유형편 파워 5. 대푯값과 산포도
3 평균이 8시간이므로
8+8+7+x+8+7+12
7 =8에서 x+50=56
∴ x=6
또 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때, 4번째 자료의 값이 중앙값이므로
(중앙값)=8시간 ∴ y=8 ∴ x+y=6+8=14
4
53시간은 다른 자료의 값과 비교하여 극단적인 값이므로 평 균은 자료의 중심 경향을 잘 나타내지 못한다.또 최빈값 11시간은 가장 작은 자료의 값이므로 자료의 중 심 경향을 잘 나타내지 못한다.
따라서 자료의 중심 경향을 잘 나타내는 것은 중앙값이다.
y`!
자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 11, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 53이므로 (중앙값)=16+17
2 =16.5(시간) y`@
채점 기준 비율
! 평균, 중앙값, 최빈값 중에서 적절한 대푯값 말하기 50 %
@ 중앙값 구하기 50 %
5
① 편차의 합은 0이므로x+{-3}+2+4+{-1}=0 ∴ x=-2
② 평균보다 점수가 높은 학생은 편차가 양수인 기현이와 건 형이의 2명이다.
③ 점수가 가장 높은 학생은 점수의 편차가 가장 큰 건형이 이다.
④ 하영이와 은찬이의 점수의 편차의 차는 -1-{-3}=2 (점)이므로 점수 차도 2점이다.
⑤ 평균 점수가 90점이므로 기현이의 점수는 90+2=92(점) 이다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
6
ㄱ. (평균)=8+12+10+9+7+9+87 =63
7=9 ㄴ. (편차의 제곱의 총합)
={-1}@+3@+1@+0@+{-2}@+0@+{-1}@
=16 ㄷ. (분산)=16
7 ㄹ. (표준편차)=q 16
7 w=4j7 7 따라서 옳은 것은 ㄹ이다.
7
자료 A 1, 2, 3, 4, 5 자료 B 2, 4, 6, 8, 10 자료 C 1, 3, 5, 7, 9(자료 A의 평균)=1+2+3+4+5 5 =15
5=3 (자료 A의 분산)={-2}@+{-1}@+0@+1@+2@
5 =10
5=2 (자료 B의 평균)=2+4+6+8+10
5 =30
5 =6 (자료 B의 분산)={-4}@+{-2}@+0@+2@+4@
5 =40
5=8 (자료 C의 평균)=1+3+5+7+9
5 =25 5 =5 (자료 C의 분산)={-4}@+{-2}@+0@+2@+4@
5 =40
5=8 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
8
(학생 A의 평균)=8+4.5+8.5+5.5+6.5+7.5+5
7 =45.5
7 =6.5(시간) (학생 A의 분산)
=1.5@+{-2}@+2@+{-1}@+0@+1@+{-1.5}@
7
=14.5 7
(학생 B의 평균)
=5.5+6+6.5+7+7+6+7.5
7 =45.5
7 =6.5(시간) (학생 B의 분산)
={-1}@+{-0.5}@+0@+0.5@+0.5@+{-0.5}@+1@
7
=3 7
따라서 학생 B의 학습 시간의 분산이 학생 A보다 작으므로 학생 B의 학습 시간이 학생 A보다 더 고르다.
9
④ 자료의 값의 개수가 짝수인 경우 중앙값은 자료에 없는 값일 수도 있다.10
(세 번의 수학 시험 점수의 총합)=87\3=261(점) 다음 번 수학 시험 점수를 x점이라고 하면 전체 수학 시험점수의 평균이 90점이 되어야 하므로 261+x
4 =90, 261+x=360 ∴ x=99
따라서 다음 번 수학 시험에서 99점을 받아야 한다.
11
(평균)= 10+4+x+7+6+y+5+88 =7이므로
40+x+y=56 ∴ x+y=16
이때 x<y이고, 최빈값이 7이므로 x=7, y=9
파워
유 형 편
(분산)=3@+{-3}@+0@+0@+{-1}@+2@+{-2}@+1@
8 =28
8=7 2
∴ (표준편차)=q 7 2w=j14k
2
12
편차의 합은 0이므로 -5+x+y+0+{-1}=0∴ x+y=6 y`㉠ y`!
표준편차가 j9.2k !C이므로 {-5}@+x@+y@+0@+{-1}@
5 ={j9.2k}@에서
x@+y@=20 y`㉡ y`@
이때 x@+y@={x+y}@-2xy이고 ㉠, ㉡을 이 식에 각각 대입하면
20=6@-2xy ∴ xy=8 y`#
채점 기준 비율
! x+y의 값 구하기 30 %
@ x@+y@의 값 구하기 40 %
# xy의 값 구하기 30 %
13
학생 4명의 점수를 각각 a점, b점, c점, d점이라 하고, 평균을 m점, 표준편차를 s점이라고 하면a+b+c+d
4 =m에서 a+b+c+d=4m {a-m}@+{b-m}@+{c-m}@+{d-m}@
4 =s@
2점씩 감점된 점수는 각각 {a-2}점, {b-2}점, {c-2}점, {d-2}점이므로
(감점된 후의 평균)
={a-2}+{b-2}+{c-2}+{d-2}
4
={a+b+c+d}-8
4
=4m-8
4 =m-2(점) (감점된 후의 분산)
={a-m}@+{b-m}@+{c-m}@+{d-m}@
4 =s@
∴ (감점된 후 표준편차)=1s@2=s(점)
따라서 학생 4명의 점수를 각각 2점씩 감점하면 평균은 2점 내려가고 표준편차는 변함없다.
14
(남학생의 (편차)@의 합)=25\2@=100여학생의 수학 성적의 표준편차를 x점이라고 하면 (여학생의 (편차)@의 합)=15\x@=15x@
(전체 학생의 분산)=100+15x@
25+15 =4@
100+15x@=640, 15x@=540 x@=36
이때 x>0이므로 x=6(점)
따라서 여학생의 수학 성적의 표준편차는 6점이다.
15
( A의 평균)=6+7+8+9+105 =405=8(점),( B의 평균)=7+7+8+9+9 5 =40
5=8(점), ( C의 평균)=7+8+8+8+9
5 =40 5=8(점)
이므로 A, B, C 세 사람의 평균은 8점으로 모두 같다.
이때 점수들이 평균 8점 가까이에 모여 있을수록 표준편차가 작다.
따라서 표준편차가 작은 사람부터 차례로 나열하면 C, B, A 이다.
16
전학을 가기 전 농구 동아리 학생들의 키의 총합은 181\5=905{cm}새로운 학생이 들어온 후 농구 동아리 학생들의 키의 총합은 182\5=910{cm}
이때 전학을 간 학생의 키가 174 cm이므로 새로운 학생의 키는
174+{910-905}=179{cm}
따라서 새로운 학생의 키는 원래 농구 동아리 학생들의 키 의 중앙값, 최빈값과 같으므로 새로운 학생이 들어온 후 농 구 동아리 학생들의 키의 중앙값과 최빈값은 모두 179 cm 이다.
17
⑴ 4개의 수의 총합은 변함이 없으므로 실제 평균은 5이다.⑵ 잘못 본 4개의 수를 4, 5, a, b라고 하면 평균이 5이므로
4+5+a+b
4 =5에서
a+b=11 y`㉠
분산이 3 2 이므로
{-1}@+0@+{a-5}@+{b-5}@
4 =3
2 {a-5}@+{b-5}@=5 y`㉡
㉠에서 b=11-a이고 이를 ㉡에 대입하면 {a-5}@+{6-a}@=5
a@-11a+28=0 {a-4}{a-7}=0 ∴ a=4 또는 a=7
즉, a=4, b=7 또는 a=7, b=4 따라서 실제 4개의 수는 3, 4, 6, 7이다.
⑶ (실제 분산) ={-2}@+{-1}@+1@+2@
4
=10 4=5
2
( C 회사의 수익률의 평균) =19+24+27+28+27
5
=125
5 =25{%}
( C 회사의 수익률의 분산) ={-6}@+{-1}@+2@+3@+2@
5
=54 5
이때 B 회사의 수익률의 분산이 가장 작으므로 수익률이 가 장 안정적인 회사는 B 회사이다.
따라서 B 회사에 투자하는 것이 좋다.
18
( A 회사의 수익률의 평균) =20+30+23+27+255
=125
5 =25{%}
( A 회사의 수익률의 분산) ={-5}@+5@+{-2}@+2@+0@
5
=58 5
( B 회사의 수익률의 평균) =23+24+31+24+23
5
=125
5 =25{%}
( B 회사의 수익률의 분산)
={-2}@+{-1}@+6@+{-1}@+{-2}@
5 =46
5
파워
(평균)=50+70+80+100
4 =300
15\100=40{%}
9
답 15 %, 과정은 풀이 참조ㄹ. 열량이 40 kcal 초과인 음료수의 당류의 양은