(x-2)Û`-4(x-2)+4 =AÛ`-4A+4=(A-2)Û`
=(x-2-2)Û`=(x-4)Û`
그런데 x=4+'3이므로
(x-4)Û`=(4+'3-4)Û`=('3)Û`=3 답③
047
x-2y=A로 놓으면 (x-2y)(x-2y-4)-12 =A(A-4)-12=AÛ`-4A-12=(A+2)(A-6)=(x-2y+2)(x-2y-6) =(x+ay+b)(x+ay+c)
따라서 a=-2, b=2, c=-6이므로
a+b+c=(-2)+2+(-6)=-6 답③
048
x(x-1)(x-2)(x-3)+1 ={x(x-3)}{(x-1)(x-2)}+1 =(xÛ`-3x)(xÛ`-3x+2)+1 xÛ`-3x=A로 놓으면(주어진 식) =A(A+2)+1=AÛ`+2A+1
=(A+1)Û`
=(xÛ`-3x+1)Û`
32
따라서 a=1, b=-3, c=1이므로
a+b+c=1+(-3)+1=-1 답-1
포인트 ( )( )( )( )+k`꼴의 인수분해
① 공통부분이 생기도록 2개씩 묶어서 전개한다.
② 공통부분을 다른 문자로 놓고 인수분해한다.
③ 공통부분을 원래의 식에 대입하여 정리한다.
049
⑴ 234_26-234_16 =234_(26-16)=234_10
=2340 ⑵ 95Û`-25 =95Û`-5Û`
=(95+5)(95-5)
=100_90=9000
⑶ 12Û`+2_12_8+8Û` =(12+8)Û`
=20Û`=400
답⑴ 2340 ⑵ 9000 ⑶ 400
050
154Û`-153Û`=(154+153)(154-153)이므로③ aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)를 이용하면 된다. 답③
051
"Ã102Û`-98Û` ="Ã(102+98)(102-98)='Ä200_4='¶800
=20'2 답②
052
101Û`-2_101+10 =101Û`-2_101+1+9 =(101-1)Û`+9=100Û`+9=10009 답⑤
053
12345를 a로 놓으면8080
054
4xÛ`+(2k-2)xy+9yÛ`=(2xÑ3y)Û`이므로 yy 가2k-2=Ñ12 yy 나
따라서 2k=14 또는 2k=-10이므로 k=7 또는 k=-5
={(2x-1)+(x+2)}{(2x-1)-(x+2)}
=(3x+1)(x-3) yy 가
(3x+1)(x-3)=(3x+a)(x+b)이므로
a=1, b=-3 ∴ a+b=-2 yy 나
답-2
단계 채점 요소 배점
가 주어진 식을 인수분해하기 2점
나 답 구하기 2점
056
xÛ`+11x+k는 a, b가 자연수이므로(x+1)(x+10), (x+2)(x+9), (x+3)(x+8), (x+4)(x+7), (x+5)(x+6)
으로 인수분해가 된다. yy 가
6aÛ`+17ab+12bÛ`=(2a+3b)(3a+4b)
따라서 세로의 길이는 3a+4b이다. yy 가
(직사각형의 둘레의 길이)
=2_{(가로의 길이)+(세로의 길이)}
=2(2a+3b+3a+4b) =2(5a+7b) ⑵ 2xÛ`-16x-40 =2(xÛ`-8x-20)
=2(x-10)(x+2)` yy 라 답⑴ 2xÛ`-16x-40 ⑵ 2(x-10)(x+2)
4. 다항식의 인수분해
33
059
3xÛ`-12=3(xÛ`-4)=3(x+2)(x-2) yy ㉠ xÛ`-2x-8=(x+2)(x-4) yy ㉡ 이므로 공통인수는 ㉠, ㉡에서 x+2이다.∴ a=2 yy 가
3xÛ`+bx-4 =(x+2)(3x+k)
=3xÛ`+(k+6)x+2k (k는 상수) 이므로 b=k+6, 2k=-4
따라서 k=-2, b=4이므로 yy 나
(3x-y)Û`+2(y-3x)-24 =AÛ`-2A-24=(A-6)(A+4)
=(3x-y-6)(3x-y+4) yy 나
답(3x-y-6)(3x-y+4)
단계 채점 요소 배점
가 3x-y=A로 놓기 2점
나 답 구하기 2점
061
(a+2)(b+2)=ab+2(a+b)+4=20 yy ㉠㉠에 ab=-4를 대입하면 a+b=10 yy 가
한편, aÛ`+bÛ`=(a+b)Û`-2ab=10Û`-2_(-4)=108
yy 나
∴ aÜ`+bÜ`+aÛ`b+abÛ` =aÛ`(a+b)+bÛ`(a+b)
=(a+b)(aÛ`+bÛ`)
=10_108=1080 yy 다
답1080
ab-a-b+1 =(ab-a)-(b-1)
=a(b-1)-(b-1)
=(a-1)(b-1)
062
x-y=A로 놓으면 yy 가(x-y)Û`-10x+10y+25 =(x-y)Û`-10(x-y)+25 =AÛ`-10A+25
=(A-5)Û`
=(x-y-5)Û` yy 나
따라서 a=1, b=-1, c=-5이므로
abc=5 yy 다
(xÛ`-x-3)(xÛ`+x-3)-3xÛ`
=(A-x)(A+x)-3xÛ`
=AÛ`-xÛ`-3xÛ`
=AÛ`-4xÛ`
=(A+2x)(A-2x) yy 가
=(xÛ`+2x-3)(xÛ`-2x-3)
=(x+3)(x-1)(x-3)(x+1) yy 나 따라서 a=-3, b=-1, c=1, d=3 (∵ a<b<c<d)
이므로
064
(x+1)(x+2)(x+5)(x+6)+a ={(x+1)(x+6)}{(x+2)(x+5)}+a=(xÛ`+7x+6)(xÛ`+7x+10)+a yy 가 xÛ`+7x=A로 놓으면
(x+1)(x+2)(x+5)(x+6)+a =(A+6)(A+10)+a
34
065
1Û`-2Û`+3Û`-4Û`+5Û`-6Û`+7Û`-8Û`+9Û`-10Û`=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)
+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)
yy 가
=-(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
=-55 yy 나
(5-2'6)(5+2'6) = 5+2'625-24
=5+2'6
∴ xÛ`-10x+25 =(x-5)Û`
=(5+2'6-5)Û`
=(2'6)Û`=24 답④
067
BCÓ=2r cm라 하면CDÓ=2r+2(cm), ACÓ=2r+2+2=2r+4(cm) 선분 CD를 지름으로 하는 원의 둘레의 길이가 5p cm이므로 2p_ 2r+22 =5p, 2p(r+1)=5p
∴ r=;2#; (cm)
∴ (색칠한 부분의 넓이)={ 2r+42 }Û`p-{2r2 }Û`p
={(r+2)Û`-rÛ`}p
=(r+2+r)(r+2-r)p
=(2r+2)_2p
=4(r+1)p 라 하면 a+b=7, ab=k
a+b=7>0, ab=k>0이므로 a>0, b>0 a>0, b>0, a+b=7을 만족시키는 두 정수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) 따라서 두 자리 자연수 k의 모든 값들의 합은
10+12=22 답②
069
새로 만들어진 직사각형의 넓이는 (xÛ`+3x-18) cmÛ`이고 xÛ`+3x-18=(x+6)(x-3)이므로가로의 길이는 a`cm만큼 늘였으므로 x+6에서 a=6
세로의 길이는 b`cm만큼 줄였으므로 x-3에서 b=3
∴ a+b=6+3=9 답②
070
(x+2)(x-3) =xÛ`-3x+2x-6=xÛ`-x-6
이므로 처음 이차식은 xÛ`+x-6이다.
이것을 바르게 인수분해하면
xÛ`+x-6=(x-2)(x+3) 답③
071
x(x-3)+y(y+3)-2xy-4 =xÛ`-3x+yÛ`+3y-2xy-4 =xÛ`-2xy+yÛ`-3x+3y-4 =(x-y)Û`-3(x-y)-4 =(x-y-4)(x-y+1) 따라서 두 일차식의 합은(x-y-4)+(x-y+1)=2x-2y-3 답2x-2y-3
072
{x+;[!;}Û`={x-;[!;}Û`+4이므로{x+;[!;}Û`-4{x-;[!;}={x-;[!;}Û`-4{x-;[!;}+4 x-;[!;=A로 놓으면
{x-;[!;}Û`-4{x-;[!;}+4=AÛ`-4A+4
=(A-2)Û`
={x-;[!;-2}Û` 답④
포인트 {a+;a!;}Û`={a-;a!;}Û`+4
073
x-1=A, x+2=B로 놓으면 2(x-1)Û`+3(x-1)(x+2)+(x+2)Û`=2AÛ`+3AB+BÛ`
=(A+B)(2A+B)
={(x-1)+(x+2)}{2(x-1)+(x+2)}
=3x(2x+1) 답③
074
aCb=ab-a-b이므로 (x+y)C(x-y)+1=(x+y)(x-y)-x-y-x+y+1 =xÛ`-2x+1-yÛ`
=(x-1)Û`-yÛ`
=(x-1+y)(x-1-y)
=(x+y-1)(x-y-1) 답④
4. 다항식의 인수분해
35 075
(넓이) =xy-yÛ`+3x-6y-9=x(y+3)-(yÛ`+6y+9)
=x(y+3)-(y+3)Û`
=(y+3)(x-y-3)
가로의 길이가 y+3이므로 세로의 길이는 x-y-3이다.
따라서 구하는 둘레의 길이는
2(y+3+x-y-3)=2x 답②
076
xÛ`+xy-4x-2y+4=xÛ`+(y-4)x-2(y-2) 1 -2 3Ú -21 y-2 3Ú y-2 +
y-4
∴ xÛ`+(y-4)x-2(y-2)=(x-2)(x+y-2) 따라서 a=-2, b=1, c=-2이므로
a+b-c=-2+1-(-2)=1 답1
077
2{1- 12Û` }{1- 13Û` }{1- 1
4Û` }y{1- 12020Û` }
=2[{1+;2!;}{1-;2!;}][{1+;3!;}{1-;3!;}][{1+;4!;}{1-;4!;}]_y
_[{1+;20Á20;}{1-;20Á20;}]
=2{;2#;_;2!;}{;3$;_;3@;}{;4%;_;4#;}_y_{;2@0)2@0!;_;2@0)2!0(;}
=2_;2!;_;2@0)2@0!;
=;2@0)2@0!; 답;2@0)2@0!;
078
aÛ`b+abÛ`에서 ab가 공통인수이므로aÛ`b+abÛ`=ab(a+b)=(-15)_2=-30 답-30
079
(반지름의 길이가 5인 원의 넓이)=p_5Û`=25p yy ㉠ (반지름의 길이를 x만큼 늘인 원의 넓이)=p_(x+5)Û` yy ㉡
따라서 색칠한 부분의 넓이는 ㉡-㉠이므로 p_(x+5)Û`-25p=p{(x+5)Û`-5Û`}
=p(x+5+5)(x+5-5)
=px(x+10) 답④
080
4xÛ`+12x+a=(bx+c)Û`=bÛ`xÛ`+2bcx+cÛ`이므로 bÛ`=4에서 b=2 (∵ b>0)2bc=12에서 c=3 cÛ`=a에서 a=9
∴ a+b+c=9+2+3=14 답②
081
2<'5<3이므로 '5의 정수 부분은 2이고, 소수 부분은a='5-2이다. yy 가
083
aÛ`-2ab-3bÛ` =(a-3b)(a+b)=(10.75-0.75)(10.75+0.25)
=10_11=110 답③
085
(5x-3)(3x+2)+4 =15xÛ`+x-2=(5x+2)(3x-1)
=(ax+b)(cx-1) 따라서 a=5, b=2, c=3이므로
a+b+c=5+2+3=10 답⑤
086
① 4xÛ`-9yÛ`=(2x+3y)(2x-3y) ② 3aÛ`+12a+6=3(aÛ`+4a+2) ③ 5xÛ`+2xy-3yÛ`=(5x-3y)(x+y) ⑤ (x-3)+(3x-xÛ`)=-(x-1)(x-3)답④
087
A+B+6x=xÛ`-3x-18+xÛ`-6x+9+6x
=2xÛ`-3x-9`
=(x-3)(2x+3) 답②
088
4xÛ`-9=(2x+3)(2x-3) 4xÛ`-4x-15=(2x+3)(2x-5)즉, 공통인수는 2x+3이다. yy 가
따라서 a=2, b=3이므로
a+b=5 yy 나
답5
36
단계 채점 요소 배점
가 두 다항식의 공통인수 찾기 2점
나 답 구하기 2점
089
다항식 3xÛ`+ax-4가 x+2로 나누어떨어지므로x+2를 인수로 갖는다. yy 가
xÛ`의 계수에 의하여
3xÛ`+ax-4=(x+2)(3x+)로 놓으면
2_=-4 ∴ =-2 yy 나
(x+2)(3x-2)=3xÛ`+4x-4이므로
a=4 yy 다
답4
단계 채점 요소 배점
가 주어진 다항식의 인수가 x+2임을 알기 2점
나 =-2 구하기 2점
다 답 구하기 2점
090
xÛ`+ax+20=(x-4)(x+m) (m은 상수)로 놓으면 m-4=a, -4m=20∴ m=-5, a=-9
3xÛ`-10x+b=(x-4)(3x+n) (n은 상수)로 놓으면 n-12=-10, -4n=b
∴ n=2, b=-8
∴ a-b=-9-(-8)=-1 답①
091
a(a-1)-b(b-1) =aÛ`-a-bÛ`+b=aÛ`-bÛ`-(a-b)
=(a-b)(a+b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-1)=80 yy 가 a-b=8이므로
(a-b)(a+b-1)=8_(a+b-1)=80
∴ a+b-1=10 yy 나
∴ a+b=11 yy 다
답11
단계 채점 요소 배점
가 주어진 식을 인수분해하기 3점
나 a+b-1=10 구하기 2점
다 답 구하기 1점
092
3xÛ`+4x+1-(x+1)Û`=(x+1)(3x+1)-(x+1)Û`
=(x+1){(3x+1)-(x+1)}
=2x(x+1) 답②
093
aÛ`+a-6=(a-2)(a+3) yy ㉠ (a-1)Ü`-a+1=(a-1)Ü`-(a-1) a-1=A로 놓으면(주어진 식) =AÜ`-A
=A(AÛ`-1)
=A(A-1)(A+1)
=a(a-1)(a-2) yy ㉡
㉠, ㉡에서 두 다항식에 공통으로 포함되어 있는 인수는
a-2이다. 답②
094
⑴ (2x+1)Û`-(x-4)Û`=(2x+1+x-4)(2x+1-x+4) yy 가 =(3x-3)(x+5)
=3(x-1)(x+5) yy 나
⑵ 3(x+3)Û`+5(x+3)-2에서
x+3=A로 놓으면 yy 다
3AÛ`+5A-2 =(3A-1)(A+2)
={3(x+3)-1}(x+3+2)`
=(3x+8)(x+5) yy 라 ⑶ ⑴, ⑵에서 두 다항식에 공통으로 포함되어 있는 인수
는 x+5이다. yy 마
답⑴ 3(x-1)(x+5) ⑵ (3x+8)(x+5) ⑶ x+5
단계 채점 요소 배점
가 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b) 이용하기 1점
나 3(x-1)(x+5) 구하기 2점
다 x+3=A로 놓기 1점
라 (3x+8)(x+5) 구하기 2점
마 공통인수 구하기 2점
095
10_19.5Û`p-10_10.5Û`p =10p(19.5Û`-10.5Û`)=10p(19.5+10.5)(19.5-10.5) =10p_30_9
=2700p (cmÜ`) 답2700p cmÜ`