유형 2
핵심노트
226.226.검은 공 개, 흰 공 개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에 서 한 개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣지 않는다. 이와 같은 시행을 반복할 때, 흰 공 개가 나올 때까지의 시행 횟수를 라 하면 P ＞
이다.
의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) [4점][2007(가) 6월/평가원 23]
확률분포 확률분포 확률분포 확률분포 확률분포 확률분포 확률분포
1 1
1
1
1 1
1
확률과 통계 1. 확률분포
정답률 35%~80% - 66 - fcmath.tistory.com
확률분포가 표로 주어질 때 기댓값
유형 3핵심노트
227.227.표는 확률변수 의 확률분포를 나타낸 것이다.
합계
P
확률변수 의 평균을
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, ,
는 서로소인 자연수이다.)
[3점][2009(가) 3월/교육청 23]
확률분포가 주어지지 않을 때 기댓값
유형 4핵심노트
228.228.그림과 같이 숫자 , , 이 각각 하나씩 적혀 있는 흰 공 개와 검은 공 개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 숫자의 최 솟값을 확률변수 라 하자. 의 평균이
일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소 인 자연수이다.)
[4점][2010(가) 3월/교육청 23]
229.229.함수 의 그래프가 그림과 같다.
한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수를 라 할 때, 곡선
와 직선 의 교점의 개수를 확률변수 라 하자.
라 할 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로소인 자 연수이다.)
[4점][2014(A) 10월/교육청 28]
1. 확률분포 Ⅲ 통계
정답률 35%~80% - 67 - fcmath.tistory.com
230.230.그림과 같이 중심이 O , 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가
인 부채꼴 OAB 가 있다. 자연수 에 대하여 호 AB 를 등분한
각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 P , P, P, ⋯ , P , P 라 하자. 일 때, 점 P P P P P중에서 임의 로 선택한 한 개의 점을 P 라 하자. 부채꼴 OPA 의 넓이와 부채꼴 OPB 의 넓이의 차를 확률변수 라 할 때, E 의 값은?
[4점][2014(B) 9월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
231.231.부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 장의 카드가 있다.
이 카드 중에서 임의로 서로 다른 장의 카드를 선택할 때, 선택한 카 드 장에 적힌 수 중 가장 큰 수를 확률변수 라 하자.
다음은 E 를 구하는 과정이다. (단, ≥ )
자연수 ≤ ≤ 에 대하여 확률변수 의 값이 일 확률 은 부터 까지의 자연수가 적혀 있는 카드 중에서 서로 다 른 장의 카드와 가 적혀 있는 카드를 선택하는 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 것이므로
P
C
가
이다. 자연수 ≤ ≤ 에 대하여
C
× C 이므로
× 가 × 나 이다. 그러므로
E
× P
C
× 가
C
나 이다.
나 C 이므로
E × 다 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 하고, (다)에 알맞은 수를 라 할 때, × × 의 값은?
[4점][2016(가) 9월/평가원 17]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 1. 확률분포
정답률 35%~80% - 68 - fcmath.tistory.com
232.232. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 주머니 에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있 는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 번 반복할 때, 꺼 낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 , , 이라 하고, 이 세 수 ,
, 중에서 최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 라 하자. 예를 들 어 P
이다. 다음은 확률변수 의 평균 E 를 구하 는 과정의 일부이다.
세 수 , , 을 순서쌍 과 같이 나타내자.
세 수 , , 중에서 최댓값을 , 최솟값을 라 하고
라 하자.
⑴ 일 때
순서쌍 의 개수는 가 이고, P
× 가
⑵ ≠ 일 때
ⅰ) 을 만족시키는 순서쌍 의 개수는
×
이다.
ⅱ) 를 만족시키는 순서쌍 의 개수는
×
이다.
⋮
그러므로 ≤ ≤ 일 때, 순서쌍 의 개수는
×
나
×
이고
P
× ×
나
×
⑴, ⑵에 의하여 확률변수 의 평균 E 는 다음과 같다.
E
× P
다
위의 (가)에 알맞은 수를 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각
, 라 할 때,
×
의 값은?
[4점][2017(가) 7월/교육청 18]
① ② ③ 21
④ ⑤
233.233. 이상의 자연수 에 대하여 ≤ ≤ , ≤ ≤ 을 만족하고, 좌표평면 위의 네 직선 , , , 로 둘러 싸인 직사각형의 둘레의 길이가 이 되도록 자연수 , , , 를 택 한다.
다음은 의 값을 확률변수 라 할 때 E
임을 보이는 과 정이다.
확률변수 가 가질 수 있는 가장 작은 값은 , 가장 큰 값은
가 이다.
일 때, 이므로 ≤ ≤ 이고,
이므로 ≤ ≤ 나 이다.
그러므로 P
가
×
× 나 이다.
따라서 E
가
× P
다
가
× × 나
이다.
위의 과정에서 (가), (가), (다)에 알맞은 식을 각각 , ,
이라 할 때, ×
의 값은?
[4점][2017(가) 10월/교육청 19]
① ② ③
④ ⑤
1. 확률분포 Ⅲ 통계
정답률 35%~80% - 69 - fcmath.tistory.com
확률분포가 표로 주어질 때 분산, 표준편차
유형 5핵심노트
234.234.이산확률변수 의 확률분포표는 다음과 같다.
합계
P
확률변수 의 평균이 일 때, 의 분산은?
[4점][2004(나) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
235.235.이산확률변수 의 확률분포표는 다음과 같다.
0 1 2 3 계
P
1
의 분산이 이 되는 와 에 대하여 의 값은?
[4점][2005(나) 9월/평가원 27]
①
②
③
④
⑤
236.236.확률변수 의 확률분포표는 다음과 같다.
계
P
확률변수 의 분산이
일 때, 의 값은?
[3점][2010(가) 3월/교육청 27]
① ②
③
④
⑤
확률변수의 평균, 분산, 표준편차의 성질
유형 6핵심노트
237.237.확률변수 의 확률분포표가 아래와 같을 때, 확률변수
의 분산을 구하시오.
[3점][2005(나) /수능(홀) 20]
계
P
238.238.확률변수 의 확률분포표는 다음과 같다.
계
P
확률변수 의 분산 의 값은?
[3점][2010(나) /수능 8]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 1. 확률분포
정답률 35%~80% - 70 - fcmath.tistory.com
239.239.이산확률변수 의 확률질량함수가 P
일 때, 확률변수 의 분산 의 값은? (단, 는 상수이 다.)
[4점][2011(가) /수능 31]
① ② ③
④ ⑤
240.240.부터 까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 개의 서랍이 있 다. 개의 서랍 중 영희에게 임의로 개를 배정해 주려고 한다. 영희에 게 배정되는 서랍에 적혀 있는 자연수 중 작은 수를 확률변수 라 할 때, E 의 값을 구하시오.
[4점][2014(A) /수능 27]
241.241.두 이산확률변수 와 가 가지는 값이 각각 부터 까지의 자 연수이고
P
P
이다. E 일 때, E 의 값은?
[4점][2017(가) 9월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
242.242.표는 세 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수들 중에서 두 수의 차 의 최댓값을 확률변수 라 할 때, 확률변수 의 확률분포표이다.
계
P
이때, 확률변수 의 평균 E 의 값은?
[4점][2010(가) 4월/교육청 10]
① ② ③
④ ⑤
243.243.확률변수 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
합계
P
다음은 E 일 때, V 를 구하는 과정이다.
이라 하자. 확률변수 의 확률분포를 표로 나 타내면 다음과 같다.
합계
P
E E 이므로
(가) , (나) 이고 V
이다.
한편, 이므로 V (다) × V 이다.
따라서 V 다
×
이다.
< 증 명 >
위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 , , 라 할 때, 의 값 은? (단, , 는 상수이다.)
[4점][2018학년(나) 수능 17]
①
②
③
④
⑤
1. 확률분포 Ⅲ 통계
정답률 35%~80% - 71 - fcmath.tistory.com
2 이항분포
이항분포의 평균과 분산
유형 1핵심노트
244.244.확률변수 가 이항분포 B
을 따를 때, 확률변수 의 표준편차는?
[3점][2006(나) /수능(홀) 5]
① ② ③
④ ⑤
245.245.확률변수 가 이항분포 B 를 따른다. 확률변수 의 평균과 표준편차가 각각 와 일 때, 의 값은?
[3점][2013(나) /수능 10]
① ② ③
④ ⑤
246.246.동전 개를 동시에 던지는 시행을 회 반복할 때, 동전 개 모 두 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 라고 하자. 확률변수 의 분 산 의 값을 구하시오.
[3점][2011(나) /수능 21]
247.247.확률변수 는 이항분포 B
을 따른다.P P 이 성립할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2007(나) 10월/교육청 18]
248.248.확률변수 는 이항분포 B 를 따르고 확률변수 는 이항 분포 B 를 따른다고 한다. 이때, P P ≥ 을 만족시키는 양수 의 값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, ,
은 서로소인 자연수이다.)
[3점][2008(가) 10월/교육청 22]
249.249.확률변수 가 이항분포 를 따르고,
일 때, 의 값을 구하시오.(단, )
[3점][2009(나) 9월/평가원 23]
250.250.이산확률변수 가 값 를 가질 확률이 P C
(단, ⋯ 이고 ＜ ＜ ) 이다. E V
일 때, P ＜ 의 값은?
[4점][2006(나) 9월/평가원 29]
①
②
③
④
⑤
251.251.한 개의 주사위를 번 던질 때 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변 수 라 하고, 한 개의 동전을 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률 변수 라 하자. 의 분산이 의 분산보다 크게 되도록 하는 의 최 솟값을 구하시오.
[4점][2008(나) /수능(홀) 23]
확률과 통계 1. 확률분포
정답률 35%~80% - 72 - fcmath.tistory.com
이항분포 B(n, p)의 평균과 분산 유도
유형 2핵심노트
252.252.한 번의 시행에서 일어날 확률이
인 사건 A 가 있다. 번의
독립시행에서 사건 A 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 할 때, 의 평균 E
을 구하시오.[3점][2008(가) 4월/교육청 19]
253.253.정육면체 모양의 주사위를 번 던져 의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 라고 할 때, 확률변수 의 평균 E 의 값을 구하시오.
[3점][2006(나) 10월/교육청 21]
254.254. 이하의 음이 아닌 정수 에 대하여 함수 를
C
이라 할 때,
의 값을 구하시오
.
[4점][2010(나) 10월/교육청 30]
255.255.한 개의 주사위를 번 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 횟수를 확 률변수 라 하자. 확률변수 를 라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2008(가) 3월/교육청 14]
ㄱ. P ≤ ≤ P ≤ ≤
ㄴ. 의 평균은 의 평균과 같다.
ㄷ. 의 분산은 의 분산보다 크다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
256.256. 부터 까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 공 개가 주머니에 들 어 있다. 이 주머니에서 공을 하나 꺼내어 적혀 있는 수를 확인하고 다 시 넣는다. 이와 같은 시행을 번 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공이 나오는 횟수를 라 하자. 확률변수 에 대하여 옳은 것만을 <보기>
에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2010(나) 10월/교육청 28]
ㄱ. 의 분산은 이다.
ㄴ. P P ㄷ. P ≤ P ≥
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
1. 확률분포 Ⅲ 통계
정답률 35%~80% - 73 - fcmath.tistory.com
이항분포가 주어지지 않은 경우 평균, 분산
유형 3핵심노트
257.257.한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 에 대하여 직선 와 곡선 가 서로 다른 두 점에서 만나는 사건을 라 하 자. 한 개의 주사위를 회 던지는 독립시행에서 사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 할 때, 의 평균 E 는?
[4점][2008(나) 9월/평가원 8]
① ② ③
④ ⑤
258.258.이차함수 의 그래프는 그림과 같고, 이다.
한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 에 대하여 이 보다 큰 사 건을 라 하자. 한 개의 주사위를 회 던지는 독립시행에서 사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 할 때, E의 값은?
[3점][2014(A) 9월/평가원 13]
① ②
③
④
⑤
259.259.두 사람 와 가 각각 주사위를 한 개씩 동시에 던지는 시행을 한다. 이 시행에서 나온 두 주사위의 눈의 수의 차가 보다 작으면 가 점을 얻고, 그렇지 않으면 가 점을 얻는다. 이와 같은 시행을
회 반복할 때, 가 얻는 점수의 합의 기댓값과 가 얻는 점수의 합 의 기댓값의 차는?
[4점][2010(가) 9월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
확률과 통계 1. 확률분포
정답률 35%~80% - 74 - fcmath.tistory.com
3 연속확률변수와 확률밀도함수
확률밀도함수의 성질
유형 1핵심노트
260.260.연속확률변수 가 갖는 값의 범위는 ≤ ≤ 이고 의 확률 밀도함수의 그래프는 다음과 같다. P ≤ ≤ 의 값을 구하시 오.
[4점][2010(나) /수능 21]
261.261.연속확률변수 가 갖는 값의 범위가 ≤ ≤ 이고, 확률밀도 함수의 그래프는 다음과 같다.
P ≤ ≤ P ≤ ≤ 일 때, 의 값은? (단, ＜＜이 다.)
[3점][2006(나) /수능(홀) 8]
①
②
③
④
⑤
262.262.연속확률변수 가 갖는 값의 범위는 ≤ ≤ 이고 확률밀 도함수의 그래프는 다음과 같다.
두 양수 에 대하여 P ≤ ≤ , P ≤ ,
P ≤ 이다. 세 확률 이 이 순서로 등차수열을 이루고
일 때, 의 값은? (단, ＜ 이다.)
[4점][2007(나) 9월/평가원 28]
①
② ③
④
⑤
263.263.연속확률변수 가 갖는 값의 범위는 ≤ ≤ 이고, 확률 P ≤ 과 확률 P ≤ 의 값이 이차방정식 의 두 근일 때, 확률 P ＜ ≤ 의 값은?
[3점][2008(나) /수능(홀) 8]
①
②
③
④
⑤
264.264.연속확률변수 의 확률밀도함수 는 다음과 같다.
≤ ≤
확률 P ≤ ≤
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와
는 서로소인 자연수이다.)
[3점][2010(가) 7월/교육청 19]
1. 확률분포 Ⅲ 통계
정답률 35%~80% - 75 - fcmath.tistory.com
265.265.실수 ( )에 대하여 닫힌구간 에서 정의된 연속 확률변수 의 확률밀도함수 가
≤ ≤
≤
이다. P ≤ ≤
일 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2010(가) 6월/평가원 22]
266.266.구간 의 모든 실수값을 가지는 연속확률변수 에 대하여 P ≤ ≤ ≤ ≤
이 성립할 때, P ≤
이다. 의 값을 구하시오. (단,
는 상수이고, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2014(A) 9월/평가원 29]
연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차
유형 2핵심노트
267.267.닫힌구간 에서 정의된 연속확률변수 의 확률밀도함수
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나)
V 의 값을 구하시오.
[3점][2012(가) 9월/평가원 25]