aÁ£= '¶23'¶25  aÁª aÁ£= ' 1

'3_ '3 '5_ '5

'7_y_ '¶23 '¶25_aÁ

∴ aÁ£= 15 _3=3

5   ^답 3

5

400

aÁ=2이고

a_n+1=3a_n-2의 n에 1, 2, 3을 차례대로 대입하면 aª=3aÁ-2=3_2-2=4

a£=3aª-2=3_4-2=10 a¢=3a£-2=3_10-2=28

∴ aÁ+aª+a£+a¢=2+4+10+28=44 ^답 44 [다른 풀이]

an+1=3a_n-2를 a_n+1-a=3(an-a)라 하면 an+1=3a_n-2a

이때 -2a=-2이므로 a=1

∴ a_n+1-1=3(a_n-1)

즉, 수열 {a_n-1}은 첫째항이 aÁ-1=2-1=1, 공비가 3인 등비수열이므로

a_n-1=3^n-1 ∴ a_n=3^n-1+1

따라서 수열 {a_n}의 첫째항부터 제4항까지의 합은 Á4

k=1(3^k-1+1)= 1_(3Ý`-1) 3-1 +1_4=44

401

aÁ=3이고

a_n+a_n+1=n+1의 n에 1, 2, 3, 4를 차례대로 대입하면 aÁ+aª=1+1에서 aª=-1

aª+a£=2+1에서 a£=4 a£+a¢=3+1에서 a¢=0

a¢+a°=4+1에서 a°=5 ^답 5

[다른 풀이]

a_n+a_n+1=n+1 yy ㉠

a_n+1+a_n+2=n+2 yy ㉡

㉡-㉠을 하면 a_n+2-a_n=1 즉, 수열 {a_n}은 등비수열이므로 공비를 r라 하면

r=aª aÁ =21

3 =7

이차방정식 a_n+2xÛ`-2a<sub>n+1</sub>x+a<sub>n</sub>=0에서 x =a<sub>n+1</sub>Ñ"Ãan+1Û`-a_na_n+2

a_n+2   

=a_n+1

an+2 = 1r= 17 (중근)

∴ k= 17

398

an+1-a_n=f(n)의 n에 1, 2, 3, y, n을 차례대로 대입하여 변끼리 더하면 다음과 같다.

aª-aÁ=f(1) a£-aª=f(2) a¢-a£=f(3) ⋮ +

>³

^an+1-an=f(n)

a_n+1-a1=f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n)

∴ a_n+1=aÁ+_k=1Áⁿ f(k)

=2+(2n-3)=2n-1

∴ a18=2_17-1=33 답 33

[다른 풀이]

f(n)=a_n+1-a_n이므로 Án

k=1f(k) =Áⁿ

k=1(a_k+1-a_k)

=(aª-aÁ)+(a£-aª)+(a¢-a£)

+y+(a_n+1-a_n)

=a_n+1-aÁ

=a_n+1-2 (∵ aÁ=2) 이때 Áⁿ

k=1f(k)=2n-3이므로 a_n+1-2=2n-3

∴ an+1=2n-1

∴ a18=2_17-1=33

399

'Ä2n+1 an+1='Ä2n-1 an에서 a_n+1= 'Ä2n-1

'Ä2n+1a_n yy ㉠

㉠의 n에 1, 2, 3, y, 12를 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면 다음과 같다.

a¢=(2_2의 일의 자리 숫자)=4 a°=(2_4의 일의 자리 숫자)=8 a¤=(2_8의 일의 자리 숫자)=6=aª ⋮

즉, 수열 {an}은 aÁ=3이고, aª부터 6, 2, 4, 8이 이 순서대로 반복된다.

이때 30=1+4_7+1이므로

a£¼=aª=6 ^답 6

404

aÁ=5이고

a_n+1=( {9

3a_n+1`(a_n이 홀수) a_n

2 ` (a_n이 짝수) 의 n에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하면

aª=3_aÁ+1=3_5+1=16 (∵ aÁ이 홀수) a£=aª

2 = 16 2 =8 (∵ aª가 짝수) a¢=a£

2 = 82 =4 (∵ a£이 짝수) a°=a¢

2 = 42 =2 (∵ a¢가 짝수) a¤=a°

2 = 22 =1 (∵ a°가 짝수)

a¦=3_a¤+1=3_1+1=4=a¢ (∵ a¤이 홀수) ⋮

즉, 수열 {an}은 a¢부터 4, 2, 1이 이 순서대로 반복된다.

이때 60=3+3_19이므로 Á60

n=1a_n=5+16+8+(4+2+1)_19=29+133=162 답 162

405

-S_n+2+3S_n+1-2S_n=a_n에서 -(S_n+2-S_n+1)+2(S_n+1-S_n)=a_n -a_n+2+2a_n+1=a_n

∴ 2a_n+1=a_n+a_n+2

따라서 수열 {a_n}은 등차수열이므로 공차를 d라 하면 a¦-a£=4d이므로

13-5=4d ∴ d=2

∴ a10-a°=5d=10 답 10

aÁ+aª+a£+y+an=S_n이라 하면 Sn+1-S_n=a_n+1 , Sn+2-S_n+1=a_n+2

n=1을 대입하면 a£-aÁ=1 yy ㉢

n=3을 대입하면 a°-a£=1 yy ㉣

㉢+㉣을 하면 a°-aÁ=2

∴ a°=aÁ+2=3+2=5

a_n+1+a_n=(일차식) 꼴로 정의된 수열은 짝수항끼리, 홀수항 끼리 등차수열을 이룬다.

402

log a_n+1=2+log a_n`(n=1, 2, 3, y)에서 log an+1=log 100+log an=log 100an

∴ an+1=100a_n

따라서 수열 {an}은 첫째항이 aÁ=10, 공비가 100인 등비수열 이므로 일반항은

an=10_100^n-1=10^2n-1

∴ _k=1Á¹⁰ log a_k =log aÁ+log aª+log a£+y+log a10

=log aÁaªa£_y_a10=log 10^1+3+5+y+19

=log 1010_(1+19)

2 =log 10¹⁰⁰=100 답 100 [다른 풀이]

log a_n=b_n으로 놓으면 b_n+1=2+b_n

따라서 수열 {b_n}은 첫째항이 bÁ=log aÁ=log 10=1, 공차가 2인 등차수열이므로 일반항은

b_n=1+(n-1)_2=2n-1

∴ Á¹⁰

k=1b_k =Á¹⁰

k=1(2k-1)

=2_ 10_112 -1_10=100

⑴ log a_n=b_n에서 수열 {a_n}이 등비수열이면 수열 {b_n}은 등 차수열이다.

⑵ 10^aÇ=b_n에서 수열 {a_n}이 등차수열이면 수열 {b_n}은 등비 수열이다.

403

aÁ=3이고

a_n+1=(2a_n의 일의 자리 숫자)`(n=1, 2, 3, y)의 n에 1, 2, 3, y을 차례대로 대입하면

aª=(2_3의 일의 자리 숫자)=6 a£=(2_6의 일의 자리 숫자)=2

방법이 2가지이므로 aÁ=1, aª=2

(n+2)번째 계단에 오르는 방법의 수는 (n+1)번째 계단에 오르고 한 계단을 오르는 방법과 n번째 계단에 오르고 두 계 단을 오르는 방법의 합이므로

an+2=a_n+1+a_n (단, n=1, 2, 3, y) 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, 6을 대입하면

aÁ=1, aª=2, a£=3, a¢=5, a°=8, a¤=13, a¦=21, a¥=34 따라서 주은이가 8개의 계단을 오르는 방법의 수는 34이다.

답 34

an+2=a_n+a_n+1을 만족시키는 수열을 피보나치수열이라 한다.

410

1개의 직선을 그을 때에는 교점이 없으므로 aÁ=0

n개의 직선에 1개의 직선을 추가하면 이 직선은 기존의 직선 과 각각 한 번씩 만나므로 n개의 새로운 교점이 생긴다.

즉, (n+1)개의 직선들의 교점의 개수는 n개의 직선들의 교 점의 개수보다 n개가 많다.

∴ a_n+1=a_n+n

위의 식의 n에 1, 2, 3, y, 6을 차례대로 대입하여 변끼리 더 하면 다음과 같다.

aª= aÁ+1 a£= aª+2 a¢= a£+3 a°= a¢+4 a¤= a°+5 +

>³

^{a¦= a¤+6}

a¦  = aÁ+1+2+3+4+5+6

∴ a¦  =0+1+2+3+4+5+6

= 7_(0+6) 2 =21 답 21

411

좌변에서 1+2+3+y+n= n(n+1)2 이므로 주어진 부등

식의 양변을 n(n+1)

2 로 나누면

1+ 12 + 13 +y+ 1n > 2n n+1 yy ㉠ n¾2인 자연수 n에 대하여

Ú n=2일 때, (좌변)= 32 , (우변)= 43 이고 32 > 43 이므로 부등식 ㉠이 성립한다.

406

S_n+1=3S_n+1 yy ㉠

㉠에 n 대신 n-1을 대입하면

S_n=3S_n-1+1 yy ㉡

㉠-㉡을 하면

Sn+1-Sn=3Sn+1-(3Sn-1+1)

∴ an+1=3a_n (단, n=2, 3, 4, y)

이때 Sª=3SÁ+1에서 aÁ+aª=3aÁ+1이므로 aª=3

따라서 수열 {an}은 첫째항이 aÁ=1이고 공비가 3인 등비수 열이므로 일반항은

a_n=3^n-1

∴ a¢=3Ü`=27 ^답 27

[다른 풀이]

aÁ=1이므로 SÁ=aÁ=1

Sn+1=3S_n+1의 n에 1, 2, 3을 차례대로 대입하면 Sª=3SÁ+1=3_1+1=4

S£=3Sª+1=3_4+1=13 S¢=3S£+1=3_13+1=40

∴ a¢=S¢-S£=40-13=27

407

첫째 날에는 다섯 쪽을 풀고 둘째 날부터는 전날 푼 양보다 2 쪽씩을 더 풀기로 계획하였으므로 n째날 푼 수학문제집의 양 을 a_n이라 하면

aÁ=5, a_n+1=a_n+2 (단, n=1, 2, 3, y)

∴ a_n=5+(n-1)_2=2n+3

따라서 6일 동안 풀어야 하는 수학문제집의 양은 Á6

n=1(2n+3)=2_ 6_72 +3_6=60(쪽) ^답 60쪽

408

조건 ㈏에서 P(n+1)이 참이면 P(2n+1)이 참이므로 p(n)이 참이면 P(2(n-1)+1), 즉 P(2n-1)이 참이다.

조건 ㈎에서 P(4)가 참이므로 P(4_2-1), 즉 P(7)이 참 이다.

같은 방법으로 P(13), P(25), P(49), P(97)이 참이므로 명제 P(1), P(2), P(3), y, P(100) 중 반드시 참인 명제

는 6개이다. 답 6

409

n번째의 계단에 오르는 방법의 수를 a_n이라 하자.

첫 번째 계단에 오르는 방법이 1가지, 두 번째 계단에 오르는

Û n=k`(k¾2)일 때, 부등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 1+ 12 + 13 +y+ 1k > 2k k+1 yy ㉡

부등식 ㉡의 양변에 1 k+1 을 더하면 1+ 12 + 13 +y+ 1k + 1 k+1> 2k+1 k+1 한편,

2k+1

k+1 - 2(k+1) k+2 = k

(k+1)(k+2)>0 이므로

1+ 12 + 13 +y+ 1k + 1 k+1> 2k+1 k+1 > 2(k+1) k+2 따라서 n=k+1일 때에도 부등식 ㉠이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 n¾2인 모든 자연수 n에 대하여 부등식 ㉠ 이 성립하므로 주어진 부등식도 성립한다.

답 풀이 참조

412

Ú n=1일 때, (좌변)=aÁ=3, (우변)=2Ú`+ 11 =3이므로 (*)이 성립한다.

Û n=k일 때, (*)이 성립한다고 가정하면 a_k=2^k+ 1k 이므로

kak+1-2ka_k+ k+2 k+1 =0에서

ka_k+1 =2ka_k- k+2 k+1    

= 2k{2^k+ 1k } -k+2 k+1

=k2^k+1+2- k+2 k+1

=k2^k+1+ k k+1  

따라서 a_k+1=2^k+1+ 1 k+1 이므로 n=k+1일 때에도 (*)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 an=2ⁿ+ 1n 이다.

이때 f(k)=2k{2^k+ 1k }, g(k)= k k+1 이므로 f(3)_g(4) =[2_3_{2Ü`+ 13 }]_4

5

=50_ 45 =40 답⑤

문서에서 스피드체크 (페이지 92-96)