06
유제 본문 75~81쪽
1 22 2 ④ 3 12 4 ③ 5 44 6 ② 7 ④ 8 196
H y=f(x)
x y
O B(0,b)
A(a,0)
C{;//5//;,12 2a}
점 C에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하면 원점 O에 대 하여 ∠OAB=∠HCA이므로
두 직각삼각형 OAB, HCA는 서로 닮음이다.
또 OAÓ=a, HCÓ=2a이므로
두 삼각형 OAB, HCA의 닮음비는 1`:`2이다.
따라서 AHÓ=2OBÓ=2b이므로 OAÓ+AHÓ=:Á5ª:에서
a+2b=:Á5ª: yy ㉠
f(x)가 확률밀도함수이므로 0ÉxÉ:Á5ª:에서 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는 1이다.
두 삼각형 OAB, HCA의 넓이의 비는 1`:`4이므로 삼각형 OAB의 넓이는 ;5!;이다.
즉, ;2!;ab=;5!;, ab=;5@; yy ㉡
㉠에서 a=:Á5ª:-2b이므로 ㉡에 대입하면 {:Á5ª:-2b}b=;5@;
5bÛ`-6b+1=0 (5b-1)(b-1)=0 b=;5!; 또는 b=1 b=;5!;이면 ㉡에서 a=2 b=1이면 ㉡에서 a=;5@;
a>b이므로 a=2, b=;5!;
1
함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.
y=f(x)
O ;2!; 1 x k
k+1 y
f(x)가 확률밀도함수이므로 0ÉxÉ1에서 함수 y=f(x) 의 그래프와 x축 사이의 넓이가 1이다. 즉,
;2!;_k+;2!;_(k+k+1)_;2!;=1 k+;4!;=1, k=;4#;
f(x)=
( { 9
;4#; {0Éx<;2!;}
2x-;4!; {;2!;ÉxÉ1}
이므로
f(k)=f {;4#;}=;4%;, f(1)=;4&;
따라서
P(kÉXÉ1)=P{;4#;ÉXÉ1}
=;2!;_{;4%;+;4&;}_;4!;
=;8#;
④
2
확률변수 X의 확률밀도함수를 f(x)라 하면 함수 y=f(x) 의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다.
조건 (가)에서
P(XÉm-6)=P(X¾2m-3)이므로 (m-6)+(2m-3)
2 =m이다.
즉, m=9 조건 (나)에서
P(X¾3)=P(XÉm+2r)이므로
3
따라서 10(a+b)=10{2+;5!;}=22
22
3+(m+2r)
2 =m
3+9+2r=2_9 r=3
따라서 m+r=9+3=12
12
y=f(x) y=g(x)
b x a 20 28 m P(aÉXÉ28)=0.84>0.5이므로 a<20이고,
f(a)=f(28)이므로 a+282 =20에서 a=12
두 확률변수 X, Y의 표준편차가 같고, m+20이므로 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 평행이동하면 함수 y=g(x)의 그래프와 겹쳐질 수 있다.
함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=20에 대하여 대칭이 고, 함수 y=g(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭 이므로
f(28)=g(28)에서 20+m2 =28, m=36
P(aÉXÉ28) =P(12ÉXÉ28)
=2P(20ÉXÉ28)
=0.84 이므로 P(20ÉXÉ28)=0.42 P(Y¾b)=0.08이고, P(X¾28)=0.08이므로 28-20=b-36에서 b=44
따라서 a+b=12+44=56
③
4
Z= X-mr 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
5
P(X¾48)=P{Z¾ 48-mr }=0.0228에서 P{0ÉZÉ 48-mr }=0.5-0.0228=0.4772 이므로 표준정규분포표에서
48-mr =2
즉, m+2r=48 yy ㉠
P(42ÉXÉ48)=P{ 42-mr ÉZÉ2}=0.2857 이고, P(0ÉZÉ2)=0.4772이므로
0< 42-mr <2이고,
P{0ÉZÉ 42-mr }+P{ 42-mr ÉZÉ2}=0.4772 P{0ÉZÉ 42-mr }=0.4772-0.2857=0.1915 따라서 표준정규분포표에서
42-mr =0.5
즉, m+0.5r=42 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=40, r=4
따라서 m+r=40+4=44
44
이 공장에서 생산하는 전구 한 개의 수명을 확률변수 X라 하면 확률변수 X는 정규분포 N(1000, 50Û`)을 따르고, Z= X-100050 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
이때 P(X¾a)=0.9861
에서 P{Z¾ a-100050 }=0.9861이므로 P{ a-100050 ÉZÉ0}=0.9861-0.5=0.4861 따라서
P{0ÉZÉ 1000-a50 }=0.4861 이므로 표준정규분포표에서
1000-a 50 =2.2 a=890
②
6
서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 짝수의 눈이 적어도 한 개 나올 확률은
1-;2!;_;2!;=;4#;
이므로 확률변수 X는 이항분포 B{192, ;4#;}을 따르고, E(X)=192_;4#;=144
V(X)=192_;4#;_;4!;=36
이때 192는 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(144, 6Û`)을 따르고, Z= X-1446 로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서
P(XÉ156)=P{ZÉ 156-1446 }
=P(ZÉ2)
=0.5+P(0ÉZÉ2)
=0.5+0.4772
=0.9772
④
7
E(X)=n_;2!;=;2N;
V(X)=n_;2!;_;2!;=;4N;
이때 n은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정
규분포 N{;2N;, { 'n
2 }Û`}을 따르고, Z=X-;2N;
'n2
으로 놓으
면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(X¾105)=P »Z¾105-'n ;2N;
2
¼
=0.1587 이므로
P »0ÉZÉ105-'n;2N;
2
¼=0.5-0.1587=0.3413 따라서 표준정규분포표에 의하여
105-;2N;
'n2
=1
8
n+'n-210=0 'n=x로 놓으면
xÛ`+x-210=0, (x+15)(x-14)=0 x¾10이므로 x=14
즉, 'n=14이므로 n=196
196
1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ④ 5 ④
Level
1
기초 연습 본문 82쪽f(x)가 확률밀도함수이므로 0ÉxÉ4에서 함수 y=f(x) 의 그래프와 x축 사이의 넓이가 1이다. 즉,
;2!;k+k+;2#;k+2k=1 5k=1
따라서 k=;5!;
②
1
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 X의 확률 밀도함수를 f(x)라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=m에 대하여 대칭이다.
P(X¾4)=0.68이므로 P(XÉ4)=1-0.68=0.32이고, P(4ÉXÉm)=0.5-0.32=0.18이다.
P(XÉ4)=P(X¾10)이므로 4+102 =m, 즉 m=7 따라서
P(|X-m|É3) =P(|X-7|É3)
=P(4ÉXÉ10)
=2P(4ÉXÉ7)
=2_0.18
=0.36
③
2
Z1= X-2mm 으로 놓으면 확률변수 Z1은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(mÉXÉ16)=P{ m-2mm ÉZ1É 16-2mm }
=P{-1ÉZ1É 16-2mm } P(-2ÉZÉ1)=P(-1ÉZÉ2)이므로
16-2m m =2 따라서 m=4
④
3
Z= X-602 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(57ÉXÉ58)+P(63ÉXÉ64)
=P{ 57-602 ÉZÉ 58-602 }
+P{ 63-602 ÉZÉ 64-602 }
=P(-1.5ÉZÉ-1)+P(1.5ÉZÉ2)
=P(1ÉZÉ1.5)+P(1.5ÉZÉ2)
=P(1ÉZÉ2)
=P(0ÉZÉ2)-P(0ÉZÉ1)
=0.4772-0.3413
=0.1359
④
4
E(X)=400_;2!;=200 V(X)=400_;2!;_;2!;=100
이때 400은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(200, 10Û`)을 따르고, Z= X-20010 으로 놓으 면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서
P(200ÉXÉ215)
=P{ 200-20010 ÉZÉ 215-20010 }
5
f(x)가 확률밀도함수이므로 0ÉxÉ5a에서 함수 y=f(x) 의 그래프와 x축 사이의 넓이가 1이다. 즉,
;2!;_2a_b+;2!;_3a_2b=1 4ab=1 yy ㉠
a+3b=2이므로 a=2-3b이고,
㉠에 대입하면 4(2-3b)b=1
12bÛ`-8b+1=0, (2b-1)(6b-1)=0 b=;2!; 또는 b=;6!;
b=;2!;이면 ㉠에서 a=;2!;
b=;6!;이면 ㉠에서 a=;2#;
2
1 ⑤ 2 ④ 3 ⑤ 4 ③ 5 ⑤ 6 ②
Level
2
기본 연습 본문 83~84쪽P(0ÉXÉa)=;2!;_{;3!;+;6!;;}_a=;4!;a이므로
;4!;a=;8%;에서 a=;2%;
P(aÉXÉb)=1-;8%;=;8#;이고, P(aÉXÉb)=(b-a)_;6!;이므로
;6!;(b-a)=;8#;에서 b-a=;4(;
b=;2%;+;4(;=:Á4»:
따라서 a+b=;2%;+:Á4»:=:ª4»:
⑤
1
=P(0ÉZÉ1.5)
=0.4332
④
a+b이므로 a=;2#;, b=;6!;
따라서 ab=;4!;이고
0ÉxÉ;2#;에서 f(x)=;aB;x=;9!;x이므로 f(ab)=f {;4!;}=;3Á6;
④
이므로 조건 (가)에서 15-mr =-2
즉, m-2r=15 yy ㉠ P(12ÉXÉ2m-12)
=P{ 12-mr ÉZ1É 2m-12-mr }
=P{- m-12r ÉZ1É m-12r }
=2P{0ÉZ1É m-12r } 이고
2P(11ÉYÉ17)
=2P{ 11-112 ÉZ2É 17-112 }
=2P(0ÉZ2É3) 이므로 조건 (나)에서
m-12r =3
즉, m-3r=12 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=21, r=3 따라서 m+r=21+3=24
③ r1<r2이고, f(a)=g(a)이므로
두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프는 그림과 같다.
y=f(x)
y=g(x)
a b x
10 ㄱ. x>a일 때, f(x)<g(x)이므로
f(b)<g(b) (참)
ㄴ. 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=10에 대하여 대칭 이고, 종 모양의 곡선이므로
P(10ÉXÉa)=P(aÉXÉb)이면 a-10<b-a이다.
즉, 2a<b+10 (참) ㄷ. P(X¾10)=0.5이므로
P(10ÉXÉa)+P(aÉXÉb)<0.5이다.
P(10ÉXÉa)=P(aÉXÉb)이므로 2P(10ÉXÉa)<0.5
즉, P(10ÉXÉa)<0.25이다.
따라서 P(10ÉYÉa)<P(10ÉXÉa)<0.25이므로 P(10ÉYÉc)=0.25이면 a<c이다.(참)
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
⑤
3
Z1= X-mr , Z2= Y-112 로 놓으면 두 확률변수 Z1, Z2
는 모두 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
P(X¾15)=P{Z1¾ 15-mr },
P(YÉ15)=P{Z2É 15-112 }=P(Z2É2)
4
A 과수원에서 재배한 사과 한 개의 무게를 확률변수 X라 하고, B 과수원에서 재배한 사과 한 개의 무게를 확률변수 Y라 하자.
확률변수 X는 정규분포 N(m, 5Û`)을 따르고,
Z1= X-m5 으로 놓으면 확률변수 Z1은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르므로
P(X¾320)=0.0548에서 P{Z1¾ 320-m5 }=0.0548
P{0ÉZ1É 320-m5 }=0.5-0.0548=0.4452 표준정규분포표에 의하여
320-m
5 =1.6이므로 m=312
확률변수 Y는 정규분포 N(316, 4Û`)을 따르고,
Z2= Y-3164 으로 놓으면 확률변수 Z2는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서
5
H=10- m-70r =9.5에서 m=70+0.5r이다.
확률변수 X는 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 Z= X-mr 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
따라서 구하는 확률은 P(|X-70|¾2r)
=P(XÉ70-2r)+P(X¾70+2r)
=P{ZÉ 70-2r-mr }+P{Z¾ 70+2r-mr }
=P{ZÉ 70-2r-70-0.5rr }
+P{Z¾ 70+2r-70-0.5rr }
=P(ZÉ-2.5)+P(Z¾1.5)
={0.5-P(0ÉZÉ2.5)}+{0.5-P(0ÉZÉ1.5)}
=1-0.4938-0.4332
=0.0730
②
6
P(Y¾320)=P{Z2¾ 320-3164 }
=P(Z2¾1)
=0.5-P(0ÉZ2É1)
=0.5-0.3413
=0.1587
⑤
1 ② 2 ⑤ 3 67
Level
3
실력 완성 본문 85쪽f(x)=( {9
x (0Éx<1)
;2#;-;2!; x (1ÉxÉ2)
1
g(x)=
( { 9
;2!;x (0Éx<1) 1-;2!;x (1ÉxÉ2) 이므로
f(x)-kg(x)=
( { 9
{1-;2!;k}x (0Éx<1) {;2#;-k}-{;2!;-;2!;k}x (1ÉxÉ2) 0<k<1이므로 함수 y=f(x)-kg(x)의 그래프는 그림과 같다.
y=f(x)-kg(x)
;2!;
1-;2!;k
O 1 2 x
y
함수 f(x)-kg(x)가 확률변수 X의 확률밀도함수이므로 0ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)-kg(x)의 그래프와 x축 사 이의 넓이는 1이다. 즉,
;2!;_1_{1-;2!;k}+;2!;_{1-;2!;k+;2!;}_1=1
;4%;-;2!;k=1, k=;2!;
따라서
f {;2!;}-kg{;2!;}={1-;2!;k}_;2!;
={1-;4!;}_;2!;=;8#;
이므로
P(0ÉXÉk)=P{0ÉXÉ;2!;}
=;2!;_;2!;_;8#;
=;3£2;
②
0ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는
;2!;_1_1+;2!;_{1+;2!;}_1=;4%;
이고, 0ÉxÉ2에서 함수 y=g(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는
;2!;_2_;2!;=;2!;
이므로 0ÉxÉ2에서 함수 y=f(x)-kg(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는
;4%;-;2!;k
이다.
함수 y=f(x)-kg(x)가 확률밀도함수이므로
;4%;-;2!;k=1에서 k=;2!;
0ÉxÉ;2!;에서 함수 y=f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓 이는
;2!;_;2!;_;2!;=;8!;
이고, 0ÉxÉ;2!;에서 함수 y=g(x)의 그래프와 x축 사이 의 넓이는
;2!;_;2!;_;4!;=;1Á6;
이므로 0ÉxÉ;2!;에서 함수 y=f(x)-;2!;g(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는
;8!;-;2!;_;1Á6;=;3£2;
즉, P(0ÉXÉk)=P{0ÉXÉ;2!;}=;3£2;
확률변수 X가 정규분포 N(m, rÛ`)을 따르므로 m=35이면
P(32ÉXÉ35)=P(35ÉXÉ38)이고, m>35이면
P(32ÉXÉ35)<P(35ÉXÉ38)이다.
따라서 조건 (가)에 의하여 m<35이다.
m=32이면
P(29ÉXÉ32)=P(32ÉXÉ35)이고, m<32이면
P(29ÉXÉ32)>P(32ÉXÉ35)이므로 조건 (나)에 의하여 m>32이다.
즉, 32<m<35이고, m은 자연수이므로 m=33 또는 m=34이다.
Ú m=33인 경우
Z1= X-33r 으로 놓으면 확률변수 ZÁ은 표준정규분포 N(0, 1)을 따르고,
P(33ÉXÉ35)=P{0ÉZ1É 2r }이다.
r=1이면 P(33ÉXÉ35)=P(0ÉZ1É2) 이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.
2
r=2이면 P(33ÉXÉ35)=P(0ÉZ1É1) 이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.
r¾3이면 2r <1
이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.
Û m=34인 경우
Z2= X-34r 로 놓으면 확률변수 Zª는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르고,
P(33ÉXÉ35)=P{- 1r ÉZ2É 1r }이다.
r=1이면
P(33ÉXÉ35) =P(-1ÉZ2É1)
=2P(0ÉZ2É1)
>P(0ÉZ2É2) 이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.
r=2이면 표준정규분포표에서
P(33ÉXÉ35) =P(-0.5ÉZ2É0.5)
=2P(0ÉZ2É0.5)
=2_0.1915
=0.3830 P(0ÉZÉ1)=0.3413 P(0ÉZÉ2)=0.4772 이므로 조건 (다)를 만족시킨다.
r¾3이면 1r É;3!;이고,
P(33ÉXÉ35) =2P{0ÉZ2É 1r } É2P{0ÉZ2É;3!;}
<2P(0ÉZ2É0.4)
=2_0.1554
=0.3108
<P(0ÉZ2É1) 이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.
Ú, Û에 의하여 m=34, r=2이다.
따라서 확률변수 X는 정규분포 N(34, 2Û`)을 따르고, 확률변수 Z2= X-342 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따르 므로
P(30ÉXÉ34) =P(-2ÉZ2É0)
=P(0ÉZ2É2)
=0.4772
⑤
A대학의 수학과에 입학 원서를 낸 학생 한 명의 대학수학 능력시험 수학 점수를 확률변수 X라 하면
확률변수 X는 정규분포 N(76, 8Û`)을 따르고, Z= X-768 으로 놓으면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
입학 원서를 낸 학생이 1000명이고, n명을 선발하였으며 대학수학능력시험 수학 점수가 88점인 학생이 합격하였으 므로
P(X¾88)É n1000 이다.
P(X¾88)=P{Z¾ 88-768 }
=P(Z¾1.5)
=0.5-P(0ÉZÉ1.5)
=0.5-0.4332
=0.0668 이므로
0.0668É n1000 에서 n¾66.8
따라서 자연수 n의 최솟값은 67이다.
67
3
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