통계적 추정

⑴ 모집단 : 전국 고등학생들

⑵ 표본 : 조사하기 위해 임의로 뽑은 고등학생 500명 표본의 크기 : 500

1-2

⑴ 모집단 : A사에서 만든 전구 전체

⑵ 표본 : 조사하기 위해 임의로 선택한 전구 1000개 표본의 크기 : 1000

1-1

⑴ 처음 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수는 4

두 번째 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수도 4이므로 곱의 법칙에 따라 경우의 수는

4_ 4 = 16

⑵ 처음 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수는 4

두 번째 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수는 3이므로 곱의 법칙에 따라 경우의 수는

4_3=12

2-1

⑴ 처음 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수는 5

두 번째 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수도 5이므로 곱의 법칙에 따라 경우의 수는 5_5=25

⑵ 처음 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수는 5

두 번째 꺼낼 때 나올 수 있는 경우의 수는 4이므로 곱의 법칙에 따라 경우의 수는 5_4=20

| 참고 | 표본을 추출하는 방법

➊ 복원추출: 한 번 추출된 자료를 다시 되돌려 놓은 후 다음 자료 를 뽑는 것

➋ 비복원추출: 한 번 추출된 자료를 되돌려 놓지 않고 다음 자료를 뽑는 것

2-2

본문 | 148~157 ^쪽 확인 문제

모평균 m=10, 모표준편차 r=3, 표본의 크기 n=100이므로 XÕ의 평균, 분산, 표준편차는

E(XÕ)=m=10 V(XÕ)=rÛ`

n =;10(0;=0.09 r(XÕ)='Ä0.09=0.3

| 참고 |

모집단에서 표본을 임의추출할 때, 표본평균 XÕ는 추출한 표본에 따라 여러 가지 값을 가질 수 있는 확률변수이다.

01-1

^셀파 표본평균 XÕ의 평균 E(XÕ)=m, 분산 V(XÕ)=rÛ`

n , 표준편차 r(XÕ)= r

'n이다.

모평균을 m, 모분산을 rÛ`이라 하면

m=E(X)=-1_;6!;+0_;3!;+1_;2!;=;3!;

rÛ`=V(X)=[(-1)Û`_;6!;+0Û`_;3!;+1Û`_;2!;]-{;3!;}Û`

=;3@;-;9!;=;9%;

이때 표본의 크기가 n이고, 표본평균 XÕ의 분산이 ;9!;이므로

V(XÕ)=rÛ`

n =

;9%;

n =;9!;, ;9%;=;9!;n ∴ n=5

02-1

^셀파 표본평균 XÕ의 분산 V(XÕ)=rÛ`

n 임을 이용한다.

모표준편차 r=1.8이므로 r(XÕ)= 1.8'nÉ0.6

이 식의 양변을 제곱하면 1.8Û`

n É0.6Û

∴ n¾1.8Û`

0.6Û`=9

따라서 구하는 n의 최솟값은 9

01-2

^셀파 표본평균 XÕ의 표준편차 r(XÕ)= r 'n이다.

66 ^{| 정답과 해설}

확률변수 X의 확률 분포는 다음 표와 같다.

모평균을 m, 모분산을 rÛ`이라 하면

m=E(X)=1_;4!;+3_;4!;+5_;4!;+7_;4!;=4

rÛ`=V(X)={1Û`_;4!;+3Û`_;4!;+5Û`_;4!;+7Û`_;4!;}-4Û`=5 이때 표본의 크기 n=2이므로 평균과 분산은

E(XÕ)=m=4 V(XÕ)=rÛ`

n =;2%;

X 1 3 5 7 합계

P(X=x) ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; 1

02-2

^셀파 모집단의 확률분포표를 만들고, 모평균과 모분산을 먼 저 구한다.

본문 | 151 ^쪽 집중 연습

⑴ 모집단이 정규분포 N(100, 6Û`)을 따르고 표본의 크기 n=9이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N{100, 6Û`

9 }, 즉 N(100, 2Û`)을 따른다.

∴ P(XÕÉ104)=P{ZÉ104-100

2 }

=P(ZÉ2)

=P(ZÉ0)+P(0ÉZÉ2)

=0.5+0.4772

=0.9772

⑵ 모집단이 정규분포 N(500, 25Û`)을 따르고 표본의 크기 n=25이므로 표본평균 XÕ는 정규분포 N{500, 25Û`

25 }, 즉 N(500, 5Û`)을 따른다.

∴ P(XÕ¾505)=P{Z¾505-500

5 }

=P(Z¾1)

=P(Z¾0)-P(0ÉZÉ1)

=0.5-0.3413

=0.1587

01

⑴ 모집단의 확률분포

예를 들어 2, 4, 6, 8의 숫자가 하나씩 적힌 4개의 공이 들어 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼낼 때, 이 공에 적 힌 숫자를 확률변수 X라 하면 X의 확률분포, 즉 모집단의 확률분포는 다음 표와 같다.

따라서 모평균, 모분산, 모표준편차는 다음과 같다.

m=E(X)=2_;4!;+4_;4!;+6_;4!;+8_;4!;=5, rÛ`=V(X)={2Û`_;4!;+4Û`_;4!;+6Û`_;4!;+8Û`_;4!;}

-5Û`=5,

r='5

⑵ 표본평균의 확률분포

위 모집단에서 임의로 복원추출한 크기 n=2인 표본을 XÁ, Xª라 하면 표본 (XÁ, Xª)에 대하여 표본평균 XÕ=XÁ+Xª

2 는 다음과 같다.

따라서 표본평균 XÕ의 확률분포는 다음 표와 같다.

이때 XÕ의 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같다.

  E(XÕ)=5, V(XÕ)=;2%;, r(XÕ)= '¶10 2

⑴, ⑵에서 표본평균 XÕ의 평균, 분산, 표준편차를 모집단의 모 평균, 모분산, 모표준편차와 비교하면

E(XÕ)=m, V(XÕ)=rÛ`

n , r(XÕ)= r 'n 가 성립함을 알 수 있다.

X 2 4 6 8 합계

P(X=x) ;4!; ;4!; ;4!; ;4!; 1

표본

(XÁ, Xª) (2, 2) (2, 4), (4, 2)

(2, 6), (4, 4), (6, 2)

(2, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 2)

XÕ 2 3 4 5

표본 (XÁ, Xª)

(4, 8), (6, 6),

(8, 4) (6, 8), (8, 6) (8, 8)

XÕ 6 7 8

XÕ 2 3 4 5 6 7 8 합계

P(XÕ=x Õ) ;1Á6; ;8!; ;1£6; ;4!; ;1£6; ;8!; ;1Á6; 1 세미나 표본평균의 분포

모집단이 정규분포 N(80, 8Û`)을 따르므로 크기가 n인 표본의 표 본평균 XÕ는 정규분포 N{80, { 8

'n }Û`}을 따른다.

∴ P(XÕÉ84)=P ZÉ84-80 'n8 P(67ÉXÕÉ72)=P{67-70

2 ÉZÉ 72-702 } =P(-1.5ÉZÉ1)

=P(-1.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ1) =P(0ÉZÉ1.5)+P(0ÉZÉ1) =0.4332+0.3413

=0.7745

68 ^{| 정답과 해설}

표본평균의 값 x Õ=10, 모표준편차 r=1, 표본의 크기 n=16이 므로 모평균 m을 신뢰도 95`%로 추정하면

10-1.96_ 1

'¶16ÉmÉ10+1.96_ 1 '¶16 10-0.49ÉmÉ10+0.49

∴ 9.51ÉmÉ10.49 확인 체크 01

셀파 특강

표본평균의 값 x Õ=70, 표본의 크기 n=900이고 n은 충분히 크 므로 모표준편차 r 대신 표본표준편차 s=15를 사용한다.

모의고사 시험에 응시한 전체 수험생의 수학 점수의 평균 m을

⑴ 신뢰도 95`%로 추정하면 70-1.96_ 15

'¶90Œ0ÉmÉ70+1.96_ 15'¶90Œ0 70-0.98ÉmÉ70+0.98

∴ 69.02ÉmÉ70.98 (단위: 점)

⑵ 신뢰도 99`%로 추정하면 70-2.58_ 15

'¶90Œ0ÉmÉ70+2.58_ 15'¶90Œ0 70-1.29ÉmÉ70+1.29

∴ 68.71ÉmÉ71.29 (단위: 점)

05-1

^셀파 표본의 크기가 충분히 크므로 모표준편차 대신 주어진 표본표준편차를 사용해도 된다.

모표준편차 r=6, 표본의 크기 n=10, 신뢰도 a`%인 신뢰구간 의 길이가 4이므로

2_k 6

'1Œ0=4 (단, k는 상수)

따라서 표본의 크기가 40일 때의 신뢰구간의 길이는 2_k 6

'4Œ0=2_k 6

'4'1Œ0=2_k 6

'1Œ0_;2!;=4_;2!;=2

06-1

^셀파 신뢰도 a`%일 때의 신뢰구간의 길이는 2_k r

'n (단, k는 상수)

모집단인 H고교 학생 전체의 키는 표준편차가 5`cm인 정규분포 를 따르므로

⑴ 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이는 2_1.96 r 'n이고 r=5, n=100이므로

2_1.96_ 5

'¶10Œ0=1.96`(cm)

⑵ 신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이는 2_2.58 r 'n이고 r=5, n=100이므로

2_2.58_ 5

'¶10Œ0=2.58`(cm)

06-2

^셀파 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이

⇨ 2_1.96 r 'n

신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이

⇨ 2_2.58 r 'n

신뢰구간의 길이에 따른 표본의 크기

모표준편차가 r이고 신뢰도 a`%의 신뢰구간의 길이는 2_k r

'n

➊ 신뢰구간의 길이를 짧게 하면 ⇨ k r

'n의 값이 작아진다.

⇨ 'n의 값이 커진다.

⇨ a의 값이 작아진다.

➋ 신뢰구간의 길이를 길게 하면 ⇨ k r

'n의 값이 커진다.

⇨ 'n의 값이 작아진다.

⇨ a의 값이 커진다.

LEC TURE

P(XÕÉk)É0.07이므로 P(XÕÉk)=P{ZÉ;2K;}

=P{Z¾-;2K;}

=0.5-P{0ÉZÉ-;2K;}É0.07

∴ P{0ÉZÉ-;2K;}¾0.43

표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.5)=0.43이므로 -;2K;¾1.5 ∴ kÉ-3

따라서 k의 최댓값은 -3

;2K; 0 z

P(0ÉZÉ2)=0.475에서 P(|Z|É2)=2_0.475=0.95 이므로 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이는

2_2 1 'n= 4

'n

따라서 신뢰구간의 길이가 ;3!; 이하가 되려면 4

'nÉ;3!;에서 'n¾12 ∴ n¾144

따라서 n의 최솟값은 144

07-1

^셀파 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이

⇨ 2_2 r 'n

모표준편차가 5`mm이므로 신뢰도 99`%의 제품 전체 길이의 평 균 m의 신뢰구간은

x Õ-2.58 5

'nÉmÉx Õ+2.58 5 'n 에서 신뢰구간의 길이는 2_2.58_ 5

'n 이다.

이때 신뢰구간의 길이가 2`mm 이하가 되려면 2_2.58_ 5

'nÉ2, 'n¾12.9

∴ n¾166.41

따라서 표본의 크기의 최솟값은 167

07-2

신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이

⇨ 2_2.58 r 'n

확률의 총합은 1이므로

;3!;+;2!;+a=1 ∴ a=;6!;

E(X)=(-2)_;3!;+0_;2!;+1_;6!;=-;2!;

V(X)=[(-2)Û`_;3!;+0Û`_;2!;+1Û`_;6!;]-{-;2!;}Û`=;4%;

따라서 크기가 16인 표본의 표본평균 XÕ의 분산은 V(XÕ)=V(X)

16 =

;4%;

16 =;6°4;

02

^셀파 확률의 총합은 1임을 이용하여 a의 값을 구한다.

모평균이 m인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출할 때, 표 본평균 XÕ에 대하여

E(XÕ)=m이므로 m=;6%;

m=0_;3!;+1_a+2_b=;6%;

∴ a+2b=;6%;

01

^셀파 모평균이 m인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출 할 때, 표본평균 XÕ에 대하여 E(XÕ)=E(X)

본문 | 158~159 ^쪽

연습 문제 모집단이 정규분포 N(250, 20Û`)을 따르므로 크기가 25인 표본의 표본평균 XÕ는 정규분포 N{250, 20Û`

25 }, 즉 N(250, 4Û`)을 따른다.

∴ P(248ÉXÕÉ258) =P{248-250

4 ÉZÉ 258-2504 } =P(-0.5ÉZÉ2)

=P(-0.5ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2) =P(0ÉZÉ0.5)+P(0ÉZÉ2) =0.1915+0.4772

=0.6687

03

^셀파 표본평균 XÕ는 정규분포 N{250, 20Û`

25 }을 따른다.

이산확률변수와 표본평균

⑴ 이산확률변수의 평균, 분산, 표준편차

이산확률변수 X에 대하여 xÔ (i=1, 2, y, n)에 대응하는 확률을 pÔ라 할 때

➊ 평균 : E(X)=xÁpÁ+xªpª+`y`+xÇpÇ

➋ 분산 : V(X)=E(XÛ`)-{E(X)}Û

➌ 표준편차 : r(X)="ÃV(X½)

⑵ 표본평균의 평균, 분산, 표준편차

모평균이 m, 모표준편차가 r인 모집단에서 크기가 n인 표 본을 임의추출할 때, 표본평균 XÕ에 대하여

  E(XÕ)=m, V(XÕ)=rÛ`

n , r(XÕ)= r 'n

LEC TURE

70 ^{| 정답과 해설}

=0.3413+0.5=0.8413

04

^셀파 모평균이 m, 모분산이 rÛ`인 모집단에서 크기가 n인 표본

E(XÕ)=m=50, V(XÕ)=rÛ`

'¶10Œ0ÉmÉ70+2_ 5'¶10Œ0 70-2_;2!;ÉmÉ70+2_;2!;

'¶10Œ0 ÉmÉ70+3_ 5 '¶10Œ0

72 ^{| 정답과 해설}

P(-zÉZÉz) =P(-zÉZÉ0)+P(0ÉZÉz)

=2P(0ÉZÉz)=0.796

∴ P(0ÉZÉz)=0.398

주어진 표준정규분포표에서 P(0ÉZÉ1.27)=0.3980이므로 z=1.27

이때 신뢰도 79.6`%의 신뢰구간의 길이가 l이므로 l=2_1.27_ r

'n 신뢰구간의 길이가 2l이면 2l=2_2_1.27_ r

'n=2_2.54_ r 'n 이때

P(-2.54ÉZÉ2.54) =P(-2.54ÉZÉ0)+P(0ÉZÉ2.54)

=2P(0ÉZÉ2.54)

=2_0.4945=0.989

따라서 신뢰구간의 길이가 2l일 때의 신뢰도 a=98.9

11

^셀파 P(-zÉZÉz)=2P(0ÉZÉz)

신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이가 4이므로 2_2.58_ r

'n=4

이때 표본의 크기가 25이므로 2_2.58_ r

'¶25=4

∴ 2.58r=10 yy㉠

신뢰도 99`%의 신뢰구간의 길이가 1이므로 2_2.58_ r

'n=1 2_10

'n=1 (∵ ㉠) 'n=20 ∴ n=400

따라서 구하는 표본의 크기는 400

| 다른 풀이 |

같은 신뢰도로 모평균의 신뢰구간의 길이를 ;4!;배로 짧게 하려면 표본의 크기를 4Û`배로 늘리면 된다.

표본의 크기가 25일 때 신뢰구간의 길이가 4이고, 신뢰도는 같게 하면서 신 뢰구간의 길이가 1이 되도록 하려면 25_4Û`=400이므로 구하는 표본의 크기는 400

| 참고 |

신뢰도와 모표준편차가 일정할 때, 신뢰구간의 길이를 ;k!;배로 하려면 표본 의 크기를 kÛ`배로 하면 된다.

10

^셀파 모평균의 신뢰구간의 길이 2_k r

'n는 신뢰도에 따른 상 수 k, 모표준편차 r, 표본의 크기 n에 따라 결정된다.

표본의 크기를 n이라 하면 모표준편차가 10이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이는

2_1.96_10 'n

이때 신뢰구간의 길이가 2 이하가 되게 하려면 2_1.96_10

'nÉ2, 'n¾19.6

∴ n¾384.16

따라서 표본의 크기의 최솟값은 385

12

^셀파 신뢰도 95`%의 신뢰구간의 길이는 2_1.96 r 'n

문서에서 2020 셀파 확률과통계 답지 정답 (페이지 59-66)