흡음 성능을 높이기 위해 Figure 3.1에서 보듯이 허니컴 패널의 한 쪽 표
면 재를 MPP로 구성하였다. Figure 3.2에서 보듯이 MPP의 위치는 𝑥3 = 0 이고, 표면 재의 위치는 𝑥3 = ℓ1 이다. 영역 (Area) 1, 2, 3은 각각 입사 면, MPP와 표면 재사이의 중심 재 영역, 투과 면을 나타낸다. 입사 파 (incident wave)는 평면 파로 가정하였고, 해석 모델은 𝑥1− 𝑥2평면 방향으로 무한하다고 가정하였다.
𝑝𝑖(𝑥1, 𝑥3) = 𝑃0𝑒𝑗𝑘0(sin 𝜃∙𝑥1+cos 𝜃∙𝑥3) (3.1)
여기서, 𝑃0는 입사 파의 압력의 크기 (amplitude)를 나타낸다.
2차원 헬름홀츠 적분 (Helmholtz integral)을 사용하여 𝑝1(𝑥)과 𝑝3(𝑥)을 얻 을 수 있다. 헬름홀츠 방정식의 유도 과정은 부록 9.2장에 정리하였다. 여 기서 아래 첨자 1과 3은 각각 영역 1과 3을 나타낸다. 그래서 𝑝1은 영역 1 에서의 압력을 나타낸다.
𝑝1(𝑥1) = 2𝑝𝑖(𝑥1, 0) −𝜌0𝜔
2 ∫ 𝐻0(1)(𝑘0|𝑥1− 𝑥0|)𝑣1(𝑥0)𝑑𝑥0
∞
−∞
(3.2)
𝑝3(𝑥1) =𝜌0𝜔
2 ∫ 𝐻0(1)(𝑘0|𝑥1− 𝑥0|)𝑣3(𝑥0)𝑑𝑥0
∞
−∞
(3.3)
여기서, 𝐻0(1)는 제1종 한켈 함수 (Hankel function)이며, 𝑣1(𝑥)과 𝑣3(𝑥)는 각 각 𝑥3= 0과 𝑥3= ℓ1에서의 입자 속도를 나타낸다.
영역 2에서는 평면 파가 법선 방향 (normal direction)으로만 입사하도록 가정하였다. 그래서 영역 2에서의 압력과 속도는 아래 식과 같다.
𝑝2(𝑥1, 𝑥3) = (𝑃+𝑒𝑗𝑘0𝑥3+ 𝑃−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.4)
𝑣2(𝑥1, 𝑥3) = 1 𝜌0𝑐0
(𝑃+𝑒𝑗𝑘0𝑥3− 𝑃−𝑒−𝑗𝑘0𝑥3)𝑒𝑗𝑘1𝑥1 (3.5)
여기서, 𝑃+는 +𝑥3방향으로 진행하는 평면 파의 음압 크기며, 𝑃−는 −𝑥3방 향으로 진행하는 평면 파의 음압 크기이다.
MPP에 작용하는 압력은 𝑝1(𝑥1) − 𝑝2(𝑥1, 0) 이고, 표면 재에 작용하는 압
력은 𝑝2(𝑥1, ℓ1) − 𝑝3(𝑥1)이며, 가진 력은 디랙 델타 함수 (Dirac delta function)
𝛿(𝑥1) 일 때, 변위는 각각 𝑢𝑚(𝑥1)과 𝑢𝑏(𝑥1)이다. 오일러 빔 이론을 판으로 확장하여 단위 하중에 대한 평판의 운동 방정식은 아래와 같다 (Dym, 2013).
𝜕4𝑢𝑚(𝑥1)
𝜕𝑥4 − 𝑘𝑚4𝑢𝑚(𝑥1) =𝛿(𝑥1)
𝐷𝑓𝑚 (3.6)
𝜕4𝑢𝑏(𝑥1)
𝜕𝑥4 − 𝑘𝑏4𝑢𝑏(𝑥1) =𝛿(𝑥1)
𝐷𝑓𝑏 (3.7)
여기서, 𝑢𝑚과 𝑢𝑏는 디렉 델타 함수 𝛿(𝑥1)에 의해 발생한 MPP와 후판의 변위이며, 𝑘𝑚4 = 𝜌𝑚𝐿𝑚𝜔2∕ 𝐷𝑓𝑚 , 𝑘𝑏4= 𝜌𝑏𝐿𝑏𝜔2∕ 𝐷𝑓𝑏 , 𝜌𝑚 과 𝜌𝑏 는 각각
MPP와 후판의 밀도, 𝐿𝑚과 𝐿𝑏는 각각 MPP와 후판의 두께, 𝐷𝑓𝑚과 𝐷𝑓𝑏는 각각 MPP와 후판의 굽힘 강도 (flexural rigidity)를 나타낸다.
임펄스에 대한 응답을 도출하기 위해 단위 힘에 의한 변위 𝑢𝑚과 𝑢𝑏를 MPP와 후판에 작용하는 압력에 의한 변위로 유도하기 위해 합성 곱 (convolution)으로 표현하면 아래와 같다 (Meng, 2019).
𝑤𝑚(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0)}𝑢𝑚(𝑥1− 𝜉)𝑑𝜉
∞
−∞
(3.8)
𝑤𝑏(𝑥1) = ∫ {𝑝2(𝜉, 𝑑) − 𝑝3(𝜉)}𝑢𝑏(𝑥1− 𝜉)𝑑𝜉
∞
−∞
(3.9)
면에 수직한 방향의 속도는 Takahashi (2002)에 의해 아래와 같이 표현이 가능하다.
𝑣1(𝑥1) = 𝑣2(𝑥1, 0) = −𝑗𝜔𝜁𝑤𝑚(𝑥1) +𝜎
𝑧0{𝑝1(𝑥1) − 𝑝2(𝑥1, 0)} (3.10)
𝑣2(𝑥1, ℓ1) = 𝑣3(𝑥1) = −𝑖𝜔𝑤𝑏(𝑥1) (3.11)
여기서, 𝜎는 MPP의 공극 률, 𝜁 = 1 − (𝑧𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡⁄𝑧𝑀𝑃𝑃)𝜎 이다. 𝑧𝑀𝑃𝑃는 MPP 홀의 비 음향 임피던스이고, 이는 실수 부 (resistance, 𝑧𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡)와 허수 부
(reactance, 𝑧𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡)로 구성되며, Maa (1987)에 의해 수식적으로 아래 식과 같다.
𝑧𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡= 8𝜂0𝑡𝑚
(𝑑𝑚⁄ )2 2(√1 +𝑋2
32+√2𝑑𝑚𝑋
8𝑡𝑚 ) (3.12)
𝑧𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡 = −𝑗 [
𝜌0𝜔𝑡𝑚 (
1 + 1
√9 + (𝑋2 2)
+0.85𝑑𝑚 𝑡𝑚
) + 1
cos 𝜃cot(𝑘0𝐿3cos𝜃) ]
(3.13)
여기서, X = 𝑑𝑚/2√𝜌0𝜔/𝜂0, 𝜂0는 점성 계수 (viscosity coefficient), 𝑡𝑚은 MPP 의 두께, 𝑑𝑚은 MPP 홀의 직경, 𝐿3의 경우에는 2장에서 허니컴 셀의 높이 였지만, 중심 재인 허니컴을 허니컴 셀과 공기 층의 중첩으로 가정하였으 므로 공기 층의 높이로도 쓰인다.
𝑃±는 식 (3.4), (3.5), (3.10), (3.11)을 사용하여 구할 수 있다.
𝑃±= {𝐶𝐸±𝑝1(𝑥1) − 𝐷𝜍𝐸∓𝑤𝑚(𝑥) + 𝐷 (1 −𝜌0𝑐0𝜎 𝑧0
) 𝑤𝑏(𝑥1)} 𝑒−𝑗𝑘1𝑥1 (3.14)
여기서, 𝐴±= 𝐸+± 𝐸− , 𝐵±= 𝜎𝐴±/𝑧0− 𝐴∓/(𝜌0𝑐0) , 𝐶 = 𝜎/(𝑧0𝐵+) , 𝐷 =
𝑗𝜔/𝐵+, 𝐸± = exp(±𝑗𝑘0ℓ1) 이다.
식 (3.14)를 식 (3.8)과 (3.9)에 대입한 후에 푸리에 변환 (Fourier transform)을 적용하면 아래 식과 같다.
𝑊𝑚(𝑘) = 2𝜋{𝛼1𝜅𝑏(𝑘) + 𝛼𝑚𝑊𝑏(𝑘) + 𝛼𝑏𝑊𝑏(𝑘)}𝑈𝑚(𝑘) (3.15)
𝑊𝑏(𝑘) = 2𝜋{𝛽1𝑃1(𝑘) + 𝛽3𝑃3(𝑘) + 𝛽𝑚𝑊𝑚(𝑘) + 𝛽𝑏𝑊𝑏(𝑘)}𝑈𝑏(𝑘) (3.16)
여기서, 𝑈𝑚(𝑘) , 𝑈𝑏(𝑘) , 𝑃1(𝑘) , 𝑃3(𝑘)은 각각 𝑢𝑚(𝑥1) , 𝑢𝑏(𝑥1) , 𝑝1(𝑥1) , 𝑝3(𝑥1) 의 푸리에 변환이고, 𝛼1= 1 − 𝐶𝐴+ , 𝛼𝑚 = 𝐷𝜁𝐴+ , 𝛼𝑏 = −2𝐷 , 𝛽1= 2𝐶 , 𝛽3=
−1, 𝛽𝑚 = −2Dζ, 𝛽𝑏 = −𝜌0𝑐0𝐷𝐵− 이다.
한켈 함수의 적분 표현식은 아래와 같다.
𝐻0(1)(𝑘0|𝑥 − 𝑥0|) = ∫ 𝑒𝑖𝑘(𝑥−𝑥0) 𝜋√𝑘02− 𝑘2𝑑𝑘
∞
−∞
(3.17)
여기서, 𝑘0는 공기의 파수를 나타낸다.
식 (3.2), (3.3), (3.10), (3.11)으로부터 아래 식을 얻을 수 있다.
𝑃1(𝑘) = 𝛾1𝛿(𝑘 − 𝑘0sin 𝜃) + 𝛾𝑚(𝑘)𝑊𝑚(𝑘) + 𝛾𝑏𝑊𝑏(𝑘) (3.18)
𝑃3(𝑘) = 𝜀𝑏(𝑘)𝑊𝑏(𝑘) (3.19)
여기서,
𝛾𝑖(𝑘) = 2√𝑘02− 𝑘2
√𝑘02− 𝑘2− 𝑘0𝐶𝐴− (3.20) 𝛾𝑚(𝑘) = −𝑘0𝐷𝜍𝐴−cos 𝜃
√𝑘02− 𝑘2− 𝑘0𝐶𝐴− (3.21)
𝛾𝑏(𝑘) = 2𝜌0𝜔𝐷𝜎/𝑧0
√𝑘02− 𝑘2− 𝑘0𝐶𝐴− (3.22)
𝜀𝑏(𝑘) = 𝑗𝜌0𝜔2
√𝑘02− 𝑘2 (3.23)
MPP와 허니컴, 후판이 결합된 상태로 설정하기 위해선 MPP와 후판의
변위가 커플링 되어야 한다. 이를 수식적으로 나타내면 다음 식과 같다.
𝑤𝑡(𝑘) = 𝑤𝑚(𝑘) = 𝑤𝑏(𝑘) (3.24)
여기서, 식 (3.24)은 MPP와 후판의 변위가 같게 됨을 나타내며, 결과적으로
패널의 변위는 𝑤𝑡이며 각각에 작용하는 압력의 중첩으로 아래 식과 같이
표현된다.
𝑤𝑡(𝑥1) = ∫ {𝑝1(𝜉) − 𝑝2(𝜉, 0) + 𝑝2(𝜉, ℓ1) − 𝑝3(𝜉)}𝑢𝑏(𝑥 − 𝜉)𝑑𝜉
∞
−∞
(3.25)
식 (3.15), (3.16)을 통해 𝑤𝑡(𝑥1)의 푸리에 변환된 형태를 아래와 같이 구할 수 있다.
𝑊𝑡(𝑘) = 2𝜋{𝛼1𝜅𝑏(𝑘) + 𝛼𝑚𝑊𝑏(𝑘) + 𝛼𝑏𝑊𝑏(𝑘) + 𝛽1𝑃1(𝑘) + 𝛽3𝑃3(𝑘)
+ 𝛽𝑚𝑊𝑚(𝑘) + 𝛽𝑏𝑊𝑏(𝑘)}𝑈𝑏(𝑘)
(3.26)
식 (3.24)에서 정의한 바에 의해 식 (3.26)을 정리하면 아래 식과 같다.
𝑊𝑡(𝑘) = 𝐹𝑡(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0sin 𝜃) (3.27)
여기서,
𝐹𝑡(𝑘) = 2𝜋𝜆𝑛𝛾𝑖(𝑘)𝑈𝑏(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0sin 𝜃)
1 − 2𝜋(𝛼𝑚𝑏+ 𝛽𝑚𝑏+ 𝛽3𝜀𝑏(𝑘) + 𝜆𝑛𝛾𝑚(𝑘) + 𝜆𝑛𝛾𝑏(𝑘))𝑈𝑏(𝑘) (3.28)
식 (3.27)을 식 (3.18)과 (3.19)의 𝑊𝑚(𝑘)과 𝑊𝑏(𝑘)에 대입하면 아래와 같다.
𝑃1(𝑘) = 𝑄𝑝(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0sin 𝜃) (3.29)
𝑃3(𝑘) = 𝜀𝑏(𝑘)𝐹𝑡(𝑘)𝛿(𝑘 − 𝑘0sin 𝜃) (3.30)
여기서,
𝑄𝑝(𝑘) = 𝛾1(𝑘) + 𝛾𝑚(𝑘)𝐹𝑡(𝑘) + 𝛾𝑏𝐹𝑡(𝑘) (3.31)
식 (3.29)–(3.31)을 푸리에 역 변환하면 아래와 같다.
𝑝1(𝑥1) = 𝑄𝑝(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.32)
𝑃3(𝑥1) = 𝜀𝑏(𝑘1)𝐹𝑡(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.33)
식 (3.32)와 (3.33)을 식 (3.10)과 (3.11)에 대입하면 속도 𝑣1(𝑥1), 𝑣3(𝑥1)는 아래와 같다.
𝑣1(𝑥1) = 𝑄𝑣(𝑘1) cos 𝜃 exp(𝑗𝑘1𝑥1)/(𝜌0𝑐0) (3.34)
𝑣3(𝑥1) = −𝑗𝜔𝐹𝑡(𝑘1)exp(𝑗𝑘1𝑥1) (3.35)
여기서,
𝑄𝑣(𝑘) = −𝐶𝐴−𝛾𝑖(𝑘) − (𝐶𝛾𝑚(𝑘) − 𝐷𝜁)𝐴−𝐹𝑡(𝑘) − 𝐶𝐴−𝛾𝑏𝐹𝑡(𝑘) (3.36)
식 (3.37)을 보면 결과적으로 식 (3.31)과 식 (3.36)의 𝑄𝑝(𝑘)와 𝑄𝑣(𝑘)를 통 해 반사 인텐시티 (intensity) 𝐼𝑟(𝜃) , 입사 인텐시티 𝐼𝑖(𝜃) , 흡음 계수
𝛼𝑐𝑎𝑠𝑒1(𝜃), 평균 흡음 계수 𝛼̅𝑐𝑎𝑠𝑒1(𝜃)는 아래와 같이 구할 수 있다.
𝐼𝑟(𝜃) =1
2𝑅𝑒[{𝑝1(𝑥) − 𝑝𝑖(𝑥, 0)}{−𝑣1(𝑥) + 𝑣𝑖(𝑥, 0)}∗]
= cos 𝜃 2𝜌0𝑐0
𝑅𝑒[{𝑄𝑚(𝑘1) − 1}{−𝑄𝑣(𝑘1) + 1}∗]
(3.37)
𝛼case1(𝜃) = 1 −𝐼𝑟(𝜃)
𝐼𝑖(𝜃) (3.38)
𝛼̅case1(𝜃) =∫02𝜋∫0𝜋/2𝛼csse1(𝜃) sin 𝜃 cos 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙
∫02𝜋∫0𝜋/2sin 𝜃 cos 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙 (3.39)
여기서, 𝐼𝑖(𝜃) = cos θ ∕ (2𝜌0𝑐0) , 𝛼case1는 Figure 3.1에 대한 흡음 계수를 나타내며 𝛼̅case1는 입사 각에 대한 평균 흡음 계수를 나타낸다. 별표 (∗)는
켤레 복소수 (complex conjugate)를 나타낸다.
Figure 3.1 Geometry of the HMPP for the incident, reflected, and transmitted waves with an unbounded x₁-x₂ plane
Figure 3.2 Front view (x₁-x₃ plane) of Figure 3.1.