4. 사각형의 성질
41
⑵ ABCª CDA이므로 ∠BAC=∠DCA 즉 엇각의 크기가 같으므로 ABÓ∥DCÓ ⑶ ABCª CDA이므로 ∠ACB=∠CAD 즉 엇각의 크기가 같으므로 ADÓ∥BCÓ
17
BOÓ=DOÓ이므로 8x-2=5x+7 yy 2점3x=9 ∴ x=3 yy 2점
∴ ACÓ =BDÓ=2BOÓ
=2_(8_3-2)
=44 yy 2점
채점 기준 배점
BOÓ=DOÓ임을 알고 식 세우기 2점
x의 값 구하기 2점
ACÓ의 길이 구하기 2점
18
⑴ AEÓ=ABÓ이므로 ∠AEB=∠ABE=25ù ∠BAE=180ù-(25ù+25ù)=130ù이므로 ∠EAD=130ù-90ù=40ù⑵ ∠EDF=;2!;_(180ù-40ù)=70ù
19
∠A+∠B=180ù이므로∠BAE+∠ABE=;2!;(∠A+∠B)
=;2!;_180ù=90ù yy 3점
ABE에서 ∠AEB =180ù-(∠BAE+∠ABE)
=180ù-90ù=90ù yy 2점 ∴ ∠HEF=∠AEB=90ù(맞꼭지각) yy 1점
채점 기준 배점
∠BAE+∠ABE의 크기 구하기 3점
∠AEB의 크기 구하기 2점
∠HEF의 크기 구하기 1점
20
OCD = DBC- OBC= ABC- OBC
= ABO=10`cmÛ` yy 2점
OAÓ : OCÓ = ABO : OBC
=10 : 20=1 : 2
즉 AOD : OCD=OAÓ : OCÓ이므로
AOD : 10=1 : 2 ∴ AOD=5`(cmÛ`) yy 3점 ∴ ABCD = AOD+ ABO+ OBC+ OCD
=5+10+20+10
=45`(cmÛ`) yy 2점
채점 기준 배점
△OCD의 넓이 구하기 2점
△AOD의 넓이 구하기 3점
ABCD의 넓이 구하기 2점
p. 92~93
1
⑵ 직사각형 모양의 색종이를 반으로 두 번 접으면 합동인 직사 각형 4개가 포개진 모양이 된다.두 번 접은 색종이를 대각선 방향을 따라 가위로 잘랐을 때 만 들어진 사각형은 접었을 때의 직사각형의 대각선을 변으로 하 는 사각형이므로 네 변의 길이가 모두 같다. 따라서 마름모이 다.
⑴ 마름모 ⑵ 풀이 참조
2
⑴ 주어진 조건을 평행사변형 ABCD에 MB C
A D
3
3
4
4 5 5
나타내면 오른쪽 그림과 같다.
⑵ AMD와 BMC에서
AMÓ=BMÓ, ADÓ=BCÓ, MDÓ=MCÓ 이므로 AMDª BMC (SSS 합동)
즉 ∠A=∠B이고 ∠A+∠B=180ù이므로 ∠A=90ù 따라서 ABCD는 한 내각의 크기가 90ù인 평행사변형이므
로 직사각형이다.
⑶ MCD는 밑변의 길이가 6, 높이가 4인 삼각형이므로 MCD =;2!;_6_4=12
⑴ 그림은 풀이 참조 ⑵ 직사각형 ⑶ 12
3
⑴ ACÓ∥BFÓ이므로 A BC D
E
F G
ABC= AFC
⑵ ADÓ∥EGÓ이므로 ADE= ADG
⑶ (오각형 ABCDE의 넓이)
= ABC+ ACD+ ADE
= AFC+ ACD+ ADG
= AFG
⑴ △AFC ⑵ △ADG ⑶ △AFG
4
⑴ ① PHA= PAE=4`cmÛ`② PEB= PBF=8`cmÛ`
③ PFC= PCG=6`cmÛ`
④ PGD= PDH=3`cmÛ`
05
DBE와 ABC에서 DBÓ=ABÓ, BEÓ=BCÓ,∠DBE=60ù-∠EBA=∠ABC
∴ DBEª ABC (SAS 합동) yy`㉠
ABC와 FEC에서 BCÓ=ECÓ, ACÓ=FCÓ,
∠ACB=60ù-∠ACE=∠FCE
∴ ABCª FEC (SAS 합동) yy`㉡
㉠, ㉡에 의해 DAÓ=ABÓ=EFÓ, DEÓ=ACÓ=AFÓ이므로
DAFE는 평행사변형이다.
06
오른쪽 그림과 같이 ABP를 떼어45∞
72∞
Q
P A
B C
D R ABÓ가 ADÓ에 오도록 붙여 ARQ를 만
든다.
APQ와 ARQ에서 APÓ=ARÓ, AQÓ는 공통,
∠PAQ =45ù
=∠BAP+∠QAD
=∠DAR+∠QAD
=∠RAQ
이므로 APQª ARQ (SAS 합동)
∴ ∠AQD =∠AQP
=180ù-(45ù+72ù)=63ù
07
오른쪽 그림에서 AB C
D
5 cm 4 cm 3 cm P
F
E ABEª BCF (SAS 합동)이므로
ABE= BCF
PECF = BCF- PBE
= ABE- PBE
= ABP
∴ (색칠한 부분의 넓이) =ABCD-( ABP+PECF)
=ABCD-( ABP+ ABP)
=ABCD-2 ABP
=5_5-2_;2!;_3_4
=25-12
=13`(cmÛ`)
08
직사각형 ABCD의 각 변의 중점을 연결한 사각형 EFGH는 마 름모이다.또 마름모 EFGH의 각 변의 중점을 연결한 사각형 IJKL은 직 사각형이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
01 20`cm 02 평행사변형 03 풀이 참조 04 7`cm 05 ①, ⑤ 06 63ù 07 13`cmÛ` 08 ⑤ 09 30`cmÛ`` 10 20`cmÛ`
11 5`cmÛ`` 12 11 : 3
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p. 94~9501
ABÓ∥RQÓ, ACÓ∥PQÓ이므로R
Q P
A
B C
10 cm 8 cm
APQR는 평행사변형이다.
이때 ABC가 이등변삼각형이므로 ∠PQB=∠ACB=∠ABC 즉 PBQ는 이등변삼각형이므로 PQÓ =PBÓ=ABÓ-APÓ
=ABÓ-RQÓ=10-8=2`(cm)
∴ (APQR의 둘레의 길이)
=2(APÓ+PQÓ)
=2_(8+2)
=20`(cm)
02
ABCD가 평행사변형이므로 AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ이때 AEÓ=CGÓ, BFÓ=DHÓ이므로
EOÓ =AOÓ-AEÓ
=COÓ-CGÓ=GOÓ
FOÓ =BOÓ-BFÓ
=DOÓ-DHÓ=HOÓ
따라서 EFGH의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변형이다.
03
APCR는 APÓ∥RCÓ, APÓ=RCÓ이므로 평행사변형이다.yy`㉠
AQCS는 ASÓ∥QCÓ, ASÓ=QCÓ이므로 평행사변형이다.
yy`㉡
㉠, ㉡에서 AFÓ∥ECÓ, AEÓ∥FCÓ이므로 AECF는 평행사변형 이다.
04
오른쪽 그림과 같이 AEÓ, ODÓ를 그O A
B C
D E F
8 cm 6 cm
으면
AOÓ∥EDÓ이고 AOÓ=OCÓ=EDÓ이 므로 AODE는 평행사변형이다.
즉 AFÓ=DFÓ, OFÓ=EFÓ이므로 AFÓ=;2!; ADÓ=;2!; BCÓ =;2!;_8=4`(cm) OFÓ=;2!; OEÓ=;2!; CDÓ=;2!; ABÓ =;2!;_6=3`(cm) ∴ AFÓ+FOÓ=4+3=7`(cm)
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4. 사각형의 성질
43
09
EFGH=;2!; ABCD=;2!;_120=60`(cmÛ`) 또 EFGH는 평행사변형이므로PEF+ PGH=;2!; EFGH
=;2!;_60=30`(cmÛ`)
10
APÓ`:`PEÓ=2`:`3이므로 APD`:` DPE=2`:`3 이때 APD=2S, DPE=3S라 하면AED= APD+ DPE=5S yy`㉠
또한 AED=;2!; ABCD
= APD+ PBC
=2S+30 yy`㉡
이므로 ㉠=㉡에서
5S=2S+30 ∴ S=10`(cmÛ`) ∴ APD=2S=20`(cmÛ`)
11
∠DEC=∠ADE(엇각)=∠EDC이므로 ECÓ=DCÓ 이때 ABÓ : ADÓ=3 : 4이므로BEÓ : ECÓ=1 : 3
∴ DEC=;4#; DBC=;4#;_;2!; ABCD =;8#; ABCD=;8#;_8=3`(cmÛ`)
∴ ABED =ABCD- DEC
=8-3=5`(cmÛ`)
12
ABCD의 넓이를 a라 하면ABP=;5@; ABD=;5@;_;2!; ABCD =;5!; ABCD=;5!;a
QBC=;3@; DBC=;3@;_;2!; ABCD =;3!; ABCD=;3!;a
PCD=;5#; ACD=;5#;_;2!; ABCD =;1£0; ABCD=;1£0;a
PQD=;3!; PCD=;3!;_;1£0; ABCD =;1Á0; ABCD=;1Á0;a
∴ PBQ=ABCD-( ABP+ QBC+ PQD) =a-{;5!;a+;3!;a+;1Á0;a}=;3!0!;a
∴ PBQ : PQD=;3!0!;a : ;1Á0;a=11 : 3
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따라서 큰 원과 작은 원의 닮음비는 큰 원과 작은 원의 반지름의 길이의 비인 3 : 2이다.
06
오른쪽 그림과 같이 A4 용지의 가로A4 A5 A6
A7 A8
A9
a 1a 4
1a 2
b b
1 4 1b 4
1b 2 의 길이를 a, 세로의 길이를 b라 하면
A8 용지의 가로의 길이는 ;4!;a, 세로 의 길이는 ;4!;b이다.
이때 a`:`;4!;a=b`:`;4!;b=4`:`1이므로 A4 용지와 A8 용지의 닮음비는 4 : 1이다.
07
⑴ FGÓ`:`F'G'Ó=6`:`12=1`:`2 따라서 닮음비는 1`:`2이다.⑵ DHÓ`:`D'H'Ó=1`:`2에서 4`:`x=1`:`2 ∴ x=8 GHÓ`:`G'H'Ó=1`:`2에서 3`:`y=1`:`2 ∴ y=6
08
⑴ 닮음비는 밑면인 원의 반지름의 길이의 비와 같으므로 3`:`4⑵ 작은 원뿔의 높이를 x`cm라 하면 x`:`8=3`:`4 ∴ x=6`
⑶ 두 원뿔의 밑면인 원의 둘레의 길이의 비는 닮음비와 같으므로 3`:`4
09
두 원기둥의 닮음비는 9`:`12=3`:`4두 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길이의 비는 닮음비와 같으므 로 원기둥 A의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 r`:`4=3`:`4 ∴ r=3
∴ (원기둥 A의 밑면인 원의 둘레의 길이)=2p_3=6p`(cm)
12
② 두 마름모의 한 변의 길이가 같더라도 내각의 크기는 서로 다 를 수 있으므로 닮음이 아니다.도형의 닮음 5
01
① DCÓ`:`HGÓ=BCÓ`:`FGÓ=9`:`6=3 : 2 ② ∠D=∠H=80ù, ∠E=∠A=72ù③ BCÓ : FGÓ=ADÓ : EHÓ에서 9`:`6=12`:`EHÓ ∴ EHÓ=8`(cm)
④ BCÓ : FGÓ=ABÓ : EFÓ에서 9`:`6=ABÓ`:`4 ∴ ABÓ=6`(cm)
⑤ 닮음비는 3`:`2이다.
02
① ACÓ : DFÓ=BCÓ : EFÓ에서 15`:`12=10`:`EFÓ ∴ EFÓ=8`(cm)② ∠E=∠B=65ù
④ ABÓ`:`DEÓ=ACÓ : DFÓ=15`:`12=5`:`4 ⑤ 닮음비가 5 : 4이므로 BCÓ`:`EFÓ=5`:`4 ∴ BCÓ=;4%;EFÓ
03
BCÓ`:`EFÓ=2`:`1에서 11`:`EFÓ=2`:`1 ∴ EFÓ=;;Á2Á;;`(cm)ACÓ`:`DFÓ=2`:`1에서 9`:`DFÓ=2`:`1 ∴ DFÓ=;2(;`(cm)
따라서 DEF의 둘레의 길이는 5+;;Á2Á;;+;2(;=15`(cm)
04
⑴ ABÓ`:`EFÓ=4`:`6=2`:`3 따라서 닮음비는 2`:`3이다.⑵ ∠C=∠G=85ù이므로 ABCD에서 ∠D=360ù-(120ù+75ù+85ù)=80ù ⑶ 닮음비가 2`:`3이므로
DCÓ`:`HGÓ=2`:`3에서 6`:`HGÓ=2`:`3 ∴ HGÓ=9`(cm)