10
449
15Û`=9Û`+BCÓÛ`, BCÓÛ`=144∴ BCÓ=12
12
450
13Û`=5Û`+ACÓÛ`, ACÓÛ`=144∴ ACÓ=12(cm)
∴ △ABC=;2!;_5_12=30(cmÛ`)
30`cmÛ`
451
ACÓÛ`=6Û`+8Û`=100 ∴ ACÓ=10(cm) 점 O가 직각삼각형 ABC의 외심이므로 OAÓ=OBÓ=OCÓ∴ OBÓ=;2!;ACÓ=5(cm)
⑤
452
20Û`=16Û`+xÛ`, xÛ`=144 ∴ x=12 13Û`=12Û`+yÛ`, yÛ`=25 ∴ y=5∴ x+y=17
②
453
10Û`=6Û`+ACÓÛ`, ACÓÛ`=64 ∴ ACÓ=8 ABÓÛ`=(9+6)Û`+8Û`=289 ∴ ABÓ=17 17
454
△ABC에서 ACÓÛ`=6Û`+4Û`=52△ACD에서 ADÓÛ`=52+6Û`=88
88
455
△BCD에서 17Û`=15Û`+CDÓÛ`, CDÓÛ`=64∴ CDÓ=8(cm) ▶ 40%
△ADC에서 10Û`=8Û`+ADÓÛ`, ADÓÛ`=36
∴ ADÓ=6(cm) ▶ 40%
따라서 △ADC의 둘레의 길이는 6+8+10=24(cm) ▶ 20%
채점 기준 배점
CDÓ의 길이를 구한 경우 40%
ADÓ의 길이를 구한 경우 40%
△ADC의 둘레의 길이를 구한 경우 20%
24`cm
456
△ODC에서 2Û`=1Û`+OCÓÛ` ∴ OCÓÛ`=3△OCB에서 3=1Û`+OBÓÛ` ∴ OBÓÛ`=2
△OBA에서 2=1Û`+OAÓÛ`
따라서 OAÓÛ`=1이므로 OAÓ=1
1
457
△DEC에서 ECÓÛ`=5Û`-4Û`=9 ∴ ECÓ=3(cm) 따라서 사다리꼴 AECD의 넓이는;2!;_(5+3)_4=16(cmÛ`)
16`cmÛ`
445
△AED∽△BEF (AA 닮음)이므로 ADÓ`:`BFÓ=AEÓ`:`BEÓ=1`:`44`:`BFÓ=1`:`4
∴ BFÓ=16(cm) ▶`3점
BCÓ=ADÓ=4`cm이므로
FCÓ=BFÓ+BCÓ=16+4=20(cm) ▶`1점
채점 기준 배점
BFÓ의 길이를 구한 경우 3점
FCÓ의 길이를 구한 경우 1점
20`cm
446
△ABC에서 AEÓ가 ∠A의 이등분선이므로ABÓ`:`16=4`:`8 ∴ ABÓ=8(cm) ▶`2점 또, △CAB에서 CDÓ가 ∠C의 이등분선이므로
16`:`(8+4)=ADÓ`:`(8-ADÓ), ▶`2점 4`:`3=ADÓ`:`(8-ADÓ)
3ADÓ=32-4ADÓ, 7ADÓ=32
∴ ADÓ=;;£7ª;;(cm) ▶`1점
채점 기준 배점
ABÓ의 길이를 구한 경우 2점
ADÓ의 길이에 대한 식을 세운 경우 2점
ADÓ의 길이를 구한 경우 1점
;;£7ª;; cm
447
BDÓ=3PQÓ=15(cm)이므로 ▶`2점△BCD에서 MNÓ=;2!;BDÓ=;2!;_15=;;Á2°;;(cm) ▶`2점
채점 기준 배점
BDÓ의 길이를 구한 경우 2점
MNÓ의 길이를 구한 경우 2점
;;Á2°;; cm`
448
세 원의 반지름의 길이의 비가 1`:`3`:`4이므로넓이의 비는 1Û``:`3Û``:`4Û`=1`:`9`:`16 ▶`2점 ( A부분의 넓이)`:`( B부분의 넓이)`:`( C부분의 넓이)
=1`:`(9-1)`:`(16-9)=1`:`8`:`7 ▶`2점
채점 기준 배점
세 원의 넓이의 비를 구한 경우 2점
세 부분 A, B, C의 넓이의 비를 구한 경우 2점
1`:`8`:`7
유형편
② ADÓÛ`=BDÓ_CDÓ이므로 dÛ`=ef
③ △ADC에서 f Û`+dÛ`=bÛ`
ACÓÛ`=CDÓ_CBÓ이므로 bÛ`=af
∴ dÛ`+f Û`=af
470
△ABC에서 BCÓÛ`=12Û`+16Û`=400∴ BCÓ=20(cm)
ABÓ_ACÓ=BCÓ_ADÓ이므로 12_16=20_ADÓ
∴ ADÓ=;;¢5¥;;(cm)
;;¢5¥;;`cm
471
△ABC에서 BCÓÛ`=4Û`+3Û`=25∴ BCÓ=5(cm)
ABÓ_ACÓ=BCÓ_ADÓ이므로 4_3=5_ADÓ
∴ ADÓ=;;Á5ª;;(cm)
또, ACÓÛ`=CDÓ_CBÓ이므로 3Û`=CDÓ_5 ∴ CDÓ=;5(;(cm)
∴ △ADC=;2!;_;5(;_;;Á5ª;;=;2%5$;(cmÛ`)
;2%5$;`cmÛ`
472
AFGB =ACDE+BHIC=25+15=40(cmÛ`)
∴ ABÓÛ`=40
40
473
ADEB =BFGC-ACHI=24-10=14(cmÛ`)
④
458
△DBC에서 CDÓÛ`=15Û`-12Û`=81이므로 CDÓ=9(cm)∴ ABCD=12_9=108(cmÛ`)
△CDH에서 10Û`=6Û`+HCÓÛ`, HCÓÛ`=64
∴ ABÓ=HCÓ=8(cm)
△DHC에서 5Û`=4Û`+HCÓÛ`, HCÓÛ`=9
∴ HCÓ=3(cm)
△DHC에서 5Û`=3Û`+DHÓÛ`, DHÓÛ`=16
∴ DHÓ=4(cm)
∴ ABCD=;2!;_(6+9)_4=30(cmÛ`)
④
466
12Û`=x_16 ∴ x=9 yÛ`=16(16+9)=400 ∴ y=20 zÛ`=9(9+16)=225 ∴ z=15 x=9, y=20, z=15
채점 기준 배점 가장 긴 막대의 길이가 10`cm일 때, x의 값을 구한 경우 30%
가장 긴 막대의 길이가 x`cm일 때, xÛ`의 값을 구한 경우 30%
a, bÛ`의 값을 각각 구한 경우 20%
a+bÛ`의 값을 구한 경우 20%
170
483
DEÓÛ`+BCÓÛ` =BEÓÛ`+CDÓÛ`=9Û`+11Û`=202
202
484
DEÓÛ`+BCÓÛ`=BEÓÛ`+CDÓÛ`이므로DEÓÛ`+11Û`=9Û`+7Û`, DEÓÛ`=9 ∴ DEÓ=3(cm)
③
485
ABÓ, BCÓ의 중점이 각각 D, E이므로 DEÓ=;2!;_10=5∴ AEÓÛ`+CDÓÛ` =DEÓÛ`+ACÓÛ`
=5Û`+10Û`=125
⑤
486
3Û`+CDÓÛ`=CBÓÛ`+5Û`이므로 CDÓÛ`-CBÓÛ`=5Û`-3Û`=16 ②
487
ABÓÛ`+CDÓÛ`=ADÓÛ`+BCÓÛ`이므로 4Û`+CDÓÛ`=5Û`+7Û` ∴ CDÓÛ`=58∴ xÛ`+yÛ`=58
58
488
BCÓÛ`=4Û`+5Û`=41∴ ABÓÛ`+CDÓÛ`=ADÓÛ`+BCÓÛ`=8Û`+41=105
105
489
APÓÛ`+CPÓÛ`=BPÓÛ`+DPÓÛ`이므로 4Û`+2Û`=3Û`+DPÓÛ` ∴ DPÓÛ`=11 ②
490
APÓÛ`+CPÓÛ`=BPÓÛ`+DPÓÛ`이므로 8Û`+yÛ`=7Û`+xÛ`∴ xÛ`-yÛ`=8Û`-7Û`=15
⑤
491
S£=;2!;_p_8Û`=32pSÁ+Sª=S£이므로 SÁ+Sª+S£=2S£=64p
64p
492
ACÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는;2!;_p_2Û`=2p(cmÛ`)
따라서 ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 12p+2p=14p(cmÛ`)
14p`cmÛ`
474
△BFN=;2!;BFMN=;2!;ADEB=;2!;_12Û`=72(cmÛ`)
72`cmÛ`
475
△AML=;2!;ADML=;2!;ACHI=;2!;_4Û`=8(cmÛ`)
8`cmÛ`
476
△ABC가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 ABÓÛ`+ACÓÛ`=BCÓÛ`그런데 ACHI, BFGC는 정사각형이므로 BCÓÛ`=80, ACÓÛ`=64
따라서 ABÓÛ`+64=80에서 ABÓÛ`=16
즉, ABÓ=4(cm), ACÓ=8(cm)이므로 ▶ 60%
△ABC=;2!;_4_8=16(cmÛ`) ▶ 40%
채점 기준 배점
ABÓ, ACÓ의 길이를 각각 구한 경우 60%
△ABC의 넓이를 구한 경우 40%
16`cmÛ`
477
ABCD=ABÓÛ`=xÛ`+yÛ`=30 ④
478
AHÓ=5-3=2(cm)이므로△AEH에서 EHÓÛ`=3Û`+2Û`=13
∴ EFGH=EHÓÛ`=13(cmÛ`)
13`cmÛ`
479
④ ABCD=4△AEH+EFGH ④
480
① 3Û`+2Û`+2Û`이므로 직각삼각형이 아니다.② 7Û`+4Û`+5Û`이므로 직각삼각형이 아니다.
③ 13Û`=5Û`+12Û`이므로 직각삼각형이다.
④ 10Û`=6Û`+8Û`이므로 직각삼각형이다.
⑤ 10Û`+8Û`+9Û`이므로 직각삼각형이 아니다.
③, ④
481
10Û`=9Û`+xÛ`∴ xÛ`=19
19
482
필요한 막대의 길이를 x`cm라 하면Ú 가장 긴 막대의 길이가 10`cm일 때, 직각삼각형이 되려면 10Û`=8Û`+xÛ`,`xÛ`=36
∴ x=6 ▶ 30%
Û 가장 긴 막대의 길이가 x`cm일 때, 직각삼각형이 되려면
xÛ`=8Û`+10Û`=164 ▶ 30%
Ú, Û에서 a=6, bÛ`=164(a<b)이므로 ▶ 20%
a+bÛ`=170 ▶ 20%
유형편
501
DFÓ=ADÓ=17`cm이므로△DFC에서 FCÓÛ`=17Û`-8Û`=225 ∴ FCÓ=15(cm)
∴ BFÓ=17-15=2(cm)
△DFC»△FEB(AA닮음)이므로 DCÓ`:`FBÓ=FDÓ`:`EFÓ에서 8`:`2=17`:`EFÓ
∴ EFÓ=;;Á4¦;;(cm)
;;Á4¦;;`cm
502
DRÓ=ABÓ=8`cm이므로△QDR에서 QRÓÛ`=10Û`-8Û`=36 ∴ QRÓ=6(cm) AQÓ=QRÓ=6`cm이므로 BCÓ=6+10=16(cm)
②
503
① 4Û`>2Û`+3Û` ② 5Û`=3Û`+4Û` ③ 5Û`<4Û`+4Û`④ 8Û`<6Û`+7Û` ⑤ 17Û`=8Û`+15Û`
따라서 둔각삼각형인 것은 ①이다.
①
504
① 15Û`>9Û`+10Û`이므로 △ABC는 둔각삼각형이다.② 15Û`=9Û`+12Û`이므로 △ABC는 직각삼각형이다.
③ 15Û`<9Û`+14Û`이므로 △ABC는 예각삼각형이다.
④ 16Û`<15Û`+9Û`이므로 △ABC는 예각삼각형이다.
⑤ 306=15Û`+9Û`이므로 △ABC는 직각삼각형이다.
③
505
△ABC에서 ACÓ=8△ACD에서 8Û`>4Û`+6Û`이므로
△ACD는 둔각삼각형이다.
①
506
90ù<∠A<180ù이므로 x가 가장 긴 변의 길이이고, 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여6<x<10 yy ㉠
둔각삼각형이 되려면 xÛ`>4Û`+6Û`
∴ xÛ`>52 yy ㉡
따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 x는 8, 9이므로 8+9=17
17
507
14가 가장 긴 변의 길이이므로삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 4<x<14 yy ㉠ 예각삼각형이 되려면 14Û`<10Û`+xÛ` ∴ xÛ`>96 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 x의 최솟값은 10이다.
②
508
a가 가장 긴 변의 길이이므로삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 8<a<12 yy ㉠ 둔각삼각형이 되려면 aÛ`>4Û`+8Û` ∴ aÛ`>80 yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 만족시키는 자연수 a의 최댓값은 11,
최솟값은 9이므로 11+9=20
①
493
SÁ+Sª=20p+12p=32p(cmÛ`)따라서 BCÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이가 32p`cmÛ`이므로
;2!;_p_{ BCÓ2 }2`=32p, BCÓÛ`=256 ∴ BCÓ=16(cm)
④
494
(색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_9_12=54(cmÛ`)
④
495
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로;2!;_5_ACÓ=30 ∴ ACÓ=12(cm)
△ABC에서 BCÓÛ`=5Û`+12Û`=169 ∴ BCÓ=13(cm)
④
496
△ABC에서 ABÓÛ`+ACÓÛ`=128 ABÓ=ACÓ이므로 2ABÓÛ`=128, ABÓÛ`=64∴ ABÓ=8 ▶ 60%
색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
;2!;_8_8=32 ▶ 40%
채점 기준 배점
ABÓ의 길이를 구한 경우 60%
색칠한 부분의 넓이를 구한 경우 40%
32
497
BDÓ=;2!;_6=3(cm)이므로△ABD에서 ADÓÛ`=5Û`-3Û`=16
∴ ADÓ=4(cm)
⑤
498
오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면16`cm 17`cm 17`cm
B D C
A
BDÓ=;2!;_16=8(cm)이고
△ABD에서 ADÓÛ`=17Û`-8Û`=225이므로 ADÓ=15(cm)
∴ △ABC=;2!;_16_15=120(cmÛ`)
120`cmÛ`
499
오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면10`cm
B D C
A
BDÓ=;2!;_10=5(cm)
또, ;2!;_10_ADÓ=60이므로 ADÓ=12(cm)
△ABD에서 ABÓÛ`=5Û`+12Û`=169
∴ ABÓ=13(cm)
13`cm
500
AEÓ=ADÓ=10`cm이므로△ABE에서 BEÓÛ`=10Û`-6Û`=64 ∴ BEÓ=8(cm)
∴ ECÓ=10-8=2(cm)
②
518
△ABE≡△ECD에서 AEÓ=EDÓ,` ∠AED=90ù이므로△AED는 직각이등변삼각형이다.
△AED=;;ª2°;;`cmÛ`이므로 ;2!;_AEÓ_EDÓ=;;ª2°;;
AEÓÛ`=25 ∴ AEÓ=5(cm)
△ABE에서 BEÓÛ`=16 ∴ BEÓ=4(cm)
∴ ABCD=;2!;_(3+4)_7=;;¢2»;;(cmÛ`)
④
519
17Û`=8Û`+15Û`이므로 주어진 삼각형은 직각삼각형이다.따라서 구하는 넓이는 ;2!;_8_15=60
③
520
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여 DEÓ=;2!;ACÓ=;2!;_8=4∴ AEÓÛ`+CDÓÛ`=DEÓÛ`+ACÓÛ`=4Û`+8Û`=80
④
521
두 대각선이 직교하는 사각형이므로 ABÓÛ`+CDÓÛ`=ADÓÛ`+BCÓÛ`4Û`+5Û`=ADÓÛ`+3Û` ∴ ADÓÛ`=32
③
522
③
523
△ABC에서 ACÓ=8(cm)색칠한 부분의 넓이는 △ABC의 넓이와 같으므로
;2!;_15_8=60(cmÛ`)
⑤
524
① 5Û`=3Û`+4Û`이므로 직각삼각형이다.② 8Û`>4Û`+5Û`이므로 둔각삼각형이다.
③ 12Û`>6Û`+7Û`이므로 둔각삼각형이다.
④ 10Û`=6Û`+8Û`이므로 직각삼각형이다.
⑤ 10Û`<7Û`+9Û`이므로 예각삼각형이다.
②
525
① (5a)Û`+(3a)Û`+(3a)Û`② (5a)Û`=(3a)Û`+(4a)Û`
③ (8a)Û`+(5a)Û`+(6a)Û` ④ (9a)Û`+(6a)Û`+(7a)Û`
⑤ (9a)Û`+(7a)Û`+(8a)Û`
②
526
오른쪽 그림과 같이 두 나무의 꼭대기를4`m 11`m
3`m
11`m C
H D
A B
각각 C, D라 하고, 점 D에서 CAÓ에 내린 수선 의 발을 H라 하면
CHÓ=14-11=3(m)
△CHD에서 CDÓÛ`=3Û`+4Û`=25
∴ CDÓ=5(m)
따라서 참새가 날아간 최단 거리는 5`m이다.
5`m
509
12Û`=ACÓÛ`+10Û` ∴ ACÓÛ`=44 ④
510
마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로 ACÓ⊥BDÓ, AOÓ=COÓ, BOÓ=DOÓ따라서 직각삼각형 ABO에서 AOÓ=5`cm, BOÓ=12`cm이므로 ABÓÛ`=5Û`+12Û`=169 ∴ ABÓ=13(cm)
③
511
△ABC에서 13Û`=5Û`+BCÓÛ`, BCÓÛ`=144∴ BCÓ=12(cm)
따라서 BDÓ=;2!;_12=6(cm)이므로
△ABD에서 ADÓÛ`=5Û`+6Û`=61
①
512
△ACB에서 ACÓÛ`=3Û`+2Û`=13△ADC에서 ADÓÛ`=13+3Û`=22
△AED에서 AEÓÛ`=22+3Û`=31
△AFE에서 AFÓÛ`=31+3Û`=40
△AGF에서 AGÓÛ`=40+3Û`=49 ∴ AGÓ=7
③
513
BEÓ=;2!;_(12-6)=3(cm)△ABE에서 5Û`=3Ü`+AEÓÛ`, AEÓÛ`=16 ∴ AEÓ=4(cm)
∴ ABCD=;2!;_(6+12)_4=36(cmÛ`)
③
514
BCÓ=20-12=8이므로20 12 10
8 x
C A
10Û`=8Û`+ACÓÛ`, ACÓÛ`=36 B
∴ ACÓ=6
∴ x=20-6=14
⑤
515
오른쪽 그림과 같이 ADÓ를 그으면12`cm
B D C
A
BDÓ=;2!;_12=6(cm)
또, ;2!;_12_ADÓ=48이므로 ADÓ=8(cm)
△ABD에서 ABÓÛ`=6Û`+8Û`=100
∴ ABÓ=10(cm)
따라서 △ABC의 둘레의 길이는 10+12+10=32(cm)
②
516
△ABF=△BFL=△EBC=△EBA=△LFM ⑤
517
△AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG이므로EFGH는 정사각형이다.
△AEH에서 EHÓÛ`=5Û`+4Û`=41
△HEG에서 EGÓÛ`=41+41=82
①
유형편
533
예각삼각형을 이루는 막대의 길이의 순서쌍은(4, 5, 6), (4, 6, 7), (5, 6, 7)의 3개 ∴ a=3 ▶ 2점 둔각삼각형을 이루는 막대의 길이의 순서쌍은
(3, 4, 6), (3, 5, 6), (3, 5, 7), (3, 6, 7), (4, 5, 7)의 5개
∴ b=5 ▶ 2점
∴ b-a=2 ▶ 1점
채점 기준 배점
a의 값을 구한 경우 2점
b의 값을 구한 경우 2점
b-a의 값을 구한 경우 1점
2