표본공간을 S라 하면 S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A={1, 3, 5}, B={ 2 , 3, 5}이므로 A;B={3, 5 }
⑴ P(A)=;6#;=;2!;
⑵ P(A;B)=;6@;=;3!;
⑶ P(B|A)= P(A;B) P(A) =;3!;
;2!;=;3@;
1-1
⑴ 첫 번째에 꺼낸 구슬이 검은 구슬일 확률은 P(A)=;1!6);=;8%;
⑵ 첫 번째에 꺼낸 구슬이 검은 구슬일 때, 두 번째에 꺼낸 구슬도 검은 구슬일 확률은
P(B|A)=;1»5;=;5#;
⑶ P(A;B)=P(A)P(B|A)=;8%;_;5#;=;8#;
2-2
⑴ P(A)P(B)=0.4_0.5=0.2+P(A;B) 이므로 두 사건 A, B는 서로 종속이다.
⑵ P(A)P(B)=0.7_0.3=0.21=P(A;B) 이므로 두 사건 A, B는 서로 독립이다.
3-2
⑴ P(A)P(B)=0.15_0.2=0.03=P(A;B) 이므로 두 사건 A, B는 서로 독립 이다.
⑵ P(A)P(B)=0.31_0.1=0.031+P(A;B) 이므로 두 사건 A, B는 서로 종속 이다.
3-1
⑴ 1회의 시행에서 짝수의 눈이 나올 확률은 ;2!;이므로 °C¢{;2!;} 4 {;2!;}Ú`= 325
⑵ 1회의 시행에서 소수의 눈이 나올 확률은 ;2!;이므로 °Cª{;2!;}Û`{;2!;} 3 = 5
16
4-1
⑴ 1회의 시행에서 홀수의 눈이 나올 확률은 ;2!;이므로 ¤C£{;2!;}Ü`{;2!;}Ü`=;1°6;
⑵ 1회의 시행에서 6의 약수의 눈이 나올 확률은 ;6$;=;3@;이 므로
¤Cª{;3@;}Û`{;3!;}Ý`=;2ª4¼\3;
4-2
본문 | 80~93 쪽 확인 문제
P(A``;B``)=P((A'B)``)=1-P(A'B)=0.5이므로 P(A'B)=1-0.5=0.5
P(A;B) =P(A)+P(B)-P(A'B)
=0.2+0.4-0.5=0.1
∴ P(B|A)=P(A;B) P(A) =0.1
0.2 =;2!;
01-1
셀파 A``;B`=(A'B)``이므로 P(A``;B``)=1-P(A'B)이다.A;B``=A-B=A-(A;B)에서 P(A;B``)=P(A)-P(A;B)이므로 P(A;B)=P(A)-P(A;B``)=;4#;-;3!;=;1°2;
∴ P(B|A)=P(A;B) P(A) =;1°2;
;4#; =;9%;
01-2
셀파 A;B`=A-B=A-(A;B)P(A), P(A;B), P(A|B) 구분하기
LEC TURE
P(A)=n(A)
n(S) P(A;B)=n(A;B)
n(S) P(A|B)=n(A;B) n(B) 전체에서
A의 비율
전체에서 A;B의 비율
B에서 A;B의 비율
SA B S
A B S
A B
| 참고 |
Ú P(A)는 S를 표본공간으로 생각했을 때, 사건 A가 일어날 확률을 뜻 하므로
P(A)=n(A)
n(S) =;3!0@;=;5@;
Û P(A|E)는 사건 E를 표본공간으로 생각했을 때, 사건 A가 일어날 확 률을 뜻하므로
P(A|E)=n(E;A)
n(E) =;1¢2;=;3!;
Ú, Û에서 표본공간이 달라지면 사건 A가 일어날 확률도 달라짐을 알 수 있다.
임의로 택한 한 사람이 여자 회원인 사건을 E, 동아리 A의 회원 인 사건을 A라 하면 임의로 택한 한 사람이 여자 회원이었을 때, 이 회원이 동아리 A의 회원일 확률은 P(A|E)이다.
주어진 조건에서
P(E)=;3!0@;=;5@;, P(A;E)=;3¢0;=;1ª5;
따라서 구하는 확률은 P(A|E)=P(A;E)
P(E) =;1ª5;
;5@; =;3!;
02-1
셀파 여자 회원은 모두 12명이고, 이 중에서 동아리 A의 회 원은 4명이다.회원 수를 표로 나타내면 다음과 같다.
임의로 뽑은 한 명이 안경을 끼지 않은 학생인 사건을 E, A반 학 생인 사건을 A라 하면 임의로 뽑은 한 명이 안경을 끼지 않은 학 생일 때, 그 학생이 A반 학생일 확률은 P(A|E)이다.
주어진 조건에서 P(E)=;6#5$;, P(A;E)=;6@5);=;1¢3;
따라서 구하는 확률은
P(A|E)=P(A;E) P(E) =;1¢3;
;6#5$;=;1!7);
안경 ◯ 안경 _ 합계
A반 12 20 32
B반 19 14 33
합계 31 34 65
(단위:명)
02-2
셀파 안경을 끼지 않은 학생은 모두 34명이고, 이 중에서 A 반 학생은 20명이다.⑴ 확률의 곱셈정리에서
P(A;B)=P(B)P(A|B)=0.4P(B) yy㉠
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서 0.9=0.6+P(B)-0.4P(B)
0.6P(B)=0.3 ∴ P(B)=0.5 yy㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
P(A;B) =0.4P(B)=0.4_0.5=0.2 ∴ P(B)=0.5, P(A;B)=0.2
03-1
셀파 확률의 곱셈정리 P(A;B)=P(B)P(A|B)를 이 용한다.36 | 정답과 해설
⑴ 지영이가 행운권을 뽑는 사건을 A, 선미가 행운권을 뽑는 사 건을 B라 하면
지영이가 행운권을 뽑을 확률은 P(A)=;1£0;
지영이가 행운권을 뽑았을 때, 선미가 행운권을 뽑을 확률은 P(B|A)=;9@;
따라서 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A) =;1£0;_;9@;=;1Á5;
⑵ 지영이가 행운권을 뽑지 못하는 사건을 A, 선미가 행운권을 뽑는 사건을 B라 하면
지영이가 행운권을 뽑지 못할 확률은 P(A)=;1¦0;
지영이가 행운권을 뽑지 못했을 때, 선미가 행운권을 뽑을 확 률은
P(B|A)=;9#;=;3!;
따라서 구하는 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A) =;1¦0;_;3!;=;3¦0;
04-1
셀파 확률의 곱셈정리를 이용한다.⑵ 확률의 곱셈정리에서
P(A;B)=P(B)P(A|B)=;4!;P(B)
또 P(A``;B``)=P((A'B)``)=1-P(A'B)=;3!;에서 P(A'B)=;3@;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로
;3@;=;2!;+P(B)-;4!;P(B), ;4#;P(B)=;6!;
∴ P(B)=;9@;
선우가 ‘간식’이 적힌 쪽지를 뽑는 사건을 A, 미연이가 ‘간식’이 적힌 쪽지를 뽑는 사건을 B라 하면
Ú 선우가 ‘간식’이 적힌 쪽지를 뽑고, 미연이도 ‘간식’이 적힌 쪽 지를 뽑을 확률은
P(A;B)=P(A)P(B|A) =;1¢2;_;1£1;=;1Á1;
Û 선우가 ‘간식’이 적힌 쪽지를 뽑지 않고, 미연이는 ‘간식’이 적 힌 쪽지를 뽑을 확률은
P(A``;B)=P(A``)P(B|A``) =;1¥2;_;1¢1;=;3¥3;
Ú, Û에서 구하는 확률은 P(B)=P(A;B)+P(A``;B) =;1Á1;+;3¥3;=;3!3!;=;3!;
확인 체크 01
셀파 특강
다음 시즌 천재 축구팀이 경기하는 날 비가 오는 사건을 A, 천재 축구팀이 경기에서 이기는 사건을 B라 하자.
다음 시즌 경기가 열리는 날의 30`%는 비가 내릴 것으로 예상되 므로 천재 축구팀이 경기하는 날 비가 올 확률 P(A)=0.3이고, 천재 축구팀이 경기하는 날 비가 오지 않을 확률 P(A``)=0.7이 다.
이때 P(B|A)=0.7, P(B|A``)=0.4이므로 다음 시즌에서 천재 축구팀이 이길 확률은 P(B) =P(A;B)+P(A``;B)
=P(A)P(B|A)+P(A``)P(B|A``)
=0.3_0.7+0.7_0.4=0.49
| 참고 | 천재 축구팀이 (경기에서 이길 확률)
= (경기하는 날 비가 오고 이길 확률)
+ (경기하는 날 비가 오지 않고 이길 확률)
=( 경기하는 날 비가 올 확률)_(비오는 날 이길 확률)
+ { 경기하는 날
비가 오지 않을 확률}_{비가 오지 않는 날 이길 확률 }
05-1
셀파 천재 축구팀이 이기는 경우를 모두 구한다.A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6}, C={3, 6}이므로 P(A)=;2!;, P(B)=;2!;, P(C)=;3!;
⑴ A;B={2}이므로 P(A;B)=;6!;
따라서 P(A)P(B)=;2!;_;2!;=;4!;+P(A;B)이므로 두 사건 A와 B는 서로 종속이다.
07-1
셀파 P(A;B)=P(A)P(B)이면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.우진이가 받은 전자우편이 ‘여행’이라는 단어를 포함하는 사건을 A, 광고인 사건을 B라 하자.
Ú 전자우편이 ‘여행’을 포함한 광고일 확률은 P(A;B)=P(A)P(B|A)=0.1_0.5=0.05 Û 전자우편이 ‘여행’을 포함하지 않은 광고일 확률은 P(A``;B)=P(A``)P(B|A``)=0.9_0.2=0.18 Ú, Û에서 우진이가 받은 전자우편이 광고일 확률은 P(B) =P(A;B)+P(A``;B)=0.05+0.18=0.23
따라서 우진이가 받은 한 전자우편이 광고일 때, 이 전자우편이
‘여행’을 포함할 확률은 P(A|B)=P(A;B)
P(B) =0.05 0.23 =;2°3;
| 다른 풀이 |
주어진 조건으로 확률을 계산하여 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 구하는 확률은
(받은 전자우편이 광고이면서 ‘여행’을 포함할 확률) (받은 전자우편이 광고일 확률)
=0.1_0.5 0.23 =0.05
0.23 =;2°3;
A A` 합계
B 0.1_0.5 0.9_0.2 0.23 B`` 0.1_0.5 0.9_0.8 0.77
합계 0.1 0.9 1
06-1
셀파 조건부확률로 나타내 본다.본문 | 89 쪽 집중 연습
⑴ P(B|A)=P(B)=;3!;
⑵ P(A|B)=P(A)=;2!;
⑶ P(A``|B)=P(A``)=1-P(A)=1-;2!;=;2!;
⑷ P(A|B``)=P(A)=;2!;
01
⑴ P(A)=1-P(A``)=1-;3@;=;3!;, P(B)=;3!;이므로 P(A;B)=P(A)P(B)=;3!;_;3!;=;9!;
⑵ P(A;B)=P(A)P(B)이므로 ;4!;=;3!;P(B)
∴ P(B)=;4#;
∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B) =;3!;+;4#;-;4!;=;6%;
⑶ P(A;B``)=P(A)P(B``)이므로 0.3=0.5_P(B``)에서 P(B``)=0.6 ∴ P(B)=1-P(B``)=1-0.6=0.4
⑷ P(A``;B)=P(B-A)=P(A'B)-P(A)이므로
;5!;=;5#;-P(A) ∴ P(A)=;5@;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)에서
;5#;=;5@;+P(B)-;5@;P(B), ;5#;P(B)=;5!;
∴ P(B)=;3!;
02
⑸ P(A;B)=P(A)P(B)=;2!;_;3!;=;6!;
⑹ P(A;B``)=P(A)P(B``)=P(A){1-P(B)}
=;2!;_{1-;3!;}=;2!;_;3@;=;3!;
38 | 정답과 해설
두 선수 A, B가 승부차기를 성공하는 사건을 각각 A, B라 하면 A, B는 서로 독립이다.
Ú A는 성공하고 B는 실패할 확률은
P(A;B``)=P(A)P(B``)=0.8_(1-0.9)=0.08 Û A는 실패하고 B는 성공할 확률은
P(A``;B)=P(A``)P(B)=(1-0.8)_0.9=0.18 Ú, Û에서 한 선수만 성공할 확률은
0.08+0.18=0.26
08-1
셀파 두 선수가 승부차기를 성공하는 사건은 서로 독립이다.A, B, C 세 사람이 활을 쏘아 명중시키는 사건을 각각 A, B, C 라 하면 A, B, C는 서로 독립이다.
Ú A만 명중시킬 확률은
P(A;B``;C``)=P(A)P(B``)P(C``)
P(A;B``;C``)=;5$;_{1-;4#;}_{1-;3@;}=;1Á5;
Û B만 명중시킬 확률은
P(A``;B;C``)=P(A``)P(B)P(C``)
P(A``;B;C``)={1-;5$;}_;4#;_{1-;3@;}=;2Á0;
Ü C만 명중시킬 확률은
P(A``;B``;C)=P(A``)P(B``)P(C)
P(A``;B``;C)={1-;5$;}_{1-;4#;}_;3@;=;3Á0;
Ú, Û, Ü에서 한 사람만 명중시킬 확률은
;1Á5;+;2Á0;+;3Á0;=;2£0;
08-2
셀파 세 사람이 활을 쏘아 명중시키는 사건은 서로 독립이다.P(A)>0, P(B)+0인 두 사건 A, B에 대하여
➊ A와 B가 서로 배반사건이면 A;B=i이므로 P(A;B)=0 ∴ P(A|B)=P(A;B)
P(B) = 0
P(B) =0+P(A) 따라서 두 사건 A, B는 서로 종속이다.
즉, 두 사건이 서로 배반사건이면 두 사건은 동시에 일어나 지 않으므로 한 사건이 일어나면 다른 사건은 일어날 수 없 다. 따라서 두 사건이 서로 일어날 확률에 영향을 주므로 두 사건은 서로 종속임을 알 수 있다.
➋ A, B가 서로 독립이면 P(A;B)=P(A)P(B)+0
이므로 A, B는 서로 배반사건이 아니다.
즉, 두 사건이 서로 독립이면 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않으므로 두 사건은 동 시에 일어날 수 있다. 따라서 두 사건은 서로 배반사건이 아 니다.
배반사건과 독립사건의 비교
세미나 배반사건과 독립사건의 관계
P(A)>0, P(B)>0인 두 사건 A, B에 대하여
➊ A, B가 서로 배반사건이면 A, B는 서로 종속이다.
➋ A, B가 서로 독립이면 ⇨ A, B는 서로 배반사건이 아 니다.
배반사건 독립사건
의미 두 사건 A, B는 동시에 일어나지 않는다.
두 사건 A, B는 서로 영향을 주 지 않는다.
덧셈 정리
P(A'B)
=P(A)+P(B)
P(A'B)
=P(A)+P(B)-P(A;B) 곱셈
정리 P(A;B)=0 P(A;B)=P(A)P(B)
판단 방법
P(A;B)=0이면 두 사건 A, B는 서로 배반 사건이다.
P(A;B)=P(A)P(B)이면 두 사건 A, B는 서로 독립이다.
한 번의 가위바위보 게임에서 민수가 윤아를 이길 확률은 ;3!;이고,
비기거나 질 확률은 ;3@;이다.
게임을 시작한 지 6번 만에 민수가 이기려면 5번째까지는 민수가 3번 이기고 2번은 비기거나 져야 하고 6번째에는 민수가 이겨야 한다.
따라서 구하는 확률은
(5번 중 민수가 3번 이기고 2번은 비기거나 질 확률) _(민수가 1번 이길 확률)
=°C£{;3!;}Ü`{;3@;}Û`_;3!;=;7¢2¼9;
09-1
셀파 6번 만에 민수가 이기려면 5번째 게임까지는 민수가 3 번 이기고 2번은 비기거나 져야 하고, 6번째에는 민수가 이겨 야 한다.⑵ A;C={3}이므로 P(A;C)=;6!;
따라서 P(A)P(C)=;2!;_;3!;=;6!;=P(A;C)이므로 두 사건 A와 C는 서로 독립이다.
독립시행의 확률
한 개의 주사위를 4번 던질 때, 1의 눈이 3번 나올 확률을 구해 보자.
주사위를 던져서 1의 눈이 나오면 ○표, 1의 눈이 나오지 않으 면 _표로 나타내면 한 개의 주사위를 4번 던지는 독립시행에 서 1의 눈이 3번 나오는 경우는 다음 표와 같이 ¢C£가지이다.
이때 한 개의 주사위를 던져서 1의 눈이 나올 확률은 ;6!;, 1의 눈이 나오지 않을 확률은 ;6%;이고, 각각의 시행은 서로 독 립이므로 각 경우의 확률은 {;6!;}Ü`{;6%;}Ú`이다.
그런데 이들은 서로 배반사건이므로 4번 중 1의 눈이 3번 나올 확률은 확률의 덧셈정리에 의하여 다음과 같다.
{;6!;}Ü`{;6%;}Ú`+{;6!;}Ü`{;6%;}Ú`+{;6!;}Ü`{;6%;}Ú`+{;6!;}Ü`{;6%;}Ú`
=¢C£{;6!;}Ü`{;6%;}Ú`
일반적으로 한 개의 주사위를 n번 던져서 1의 눈이 r번 나올 확률은
ÇC¨{;6!;}¨`{;6%;}Ç`Ѩ`` (r=1, 2, 3, y, n-1)
이고 r=0일 때 {;6%;}Ç`, r=n일 때 {;6!;}Ç`임을 알 수 있다.
1번 2번 3번 4번 확률
○ ○ ○ _ {;6!;}Ü`{;6%;}Ú
○ ○ _ ○ {;6!;}Ü`{;6%;}Ú
○ _ ○ ○ {;6!;}Ü`{;6%;}Ú
_ ○ ○ ○ {;6!;}Ü`{;6%;}Ú
¢C£가지 LEC TURE
한 개의 동전을 n번 던져서 앞면이 적어도 1번 나오는 사건은 모 두 뒷면이 나오는 사건의 여사건이다.
모두 뒷면이 나올 확률은 {;2!;}Ç`이므로 앞면이 적어도 1번 나올 확률은 1-{;2!;}Ç
이때 앞면이 적어도 1번 나올 확률이 0.8 이상이므로 1-{;2!;}Ç`¾0.8에서 {;2!;}Ç`É0.2 ∴ {;2!;}Ç`É;5!;
2Ç`¾5에서 2Û`=4, 2Ü`=8 따라서 자연수 n의 최솟값은 3
09-2
셀파 (앞면이 적어도 1번 나올 확률)=1-(모두 뒷면이 나올 확률)
한 번의 타격에서 안타를 칠 확률이 ;3!;이므로 안타를 치지 못할 확률은 ;3@;이다.
Ú 4번의 타격에서 안타를 3번 칠 확률은 ¢C£{;3!;}Ü`{;3@;}Ú`=;8¥1;
Û 4번의 타격에서 안타를 4번 칠 확률은 {;3!;}Ý`\=;8Á1;
Ú, Û에서 구하는 확률은 ;8¥1;+;8Á1;=;9!;
| 참고 |
4번의 타격에서 안타를 3번 치는 사건을 A, 4번 치는 사건을 B라 하면 사 건 A와 B는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은 확률의 덧셈정리에서 P(A'B)=P(A)+P(B)이다.
이때 P(A)=;8¥1;, P(B)=;8Á1;이므로 구하는 확률은 P(A)+P(B)=;8¥1;+;8Á1;=;9!;
10-1
셀파 4번의 타격에서 안타를 3번 치는 경우와 4번 치는 경 우로 나누어 생각한다.한 개의 동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 ;2!;이고, 뒷면이 나올
확률도 ;2!;이다.
또 주사위를 1번 던질 때, 2의 눈이 나올 확률은 ;6!;이고, 2의 눈이
나오지 않을 확률은 ;6%;이다.
Ú 한 개의 동전을 던져서 앞면이 나오는 경우 주사위를 2번 던질 때, 2의 눈이 1번 나올 확률은
;2!;_ªCÁ{;6!;}Ú`{;6%;}Ú`=;3°6;
Û 한 개의 동전을 던져서 뒷면이 나오는 경우 주사위를 1번 던질 때, 2의 눈이 1번 나올 확률은
;2!;_;6!;=;1Á2;
Ú, Û에서 구하는 확률은 ;3°6;+;1Á2;=;9@;
10-2
셀파 동전을 던져서 앞면이 나올 때와 뒷면이 나올 때를 나 누어 생각한다.40 | 정답과 해설
점 P가 원점을 출발하여 점 A에 도착하려면 순서에 상관없이 x 축의 양의 방향으로 3만큼, y축의 양의 방향으로 2만큼 이동해야 한다.
x축의 양의 방향으로 3만큼 이동하려면 3의 배수가 아닌 눈이 3 번 나오고, y축의 양의 방향으로 2만큼 이동하려면 3의 배수의 눈 이 2번 나와야 한다.
이때 주사위를 한 번 던져서 3의 배수의 눈이 나올 확률은 ;3!;이고 3의 배수가 아닌 눈이 나올 확률은 ;3@;이다.
따라서 한 개의 주사위를 5번 던져서 3의 배수의 눈이 2번 나와야 하므로 구하는 확률은
°Cª{;3!;}Û`{;3@;}Ü`=;2¥4¼3;`
| 참고 |
점수 또는 위치에 대한 독립시행의 확률은 다음과 같이 구한다.
1 방정식을 이용하여 주어진 사건이 일어나는 횟수를 구한다.
2 독립시행의 확률을 구한다.
확인 체크 02
셀파 특강
본문 | 95~97 쪽 연습 문제
⑴ P(A|B)=P(A;B) P(B) =0.2
0.9 =;9@;
⑵ P(B|A)=P(A;B) P(A) 에서
P(A;B)=P(A)P(B|A)=0.3_0.4=0.12 ∴ P(A|B)=P(A;B)
P(B) =0.12 0.5 =0.24
⑶ P(B|A)=P(A;B) P(A) 에서
P(A;B) =P(A)P(B|A)=0.3_0.5=0.15 또 P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로 0.7=0.3+P(B)-0.15
∴ P(B) =0.7-0.3+0.15=0.55
01
셀파 P(A|B)=P(A;B)P(B) 를 이용한다.P(A;B)=P(B)P(A|B)=;2!;_;4!;=;8!;
P(B``|A)=P(A;B``) P(A) 이고
P(A;B``)=P(A-B)=P(A)-P(A;B) =;3!;-;8!;=;2°4;
이므로 P(B``|A)=;2°4;
;3!; =;8%;
따라서 구하는 답은 ①
02
셀파 P(A;B``)=P(A-B)=P(A)-P(A;B)이 학교의 70명의 학생 중에서 임의로 선택한 한 학생이 여학생 인 사건을 A, 과학전시관을 다녀왔을 사건을 B라 하면 임의로
이 학교의 70명의 학생 중에서 임의로 선택한 한 학생이 여학생 인 사건을 A, 과학전시관을 다녀왔을 사건을 B라 하면 임의로