07
유제 본문 89~95쪽
1 10 2 18 3 ③ 4 102 5 18 6 81 7 ②
모집단에서 임의추출한 크기가 3인 표본을 (XÁ, Xª, X£) 이라 할 때,
XÕ=XÁ+Xª+X£
3 =3에서
XÁ+Xª+X£=9이고, 9=0+2+7=2+2+5이다.
Ú 9=0+2+7인 경우 (XÁ, Xª, X£)은 (0, 2, 7), (0, 7, 2), (2, 0, 7), (2, 7, 0), (7, 0, 2), (7, 2, 0) 의 6가지
Û 9=2+2+5인 경우 (XÁ, Xª, X£)은 (2, 2, 5), (2, 5, 2), (5, 2, 2) 의 3가지
따라서
P(XÕ=3)=;4!;_;6!;_b_6+;6!;_;6!;_a_3
=;4!;b+;1Á2;a
=;4°8;
이므로 a+3b=;4%; yy ㉠
확률변수 X의 확률분포를 나타낸 표에서 모든 확률의 합은 1이므로
;4!;+;6!;+a+b=1
a+b=;1¦2; yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;4!;, b=;3!;
따라서 120ab=120_;4!;_;3!;=10
10
1
E(X)=E(XÕ)=;2!;에서 -a+2c=;2!; yy ㉠ 표본의 크기가 3이므로 V(XÕ)=V(X)
3 에서
V(X)=3V(XÕ)=3_;2¦0;=;2@0!;
따라서
V(X)=(-1)Û`_a+0_b+2Û`_c-{;2!;}Û`=;2@0!;
에서 a+4c=;1!0#; yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;1Á0;, c=;1£0;
a+b+c=1이므로 b=;5#;
따라서
1000abc=1000_;1Á0;_;5#;_;1£0;
=18
18
2
V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û`
=25-3Û`
=16 이고
E(XÕ)=E(X)=3, V(XÕ)=V(X)
n = 16n 이므로 V(XÕ)=E(XÕ Û`)-{E(XÕ)}Û`에서 E(XÕ Û`) =V(XÕ)+{E(XÕ)}Û`
= 16n +9 따라서 16n +9¾11에서
16n ¾2, nÉ8
이므로 2 이상의 자연수 n은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
이고, 그 개수는 7이다.
③
3
이 떡집에서 판매하는 백설기 한 개의 무게를 확률변수 X 라 하면 X는 정규분포 N(m, 2Û`)을 따른다.
이 떡집에서 판매하는 백설기 중에서 임의로 추출한 16개의 무게의 표본평균을 XÕ라 하면
E(XÕ)=m, r(XÕ)= 2 '¶16=;2!;
이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N{m, {;2!;}Û`}을 따른다.
Z= XÕ-m
;2!; 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르고,
P(XÕÉ101)=P»ZÉ 101-m
;2!; ¼
=P(ZÉ202-2m)
=0.0228 이므로
P(ZÉ202-2m) =P(Z¾2m-202)
=0.5-P(0ÉZÉ2m-202)
=0.0228 에서
P(0ÉZÉ2m-202)=0.4772 따라서 표준정규분포표에서 2m-202=2이므로 m=102
102
4
모집단의 확률변수 X는 정규분포 N(40, rÛ`)을 따른다.
이 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본 평균 XÕ에 대하여
E(XÕ)=40, r(XÕ)= r '4= r2
이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N{40, { r2 }2}을 따른다.
Z1= X-40r , Z2= XÕ-40r 2
으로 놓으면
두 확률변수 Z1, Z2는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따 른다.
임의의 양수 k에 대하여
P(X¾40+k)=P(XÕÉ40-kr)이고,
5
P(X¾40+k)=P{Z1¾ 40+k-40r }
=P{Z1¾ kr }
P(XÕÉ40-kr)=P»Z2É 40-kr-40r
2 ¼
=P(Z2É-2k)
=P(Z2¾2k) 이므로 kr =2k
k는 임의의 양수이므로 r=;2!;
P(XÉa)=P(XÕ¾42)에서 P(XÉa)=P»Z1É a-40
;2!; ¼=P(Z1É2a-80), P(XÕ¾42)=P»Z2¾ 42-40
;4!; ¼=P(Z2¾8)
=P(Z2É-8) 이므로 2a-80=-8, a=36 따라서 ar=36_;2!;=18
18
표본평균이 xÕ, 모표준편차가 r=3, 표본의 크기가 n이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은
xÕ-2.58_ 3
'nÉmÉxÕ+2.58_ 3'n b-a=2_2.58_ 3
'n=1.72이므로 'n= 2_2.58_31.72 =9
따라서 n=81
81
6
표본평균이 xÕ=80, 모표준편차가 r=5, 표본의 크기가 n=100이므로
모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 80-1.96_ 5
'§100ÉmÉ80+1.96_ 5 '§100
7
1 ④ 2 ④ 3 ③ 4 ⑤ 5 ①
Level
1
기초 연습 본문 96쪽확률변수 XÕ가 갖는 값은 0, 1, 2, 3, 4이므로 P(XÕ<2)=P(XÕ=0)+P(XÕ=1)
=;3!;_;3!;+;3!;_;2!;_2
=;9!;+;3!;
=;9$;
④
1
V(XÕ)= 2Û`n =;2!;이므로 n=8
따라서 E(XÕ)=m=2n에서 m=2_8=16
④
2
E(XÕ)=20, r(XÕ)= 3 'n이므로
확률변수 XÕ는 정규분포 N{20, { 3'n }Û`}을 따른다.
Z1= XÕ-203 'n
으로 놓으면 확률변수 Z1은 표준정규분포
N(0, 1)을 따르므로
3
E(XÕ)=50, r(XÕ)= 2
'4=1이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N(50, 1)을 따르고, Z=XÕ-50으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
이때 P(XÕÉa)=P(ZÉa-50)=0.9987이므로 0.5+P(0ÉZÉa-50)=0.9987에서
P(0ÉZÉa-50)=0.4987 따라서 a-50=3이므로 a=53
⑤
4
표본평균이 xÕ, 모표준편차가 r=4, 표본의 크기가 n=256 이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은 xÕ-2.58_ 4
'Ä256ÉmÉxÕ+2.58_ 4'Ä256 xÕ-0.645ÉmÉxÕ+0.645
따라서
b-a =(xÕ+0.645)-(xÕ-0.645)
=1.29
①
5
1 ⑤ 2 ④ 3 ③ 4 ⑤ 5 36 6 ④ 7 ③ 8 844
Level
2
기본 연습 본문 97~98쪽확률변수 X가 갖는 값이 2, 4, a이므로 표본평균 XÕ가 갖는 값은
1
80-0.98ÉmÉ80+0.98 79.02ÉmÉ80.98
따라서 79+a=79.02, 79+b=80.98에서 a=0.02, b=1.98이므로
2a+b=0.04+1.98=2.02
②
Z=2XÕ-40= XÕ-20
;2!; 에서
;2!;= 3'n, 'n=6 따라서 n=36
③
P(XÕ=1)=a_a=aÛ`
P(XÕ=2)=a_b_2+b_b=2ab+bÛ`
P(XÕ=3)=b_b=bÛ`이므로
P(XÕ=1)+P(XÕ=2)+P(XÕ=3)=;2!5&;에서 aÛ`+2ab+bÛ`+bÛ`=;2!5&;
(a+b)Û`+bÛ`=;2!5&;
a+b=1-b이므로 (1-b)Û`+bÛ`=;2!5&;
bÛ`-b+;2¢5;=0, 25bÛ`-25b+4=0 (5b-1)(5b-4)=0
b=;5!; 또는 b=;5$;
b=;5$;이면 a=1-2b=-;5#;이 되어 모순이다.
따라서 b=;5!;이고, a=1-2b=;5#;이므로 aÛ`+bÛ`=;2»5;+;2Á5;=;5@;
④
2
모든 확률의 합은 1이므로
;1Á2;+;4!;+a+b=1 에서
a+b=;3@; yy ㉠ E(2XÕ+3)=2E(XÕ)+3=13에서 E(XÕ)=5
따라서 E(X)=E(XÕ)=5이므로 3_;1Á2;+4_;4!;+5a+6b=5 5a+6b=:Á4°: yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;4!;, b=;1°2;
V(X)=3Û`_;1Á2;+4Û`_;4!;+5Û`_;4!;+6Û`_;1°2;-5Û`
=1
이고, 표본의 크기가 4이므로 V(2XÕ+3)=4V(XÕ)
=4_V(X) 4
=V(X)
=1
③
3
2+22 , 2+42 , 2+a2 , 4+42 , 4+a2 , a+a2
즉, 2, 3, 2+a2 , 4, 4+a2 , a이다.
a>5이므로 2+a2 <4+a
2 <a이고,
표본평균 XÕ가 갖는 값이 2, 3, 4, 5, b, a이므로 2+a2 =5, 4+a2 =b
즉, a=8, b=6이다.
P(XÕ=2)=P(X=2)_P(X=2)=;6Á4;에서 P(X=2)=;8!;
P(XÕ=3)=P(X=2)_P(X=4)_2=;3°2;에서
;8!;_P(X=4)_2=;3°2;
P(X=4)=;8%;
따라서 ab_P(X=4)=8_6_;8%;=30
⑤
모든 확률의 합은 1이므로
;6!;+a+b=1에서 a+b=;6%; yy ㉠
E(3XÕ-9)=3E(XÕ)-9=3E(X)-9 E(9-3X)=9-3E(X)이므로 E(3XÕ-9)=E(9-3X)에서 3E(X)-9=9-3E(X) 6E(X)=18, E(X)=3
따라서 E(X)=0_;6!;+2a+6b=3 2a+6b=3 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;2!;, b=;3!;
4
E(XÕ)=240, r(XÕ)= 15 'n이므로 확률변수 XÕ는 정규분포 N{240, { 15'n }
2}을 따르고, Z= XÕ-24015
'n
으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포
N(0, 1)을 따른다.
P(XÕÉ245)=P»ZÉ 245-24015 'n ¼
=P{ZÉ 'n 3 }
=0.5+P{0ÉZÉ 'n 3 } 이므로 P(XÕÉ245)¾0.9772에서 P{0ÉZÉ 'n
3 }¾0.4772
표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로 'n3 ¾2, 'n¾6
따라서 n¾36이므로 n의 최솟값은 36이다.
36
5
E(XÕ)=58, r(XÕ)= r
'¶16= r4 이므로
확률변수 XÕ는 정규분포 N{58, { r4 }Û`}을 따르고, E(YÕ)=m, r(YÕ)= r+2
'¶25 = r+25 이므로
6
E(XÕ)=m, r(XÕ)= r 'n이므로
확률변수 XÕ는 정규분포 N{m, rn }2 을 따르고, Z= XÕ-mr
'n
으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포
N(0, 1)을 따른다.
P(XÕÉm+3)=P»ZÉ m+3-mr 'n ¼
=P{ZÉ3'n r }
=0.9332 이므로
0.5+P{0ÉZÉ3'n
r }=0.9332
7
V(X)=0_;6!;+2Û`_;2!;+6Û`_;3!;-3Û`
=5 이므로
V(XÕ)=V(X)
n =;3!;에서
;n%;=;3!;
따라서 n=15
⑤
확률변수 YÕ는 정규분포 N{m, { r+25 }Û`}을 따른다.
두 확률변수 XÕ, YÕ의 확률밀도함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 직선 x=60에 대하여 서로 대칭이므로
58+m2 =60이고, r(XÕ)=r(YÕ)이다.
58+m2 =60에서 m=62이고,
r(XÕ)=r(YÕ)에서 r4 =r+2 5 5r=4r+8, r=8
따라서 확률변수 XÕ는 정규분포 N(58, 2Û`)을 따르고, 확률 변수 YÕ는 정규분포 N(62, 2Û`)을 따른다.
Z1= XÕ-582 , Z2= YÕ-622 로 놓으면 두 확률변수 Z1, Z2는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(XÕ¾60)+P(YÕÉ60)
=P{Z1¾ 60-582 }+P{Z2É 60-622 }
=P(Z1¾1)+P(Z2É-1)
=2P(Z1¾1)
=2{0.5-P(0ÉZ1É1)}
=2(0.5-0.3413)
=0.3174
④
표본평균이 xÕ, 모표준편차가 r, 표본의 크기가 64일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간은
xÕ-2.58_ r
'¶64ÉmÉxÕ+2.58_ r '¶64이므로 xÕ-2.58_r
8 =6.71 yy ㉠ xÕ+2.58_r
8 =9.29 yy ㉡
㉠, ㉡을 변끼리 더하면 2xÕ=16, xÕ=8 xÕ=8을 ㉡에 대입하면 2.58_ r8 =1.29, r=4
표본평균이 xÕ+1=9, 모표준편차가 4, 표본의 크기가 196 일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은 9-1.96_ 4
'¶196ÉmÉ9+1.96_ 4 '¶196 9-1.96_;1¢4;ÉmÉ9+1.96_;1¢4;
8.44ÉmÉ9.56 따라서 a=8.44이므로 100a=844
844
8
P{0ÉZÉ3'n
r }=0.4332 즉, 3'n
r =1.5이므로 'nr = 31.5 =2
따라서 표본평균이 xÕ=36, 모표준편차가 r, 표본의 크기가 n이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 36-1.96 r
'nÉmÉ36+1.96 r 'n 36-1.96_2ÉmÉ36+1.96_2 32.08ÉmÉ39.92
③
1 ② 2 ④ 3 ⑤
Level
3
실력 완성 본문 99쪽P(X=1)=a, P(X=3)=b, P(X=5)=c라 하고, 확 률변수 X의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.
X 1 3 5 계
P(X=x) a b c 1
P(XÕ=2)=a_b_2=;1Á6;이므로 2ab=;1Á6; yy ㉠ E(XÕ)=4에서 E(X)=4이므로 a+3b+5c=4
c=1-a-b이므로 a+3b+5(1-a-b)=4 4a+2b=1
2b=1-4a yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 a(1-4a)=;1Á6;
4aÛ`-a+;1Á6;=0 64aÛ`-16a+1=0 (8a-1)Û`=0 a=;8!;
㉡에서 b=;4!;
c=1-a-b=;8%;
따라서
P(XÕ=3)=a_c_2+b_b
=;8!;_;8%;_2+;4!;_;4!;
=;3¦2;
이므로
P(X=3)-P(XÕ=3)=;4!;-;3¦2;
=;3Á2;
②
1
ㄱ. 모든 확률의 합은 1이므로
;4!;+a+b=1에서 a+b=;4#;
따라서
E(X)=2_;4!;+4a+6b
=;2!;+4a+6{;4#;-a}
=5-2a 이므로 a=;4!;이면
E(XÕ)=E(X)=;2(;>4 (거짓)
ㄴ. V(X)=2Û`_;4!;+4Û`_a+6Û`_b-(5-2a)Û`
=1+16a+36{;4#;-a}-(5-2a)Û`
=3-4aÛ`É3 따라서 n=3이면 V(XÕ)=V(X)
3 É1 (참)
ㄷ. n=2이면 확률변수 XÕ가 갖는 값은 2, 3, 4, 5, 6이고, P(XÕ=2)=;4!;_;4!;=;1Á6;
P(XÕ=3)=;4!;_a_2=;2!; a P(XÕ=4)=;4!;_b_2+a_a
=;2!;{;4#;-a}+aÛ`
=;8#;-;2!;a+aÛ`
이므로
P(XÕÉ4)=P(XÕ=2)+P(XÕ=3)+P(XÕ=4)
=;1Á6;+;2!;a+;8#;-;2!;a+aÛ`
=;1¦6;+aÛ`
따라서 aÉ;4!;이면
P(XÕÉ4)É;1¨¦6;+{;4!;}Û`=;2!; (참) 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
④
2
E(XÕ)=m, r(XÕ)= 1'4=;2!;이므로
확률변수 XÕ는 정규분포 N{m, {;2!;}Û`}을 따른다.
Z1= X-m1 , Z2= XÕ-m
;2!; 으로 놓으면 두 확률변수 Z1, Z2는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따르고,
f(k)=P(-mÉZ1Ék+1), g(k)=P(-2mÉZ2É2k)이다.
ㄱ. m=1일 때,
f(1)=P(-1ÉZ1É2) g(1)=P(-2ÉZ2É2)이므로 f(1)<g(1) (참)
ㄴ. m>0일 때,
f(m)=P(-mÉZ1Ém+1)>2P(0ÉZ1Ém) g(m)=P(-2mÉZ2É2m)=2P(0ÉZ2É2m) 이고, 2P(0ÉZ1Ém)>P(0ÉZ2É2m)이므로 2 f(m) >2_2P(0ÉZ1Ém)
>2P(0ÉZ2É2m)
=g(m) (참) ㄷ. f(k)=g(k)에서
P(-mÉZ1Ék+1)=P(-2mÉZ2É2k) Ú m=0이면
P(0ÉZ1Ék+1)=P(0ÉZ2É2k)에서 k+1=2k, k=1
Û m>0이면
P(-mÉZ1Ék+1)=P(-2mÉZ2É2k)이고 -2m<-m<0이므로
0<2k<k+1이다.
즉, k<1
Ú, Û에 의하여 kÉ1 (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
⑤