Ⅲ. 전기영상기법
1) Gauss-Newton 방법
Loke와 Dahlin[21]은 다양한 복원 방법들을 비교 분석한 결과 Gauss-Newton 방법이 다른 방법에 비해 수렴 속도, 잔류 오차등의 측면에서 비교적 좋은 성능 을 나타냄을 발표하였다. Gauss-Newton 방법에서 최소화시켜야 할 목적함수는 식(31)을 이용한 오차의 제곱의 합으로 정의된다.
∗,
⋯
(31)여기서 와 는 각각 수집한 데이터와 모델 포워드 응답이고 는 데이터 가 중행렬을 나타낸다. 이때 식(31)에서 주어진 모델 제약함수를 최소화함으로써 모 델 을 찾는 것이다. 식(31)로 주어지는 목적함수를 최소화시키는 문제를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
′
′
(32)위의 식(32)는 비선형이므로 다음과 같이 반복적인 선형화를 하여 푼다.
′ ≈′ ′′ (33)
여기서 ′′은 Hessian 행렬이라 부르며, 다음과 같이 표현된다.
′′ ′ ′ ′′⊗ (34)
이때 ⊗는 Kronecker 행렬 곱을 나타낸다. ′′은 계산하기 어렵고 상대적으로 작은 양이므로, 위 식에서 두 번째 항은 보통 무시된다. 따라서 Hessian 행렬은 다음과 같이 된다.
′′ ′ ′ (35)
위의 식들을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
(36)여기서 Hessian 행렬 는 다음과 같이 정의되고
(37)
는 자코비안(Jacobian) 또는 요소들의 감도(sensitivity) 행렬을 나타내고, 각 성분은 다음과 같이 주어진다.
(38)
Gauss-Newton 방법은 Fig. 16과 같이 각 단계에 대해 반복계산을 수행하게 된 다.
Fig. 16 Flowchart of Gauss-Newton algorithm
Gauss-Newton 방법은 비선형 특성의 선형화에 따른 모델링 오차와 Hessian 행렬의 비정치성 때문에 만족스러운 영상을 얻기가 쉽지 않다. 특히, Hessian 행 렬의 비정치성은 역행렬 계산 시 부정확한 결과를 나타내게 되어 영상복원의 성 능을 저하시킨다. 이러한 문제를 완화하기 위하여 본 논문에서는 다음과 같이 목 적함수에 정규화(regularization) 항을 포함시키도록 한다[22].
(39)여기서 는 사전지식을 통해 알고 있는 기준모델이고 는 모델 가중행렬을 나 타낸다. 라그랑지승수(Lagrange multiplier)
는 모델과 데이터 함수 를 결합하는데 사용된다. 일반적으로 대상값 ∗는 데이터 의 수와 같으며, 데 이터는 표준편차 내에서 조정된다.Gauss-Newton 방법을 사용하여 로 반복하고 를 최소화하도록 한다. 모든 반복 단계에서 잘 알려진 정규화 일반식은 다음의 식으로 풀 수 있 다.
⋅ (40)
식(40)에서 에러가 가중된 감도행렬 와 일반적인 역행렬 †,†을 사용하 면 다음의 결과를 얻는다.
† † (41)
여기서 † 와 † 이고 의 관 계를 만족한다.
한편 데이터 는 다음과 같이 모델 의 포워드 응답에 잡음 이 포함된 것 으로 가정하면 식(42)와 같이 나타낼 수 있다.
(42)
이때 단계에서 모델 이 모델에 이미 근접했다고 가정하면 선형화 영역은 식 (43)과 같이 나타낼 수 있다.
(43)
식(43)를 식(41)에 대입하면 추정모델 은 다음과 같이 구할 수 있다.
† † †
† ††† †
†
(44)
여기서 해상도 행렬 †이다.
추정모델 는 원형모델과 기준모델, 그리고 잡음 포함된 것에 의해 재구성 된다. 이때 는 일반화된 역행렬 †을 포함하므로 추정모델의 해상도와 민감 도를 결정하는 중요한 행렬이 된다.
본 논문에서는 을 결정하는 방법으로 TSVD 방법을 사용하고 역행렬을 직 접 구하는 대신에 반복적인 수행으로 원하는 해를 구하는 TLS 방법과 SIRT 방 법 등을 사용하도록 한다.