2xÛ`+5x-18=0에서 (2x+9)(x-2)=0
∴ x=-;2(; 또는 x=2
따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 x=2이다.
17
x=3을 (a-1)xÛ`-7x+3=0에 대입하면 9a-9-21+3=0, 9a=27∴ a=3
이때 주어진 이차방정식은 2xÛ`-7x+3=0이므로 (2x-1)(x-3)=0 ∴ x=;2!; 또는 x=3 따라서 다른 한 근은 x=;2!;이므로 b=;2!;
∴ 2ab=2_3_;2!;=3
18
xÛ`-x-2=0에서 (x+1)(x-2)=0∴ x=-1 또는 x=2
이때 두 근 중 음수인 근은 -1이므로 x=-1을 xÛ`-2ax-3a=0에 대입하면 1+2a-3a=0, -a=-1
∴ a=1
19
x=2를 (a-1)xÛ`-(aÛ`+3)x+4(a+1)=0에 대입하면 4a-4-2aÛ`-6+4a+4=0, 2aÛ`-8a+6=0aÛ`-4a+3=0, (a-1)(a-3)=0
∴ a=1 또는 a=3
그런데 a-1+0, 즉 a+1이어야 하므로 a=3
20
① (x-2)Û`=4에서 xÛ`-4x+4=4① xÛ`-4x=0, x(x-4)=0
① ∴ x=0 또는 x=4
② (x+2)Û`=0에서 x=-2`
③ xÛ`-3x-4=0에서 (x+1)(x-4)=0
∴ x=-1 또는 x=4
④ 9xÛ`-12x+4=0에서 (3x-2)Û`=0
① ∴ x=;3@;`
⑤ xÛ`=81에서 xÛ`-81=0, (x+9)(x-9)=0
∴ x=-9 또는 x=9
21
① xÛ`-6x+9=0에서 (x-3)Û`=0 ∴ x=3`② 4xÛ`+4x+1=0에서 (2x+1)Û`=0 ∴ x=-;2!;`
③ 3xÛ`-24x+48=0에서 3(xÛ`-8x+16)=0 3(x-4)Û`=0 ∴ x=4
④ 2xÛ`-4x-6=0에서 2(xÛ`-2x-3)=0 2(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3
⑤ x=0
22
2k-6={;2$;}2`에서 2k=10 ∴ k=523
2(x+3)Û`=a+2가 중근을 가지려면 a+2=0 ∴ a=-2즉 2(x+3)Û`=0의 해는 x=-3이므로 m=-3
∴ a+m=-2+(-3)=-5
24
2m-1=[-(m-3)2 ]2`에서 mÛ`-14m+13=0 (m-1)(m-13)=0
∴ m=1 또는 m=13
25
모든 경우의 수는 6_6=36xÛ`-2ax+b=0이 중근을 가지려면 b={-2a 2 }2`, ` 즉 b=aÛ`이어야 한다.
이를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 1), (2, 4)의 2가지이다.
따라서 구하는 확률은 ;3ª6;=;1Á8;
26
4(x+3)Û`=7에서 (x+3)Û`=;4&;x+3=Ñ '7
2 ∴ x=-3Ñ'7 2
27
(x+A)Û`=17에서 x+A=Ñ'¶17∴ x=-AÑ'¶17
따라서 A=4, B=17이므로 B-A=17-4=13
28
;2!;(x-5)Û`=4에서 (x-5)Û`=8 x-5=Ñ2'2 ∴ x=5Ñ2'2 따라서 a=5, b=2이므로 a+b=5+2=729
2(x-2)Û`-20=0에서 (x-2)Û`=10 x-2=Ñ'¶10 ∴ x=2Ñ'¶10 따라서 두 근의 차는2+'¶10-(2-'¶10)=2'¶10
30
xÛ`-12x+1=0에서 xÛ`-12x=-1 xÛ`-12x+36=-1+36∴ (x-6)Û`=35
따라서 a=-6, b=35이므로 a+b=-6+35=29
31
xÛ`-6x-2=0에서 xÛ`-6x=2 xÛ`-6x+9=2+9, (x-3)Û`=11 x-3=Ñ'¶11 ∴ x=3Ñ'¶1132
xÛ`-10x-p=0에서 xÛ`-10x=p xÛ`-10x+25=p+25, (x-5)Û`=p+25 x-5=Ñ'¶p+25 ∴ x=5Ñ'¶p+25 따라서 p+25=23이므로p=-2
2. 이차방정식의 근의 공식 p.106~109
33 -8 34 ⑤ 35 -1-'6 36 3 37 x=5Ñ'¶105 8 38 x=;2!; 39 x=-2Ñ'¶10 40 12 41 ⑤ 42 ① 43 0 44 ④ 45 ㉡, ㉣ 46 6 47 10 48 4 49 ① 50 4xÛ`+x-3=0 51 2xÛ`+12x+18=0
52 x=-1 또는 x=-5 53 16 54 108 55 25명 56 ② 57 십각형 58 3초 59 5`cm 60 3`m 61 3`cm 62 (4+4'2)`cm 63 3`cm 64 24`cm
33
x=-3Ñ"3Û`-4_1_1`2_1 = -3Ñ'5`2 따라서 A=-3, B=5이므로 A-B=-3-5=-8
34
x=-5Ñ"5Û`-1_(2k-1)`1 =-5Ñ'¶26-2k 즉 -5Ñ'¶26-2k=-5Ñ'2이므로
26-2k=2, -2k=-24 ∴ k=12
35
xÛ`+2x-5=0에서 x=-1Ñ"1Û`-1_(-5)`1 =-1Ñ'6
3x+1<-5에서 3x<-6 ∴ x<-2 따라서 구하는 x의 값은 -1-'6이다.
36
x=-(-2)Ñ"(-2)Û`-1_2`1 =2Ñ'2
이때 a>b이므로 a=2+'2, b=2-'2`
따라서 2-'2-2<n<2+'2-2에서 -'2<n<'2이므 로 조건을 만족하는 정수 n은 -1, 0, 1의 3개이다.
37
양변에 12를 곱하면 4(xÛ`+1)-3(x+3)=2x 4xÛ`+4-3x-9=2x, 4xÛ`-5x-5=0∴ x=-(-5)Ñ"(-5)Û`-4_4_(-5)`
2_4
= 5Ñ'¶105`8
38
0.6xÛ`-1.3x+0.5=0의 양변에 10을 곱하면 6xÛ`-13x+5=0, (2x-1)(3x-5)=0∴ x=;2!; 또는 x=;3%;
;3@;xÛ`-;3&;x+1=0의 양변에 3을 곱하면 2xÛ`-7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0
∴ x=;2!; 또는 x=3
따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 x=;2!;이다.
39
양변에 10을 곱하면 6+4x(x-1)=5xÛ`6+4xÛ`-4x=5xÛ`, xÛ`+4x-6=0
∴ x=-2Ñ"2Û`-1_(-6)`
1 =-2Ñ'¶10
40
;3!;xÛ`=;3@;x+0.5의 양변에 6을 곱하면 2xÛ`=4x+3, 2xÛ`-4x-3=0∴ x=-(-2)Ñ"(-2)Û`-2_(-3)`
2
= 2Ñ'¶10`2
따라서 a=2, b=10이므로 a+b=2+10=12
41
양변에 6을 곱하면 3(x+2)Û`=2(x-1)(x+1) 3(xÛ`+4x+4)=2(xÛ`-1), 3xÛ`+12x+12=2xÛ`-2 xÛ`+12x+14=0∴ x=-6Ñ"6Û`-1_14`
1 =-6Ñ'¶22
42
x+3=A라고 하면 AÛ`-3A-2=0∴ A=-(-3)Ñ"(-3)Û`-4_1_(-2)`
2_1
=3Ñ'¶17`
2 즉 x+3=3Ñ'¶17`
2 이므로 x=-3Ñ'¶17`
2
43
5x+1=A라고 하면 AÛ`-2A-24=0 (A+4)(A-6)=0 ∴ A=-4 또는 A=6 즉 5x+1=-4에서 5x=-5 ∴ x=-1 5x+1=6에서 5x=5 ∴ x=1따라서 두 근의 합은 -1+1=0
44
x-2y=A라고 하면 A(A+4)+4=0 AÛ`+4A+4=0, (A+2)Û`=0 ∴ A=-2 즉 x-2y=-2이므로2y-x=-(x-2y)=-(-2)=2
45
㉠ bÛ`-4ac=0Û`-4_1_(-5)=20>0 따라서 서로 다른 두 근을 갖는다.㉡ bÛ`-4ac=1Û`-4_1_6=-23<0 따라서 근이 없다.
㉢ bÛ`-4ac=4Û`-4_2_2=0 따라서 중근을 갖는다.
㉣ bÛ`-4ac=(-4)Û`-4_3_2=-8<0 따라서 근이 없다.
46
xÛ`+4x=3-k에서 xÛ`+4x-3+k=0bÛ`-4ac=4Û`-4_1_(-3+k)>0이어야 하므로 16+12-4k>0, -4k>-28 ∴ k<7 따라서 자연수 k는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개이다.
47
bÛ`-4ac=6Û`-4_1_(p-1)¾0이어야 하므로 36-4p+4¾0, -4p¾-40 ∴ pÉ10 따라서 가장 큰 정수는 10이다.48
bÛ`-4ac=(m-2)Û`-4_9_1=0이어야 하므로 mÛ`-4m-32=0, (m+4)(m-8)=0∴ m=-4 또는 m=8
따라서 모든 상수 m의 값의 합은 -4+8=4
49
bÛ`-4ac={-2(m-1)}Û`-4_(mÛ`-1)_5=0이어야 하 므로4mÛ`-8m+4-20mÛ`+20=0
-16mÛ`-8m+24=0, 2mÛ`+m-3=0
(2m+3)(m-1)=0 ∴ m=-;2#; 또는 m=1 이때 주어진 식이 x에 대한 이차방정식이므로 mÛ`-1+0 ∴ m+Ñ1
따라서 상수 m의 값은 -;2#;이다.
50
두 근이 -1, ;4#;이고 xÛ`의 계수가 4인 이차방정식은 4(x+1){x-;4#;}=0, 4{xÛ`+;4!;x-;4#;}=0∴ 4xÛ`+x-3=0
51
중근이 -3이고 xÛ`의 계수가 2인 이차방정식은 2(x+3)Û`=0, 2(xÛ`+6x+9)=0∴ 2xÛ`+12x+18=0
52
두 근이 1, 5이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x-1)(x-5)=0, 즉 xÛ`-6x+5=0이때 지민이는 상수항을 바르게 보았으므로 상수항은 5이다.
두 근이 -4, -2이고 xÛ`의 계수가 1인 이차방정식은 (x+4)(x+2)=0, 즉 xÛ`+6x+8=0
이때 경철이는 x의 계수를 바르게 보았으므로 x의 계수는 6 이다.
따라서 처음에 주어진 이차방정식은 xÛ`+6x+5=0이므로 (x+1)(x+5)=0
∴ x=-1 또는 x=-5
53
연속하는 두 홀수를 x, x+2라고 하면 xÛ`+(x+2)Û`=130, 2xÛ`+4x-126=0 xÛ`+2x-63=0, (x+9)(x-7)=0∴ x=-9 또는 x=7 그런데 x¾1이므로 x=7
따라서 연속하는 두 홀수는 7, 9이므로 구하는 합은 7+9=16
54
어떤 자연수를 x라고 하면 x(x+3)=180, xÛ`+3x-180=0(x+15)(x-12)=0 ∴ x=-15 또는 x=12 그런데 x는 자연수이므로 x=12
따라서 바르게 계산한 값은 12_(12-3)=12_9=108
55
학생 수를 x명이라고 하면 한 학생이 받을 사탕 수는 (x-4) 개이므로x(x-4)=525, xÛ`-4x-525=0
(x-25)(x+21)=0 ∴ x=25 또는 x=-21 그런데 x>4인 자연수이므로 x=25
따라서 학생 수는 25명이다.
56
수민이가 태어난 날을 6월 x일이라고 하면 정빈이가 태어난 날은 6월 (x+7)일이므로x(x+7)=120, xÛ`+7x-120=0
(x+15)(x-8)=0 ∴ x=-15 또는 x=8 그런데 x는 자연수이므로 x=8
따라서 수민이의 생일은 6월 8일이다.
57
n(n-3)2 =35에서 nÛ`-3n-70=0(n+7)(n-10)=0 ∴ n=-7 또는 n=10 그런데 n>3이므로 n=10
따라서 구하는 다각형은 십각형이다.
58
35t-5tÛ`=50에서 tÛ`-7t+10=0 (t-2)(t-5)=0 ∴ t=2 또는 t=5따라서 이 물체가 50 m 이상의 높이에서 머무는 것은 2초부 터 5초까지이므로 3초 동안이다.
59
처음 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 (x+3)(x+2)=56, xÛ`+5x-50=0(x+10)(x-5)=0 ∴ x=-10 또는 x=5 그런데 x>0이므로 x=5
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 5 cm이다.
60
길의 폭을 x m라고 하면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 가로 의 길이가 (20-x) m, 세로의 길이가 (15-x) m인 직사각 형의 넓이와 같으므로(20-x)(15-x)=204, xÛ`-35x+96=0 (x-3)(x-32)=0 ∴ x=3 또는 x=32 그런데 0<x<15이므로 x=3
따라서 길의 폭은 3 m이다.
61
작은 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 큰 정사각형 의 한 변의 길이는 (9-x)`cm이므로(9-x)Û`+xÛ`=45, 2xÛ`-18x+36=0 xÛ`-9x+18=0, (x-6)(x-3)=0
∴ x=6 또는 x=3 그런데 x<;2(;이므로 x=3
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 3`cm이다.
62
처음 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이를 x`cm라고 하면 2(x-4)Û`=64, (x-4)Û`=32x-4=Ñ4'2 ∴ x=4Ñ4'2 그런데 x>4이므로 x=4+4'2
따라서 처음 정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이는 (4+4'2)`cm이다.
63
AHÓ=x`cm라고 하면 HDÓ=(7-x)`cm, DGÓ=x`cm이므 로 직각삼각형 HGD에서 피타고라스 정리에 의하여 5Û`=(7-x)Û`+xÛ`, 2xÛ`-14x+24=0xÛ`-7x+12=0, (x-3)(x-4)=0
3a=6 ∴ a=2
07
y=-2xÛ`에 x=2, y=a를 대입하면 a=-808
⑤ y=-;5!;xÛ`의 그래프와 x축에 대칭이다.09
원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 식을 y=axÛ`이라고 하자.y=axÛ`에 x=2, y=-8을 대입하면 -8=4a ∴ a=-2
따라서 y=-2xÛ`에 x=-1, y=k를 대입하면 k=-2
10
점 A의 y좌표는 k이므로 k=3xÛ`에서 xÛ`=;3K;∴ x=¾;3K;= '¶3k`
3 (∵ x>0)
점 B의 y좌표도 k이므로 k=;3!;xÛ`에서 xÛ`=3k
∴ x='¶3k (∵ x>0)
이때 ABÓ=2이므로 '¶3k- '¶3k`
3 =2에서 2'¶3k`
3 =2 '¶3k=3, 3k=9 ∴ k=3
11
y=axÛ`에 x=3, y=-3을 대입하면 -3=9a ∴ a=-;3!;y=-;3!;xÛ`의 그래프는 y축에 대칭이고, CDÓ=2이므로 점 C의 x좌표는 1이다.
y=-;3!;xÛ`에 x=1을 대입하면 y=-;3!; ∴ C{1, -;3!;}
∴ ABCD=;2!;_(2+6)_{3-;3!;}
=;2!;_8_;3*;=:£3ª:
12
그래프가 위로 볼록한 것은 ①, ②, ④이고, 이 중 그래프의 폭 이 가장 좁은 것은 ①이다.13
y=axÛ`(a>0)의 그래프가 y=;5!;xÛ`의 그래프보다 폭이 좁고, y=2xÛ`의 그래프보다 폭이 넓으므로 ;5!;<a<215
④ x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.16
y=-xÛ`의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래 프의 식은y=-xÛ`+q
y=-xÛ`+q에 x=3, y=-4를 대입하면 -4=-9+q ∴ q=5
따라서 이차함수 y=-xÛ`+5의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (0, 5)이다.
17
y=axÛ`+q에 x=-1, y=2를 대입하면 2=a+q yy ㉠y=axÛ`+q에 x=2, y=-4를 대입하면 -4=4a+q yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, q=4 1. 이차함수와 그 그래프 p.110~114
01 ㉢, ㉥ 02 ④ 03 -1 04 2 05 2 06 ⑤ 07 -8 08 ⑤ 09 -2 10 3 11 :£3ª: 12 ① 13 ;5!;<a<2 14 y=2xÛ`-5 15 ④ 16 (0, 5) 17 6 18 2 19 30 20 6 21 ③ 22 -2 23 2 24 26 25 10 26 ②, ⑤ 27 -2 28 x<-;3@;
29 1 30 3 31 1 32 ④ 33 3 34 A(2, 5) 35 (-5, 2) 36 7 37 -8 38 a<0, p>0, q<0 39 a<0, p<0, q>0 40 제1, 2사분면
01
㉠ 일차함수이다.㉡ 분모에 이차항이 있으므로 이차함수가 아니다.
㉢ 이차함수이다.
㉣ 이차함수가 아니다.
㉤ y=x(x-1)-xÛ`=-x이므로 일차함수이다.
㉥ y=(4-x)x=-xÛ`+4x이므로 이차함수이다.
따라서 이차함수인 것은 ㉢, ㉥이다.
02
① y=3x이므로 일차함수이다.② y=2(2x+3x)=10x이므로 일차함수이다.
③ y=;2!;_(x+4x)_16=40x이므로 일차함수이다.
④ y=4x_3x=12xÛ`이므로 이차함수이다.
⑤ y =;3$;pxÜ`이므로 이차함수가 아니다.
03
y =ax(x-1)+(x+2)(x-1)=(a+1)xÛ`+(1-a)x-2 이 식이 x에 대한 이차함수가 아니므로 a+1=0 ∴ a=-1
04
f(-1)=1-3-3=-5 f(2)=4+6-3=7∴ f(-1)+f(2)=-5+7=2