효율적인 비율배분량

앞에서 언급하였지만 최적배분방법은 구석해가 많이 발생함으로 현실적으로 고려할 수 있는 방법은 상・하류의 두 지역간에 비율배분하거나 기대유량의 일 정한 량을 하류지역에 고정적으로 배분하는 두 가지 경우를 상정할 수 있다. 먼 저 상・하류간에 비율배분을 고려하여보자.

β를 총유량 중 하류지역에 배분하는 비율이라 하자(0 < < 1). 그러면 W가 주어질 때 상류와 하류에 각각 배분되는 물의 양은 다음과 같다.

C_U= ( 1 - ) W, C_L = W (6)

위의 식 (6)을 사회적 편익의 기대값을 최대화하는 목적함수인 식(1)에 편익함 수 식 (4)를 이용하여 대입하면 다음과 같다.

M ax E [ B U( ( 1 - ) W) + BL( W) ] = M ax E [ a_u( 1 - )²W²+ b_U( 1 - ) W + c_U] +

E [a_L ²W²+ b_L W + c_L] (7)

식 ((7)을 β에 관해 미분하여 일차조건을 구하면 다음과 같은 비율배분에서의 최적 배분량은 다음과 같이 결정된다.

*= 2aUE [ W²] + ( bU- bL)E [ W]

2 ( a_U+ a_L)E [ W²] (8)

여기서 E[W²] = Var[W]+E[w]² = σ²+μ²에 의하여 구할 수 있다. 즉, 유량의 기대값의 제곱과 분산의 합이다. 따라서 최적배분비율 β*가 정해지면 전체 기대 유량 E[W]에 β*를 곱한 양을 하루지역에 배분하고 나머지를 상류지역에 배분하 는 것이 가장 효율적인 비례배분량이 되는 것이다. 이 배분의 장점은 유량이 아 무리 작아도 어느 특정수요처에 독점적으로 배분하는 경우가 발생하지 않으므 로, 가뭄과 같은 현상 자주 발생하는 지역이나 계절별로 유량의 변동이 심한 지 역에서 선호될 수 있는 배분방법이다.

2 ) 효율적인 고정배분량

W 를 하류지역에 고정적으로 배분하는 양이라 한다면 두 지역에 배분되는 물의 양은 다음과 같다.

CL = m in ( W, W ), CU= W - m in ( W, W ) (9)

이러한 배분방식에 의하면 실제유량이 하류지역에의 고정적으로 보내야할 량 보다 적다면 하류가 독점으로 사용하고, 유량이 하류지역에 보내야할 량 보다 많 다면, 상류지역은 전체유량에서 하류지역에 보내야 할 고정량을 제외한 부분을 공급받게 된다. 이 방식의 문제는 하류지역으로 보내야할 최적 고정배분량을 어 떻게 구하는 가이다. 이를 위하여 식 (9)를 사회적 기대편익를 구하는 함수식에 대입하면 다음과 같다.

M ax _W E [ B_U( W - m in ( W , W )) ] + E [ B_L( m in ( W , W ) ] (10)

먼저 문제를 단순화하기 위하여 유량이 하류에 고정적으로 보내야 하는 양보

다 많을 경우만을 대상으로 하여 보면 식 (10)은 다음과 같이 표현된다.

M ax _W E [ B _U( W - W ) ] + E [ B_L( W ) ] (10)′

여기에 앞의 비율배분과 같은 방법으로 본 연구에서 상정한 편익함수식 (4)를 식 (10)′에 대입하여 전개하면 그 결과는 다음과 같다.

11)

위의 식을 유량의 기대값으로 다시 정리하면 다음과 같다. 여기서 한가지 강조 하여야 할 것은 이미 유량의 크기를 고정배분량보다 큰 조건하에서 출발하였으 므로 우리가 구하는 기대유량의 값은 조건부 기대값이라는 것이다.

즉, 인 경우를 대상으로 한다는 것이다. 이를 대입하여 최종적으 로 정리하면 다음과 같다.

12)

위의 식 (12)를 W 에 대해 일차미분하여 영으로 놓은 일차조건으로부터 다 음과 같은 효율적인 고정배분량을 결정할 수 있다.

(13)

즉, 하류지역의 고정배분이라는 제약조건 하에서의 최적배분량은 우변의 와 좌변의 값이 같아지는 점에서 최적배분량이 결정된다는 것이다.