Ⅲ-2.
정적분의 활용p.146~147
유제 & 문제1
유제
01
⑴ 323 ⑵ 92 ⑶ 3712 ⑷ 25312⑴ 곡선 y=-x@+4x와 x축의 교점의 x좌표는 -x@+4x=0에서 x{x-4}=0
/ x=0 또는 x=4
구간 [0, 4]에서 y>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=?0${-x@+4x} dx ={- 13x#+2x@}0$=32
3
⑵ 곡선 y=x@-x-2와 x축의 교점의 x좌표는 x@-x-2=0에서 {x+1}{x-2}=0 / x=-1 또는 x=2
구간 [-1, 2]에서 y<0이 므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=-?@-1{x@-x-2} dx =-{ 13x#-1
2x@-2x}@-1=9 2
⑶ 곡선 y=x#-2x@-x+2 와 x축의 교점의 x좌표는 x#-2x@-x+2=0에서 {x+1}{x-1}{x-2}
=0
/ x=-1 또는 x=1 또는 x=2
구간 [-1, 1]에서 y>0, 구간 [1, 2]에서 y<0이 므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=? !-1{x#-2x@-x+2} dx
-?1@{x#-2x@-x+2} dx
={ 14x$-2 3x#-1
2x@+2x}!-1
-{ 14x$-2
3x#-1
2x@+2x}@1
=37 12
⑷ 곡선 y=x#-x@-6x와 x축의 교점의 x좌표는 x#-x@-6x=0에서 x{x+2}{x-3}=0
/ x=-2 또는 x=0 또는 x=3
구간 [-2, 0]에서 y>0이고, 구간 [0, 3]에서 y<0 이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=? )-2{x#-x@-6x} dx-?0#{x#-x@-6x} dx
={ 14x$-1
3x#-3x@})-2-{1 4x$-1
3x#-3x@}#0
=253 12
문제 01-1
24곡선 y=x#-4x@+4x와 x축의 교점의 x좌표는 x#-4x@+4x=0에서 x{x-2}@=0
/ x=0 또는 x=2 (중근) 구간 [-2, 0]에서 y<0, 구간
[0, 2]에서 y>0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 S=-/-2) {x#-4x@+4x}dx+/0@{x#-4x@+4x}dx =-{ 14x$-4
3x#+2x@}-2) +{1 4x$-4
3x#+2x@}0@
=24
유제
02
⑴ - 43 ⑵ -48⑴ ?!-1`x{1-x}@ dx
=?!-1{x#-2x@+x} dx
=?!-1`{x#+x} dx+?!-1`{-2x@} dx
=0-4?0!x@ dx
=-4{ 13x#}!0=-4 3
⑵ ?!-3{4x#-3x@+2x+1} dx
-?3!{4t#-3t@+2t+1} dt
=?!-3{4x#-3x@+2x+1} dx
+?1#{4x#-3x@+2x+1} dx
=?#-3{4x#-3x@+2x+1} dx
=?#-3{4x#+2x} dx+?#-3{-3x@+1} dx
=0+2?0#{-3x@+1} dx
=2{-x#+x}#0=-48
문제 02-1
6?-4$`9 f{x}+g{x}0 dx=?-4$``f{x} dx+?-4$``g{x} dx
=2?0$` f{x} dx+0
=2\3=6
p.150~153
유제 & 문제2
유제
03
⑴ 92 ⑵ 9 ⑶ 25312 ⑷ 3712⑴ 곡선 y=x@-2x-1과 직선 y=-x+1의 교점의 x좌표는 x@-2x-1=-x+1에서 {x+1}{x-2}=0 / x=-1 또는 x=2 구간 [-1, 2]에서 -x+1>x@-2x-1
이므로 구하는 넓이를 S라 하면
개 념 편
S=?@-19{-x+1}-{x@-2x-1}0 dx
=?@-1{-x@+x+2} dx
={- 13x#+1
2x@+2x}@-1=9 2
⑵ 두곡선 y=x@-x-1과
y=-x@-3x+3의교점의 x좌표는
x@-x-1=-x@-3x+3 에서{x+2}{x-1}=0 /x=-2또는 x=1 구간[-2, 1]에서 -x@-3x+3>x@-x-1 이므로구하는넓이를 S라하면
S=?!-2 9{-x@-3x+3}-{x@-x-1}0 dx
=?!-2 {-2x@-2x+4} dx
={- 23x#-x@+4x}!-2=9
⑶ 두곡선 y=x#-6x와 y=x@의
교점의x좌표는x#-6x=x@에서 x{x+2}{x-3}=0
/x=-2또는 x=0 또는 x=3 구간 [-2, 0]에서
x#-6x>x@이고,구간[0, 3]에
서x@>x#-6x
이므로구하는넓이를 S라하면
S=?)-29{x#-6x}-x@0 dx+?0#9x@-{x#-6x}0 dx
=?)-2{x#-x@-6x} dx+?0#{-x#+x@+6x} dx
={ 14x$-1
3x#-3x@})-2+{-1 4x$+1
3x#+3x@}#0
=253 12
⑷ 두곡선 y=x#과 y=2x-x@의
교점의x좌표는x#=2x-x@에서 x{x+2}{x-1}=0
/x=-2또는 x=0 또는 x=1 구간[-2, 0]에서x#>2x-x@
이고,구간[0, 1]에서
2x-x@>x#이므로구하는넓이를 S라하면
S=?)-2 9x#-{2x-x@}0 dx+?0!9{2x-x@}-x#0 dx
=?)-2 {x#+x@-2x} dx+?0!{-x#-x@+2x} dx
={ 14x$+1
3x#-x@})-2+{-1 4x$-1
3x#+x@}!0
=37 12
문제 03-1
163두곡선 y=x@, y=-x@+4x의
교점의x좌표는
x@=-x@+4x에서x{x-2}=0 /x=0또는x=2
구간 [0, 2]에서 -x@+4x>x@
이고,구간[2, 3]에서
x@>-x@+4x이므로구하는넓 이를S라하면
S=/0@9{-x@+4x}-x@0 dx
+/2#9x@-{-x@+4x}0 dx
=/0@{-2x@+4x} dx+/2#{2x@-4x}0 dx
={- 23x#+2x@}@0+{2
3x#-2x@}#2=16 3
유제
04
43f{x}=x#-x@+2라하면f '{x}=3x@-2x 점{1, 2}에서그은접선의기울기는
f '{1}=3-2=1
이므로점{1, 2}에서그은접선의방정식은
y-2=1\{x-1} / y=x+1 곡선 y=x#-x@+2와직선
y=x+1의교점의 x좌표는 x#-x@+2=x+1에서 x#-x@-x+1=0 {x+1}{x-1}@=0 /x=-1또는x=1`(중근) 구간[-1, 1]에서
x#-x@+2>x+1이므로구하는넓이를S라하면 S=? -19{x#-x@+2}-{x+1}0 dx!
=? -1{x#-x@-x+1} dx=2?0!{-x@+1} dx!
=2{- 13x#+x}!0=4 3
1차
문제 04-1
56f{x}=-x@+5x-4라 하면 f '{x}=-2x+5 점 {2, 2}에서 그은 접선의 기울기는
f '{2}=-4+5=1
이므로 점 {2, 2}에서 그은 접선의 방정식은 y-2=1\{x-2}
/ y=x
구간 [0, 1]에서 x>0이고, 구간 [1, 2]에서 x>-x@+5x-4 이므로 구하는 넓이를 S라 하면
S=?0!`x dx+?1@9x-{-x@+5x-4}0 dx
=?0!`x dx+?1@{x@-4x+4} dx ={ 12x@}!0+{1
3x#-2x@+4x}@1 =5
6
문제 04-2
5f{x}=x@이라 하면 f '{x}=2x
접점의 좌표를 {t, t@}이라 하면 이 점에서 그은 접선의 기 울기는 f '{t}=2t이므로 접선의 방정식은
y-t@=2t{x-t}
/ y=2tx-t@ yy ㉠ 직선 ㉠이 점 {0, -1}을 지나므로 -1=-t@, t@-1=0
{t+1}{t-1}=0 / t=-1 또는 t=1
! t=-1일 때, ㉠에서 y=-2x-1
@ t=1일 때, ㉠에서 y=2x-1
이때 두 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형이 y축에 대하여 대칭이고, 구간 [0, 1]에서 x@>2x-1이므로 구하는 넓 이를 S라 하면
S=2?0!9x@-{2x-1}0 dx
=2?0!{x@-2x+1} dx =2{ 13x#-x@+x}!0 =2
3 즉, 23=a
b 이므로 a=2, b=3 / a+b=5
유제
05
4 곡선y=x#-{2a+4}x@+8ax 와 x축의 교점의 x좌표는 x#-{2a+4}x@+8ax=0 에서
x{x-4}{x-2a}=0 / x=0 또는 x=4
또는 x=2a
곡선과 x축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로 /0@A9x#-{2a+4}x@+8ax0 dx=0
{ 14x$-1
3{2a+4}x#+4ax@}0@A=0 4a$-8
3{2a+4}a#+16a#=0 -4
3a$+16
3a#=0, a#{a-4}=0 / a=4 {? a>2}
문제 05-1
12곡선 y=x{x+1}과 x축의 교점의 x좌표는
x{x+1}=0 / x=-1 또는 x=0 곡선과 x축 및 직선 x=k로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
?K-1`x{x+1} dx=0
?K-1`{x@+x} dx=0, { 13x#+1
2x@}K-1=0 [ 13k#+1
2k@]-[- 13+1 2 ]=0 2k#+3k@-1=0, {k+1}@{2k-1}=0 / k= 12 {? k>0}
문제 05-2
2두 곡선 y=x#-{2a+1}x@+a{a+1}x, y=x@-ax의 교점의 x좌표는
x#-{2a+1}x@+a{a+1}x=x@-ax x#-2{a+1}x@+a{a+2}x=0 x{x-a}9x-{a+2}0=0 / x=0 또는 x=a 또는 x=a+2
개 념 편
이때 주어진 조건에서 두 곡선으로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 같으므로
?0A"@[9x#-{2a+1}x@+a{a+1}x0-{x@-ax}] dx=0
?0A"@9x#-2{a+1}x@+a{a+2}x0 dx=0 { 1 4x$-2
3{a+1}x#+1
2a{a+2}x@}0A"@=0 1
4{a+2}$-2
3{a+1}{a+2}#+1
2a{a+2}#=0 {a+2}#{a-2}=0
/ a=2 {? a>0}
유제
06
2{#j4-2}곡선 y=x@-4x와 직선 y=ax의 교점의 x좌표는 x@-4x=ax, x9x-{a+4}0=0
/ x=0 또는 x=a+4
곡선 y=x@-4x와 x축의 교점의 x좌표는 x@-4x=0, x{x-4}=0
/ x=0 또는 x=4
구간 [0, 4]에서 x@-4x<0이 므로 곡선 y=x@-4x와 x축으 로 둘러싸인 도형의 넓이를 S1 이라 하면
S1=-?0${x@-4x} dx =-{ 13x#-2x@}$0=32
3
구간 [0, a+4]에서 ax>x@-4x이므로 곡선 y=x@-4x 와 직선 y=ax로 둘러싸인 도형의 넓이를 S2라 하면 S2=?0A"$9ax-{x@-4x}0 dx
=?0A"$9-x@+{a+4}x0 dx ={- 13x#+a+4
2 x@}0A"$={a+4}#
6 주어진 조건에서 S1=2S2이므로 32
3 =2\{a+4}#
6 , a+4=#j32k / a=2{#j4-2}
문제 06-1
1-j2두 곡선 y=x@-2x, y=ax@의 교점의 x좌표는 x@-2x=ax@에서 x9{1-a}x-20=0 / x=0 또는 x= 21-a
곡선 y=x@-2x와 x축의 교점의 x좌표는
x@-2x=0에서 x{x-2}=0 / x=0 또는 x=2 구간 [0, 2]에서 x@-2x<0
이므로 곡선 y=x@-2x와 x 축으로 둘러싸인 도형의 넓 이를 S1이라 하면
S1=-/0@{x@-2x} dx =-{ 13x#-x@}0@=4 3
구간 {0, 21-a }에서 ax@>x@-2x이므로 두 곡선 y=x@-2x, y=ax@으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S2라 하면
S2=/0
2
1-a9ax@-{x@-2x}0 dx
=/0
2
1-a9{a-1}x@+2x0 dx
={ a-13 x#+x@}01-a2 = 4 3{a-1}@
주어진 조건에서 S1=2S2이므로 4
3 =2\ 4 3{a-1}@
{a-1}@=2, a-1=-j2 / a=1-j2 {? a<0}