ߊޙઁ CLEAR 102~103쪽
08. 피타고라스 정리
18 7@+9@=11@이므로 직각삼각형이 아니다. \ 19 ㄷ. 9@<6@+7@이므로 예각삼각형이다.
ㅂ. 10@<7@+8@이므로 예각삼각형이다. ㄷ, ㅂ 20 ㄴ. 5@=3@+4@이므로 직각삼각형이다.
ㅁ. 15@=9@+12@이므로 직각삼각형이다. ㄴ, ㅁ 21 ㄱ. 10@>4@+8@이므로 둔각삼각형이다.
ㄹ. 7@>3@+5@이므로 둔각삼각형이다. ㄱ, ㄹ 22 x@=5@+12@=169
/ x=13 5@=y\13
/ y= 2513 x=13, y=25
13 23 x@=8@+6@=100
/ x=10 8\6=10\y
/ y= 245 x=10, y=24
5 24 ㈎ CPZ @ ㈏ a@+c@ ㈐ b@+c@ ㈑ DPZ @
25 x@+y@=4@+6@=52 52
26 x@+y@=5@+4@=41 41
27 ㈎ DEZ @ ㈏ BCZ @ ㈐ BEZ @ ㈑ CDZ @ 28 ABZ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
1
2\p\4@=8p{cm@}
따라서 색칠한 부분의 넓이는
10p-8p=2p{cm@} 2p cm@
29 sABC=20+17=37{cm@} 37 cm@
1 직각삼각형 2 a@+b@=c@
01 24@+ACZ @=25@, ACZ @=49
/ ACZ=7{cm} ③
02 ACZ @=8@+15@=289 / ACZ=17{cm}
/ (sABC의 둘레의 길이)=8+15+17=40{cm}
40 cm
ਬഋ
BIBLE 108~115쪽피타고라스 정리
16
THEME 108~112쪽
알고 있나요?
03 12@+ACZ @=15@, ACZ @=81 / ACZ=9{cm}
/ sABC= 12\12\9=54{cm@} 54 cm@
04 ABZ=4-1=3, BCZ=5-1=4이므로 ACZ @=ABZ @+BCZ @=3@+4@=25
/ ACZ=5 5
05 넓이가 36 cm@인 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 6 cm 이므로
ABZ=BCZ=6 cm
넓이가 4 cm@인 정사각형 GCEF의 한 변의 길이는 2 cm이 므로
CEZ=2 cm y❶
sABE에서
x@=6@+{6+2}@=100 y❷
/ x=10 y❸
10
채점 기준 배점
❶ 두 정사각형의 한 변의 길이 각각 구하기 40 %
❷ 식 세우기 40 %
❸ x의 값 구하기 20 %
06 ACZ @=16@+12@=400 / ACZ=20{cm}
직각삼각형 ABC에서 빗변 AC의 중점인 점 M은 직각삼각 형 ABC의 외심이므로
AMZ =BMZ=CMZ= 12 ACZ = 12\20=10{cm}
/ BGZ = 23 BMZ= 23\10=20
3`{cm} ③
07 ( ACZ를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이)
=289-225=64{cm@}
이므로 ACZ @=64 / ACZ=8{cm} ④ 08 fADEB =fBFGC+fACHI
=9+16=25{cm@} 25 cm@
09 sLGC = 12 fLMGC=1
2 fACHI =1
2\10\10=50{cm@} 50 cm@
10 fADEB =fBFGC-fACHI
=169-144=25{cm@}
이므로 ABZ @=25 / ABZ=5{cm}
이때 fACHI=144 cm@에서 ACZ @=144이므로
ACZ=12{cm}
/ sABC = 12\ABZ\ACZ =1
2\5\12=30{cm@} ③
11 sEBC+sABF (SAS 합동)이므로 sEBC=sABF
EBZ// DCZ이므로 sEBC=sEBA BFZ// AMZ이므로 sABF=sLBF 이때 sLBF=sFML이므로
sEBC=sABF=sEBA=sLBF=sFML 따라서 나머지 넷과 다른 하나는 ④ sAFL이다. ④ 12 ⑴ fACHI=fBFGC-fADEB=25-9=16{cm@}
⑵ fSIQR=fACHI-fQHOP=16-5=11{cm@}
⑶ fKLDJ=fADEB-fLMNE=9-6=3{cm@}
⑴ 16 cm@ ⑵ 11 cm@ ⑶ 3 cm@
13 sAEH+sBFE+sCGF+sDHG (SAS 합동)이므로 fEFGH는 정사각형이다.
DHZ=4 cm이므로 AHZ=7-4=3{cm}
sAEH에서
EHZ @=4@+3@=25 / EHZ=5{cm}
/ fEFGH=5\5=25{cm@} 25 cm@
다른 풀이 fEFGH =fABCD-4sAEH =7\7-4\[ 12\4\3]
=49-24=25{cm@}
14 sAEH+sBFE+sCGF+sDHG이므로 fEFGH는 정사각형이다.
fEFGH의 넓이가 169 cm@이므로 EHZ @=169 / EHZ=13{cm}
sAEH에서 12@+AEZ @=13@, AEZ @=25 / AEZ=5{cm}
따라서 fABCD의 한 변의 길이는 5+12=17{cm}이므로 fABCD=17\17=289{cm@} 289 cm@
15 ⑴ sAEH+sBFE+sCGF+sDHG (SAS 합동)이 므로 fEFGH는 정사각형이다.
fEFGH의 넓이가 100 cm@이므로
EHZ @=100 / EHZ=10{cm} y❶ sAEH에서 8@+AHZ @=10@
AHZ @=36 / AHZ=6{cm} y❷
⑵ ADZ=AHZ+DHZ=6+8=14{cm}이므로 fABCD의 둘레의 길이는
4\14=56{cm} y❸
⑴ 6 cm ⑵ 56 cm
채점 기준 배점
❶ EHZ의 길이 구하기 40 %
❷ AHZ의 길이 구하기 30 %
❸ fABCD의 둘레의 길이 구하기 30 %
16 sABQ+sBCR+sCDS+sDAP이므로 fPQRS 는 정사각형이다.
BQZ=CRZ=8 cm이므로
sABQ에서 AQZ @+8@=17@, AQZ @=225 / AQZ=15{cm}
이때 APZ=CRZ=8 cm이므로 PQZ=AQZ-APZ=15-8=7{cm}
/ fPQRS=7\7=49{cm@} 49 cm@
17 sABE+sBCF+sCDG+sDAH이므로 fEFGH는 정사각형이다.
sFBC에서 6@+FCZ @=10@
FCZ @=64 / FCZ=8{cm} y❶ FGZ =FCZ-GCZ=FCZ-FBZ
=8-6=2{cm} y❷
/ EHZ=FGZ=2 cm y❸
2 cm
채점 기준 배점
❶ FCZ의 길이 구하기 40 %
❷ FGZ의 길이 구하기 30 %
❸ EHZ의 길이 구하기 30 %
18 sABC+sCDE이므로 ACZ=CEZ
CACE =180!-{CACB+CECD}
=180!-{CACB+CCAB}
=90!
즉, sACE는 직각이등변삼각형이다.
sABC에서 BCZ=DEZ=5 cm이므로 ACZ @=12@+5@=169 / ACZ=13{cm}
CEZ=ACZ=13 cm이므로 sACE= 12\13\13=169
2 {cm@} 169 2 cm@
다른 풀이 fABDE = 12\{12+5}\{12+5}
=289 2 {cm@}
sABC=sCDE= 12\5\12=30{cm@}이므로 sACE =fABDE-{sABC+sCDE}
=289
2 -{30+30}=169 2 {cm@}
19 가로의 길이를 4a cm, 세로의 길이를 3a cm라 하면 {4a}@+{3a}@=40@, 25a@=1600
a@=64 / a=8
따라서 직사각형의 가로의 길이는
4\8=32{cm} ⑤
20 직사각형의 세로의 길이를 a cm라 하면 a@+15@=17@, a@=64 / a=8 따라서 직사각형의 넓이는
15\8=120{cm@} 120 cm@
21 ACZ @=8@+6@=100 / ACZ=10{cm}
/ OCZ= 12 ACZ= 12\10=5{cm} ③ 22 sABD에서
x@+16@=20@, x@=144 / x=12
sADC에서
y@+12@=13@, y@=25 / y=5
/ x+y=12+5=17 ⑤
23 sADC에서
ADZ @+15@=17@, ADZ @=64 / ADZ=8
sABD에서 ABZ @=6@+8@=100
/ ABZ=10 ④
24 sABD에서
x@+15@=17@, x@=64 / x=8
sABC에서
y@=15@+{8+12}@=625 / y=25
/ xy=8\25=200 ⑤
25 점 D에서 BCZ에 내린 수선의 발을 H라 5`cm
13`cm
5`cm
A D
B H C 5`cm 하면
BHZ=ADZ=5 cm HCZ =BCZ-BHZ
=10-5=5{cm}
sDHC에서
DHZ @+5@=13@, DHZ @=144 / DHZ=12{cm}
/ fABCD= 12\{5+10}\12=90{cm@} ① 26 점 D에서 BCZ에 내린 수선의 발을 H A
B H C 9`cm D
9`cm 6`cm 10`cm 라 하면
BHZ=ADZ=9 cm HCZ =BCZ-BHZ
=15-9=6{cm}
sDHC에서
DHZ @+6@=10@, DHZ @=64 / DHZ=8{cm}
ABZ=DHZ=8 cm이므로 sABC에서 ACZZ @=8@+15@=289
/ ACZ=17{cm} ②
27 두 점 A, D에서 BCZ에 내린 수선 A
C
B H H'
D 5`cm 6`cm 6`cm
3`cm 3`cm 의 발을 각각 H, H'이라 하면
HH'Z=ADZ=6 cm
sABH+sDCH' ( RHA 합동)이므로 BHZ=CH'Z= 12\{12-6}=3{cm}
sABH에서 ABZ=DCZ=5 cm이므로 AHZZ @+3@=5@, AHZZ @=16
/ AHZ=4{cm}
/ fABCD = 12\{6+12}\4
=36{cm@} 36 cm@
28 ① 4@+4@=6@ ② 6@+7@=9@
③ 7@+8@=14@ ④ 12@+15@=18@
⑤ 7@+24@=25@
따라서 직각삼각형인 것은 ⑤이다. ⑤
29 9@+12@=15@이므로 주어진 삼각형은 빗변의 길이가 15인 직각삼각형이다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이는 1
2\9\12=54 ③
30 3@+4@=5@, 6@+8@=10@이므로 10 이하의 자연수 중에서 직각삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있는 수는 3, 4, 5와 6, 8, 10이다. 따라서 모두 2개의 직각삼각형을 만들 수 있다.
2개
1 ⑴ ㉡ ⑵ ㉠ ⑶ ㉢ 2 ⑴ c@ ⑵ b@ ⑶ h@
01 ㄱ. 4@>2@+3@이므로 둔각삼각형이다.
ㄴ. 6@<4@+5@이므로 예각삼각형이다.
ㄷ. 8@<5@+7@이므로 예각삼각형이다.
ㄹ. 10@<8@+8@이므로 예각삼각형이다.
ㅁ. 10@>5@+8@이므로 둔각삼각형이다.
ㅂ. 15@=9@+12@이므로 직각삼각형이다.
따라서 예각삼각형인 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. ③ 02 7@>3@+5@, 즉 CAZ @>ABZ @+BCZ @이므로
sABC는 CB>90!인 둔각삼각형이다. ③ 03 sABC에서 ABZ @>BCZ @+CAZ @이면 CC>90!인 둔각삼
각형이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. ⑤
04 ③ b@<a@+c@이면 CB<90!이므로 CB는 예각이다.
그러나 CB가 예각이라고 해서 sABC가 예각삼각형인
것은 아니다. ③
피타고라스 정리와 도형
17
THEME 113~115쪽
알고 있나요?
05 ① sABC에서 CA<90!이므로 a@<b@+c@
② sABC에서 CB<90!이므로 b@<a@+c@
③ sABC에서 CC=90!이므로 c@=a@+b@
④ sADB에서 CA>90!이므로 e@>c@+d@
⑤ sBCD에서 CC=90!이므로 e@=a@+{b+d}@ ④ 06 sABD에서
BDZ @+8@=10@, BDZ @=36 / BDZ=6{cm}
ADZ @=BDZ\CDZ에서
8@=6\CDZ ∴ CDZ= 323 {cm}
x@=CDZ\CBZ= 323 \[ 323 +6]= 16009
/ x= 403 40
3 07 sABC에서
BCZ @=12@+9@=225 / BCZ=15{cm}
ACZ @=CHZ\CBZ이므로
9@=CHZ\15 / CHZ= 275 {cm} 27 5 cm 08 sABC에서 ABZ @=6@+8@=100
/ ABZ=10{cm}
CBZ @=BHZ\BAZ이므로
6@=BHZ\10 / BHZ= 185 {cm}
ACZ\BCZ=ABZ\CHZ이므로
8\6=10\CHZ / CHZ= 245 {cm}
/ sHBC = 12\BHZ\CHZ
=1 2 \
18 5 \
24 5 =
216 25 {cm@}
216 25 cm@
09 DEZ @+BCZ @=BEZ @+CDZ @이므로 2@+9@=6@+CDZ @, CDZ @=49
/ CDZ=7{cm} ②
10 BCZ @=6@+8@=100 / BCZ=10{cm}
/ BEZ @+CDZ @ =DEZ @+BCZ @
=3@+10@=109 ④
11 sABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의하여
ACZ=2 DEZ=2\7=14
/ AEZ @+CDZ @=DEZ @+ACZ @=7@+14@=245 ① 12 BCZ @+ADZ @ =ABZ @+CDZ @=4@+6@=52 ④ 13 APZ @+CPZ @=BPZ @+DPZ @이므로
2@+CPZ @=6@+7@, CPZ @=81
/ CPZ=9{cm} 9 cm
14 ABZ @+CDZ @=BCZ @+DAZ @이고 DAZ @=x@+y@이므로 3@+6@=5@+x@+y@ / x@+y@=20 ②
15 ACZ를 지름으로 하는 반원의 넓이는 1
2\p\6@=18p{cm@}
따라서 BCZ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
36p-18p=18p{cm@} ⑤
16 색칠한 부분의 넓이는 sABC의 넓이와 같으므로 1
2\12\9=54{cm@} 54 cm@
17 BCZ를 지름으로 하는 반원의 넓이는
10p+8p=18p{cm@}이므로 y❶
1
2\p\[ BCZ2 ]@=18p y❷ BCZ @=144 / BCZ=12{cm} y❸ 12 cm
채점 기준 배점
❶ BCZ를 지름으로 하는 반원의 넓이 구하기 40 %
❷ BCZ에 대한 식 세우기 40 %
❸ BCZ의 길이 구하기 20 %
01 ⑴ BEZ=BCZ=5 cm이므로 sABE에서
5@=3@+AEZ @, AEZ @=16 / AEZ=4{cm}
/ DEZ=5-4=1{cm}
⑵ sABETsDEF (AA 닮음)이므로 ABZ`:`DEZ=BEZ`:`EFZ
3`:`1=5`:`EFZ / EFZ= 53{cm}
⑴ 1 cm ⑵ 5 3 cm 02 BCZ=ABZ=8 cm
sBCP에서 10@=8@+PCZ @, PCZ @=36 / PCZ=6{cm}
/ DPZ=DCZ-PCZ=8-6=2{cm}
이때 sQDPTsBCP (AA 닮음)이므로 DQZ`:`CBZ=DPZ`:`CPZ
DQZ`:`8=2`:`6 / DQZ= 83{cm} 8 3 cm 03 sABC에서 ACZ @=12@+5@=169 / ACZ=13{cm}
이때 AMZ=ABZ=12 cm, CNZ=CBZ=5 cm이므로 CMZ=ACZ-AMZ=13-12=1{cm}
/ MNZ=CNZ-CMZ=5-1=4{cm} ② 04 sABC에서
B F C
A
D G E
12`cm 9`cm BCZ @=12@+9@=225
/ BCZ=15{cm}
FDZ, FEZ를 그으면
BDZ// AGZ이므로 sABD=sFBD AGZ// CEZ이므로 sAEC=sFEC
ߊޙઁ
CLEAR 116~117쪽/ sABD+sAEC =sFBD+sFEC
05 sABC+sBDE이므로 ABZ=BDZ CABD =180!-{CABC+CDBE}
=180!-{CABC+CBAC}=90!
BCZ=DEZ=3 cm, ACZ=BEZ=4 cm / fADEC= 12\{3+4}\{3+4}=49
2{cm@} ⑤ 06 AEZ=ADZ-EDZ=15-9=6{cm}
sABE에서 ABZ @+6@=10@, ABZ @=64 07 ABZ`:`ACZ=BDZ`:`DCZ=5`:`4이므로
ABZ=5a cm, ACZ=4a cm라 하면 sABC에서 {5a}@={4a}@+9@
9a@=81, a@=9 / a=3
ABZ=5\3=15{cm}, ACZ=4\3=12{cm}
/ ABZ+ACZ=15+12=27{cm} 27 cm
09 sABD에서 BDZ @=6@+8@=100 / BDZ=10{cm}
ABZ @=BEZ\BDZ이므로
6@=BEZ\10 / BEZ= 185 {cm}