히 크므로 표본표준편차 3을 모표준편차 σ 대신 사용할 수 있다.
⑴ 모평균 m의 신뢰도 95~%의 신뢰구간은 60-1.96\ 3rt36 -<m-<60+1.96\ 3
rt36 .t3 59.02-<m-<60.98
⑵ 모평균 m의 신뢰도 99~%의 신뢰구간은 60-2.58\ 3rt36 -<m-<60+2.58\ 3
rt36 .t3 58.71-<m-<61.29
답 ⑴ 59.02-<m-<60.98 ⑵ 58.71-<m-<61.29
361n개의 표본을 뽑아 신뢰도 99~%로 모평균을 추정할 때, 신뢰구간의 길이가 0.6 이하이어야 하므로
2\2.58\ 5rtn -<0.6에서 rtn->43 .t3 n->1849
따라서 표본의 크기를 1849 이상으로 해야 한다.
답1849
363
표본의 크기를 n이라 하면
모평균과 표본평균의 차가 6 이하이어야 하므로 2.58\ 20rtn -<6에서 rtn->8.6
.t3 n->73.96
따라서 표본의 크기를 74 이상으로 해야 한다.
답74
365
⑴ E(X_A)=m_1&, E(X_B)=m_2이므로 m_1=m_2이면 E(X_A)=E(X_B)이다. (참)
⑵ 표본평균 X_B&의 표준편차는
`2`σ
◈~n_2, 즉 σ2◈~n_2(not= σ2 ) 이므로 X_B&는 정규분포 N(m_2, ( σ2◈~n_2)^^2)을 따른 다. (거짓)
⑶ m_1에 대한 신뢰도 95~%의 신뢰구간의 길이는 b-a=2\1.96\ σ
◈~n_1
m_2에 대한 신뢰도 95~%의 신뢰구간의 길이는
d-c=2\1.96\ σ2◈~n_2
이때 n_1=4n_2이면 b-a=d-c이다. (참) 따라서 옳은 것은 ⑴, ⑶이다.
답 ⑴, ⑶
366
표본평균이 x, 표본의 크기 n=100이다.
이때 표본의 크기가 충분히 크므로 표본표준편차 500을 모표준편차 대신 사용할 수 있다.
따라서 모평균의 신뢰도 95~%의 신뢰구간은
^[x-1.96\ 500rt100 , x+1.96\ 500 rt100 ^]
.t3 c=1.96\50=98
답98
367
표본평균 X^-=800, 표본의 크기 n=100이다.
이때 표본의 크기가 충분히 크므로 표본표준편차 20을 모표준편차 σ 대신 사용할 수 있다.
따라서 모평균 m의 신뢰도 95~%의 신뢰구간은 800-1.96\ 20rt100 -<m-<800+1.96\ 20
rt100 .t3 796.08-<m-<803.92
답796.08-<m-<803.92
368
표본평균이 3.4, 표준편차가 0.5이고, 표본의 크기가 100일 때, 모평균 m의 신뢰도 95~%의 신뢰구간은 3.4-1.96\ 0.5rt100 -<m-<3.4+1.96\ 0.5
rt100 .t3 3.302-<m-<3.498
답3.302-<m-<3.498
369
표준편차가 σ이고, 표본의 크기가 n일 때, 모평균의 신 뢰도 95~%의 신뢰구간의 길이는
2\2\ σrtn =4l에서 σ
rtn =l .c3.c3㉠
따라서 표본의 크기가 4n일 때, 모평균의 신뢰도 99~%
의 신뢰구간의 길이는
의 신뢰구간의 길이는