[수학 1-ⅲ]
<제시문 1>을 이용하여 함수 의 에서의 연속성을 조사해 보면,
이므로
① 이므로 는 에서 정의되어 있고
② 이고 이므로 가 존재하며
③ 이다.
따라서 도함수 는 에서 연속이다.
[수학 1-ⅳ]
이므로 <제시문 2>에 의하여 의
존재성에 의해 에서 미분가능성이 결정된다.
그런데 이고,
이다.
따라서 이므로
는 존재하지 않고,
따라서 <제시문 2>에 의하여 도함수 는 에서 미분가능하지 않다는 사실을 알 수 있다.
●
문제 개요 및 주요 평가 항목
고등학교 수학과 교과 중 함수의 연속성, 미분가능성, 도함수 부분에서 출제되었다. 함수의 연속성과 미분가능성은 자연과학과 공학에서 요구되는 필수적인 수학적 요소이다. 본 문제는 수험생들이 함수의 연속성과 미분가능성의 정의, 그리고 도함수의 개념을 잘 이해하고 있는지 평가하고자 한다. 수험생이 함수의 연속성과 미분가능성의 개념에 대한 이해가 충분하다면 매우 쉽게 설명할 수 있는 문제들이다.
[수학 1-ⅰ] 함수의 미분가능성의 개념을 알고 있는지 평가하고자 한다.
[수학 1-ⅱ] 도함수의 개념을 이해하고 있는지 평가하고자 한다.
[수학 1-ⅲ] / [수학 1-ⅳ] 도함수를 하나의 함수로 잘 이해하고, 함수의 연속성을 알고 있는가를 평가하고자 한다.
예시 답안
[수학 1-ⅰ]
<제시문 4>에서 주어진 함수 는 <제시문 2>에 의하여 이 존재함을 보이면 에서 미분가능하다.
그런데 이므로
함수 는 에서 미분가능하다.
[수학 1-ⅱ]
<제시문 4>에서 주어진 함수 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
또는
[수학 1-ⅰ]에서 임을 구하였으므로, 인 경우에 를 구하면 된다.
인 경우 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
일 때 이고 일 때 이므로
수학 1
2 0 14학년도 모의논술 문제 해설
●
문제 개요 및 주요 평가 항목
현대 사회에서 전력의 중요성은 더없이 크며, 그 효율적 사용을 위해서는 전력 손실을 최대한 줄일 필요가 있다. <제시문 1>에서 는 전력, 전류, 전압, 송전선의 저항으로부터 소실되는 에너지의 관계를 설명하고, <제시문 2>에서는 전달된 열에너지가 비열과 질 량을 가진 물체의 온도를 얼마나 변화시키는지 설명한다.
[물리 Ⅰ-ⅰ] 발전소에서 발전된 전력을 손실이 적게 가정에 공급하기 위해서는 고압으로 승압 후 송전하는 것이 유리하 다는 것을 <제시문 1>의 내용을 바탕으로 설명할 수 있는지 묻는다.
[물리 Ⅰ-ⅱ] <제시문 1>에서 설명한 전기에너지와 <제시문 2>에서 설명한 열과 온도의 원리를 실제 물을 끓이는 상황에 적용하는 문제이다.
[물리 Ⅰ-ⅰ]과 [물리 Ⅰ-ⅱ]는 고등학교 교육과정 ‘물리 Ⅰ’의 범위에서 벗어나지 않는 평이한 문제이나, 단순 암기에 의해 답을 도출하는 것보다는 답을 구하기 위한 과정에서 사용하는 다양한 개념들을 얼마나 충실히 이해하고 있는지 판단하고자 한다.
예시 답안
[물리 Ⅰ-ⅰ]
전력량이 P로 일정할 때, 전압 V를 n배 하면, <제시문 1>에서 제시된 P = VI 로부터, 전류량은 1/n배가 된다. 그런데 송전선에서 소모되는 전력량은 <제시문 1>에서 제시된 바와 같이 전류량의 제곱에 비례하므로, 1/n2배가 된다. 따라서 220V로 송전하는 경우 110V인 경우에 비해 소모되는 전력량을 1/4로 줄일 수 있다.
[물리 Ⅰ-ⅱ]
<제시문 1>에서 전류량이 일정하게 유지될 때 t초 동안 코일에서 생성되는 열에너지는 I2R t로 결정됨을 알 수 있 다. 비열과 질량이 주어진 물체의 온도를 T 만큼 올리는 데 필요한 에너지는 CmT와 같으므로(제시문 2), 결국 물 이 끓을 때까지 필요한 시간은 t = (CmT) / (I2R) 가 됨을 알 수 있으며, 따라서 물을 끓이는 데 걸리는 시간은
이 된다.
물리 Ⅰ
●
문제 개요 및 주요 평가 항목
고등학교 수학과 교과 ‘이차곡선’ 중 타원에 관한 문제이다. 타원은 수학 및 여러 다른 분야에 많이 응용되고 있는 중요한 이차곡 선이다. 근세의 천문학자이자 수학자인 케플러는 처음에는 행성이 원 운동을 할 것으로 생각하였으나 자료를 분석한 결과 태양계의 행성이 타원 궤도를 따라 움직인다는 것을 발견하였다.
본 문제는 수험생들이 타원에 대한 개념적인 이해를 바탕으로 주어진 문제를 수학적으로 표현하고 이를 적용해서 해결할 수 있는 능력을 평가하고자 한다.
[수학 2-ⅰ] 주어진 두 곡선(타원)의 교점을 구할 수 있는지 평가하고자 한다.
[수학 2-ⅱ] 타원과 외접의 개념을 이해하고 있는지, 부등식을 문제 해결에 잘 적용할 수 있는지 평가하고자 한다.
예시 답안
[수학 2-ⅰ]
문제에서 주어진 두 타원의 방정식을 더하고 빼면 을 얻는다.
위의 두 식을 정리하면 이 되고, 따라서 이다.
위의 식에서 을 얻는다.
그러므로 두 타원은 네 점 (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)에서 만나고 사각형의 넓이는 2×2 = 4이다.
별해
두 타원의 방정식은 x2과 y2을 서로 바꾼 식이므로 (a, b)가 교점이라면 a2 = b2을 만족한다. 따라서 교점들은 (±a,
±a)의 형태이다.
따라서 16x2 + 9y2 = 25에서 y2 대신 x2을 대입하면 16x2 + 9x2 = 25를 얻고 이 식을 정리하면 x2 = 1, 즉 x= ±1을 얻는다. 그러므로 y= ±1이다.
따라서 두 타원은 네 점 (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)에서 만나고 사각형의 넓이는 2×2=4이다.
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
[수학 2-ⅱ]
<제시문 1>과 <제시문 2>에 의하여 일반적인 타원의 방정식은 임을 알 수 있다.
위의 타원이 [수학 2-ⅰ]에서 얻어진 사각형에 외접하므로 (±1, ±1)을 지난다.
따라서 을 만족한다.
따라서 이고, 을 얻을 수 있다.
이제 , 이므로 를 얻는다.
그런데 이므로 위의 식은 와 동치이다.
그런데 <제시문 3>에 의하여 타원의 면적은 abπ이므로 외접하는 모든 타원의 면적은 2π보다 크다는 사실을 알 수 있다.
수학 2
●
문제 개요 및 주요 평가 항목
고등학교 ‘화학 Ⅰ’에서 기본적으로 다루어지고 있는 공유결합, 배위결합, 분자의 구조에 관련된 문제이다. 루이스 전자점식을 그 릴 줄 알고, 2차 평면에서 그려진 화합물의 결합각을 전자쌍 반발 이론을 이용하여 3차원적으로 예측할 수 있는지 평가하고자 하였 다. 또한 비공유 전자쌍의 개념을 정확히 이해하고, 옥텟 규칙을 이용하여 루이스 전자점식을 정확히 그릴 수 있는지 평가하고자 하 였다.
본 문제는 ‘화학 Ⅰ’에서 다루는 간단한 기본 지식을 묻는 것으로 제시문을 읽고 이해할 수 있으면 쉽게 풀 수 있도록 평이하게 문 제를 출제하였다.
예시 답안
[화학 Ⅰ-ⅰ]
<제시문 1>과 <제시문 2>의 내용을 참조로 삼플루오린화 붕소는 결합 전에 다음과 같은 루이스 전자점식을 갖고, 최 소의 정전기적 반발력이 되도록 결합전자쌍을 배치하면, 평면의 삼각형 구조이다. 따라서 결합각은 120도이다.
<제시문 3>의 내용에 따르면, 암모니아 분자와 배위결합을 이룬 후의 루이스 전자점식은 다음과 같다. 최소의 정전기 적 반발력이 되도록 결합전자쌍을 재배치하면, 정사면체 구조를 가지며, 결합각은 109.5도이다.
[화학 Ⅰ-ⅱ]
<제시문 1>과 <제시문 2>의 내용을 참조로 탄산 이온의 루이스 구조식을 그리면 다음과 같고, 이때 비공유 전자쌍은 8개이다.
●
문제 개요 및 주요 평가 항목
물체의 산란 과정은 물질의 상호작용을 이해하는 데 결정적인 역할을 한다. <제시문 1>과 <제시문 2>는 각각 빛의 속도에 비해 매우 느리게 운동하는 경우와 빛과 같이 빠르게 움직이는 경우에 대해 운동량과 운동에너지를 상대성 원리를 적용하여 설명하고 완 전 탄성 충돌 과정에서 운동량과 에너지가 보존됨을 설명한다.
[물리 Ⅱ-ⅰ] / [물리 Ⅱ-ⅱ] 제시문에서 주어진 운동량과 에너지에 대한 관계 및 보존 법칙을 이용하여 각각 고전역학 적인 완전 탄성 충돌 과정과 컴프턴 산란 과정에서 충돌 후 운동 상태를 예측해 낼 수 있는 지 평가하고자 한다.
[물리 Ⅱ-ⅰ]과 [물리 Ⅱ-ⅱ]는 모두 고등학교 ‘물리 Ⅱ’의 범위에서 벗어나지 않도록 출제하였으나, 단순 암기에 의해 답을 도출 하는 것보다는 답을 구하기 위한 과정에서 사용하는 다양한 개념들을 얼마나 충실히 이해하고 적용할 수 있는가를 평가한다.
예시 답안
[물리 Ⅱ-ⅰ]
물체의 속도가 빛의 속도에 비해 매우 느리므로 상대성 이론의 효과는 무시할 수 있다.
<제시문 1>에서, 충돌 전과 후의 전체 운동량과 에너지는
전 : , ,
후 : 이다.
여기서 v는 물체 M의 충돌 후 속력이고, v전,후는 충돌 전과 후 물체 M/2의 속력이다.
위 관계식과 <제시문 1>의 운동량과 에너지 보존 법칙을 이용하여, v전과 v후의 비율을 구하면, v후/v전= 1/3임을 알 수 있다.
따라서, 충돌 후 운동에너지는 처음 운동에너지의 1/9이 된다.
[물리 Ⅱ-ⅱ]
충돌 전과 후 전체 운동량과 에너지를 <제시문 2>에서 주어진 관계를 이용하여 구하면 각각 아래와 같다.
여기서 전자의 충돌 후 운동량은 Pe이다.
<제시문 1>에서 설명한 완전 탄성 충돌에서 운동량과 에너지가 보존된다는 원리를 이용하여, 광자의 충돌 전, 후의 에 너지 비율을 구하면
이다.
이 식에 을 대입하고, <제시문 2>에서 설명한 광자의 진동수와 에너지가 비례하다는 사실을 이용하
면, 진동수의 비율은 이다.
물리 Ⅱ 화학 Ⅰ
F
F H
N B F
F F H
H F
B
결합각 109.5°
결합각 120°
0
2-C
0 0
화학 Ⅱ
me mo
●
문제 개요 및 주요 평가 항목
고등학교 교육과정 ‘생명과학 Ⅱ’의 ‘세포와 에너지’ 단원은 광합성과 세포 호흡의 기본 개념을 다루고 있다. 광합성은 지구상의 생태계가 유지될 수 있도록 유기물을 생산하는 기능을 하며, 세포 호흡은 모든 생명체가 에너지를 얻기 위한, 즉 생명체 유지에 필수 적인 생명 현상이다.
[생명과학 Ⅱ-ⅰ] / [생명과학 Ⅱ-ⅱ] 유기물을 합성하는 광합성 과정과 유기물을 분해하는 세포 호흡 과정을 연관 지어 이해하고 있는지 묻는 문제이며, 이러한 지식을 우리가 일상에서 많이 접하는 친숙 한 식물의 예(벼와 사탕수수)에도 적용하여 이해하고 있는지 평가하는 문제이다.
광합성과 세포 호흡을 화학 반응 수준에서 구분하여 잘 이해하고 있으면 쉽게 논술할 수 있도록 문제를 출제하였으며, 우리 주위 에서 관찰할 수 있는 여러 자연현상들을 교과서에서 배우는 기본 지식으로 충분히 설명이 가능하다는 메시지를 전달하고자 하였다.
예시 답안
[생명과학 Ⅱ-ⅰ]
<제시문 1>과 <제시문 3>에 나타난 헬몬트와 소쉬르의 실험 결과에서 알 수 있듯이 광합성은 이산화탄소와 물을 이용
<제시문 1>과 <제시문 3>에 나타난 헬몬트와 소쉬르의 실험 결과에서 알 수 있듯이 광합성은 이산화탄소와 물을 이용