03 2축의 방정식이 x=2이므로 점 B의 좌표는 (4, 0)이다

이때 y=-x¤ +ax+b의 그래프는 x절편이 0, 4이므로 y=-x(x-4)

=-x¤ +4x

=-(x-2)¤ +4

따라서 점 A의 좌표는 (2, 4)이다.

∴ △AOB=;2!;_4_4=8

17

잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x cm, 색칠한 부분 의 넓이를 y cm¤ 라 하면

y=x(12-2x)

=-2x¤ +12x

=-2(x-3)¤ +18

즉 x=3일 때 최댓값 18을 갖는다.

따라서 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이는 3 cm이다.

x cm

12 cm

18

0=-;4!;_(-4)¤ +a_(-4)+2 0=-4-4a+2 ∴ a=-;2!;

∴ y=-;4!;x¤ -;2!;x+2

=-;4!;(x+1)¤ +;4(;

따라서 꼭짓점의 좌표는 {-1, ;4(;}이다.

그래프가 직선 x=1을 축으로 하므로 이차함수의 식을 y=a(x-1)¤ +q

로 놓으면 두 점 (3, 0), (0, -3)을 지나므로 0=4a+q, -3=a+q

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=1, q=-4

∴ y=(x-1)¤ -4=x¤ -2x-3 따라서 a=1, b=-2, c=-3이므로 a+b+c=-4

▶다른풀이

직선 x=1을 축으로 하고 x축과 만나는 한 점의 좌표 가 (3, 0)이므로 x축과 만나는 다른 한 점의 좌표는 (-1, 0)이다.

이차함수의 식을 y=a(x+1)(x-3)

으로 놓으면 그래프가 점 (0, -3)을 지나므로 -3=-3a ∴ a=1

∴ y=(x+1)(x-3)=x¤ -2x-3 따라서 a=1, b=-2, c=-3이므로 a+b+c=1-2-3=-4

02

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IV.이차함수

107

⑴ 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0이므로 0=-5t¤ +25t+30에서 t¤ -5t-6=0 (t+1)(t-6)=0

∴ t=-1 또는 t=6 그런데 t>0이므로 t=6

따라서 다시 지면에 떨어지는 것은 6초 후이다.

⑵ y=-5t¤ +25t+30

=-5 {t- }

이므로 t= 일 때 y는 최댓값 를 갖는다.

따라서 최고 높이에 도달할 때까지 걸린 시간은 초이고 그때의 높이는 245 m이다.

4 5

245 4 5

245 4 5 2

04

{1, a- }이므로 이 그래프가 x축과 만나지 않으려면 a- <0 ∴ a<1

2 1

2 1 2

y=-x¤ +4x+c

=-(x-2)¤ +c+4

따라서 y=-x¤ +4x+c의 그래 프가 모든 사분면을 지나려면 오 른쪽 그림과 같이 (y축과의 교점 의 좌표)>0이어야 하므로 c>0이다.

05

2 x c+4

c y

y= x¤ -4x+5의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 한 그래프의 식은

y=- x¤ +4x-5

=- (x-4)¤ +3

이고 이 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향 으로 n만큼 평행이동하면

y=- (x-m-4)¤ +3+n -m-4=-1, 3+n=6이므로 m=-3, n=3

∴ m-n=-3-3=-6 1

2 1 2 1 2 1

06

y=2x¤ -4x+k=2(x-1)¤ +k-2의 그래프의 축의 방정식은 x=1이고 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 6이므로 x축과 만나는 두 점의 좌표는 (-2, 0), (4, 0) 이다.

따라서 x=-2, y=0을 y=2x¤ -4x+k에 대입하면

07

주어진 그래프에서 a<0이고 축이 y축의 오른쪽에 있 으므로 a와 b는 서로 다른 부호이다.

∴ b>0

y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0

∴ ac<0, bc>0

따라서 y=acx¤ -bcx+bc의 그래프는 위로 볼록하며 -bc<0이므로 축이 y축의 왼쪽에 있고 y절편은 양수 이므로 ④이다.

08

⑴ x축과 두 점 (-1, 0), (5, 0)에서 만나는 이차함 수의 그래프의 축의 방정식은

x= =2

이때 최댓값이 6이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +6

으로 놓으면 점 (-1, 0)을 지나므로 0=9a+6 ∴

a=-∴ y=- (x-2)¤ +6

=- x¤ + x+

따라서 y절편은 이다.

⑵ 직선 x=2를 축으로 하므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +q

로 놓으면 두 점 (0, -1), (3, 2)를 지나므로 -1=4a+q, 2=a+q

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, q=3

∴ y=-(x-2)¤ +3

=-x¤ +4x-1

따라서 a=-1, b=4, c=-1이므로 a+b+c=2

⑶ 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c(a<0)로 놓고 x=3, y=k를 대입하면

9a+3b+c=k yy㉠

x=-1, y=k를 대입하면

a-b+c=k yy㉡

x=0, y=1을 대입하면 c=1

㉠-㉡을 하면 8a+4b=0

∴ b=-2a

이때 y=ax¤ -2ax+1

=a(x-1)¤ -a+1 10

3 10

3 8 3 2 3 2 3

2 3 -1+5

09

0=2_(-2)¤ -4_(-2)+k

∴ k=-16

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⑴ y=-x¤ -4kx-8k=-(x+2k)¤ +4k¤ -8k x=-2k일 때 최댓값 4k¤ -8k를 가지므로 M=4k¤ -8k=4(k-1)¤ -4

따라서 k=1일 때 M은 최솟값 -4를 갖는다.

⑵ y= x¤ +3kx+k

= (x+k)¤ - k¤ +k

x=-k일 때 최솟값 - k¤ +k를 가지므로 m=- k¤ +k

=- {k- }

따라서 k= 일 때 m은 최댓값 1을 갖는다.

6 1

1 6 1 3 3 2 3 2

3 2 3 2 3

2 3 2

11

그래프의 꼭짓점의 좌표가 (2, 6)이므로 이차함수의 식을 y=a(x-2)¤ +6으로 놓으면 그래프가 점 (0, 4) 를 지나므로

4=4a+6 ∴ a=-;2!;

∴ y=-;2!;(x-2)¤ +6

=-;2!;x¤ +2x+4

이때 점 P(a, 5)가 그래프 위의 점이므로 5=-;2!;a¤ +2a+4

a¤ -4a+2=0

∴ a=-(-2)—"√(-2)¤ -1_2=2—'2 그런데 a>2이므로 a=2+'2

12

x+y=4에서 y=4-x

y=4-x를 x¤ +y¤ -xy에 대입하면 x¤ +y¤ -xy=x¤ +(4-x)¤ -x(4-x)

=3x¤ -12x+16

=3(x-2)¤ +4

따라서 x=2, y=2일 때 최솟값 4를 갖는다.

13

점 P의 좌표를 (x, -4x+8)이라 하고, △PRQ의 넓 이를 y라 하면

y= x(-4x+8)

=-2x¤ +4x

=-2(x-1)¤ +2

이므로 x=1일 때 y는 최댓값 2를 갖는다.

따라서 △PRQ의 넓이의 최댓값은 2이다.

1 2

14

AP”=x cm라 하면 BP”=(12-x) cm이고 두 도형의 넓이의 합을 y cm¤ 라 하면

y=x¤ + (12-x)¤

= x¤ -12x+72

= (x-4)¤ +48

이므로 x=4일 때 y는 최솟값 48을 갖는다.

따라서 AP”=4 cm일 때 두 도형의 넓이의 합은 최소 가 된다.

3 2 3 2

1 2

A B

x cmP x cm

(12-x) cm

15

이차함수 y=x¤ -2ax+b의 그래프가 점 (3, 4)를 지 나므로

4=9-6a+b

∴ b=6a-5 yy ㉠ 한편, y=x¤ -2ax+b

=(x-a)¤ +b-a¤

꼭짓점 (a, b-a¤ )이 직선 y=2x-5 위에 있으므로 b-a¤ =2a-5 yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 6a-5-a¤ =2a-5 a¤ -4a=0, a(a-4)=0

∴ a=0 또는 a=4 그런데 a>0이므로 a=4

16

y=-2x¤ -8x+k

=-2(x+2)¤ +k+8

이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, k+8)이다.

이때 BC”=2이므로 B(-3, 0), C(-1, 0)이다.

y=-2(x+2)¤ +k+8의 그래프가 점 C(-1, 0)을 지나므로

0=-2+k+8 ∴ k=-6

∴ y=-2(x+2)¤ +2

따라서 꼭짓점의 좌표는 A(-2, 2)이므로

△ABC=1_2_2=2 2

10

최댓값이 6이므로 -a+1=6

∴ a=-5

따라서 a=-5, b=10, c=1이므로

㉡에서 k=-5-10+1=-14

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IV.이차함수

109

㉠에서 b=6_4-5=19

∴ a+b=4+19=23

⑴ x=-2일 때 최댓값 5를 가지 므로

y=a(x+2)¤ +5

=ax¤ +4ax+4a+5 이 이차함수는 최댓값을 가지므 로

a<0 yy㉠

그런데 이 그래프가 제1 사분면을 지나지 않으므로 (y절편)=4a+5…0

∴ a…- yy㉡

㉠, ㉡에서

a…-⑵ x=2일 때 최솟값 -3을 가지므로 y=a(x-2)¤ -3

=ax¤ -4ax+4a-3

이 이차함수는 최솟값을 가지므로 a>0 yy㉠

그런데 이 그래프가 제3 사분면을 지나지 않으므로 (y절편)=4a-3æ0

∴ aæ yy㉡

㉠, ㉡에서 aæ3 4 3 4

x -3

2 y

O 5

4 5 4

x y

O -2

17

y=;2!;x¤ -4x+3=;2!;(x-4)¤ -5

03

① 그래프에서 x=-1일 때, y의 값은 0보다 작으므로 a-b+c<0

② 그래프에서 x=1일 때, y의 값은 0보다 크므로 a+b+c>0

③ 위로 볼록하므로 a<0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b는 서로 다른 부호이다. ∴ b>0

원점을 지나므로 c=0

④ a<0, b>0, c=0이므로 abc=0

⑤ 그래프에서 x=4일 때, y의 값은 0보다 작으므로 16a+4b+c<0

18

P {a, a¤ +3a+5}, Q(a, a+2)라 하고, PQ”의 길 이를 y라 하면

y={ a¤ +3a+5}-(a+2)

=2a¤ +2a+3 3

2 3 2

19

Step ^{본문 237쪽}

01y=x+2 0250 cm¤ 0348 046 0534

그래프에서 꼭짓점의 좌표가 (1, 5)이므로 이차함수의 식을

y=a(x-1)¤ +5

로 놓으면 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 4=a+5 ∴ a=-1

∴ y=-(x-1)¤ +5

점 A의 x좌표가 2이므로 y좌표는 y=-1+5=4 ∴ A(2, 4) 점 B의 y좌표가 1이므로 x좌표는 1=-(x-1)¤ +5에서

(x-1)¤ =4, x-1=—2

∴ x=-1 또는 x=3

그런데 점 B는 제2 사분면 위의 점이므로 x=-1

∴ B(-1, 1)

따라서 두 점 A(2, 4), B(-1, 1)을 지나는 직선의 방정식을 구하면

y=x+2

01

△APO, △RQC는 직각이등변삼 각형이고 OPQR는 직사각형이 므로

AO”=OP”=QR”=CR”

OR”=x cm라 하면 OP”={10- x} cm

∴ OPQR=OP”_OR”

={10- x}_x

=- x¤ +10x

=- (x-10)¤ +50

따라서 x=10일 때 y는 최댓값 50을 가지므로 OPQR의 넓이의 최댓값은 50 cm¤ 이다.

1 2 1 2

1 2 1

02

Q R P

B C

20 cm x cm ( )

= {a+ }¤ +

따라서 PQ”의 길이의 최솟값은 3이다.

2 3

2 3 2 2 3

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본문 238~239쪽

1-10 264 32 44 5125원 63

서술형 대비 문 문제 제

1 축의 방정식이 x=-2이므로 이차함수의 식을 y=a(x+2)¤ +q (a<0)로 놓으면

그래프가 두 점 (-3, 6), (0, 0)을 지나므로 6=a+q, 0=4a+q

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, q=8

∴ y=-2(x+2)¤ +8 그래프가 점 (1, k)를 지나므로 k=-2_9+8=-10

2단계

1^단계

이때 점 A의 좌표는 (x, -x¤ +10x-9)이므로 ( ABCD의 둘레의 길이)

=2(AB”+BC”)

=2{(-x¤ +10x-9)+(-2x+10)}

=-2x¤ +16x+2

=-2(x-4)¤ +34

따라서 x=4일 때 최댓값 34를 가지므로 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 34이다.

축은 포물선이 x축과 만나는 두 점을 이은 선분의 중점 을 지난다.

즉, 축의 방정식이 x=5이고 PQ”=8이므로 P(1, 0), Q(9, 0)이다.

따라서 이차함수의 식은 y=-(x-1)(x-9)

=-x¤ +10x-9

한편, 직선 x=5와 x축이 만나 는 점을 H라 하고, 점 B의 좌 표를 B(x, 0)이라 하면 BH”=5-x

∴ BC”=2BH”=2(5-x)=-2x+10

05

2 y=x¤ +ax+b의 그래프가 두 점 (-3, 0), (0, -15)를 지나므로 9-3a+b=0, -15=b

∴ a=-2, b=-15

y=x¤ -2x-15=(x-1)¤ -16이므로 C(1, -16)

또, y=x¤ -2x-15에 y=0을 대입하면 0=x¤ -2x-15, (x+3)(x-5)=0

∴ x=-3 또는 x=5

∴ B(5, 0)

∴ △ABC=1_(3+5)_16=64 2

1단계

2단계

3단계

3 y=2x¤ -8x+3=2(x-2)¤ -5

이 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방 향으로 -8만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이 차함수의 식은

y=2(x+1-2)¤ -5-8

∴ y=2(x-1)¤ -13

1^단계

y=-x¤ +2x+8

=-(x-1)¤ +9 이므로 A(1, 9) 또, x절편을 구하면 0=-x¤ +2x+8에서 x¤ -2x-8=0 (x+2)(x-4)=0

∴ x=-2 또는 x=4

∴ B(4, 0)

한편, C(0, 8)이고 꼭짓점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 D라 하면 D(1, 0)이다.

∴ △ACB=( ACOD+△ADB)-△COB

=[ _(8+9)_1+;2!;_3_9]-;2!;_4_8

= +27-16=6 2

17 2

1 2

O D A

B 8

1 4 C

04

y= x¤ -4x+9=;2!;(x-4)¤ +1

이므로 두 그래프의 축은 직선 x=4로 같다.

y= x¤ -4x+3의 그래프를 y축의 방향으로 6만큼 평행이동하면 y= x¤ -4x+9의 그래프와 포개어진다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)= ABDC

=8_6

=48 A

D x

x=4 x=8 y

y=;2;x@-4x+31 O 4

y=;2;x@-4x+91 9

3 1 2 1

2 1 2

B C

P H Q

x 5-xx=5

15(중3-1)4단원(해)_81~112_ok 2014.6.3 02:37 PM 페이지110 다민 2540DPI 175LPI

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IV.이차함수

111

단계 채점요소 배점

평행이동한 이차함수의 식 구하기 k의 값 구하기

모든 k의 값의 합 구하기

3점 2점 1점 1

2 3

4 ^y=- x¤ +bx+c는 x=2일 때 최댓값 3을 가 지므로

y=- (x-2)¤ +3=- x¤ +2x+1

∴ b=2, c=1

또, y=-;2!;x¤ +2x+1에 x=0을 대입하면 y=1

따라서 이 그래프는 y축과 점 (0, 1)에서 만난다.

∴ d=1

∴ b+c+d=2+1+1=4 1 2 1

2 1 2

2단계

3^단계 1^단계

단계 채점요소 배점

b, c의 값 구하기 d의 값 구하기 b+c+d의 값 구하기

3점 2점 1점 1

2 3

한편, 이차함수 y=2(x-1)¤ -13의 그래프가 점 (k, 19)를 지나므로

19=2(k-1)¤ -13, 2(k-1)¤ =32 (k-1)¤ =16 ∴ k-1=—4

∴ k=-3 또는 k=5 따라서 모든 k의 값의 합은 -3+5=2

2단계

3^단계

6 주어진 그래프의 y절편이 3이므로 n=3

∴ y=-x¤ +mx+3

또, 이 그래프는 점 (3, 0)을 지나므로 0=-9+3m+3 ∴ m=2

따라서 주어진 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-x¤ +2x+3=-(x-1)¤ +4

이므로 축의 방정식은 x=1

∴ C(1, 0)

∴ △ACB=1_2_3=3 2

1^단계

2단계

3^단계

4단계

본문 240쪽

생활 속의

수학

공을 떨어뜨린 지 x초 후에 공이 움직인 거리를 y m라 하면

y=4.9x¤

y=90이므로 90=4.9x¤

∴ x=;;£7º;; (∵ x>0)

따라서 공을 떨어뜨린 지;;£7º;;초 후에 땅에 닿는다.

;;£7º;;초

1

강의 중앙 M을 원점으로 하 고 직선 AB를 x축으로 하여 강의 단면을 좌표평면 위에 그래프로 나타내면 오른쪽 그 림과 같다.

이때 꼭짓점의 좌표가 (0, -8)이므로 이차함수의 식을 y=ax¤ -8로 놓으면 그래프가 점 (20, 0)을 지나므로 0=400a-8 ∴ a=;5¡0;

∴ y=;5¡0;x¤ -8

강의 중앙 M에서 A지점의 방향으로 10 m 떨어진 곳 에 해당하는 점의 x좌표는 -10이므로 x=-10을 대 입하면

y=;5¡0;_(-10)¤ -8=-6

따라서 구하는 물의 깊이는 6 m이다. 6 m A O(M)

B -20

-10 -8

20 x

2

단계 채점요소 배점

n의 값 구하기 m의 값 구하기 점 C의 좌표 구하기

△ACB의 넓이 구하기

2점 2점 2점 2점 1

2 3 4

5 상품의 가격을 x원씩 올리면 상품 한 개의 판매 가격은 (100+x)원이 되고 판매량은 (300-2x) 개가 된다.

상품의 총 판매 금액을 y원이라 하면 y=(100+x)(300-2x)

=-2x¤ +100x+30000

=-2(x-25)¤ +31250

이므로 x=25일 때 y는 최댓값 31250을 갖는다.

따라서 총 판매 금액이 최대가 되도록 하려면 상품 한 개의 판매 가격은 100+25=125(원)으로 해야 한다.

2단계

1^단계

3^단계

단계 채점요소 배점

상품 한 개의 판매 가격과 총 판매 금액을 미지수 로 나타내기

이차함수의 최댓값 구하기

총 판매 금액이 최대일 때의 상품 한 개의 판매 가 격 구하기

2점 3점 2점 1

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