t=a일 때, 원점으로 다시 돌아온다고 하면 ?0Av{t}dt=0 이어야 한다.
오른쪽 그림에서 속도 v{t}의 그래프와 t축이 이루는 각 부분의 넓이 를 S1, S2, S3, S4, S5라 하면
S1=3, S2=3, S3=2, S4=4, S5=2
이때 S1+S2=S3+S4이므로 t=8, 즉 8초 후 물체가 원 점으로 다시 돌아온다.
기본 연습문제
p.162~164
1
③2
03
-124
-185
2036
137
37248
839
110
3011
③12
2회13
④1
xf{x}=?0Xtf '{t} dt+13 x#-x@-3x의 양변을 x에 대하 여 미분하면
f{x}+xf '{x}=xf '{x}+x@-2x-3 / f{x}=x@-2x-3
곡선 y=x@-2x-3과 x축의 교점의 x좌표는 x@-2x-3=0, {x+1}{x-3}=0
/ x=-1 또는 x=3
구간 [-1, 3]에서 y<0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=-? #-1{x@-2x-3} dx =-{ 13x#-x@-3x}#-1=32
3
2
곡선 y=-x@+kx {k=0}와 x축의 교점의 x좌표는 -x@+kx=0, x{x-k}=0 / x=0 또는 x=k! k<0일 때
구간 [k, 0]에서 y>0이므로
?k){-x@+kx} dx ={- 13x#+k
2x@}k)=-k#
6 즉, -k#
6=36이므로 k=-6
@ k>0일 때
구간 [0, k]에서 y>0이므로
?0K{-x@+kx} dx ={- 13x#+k
2x@}0K=k#
6 즉, k#
6=36이므로 k=6
!, @에 의해 모든 k의 값의 합은 -6+6=0
3
?A-a`{x#+3x@-4x+a} dx=2?0A`{3x@+a} dx=2{x#+ax}0A
=2a#+2a@
즉, 2a#+2a@=a@이므로 2a#+a@=0, a@{2a+1}=0 / a=- 12 {? a=0}
4
함수 f{x}가 f{-x}=f{x}를 만족하므로 x#f{x}, xf{x}는 f{-x}=-f{x}를 만족하는 함수이다./ ?-1!`{x#+x+3}f{x} dx
=?-1!` x#f{x} dx+?-1!` xf{x} dx+?-1!` 3f{x} dx
=0+0+2?0!3f{x} dx=6?0! f{x} dx
=6\{-3}=-18
5
y=|x-1|=- x-1 {x>1}-x+1 {x<1}이므로
! x>1일 때, 곡선 y=x@-2x-1과 직선 y=x-1의 교점의 x좌표는
x@-2x-1=x-1에서 x{x-3}=0 / x=3 {? x>1}
@ x<1일 때, 곡선 y=x@-2x-1과 직선 y=-x+1 의 교점의 x좌표는
x@-2x-1=-x+1에서 {x+1}{x-2}=0 / x=-1 {? x<1}
구간 [-1, 1]에서 -x+1>x@-2x-1이고, 구간 [1, 3]
에서 x-1>x@-2x-1이므로 구하는 넓이를 S라 하면
개 념 편
S=?!-19{-x+1}-{x@-2x-1}0 dx
+?1#9{x-1}-{x@-2x-1}0 dx
=?!-1{-x@+x+2} dx+?1#{-x@+3x} dx
=2?0!{-x@+2} dx+?1#{-x@+3x} dx =2{- 13x#+2x}!0+{-1
3x#+3 2x@}#1 =20
3
6
곡선 y=x@을 x축에 대하여 대칭이동하면 y=-x@이를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행 이동하면
y=-{x-3}@+5
두 곡선 y=x@, y=-{x-3}@+5의 교점의 x좌표는 x@=-{x-3}@+5에서 2x@-6x+4=0
x@-3x+2=0, {x-1}{x-2}=0 / x=1 또는 x=2
구간 [1, 2]에서 -{x-3}@+5>x@이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=/1@9{-x@+6x-4}-x@0 dx
=/1@{-2x@+6x-4} dx ={- 23x#+3x@-4x}1@
=1 3
7
f{x}=x@+1이라 하면 f '{x}=2x점 {2, 5}에서 그은 접선의 기 울기는
f '{2}=2\2=4
이므로 점 {2, 5}에서 그은 접 선의 방정식은
y-5=4{x-2} / y=4x-3
구간 [0, 2]에서 x@+1>0이고, 구간 { 34, 2}에서 4x-3>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=?0@{x@+1} dx-?@4#{4x-3} dx ={ 13x#+x}@0-{2x@-3x}@4#=37
24
다른 풀이
구간 {0, 34 }에서 x@+1>0이고, 구간 { 34, 2}에서 x@+1>4x-3이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=?04#{x@+1} dx+?@4#9{x@+1}-{4x-3}0 dx
=?04#{x@+1} dx+?@4#{x@-4x+4} dx
={1 3 x#+x}0
4#
+{1
3 x#-2x@+4x}@4#=37 24
8
A : B=1 : 2에서 B=2A곡선 y=x@-4x+k가 직선 x=2에 대하여 대칭이므로 오 른쪽 그림에서 빗금 친 두 도 형은 넓이가 같고 정적분 값의 부호는 반대이다.
즉, /0@{x@-4x+k} dx=0이므로 { 13x#-2x@+kx}@0=0, -16
3+2k=0 / k= 83
9
0<a<2이므로 곡선y=x{x-2}{x-a}는 오른 쪽 그림과 같다. 곡선과 x축 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S{a}라 하면
S{a}=?0A`x{x-2}{x-a} dx
-?a@`x{x-2}{x-a} dx
=?0A`9x#-{a+2}x@+2ax0 dx
-?a@`9x#-{a+2}x@+2ax0 dx ={ 14x$-1
3{a+2}x#+ax@}0A
-{ 14x$-1
3{a+2}x#+ax@}a@
=[- 112a$+1
3a#]-[ 112a$-1 3a#+4
3a-4 3 ] =-1
6a$+2 3a#-4
3a+4 3
1차
S'{a}=-2
3{a#-3a@+2}=-2
3{a-1}{a@-2a-2}
S'{a}=0에서 a=1 {? 0<a<2}
함수 S{a}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
a 0 y 1 y 2
S'{a} - 0 +
S{a} ↘ 극소 ↗
따라서 0<a<2에서 S{a}는 a=1일 때 극소이면서 최 소이다.
10
함수 f{x}=jx-1l의 역함수가 g{x}이므로 두 함수 y=f{x}, y=g{x}의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대 칭이다.?1!) f{x} dx=S1,
?0# g{x} dx=S2
라 하면 오른쪽 그림에서 빗금 친 부분의 넓이는 S1 과 같으므로
?1!) f{x} dx+?0# g{x} dx
=S1+S2=3\10=30
11
a초 후에 점 P가 원점으로 다시 돌아온다고 하면 점 P의 위치의 변화량이 0이므로/0A{-3t@+4t+15} dt=0
{-t#+2t@+15t}0A=0
-a#+2a@+15a=0, a{a+3}{a-5}=0 / a=5 {? a>0}
따라서 점 P가 원점으로 다시 돌아오는 데 걸리는 시간은 5초이다.
12
두 점 A, B의 출발점을 원점으로 하고 a초 후의 위치를 각각 xa{a}, xb{a}라 하면xa{a}=0+?0A{6t@-6t+4} dt
={2t#-3t@+4t}0A=2a#-3a@+4a xb{a}=0+?0A{3t@+2t+1} dt
={t#+t@+t}0A=a#+a@+a
이때 두 점 A, B가 서로 만날 때는 xa{a}=xb{a}인 경 우이므로
2a#-3a@+4a=a#+a@+a a{a-1}{a-3}=0
/ a=0 또는 a=1 또는 a=3
따라서 두 점 A, B는 출발 후 a=1, a=3일 때 다시 만 나게 되므로 서로 만나는 횟수는 2회이다.
13
ㄱ. 속력은 속도의 크기, 즉 속도의 절댓값이므로 그래프 에서 t=c일 때 속력이 최대이다.ㄴ. v{b}=0이고 t=b의 좌우에서 속도 v{t}의 부호가 바뀌므로 t=b에서 점 P는 운동 방향을 처음 방향과 반대 방향으로 바꾼다.
ㄷ. t축을 기준으로 위, 아래의 색칠한 부분의 넓이가 서 로 같으므로
?0B`v{t} dt=-?bC`v{t} dt yy ㉠ 시각 t=c일 때, 점 P의 위치는
?0C`v{t} dt=?0B`v{t} dt+?bC`v{t} dt
=-?bC`v{t} dt+?bC`v{t} dt (? ㉠)
=0
즉, t=c일 때, 점 P는 원점에 있다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
1
452
⑤3
14
28`mp.165
실전 연습문제1
f{x}={x@-4}{x@-k}에서f{x}={x+2}{x-2}{x+jk k}{x-jk k}
이때 0<k<4이므로 0<jk k<2 따라서 함수 y=f{x}의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
또 함수 f{x}는
f{-x} =9{-x}@-409{-x}@-k0
={x@-4}{x@-k}=f{x}
이므로 ?@-2`f{x} dx=2?0@`f{x} dx
1차
개 념 편
주어진 조건에서 A+C=B이므로
2?0@ f{x} dx=0 / ?0@`f{x} dx=0 yy ㉠
㉠에 f{x}={x@-4}{x@-k}를 대입하면
?0@{x@-4}{x@-k} dx
=?0@9x$-{k+4}x@+4k0 dx ={ 15x%-k+4
3 x#+4kx}@0 =-64
15+16 3 k=0 / k= 45
2
F{x}=?0X`f{t} dt yy ㉠㉠의 양변에 x=0을 대입하면
F{0}=?0)`f{t} dt=0 yy`㉡
이때 S1=S2이므로
F{3}=?0#`f{t} dt=?0!`f{t} dt+?1#`f{t} dt
=-S1+S2=0 yy`㉢
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'{x}=f{x}
주어진 그래프에서 F'{x}=f{x}=0인 x의 값은 x=1 또는 x=3
함수 F{x}의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
x y 1 y 3 y
F'{x} - 0 + 0
-F{x} ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
따라서 함수 F{x}는 x=1에서 극소, x=3에서 극대이 고 ㉡, ㉢에서 F{0}=0, F{3}=0이므로 y=F{x}의 그래프의 모양으로 적당한 것은 ⑤이다.
3
두 함수 f{x}, g{x}는 서로 역함수이므로 두 곡선 y=f{x}, y=g{x}는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.따라서 두 곡선 y=f{x}, y=g{x}로 둘러싸인 도형의
넓이는 곡선 y=f{x}와 직선 y=x로 둘러싸인 도형의 넓 이의 2배이다.
곡선 y=x#-3x@+3x와 직선 y=x의 교점의 x좌표는 x#-3x@+3x=x
x{x-1}{x-2}=0
/ x=0 또는 x=1 또는 x=2
이때 구간 [0, 1]에서 x#-3x@+3x>x이고, 구간 [1, 2]에서 x>x#-3x@+3x이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=2{/0!9{x#-3x@+3x}-x0 dx
+?1@9x-{x#-3x@+3x}0 dx}
=2-/0!{x#-3x@+2x} dx
+?1@{-x#+3x@-2x} dx=
=2-{ 14x$-x#+x@}!0+{-1
4x$+x#-x@}@1 =
=1
4
시각 t에서 엘리베이터의 속도를 v{t}라 하면! v{t}는 처음 2초 동안은 2 m/s@의 가속도로 증가하므로 v{t}=2t {0<t<2} yy ㉠
@ 다음 5초 동안은 등속운동이고, ㉠에서 v{2}=4이므로 v{t}=4 {2<t<7} yy ㉡
# 마지막 2초 동안은 -2 m/s@의 가속도로 감소하므로 v{t}=-2t+a {7<t<9, a는 상수}
㉡에서 v{7}=4이므로 4=-14+a / a=18 / v{t}=-2t+18 {7<t<9}
!, @, #에 의해
( 2t {0<t<2}
v{t}=- 4 {2<t<7}
9 -2t+18 {7<t<9}
따라서 건물의 높이를 h m라 하면 h는 엘리베이터가 이 동한 거리와 같으므로
h=?0(|v{t}| dt=fAOCB =1
2\{5+9}\4 =28 {m}
정답과 해설
유 형 편
01 함수의 극한 I-1.
함수의 극한과 연속1
⑴ 4 ⑵ 12 ⑶ 1 ⑷ E
2
⑴ 0 ⑵ 0 ⑶ E ⑷ -E3
⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ 0 ⑷ 04
⑴ 14 ⑵ 2 ⑶ 211 ⑷ -1
5
⑴ 3 ⑵ 5 ⑶ -2 ⑷ -36
⑴ 3 ⑵ 2기초 문제 Training
p.4
1
① /x\1` {2x+3}=5 ② /x\2` {x@-1}=3③ /x\1` {x@+2x-1}=2 ④ /x\3` x+3 x-2=6
⑤ /x\-1` j-xl+3l=2
따라서 극한값이 가장 큰 것은 ④이다.