1. 지수함수
1. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 지수함수의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ.
(참)
ㄴ. 이므로 (참) ㄷ. ≠ (거짓)
2. [정답] 17 [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수
× 에서
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ㉠
에서
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ㉡
㉠+㉡을 하면
∴
을 ㉡에 대입하면
∴
∴
3. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 지수와 로그
ㄱ. ∈G이므로 …… ㉠
㉠의 양변에
제곱을 하면
,
∴
∈ ∴ 참ㄴ. ∈G이므로 …… ㉡
㉡의 양변에 –1제곱을 하면
,
∴
∈ ∴ 참ㄷ. ∈G이므로 …… ㉢
㉢의 양변에 2제곱을 하면
∴ , ∈ ∴ 거짓 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
4. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 지수함수 그림에서
이므로
∴ 는 를 축 방향으로
만큼 평행 이동한 그래프이다. O
에서
⋯⋯ ㉠
에서
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에 의해
이므로
따라서
6. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 두 곡선의 관계 추론하기
ㄱ. (참) ㄴ.
(거짓)ㄷ.
․
․
․
․
․
(참)7. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 지수함수의 그래프의 성질을 이해하고 내분점을 이용하여 좌표를 구한다.
점 A 에서 축에 내린 수선의 발을 D , 점 B 에서 축에 내린 수선의 발을 E 라 하자.
점 A
이므로 점 D 이다.축 위의 점 C 에 대하여 AC CB 이므로 DO OE 가 되어 점 E 이다.
따라서 점 B 의 좌표는 이다.
[다른풀이]
점 A
이고 점 B 의 좌표를 라 놓으면 점 B 이다.선분 AB 를 로 내분하는 점 C
에 대하여 점 C 는축 위에 있으므로
에서
따라서 점 B 의 좌표는 이다.
8. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 지수함수 이해하기 ㄱ. 일 때, (거짓) ㄴ. ⋅⋅ ⋅
(참) ㄷ. ⋅
는 감소 (거짓)미적분Ⅱ 정답과 해설
∴
10. [정답] ② [풀이]
지수함수 의 그래프에서 점근선의 방정식이 이므로
이다.
의 그래프는 지수함수 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동시킨 함수 의 그래프이다.
함수 의 그래프가 점 을 지나므로 이다.
따라서
11. [정답] ① [풀이]
를 축 대칭시키면 이다.
이것을 다시 축으로 , 축으로 만큼 평행이동하면
⋯⋯⋯ *
* 의 그래프가 를 지나므로
∴
∴ ∵
12. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수
축과 만나는 점은 일 때이므로 두 점 A B 의 좌표는 A B 이다.
AB 이므로
∴ ∴
13. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수학내적문제 해결하기 함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 함수
의 그래프이다.
AB 이고 AB AC이므로 AC 점 A의 좌표를 이라 하면 점 C 의 좌표는 이므로
AC ‧
‧
‧
따라서 점 A의 좌표
14. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기
지수함수 ⋅의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동시키면 함수
⋅ 의 그래프이고,
이 함수의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동시키면 함수 ⋅ 의 그래프이다.
함수 ⋅ 의 그래프가 점 을 지나므로
⋅ 따라서
15. [정답] 18 [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 축의 방향으로 만큼 평행이동 시키면
이다. 이 함수의 그래프가 두 점 , 를 지나므로
㉡ ㉠을 하면
∴
이것을 ㉡에 대입하면
∴
16. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 지수함수 – 지수함수의 그래프
│ │라 하고 라 하면
에서 근을 갖기 위해서 그림과 같이
이어야 하므로 이고,
에서 근을 갖기 위해서 오른쪽 그림과 같이
이어야 하므로 이다.
따라서
∴
만족하는 는 , , 이다.
∴ 모든 자연수의 합은 이다.
17. [정답] ① [풀이]
의 그래프와 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이므로
가 성립한다.
따라서 에서 ,
∴
, 이므로
,
이므로
∴
18. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 지수함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다.
곡선 와 는 축 대칭이므로
에서 점 R 의 좌표는 , 점 P 의 좌표는 이다. 점 Q의 좌표를 라 하면
PQ QR 에서 PQ QR이므로
∴
에서
∴
정답과 해설 교육청/평가원
[다른풀이]
세 점 P , Q , R 의 좌표는 모두 이므로 세 점 P , Q , R 의 좌표는 각각 log, log, log이다.
PQ QR 에서 PQ QR이므로 log log
log log
양변을 밑이 인 로그로 변환하면
log
log
log log log
∴
에서
∴ (∵ )
∴ 따라서 이다.
∴
19. [정답] ② [풀이]
의 좌표는 각각 이므로
∴
20. [정답] ④ [풀이]
점A 의 좌표가 이므로 점B 의 좌표는 log 이다.
(∵ · ⇔ log)
∴ AB log log
AB 이므로
log
⇔ log log
log log이므로
log
log
∴ ≤ ≤
따라서 자연수 의 개수는 이다.
2. 로그함수 21. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
∈, ∈이므로
, log 이다.
ㄱ. (반례) 일 때 ∈이지만 ⋅ ∉이다. (거짓) ㄴ. 즉, log
∴ ∈ (참)
ㄷ. , log 즉, 가 성립하므로
∴ ∈ (참)
22. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 로그의 성질 이해하기
ㄷ. ∈ ∈이므로
log, log
log
즉, ∈ ∴ 참
23. [정답] ③ [풀이]
선분 AC 가 축에 평행하므로 두 점 A, C 의 좌표를 각각
A log B log ( )라고 하면
AB log log log
선분 AC 의 중점을 M이라 하면 삼각형 ABC 가 정삼각형이므로
BM
× 따라서 점 B 의 좌표는 B log 이고
AB
log log
log
이므로 log
± 이다.
그런데 이므로
따라서 log
이고
∴
이 때 점 B 의 좌표는 B log 이므로
log
∴ × × log
×
24. [정답]
[풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수
(ⅰ) ＜＜일 때 log
에서 로그의 정의에 의하여
(ⅱ) ≥ 일 때 log 에서 로그의 정의에 의하여
∴
․
25. [정답] ② [풀이]
주어진 함수 log 가 점 과 를 지나므로,
log
log 를 만족한다.
미적분Ⅱ 정답과 해설
묻는 문제이다.
AH , PH log이고, AH PH이므로
log ∴ log
따라서 점 P 에서 직선 까지의 거리는
∣ log∣
27. [정답] [풀이]
[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해하기
BC log log ⋯⋯ ㉠ 점 A, B 의 좌표가 같으므로 log log ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에 의하여
log log log 에서 , 따라서
28. [정답] ④ [풀이]
세 함수 log
,
, 의 그래프는 다음 그림과 같다.∴
∴
29. [정답] ① [풀이]
(i) 일 때 log log 이므로
log
log
∴ log log
∴
(ii) 함수 의 역함수 log의 그래프는 다음과 같이 곡선
와 직선 위의 점 A에서 만난다.
따라서 (i)에서 (i), (ii)에서
30. [정답]
[풀이]
평행이동시킨 그래프의 방정식은
log 이다.
함수 log 의 그래프는 점 를 지나므로 log
log
∴
함수 log 의 그래프는 점 을 지나므로 log
∴
따라서
31. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 로그함수의 평행이동 이해하기
O와 A가 평행이동한 점을 각각 O′, A′이라 하면 O′ , A′ 이다.
log 가 선분 O′A′ 과 만나려면 log ≤ , ≤ , ≤ 이고 log ≥ , ≥ , ≥ 이다.
∴ ≤ ≤
의 최댓값은 , 최솟값은 이다.
32. [정답] 53 [풀이]
log를 축의 양의 방향으로 만큼 평행이동시킨 그래프는
log
점 는 곡선 log 위의 점이므로
log …… ㉠
또, 점 는 log 위의 점이므로
log …… ㉡
㉠에서 ∴
㉡에서 ∴ ∵
∴
33. [정답]
[풀이]
log
log
log log
log 이므로 함수 log
의 그래프는 함수 log의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 것이다.
따라서 ,
∴
34. [정답]
[풀이]
[출제의도] 로그함수의 밑의 성질을 이용한 그래프 이해하기
정답과 해설 교육청/평가원
B 을 지날 때, 의 최댓값
D 를 지날 때, 의 최솟값
35. [정답]
[풀이]
[출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 최솟값 구하는 문제를 해 결한다.
≥ 이므로
일 때 최솟값을 갖는다.
log log
log log
log
따라서 에서 이다.
36. [정답] ③ [풀이]
곡선 의 점근선은
이고 곡선 와 축의 교점은
이므로만족하는 관계식은
∴
이때, 이고 이므로 ∴
따라서 구하는 정답은
37. [정답] 259 [풀이]
log 이므로
log
가 세 자리의 자연수이고
≤ 일 때, ≤ log
≥ 일 때,
≥ log
이므로
일 때, log 은 자연수가 아니다.
일 때,
log
일 때, log 은 자연수가 아니다.
∴
38. [정답]
[풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프 이해하기 그림과 같이 두 함수 , log는 좌표축과 각각 ,
에서 만나므로 정사각형 A의 한 변의 길이는 이다.
또, 을 지수함수에 대입하면 정사각형 A의 한 변의 길이는 이고,
를 지수함수에 대입하면 정사각형 A의 한 변의 길이는 이고,
를 지수함수에 대입하면 정사각형 A의 한 변의 길이는 이다.
그러므로 A의 넓이는 이다.
log
O
A
A A
A
39. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질 이해하기 logloglog
loglog
log
log
log
40. [정답]
[풀이]
[출제의도] 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.
주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 그림과 같이 평행사변형 OABC 의 넓이와 같다.
log 의 그래프는 log 의 그래프를 축, 축의 방향으로 각각 , 만큼 평행이동시킨 것이다. 원점을 축, 축의 방향으로 각각 , 만큼 평행이동시키면 이고, 점 는 직선 위의 점이다.
따라서 log 의 그래프와 직선 의 교점 A의 좌표는 A 이다. 이때, 점 C 의 좌표는 이므로 OC 이고, 평행사변형 OABC 의 넓이는 × 이다.
41. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 로그함수 – 평행이동과 역함수 구하기
함수 log를 축으로 만큼, 축으로 만큼 평행이동한 그래프는
log 이다.
log
따라서 역함수는 이므로
∴
미적분Ⅱ 정답과 해설
42. [정답] ⑤ [풀이]
ㄱ.
∴ (참)
ㄴ. 이므로 의 그래프는 다음과 같다.
따라서 의 그래프와 직선 는 한 점에서 만난다. (참) ㄷ. 의 역함수는 log이므로
≤ 의 그래프와 log ≥ 의 그래프는 직선
에 대하여 대칭이다.
따라서 ㄴ에서 의 그래프는 직선 에 대하여 대칭이다.
(참)
그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
43. [정답] ③ [풀이]
과 역함수의 교점은
과 의 교점이므로
∴ ∴
∴ ∴
∴
44. [정답] 16 [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수
∘ 를 만족하는 함수 는 의 역함수이다.
log에서 를 서로 바꾸면
log,
log
∴
따라서
이므로
[다른풀이]
을 만족하는 의 값을 구하면
log 에서 log
∴
∴
45. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 지수함수의 그래프의 대칭이동과 평행이동을 활용하여 문 제 해결하기
함수 의 역함수는 log 이고, 함수 log 의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동시키면 함수 log 의 그래프가 된다.
두 함수 , log 의 그래프가 직선 과 만나는 점은 각각 A , B 이다.
선분 AB 의 중점의 좌표가 이므로
, , 따라서
46. [정답] ①
log의 역함수는 이므로 위 그림에서
∘
∘
위 그림의 사다리꼴의 넓이는
∘ ∘
47. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하고 관련성을 파악할 수 있는지를 묻는 문제이다.
두 함수
, log
는 서로 역함수이므로 그래프는 그림과 같이 직선
에 대하여 대칭이다.
ㄱ. 그래프에서 일 때,
이다. (거짓) ㄴ. 두 그래프의 교점은 직선
위에 있으므로
(참)
ㄷ. ⇔
⇔ ⇔ 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
1 1
O
48. [정답]
[풀이]
두 함수 log , log
의 그래프는 모두 점
을 지나므로
log , log
log log
에서 ,
∴
49. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 지수․로그 함수와 역함수의 그래프 이해
에서 역함수를 구하면
를 서로 바꾸어
∴ log 이다.
ㄱ. ⋅ [참]
ㄴ. 원함수와 그 역함수는 에 대칭이다.
[참]
ㄷ. 두 그래프의 교점은 대칭축 의 교점과 일치하므로 그림에서 교점은 두 개
임을 알 수 있다. [거짓]
50. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프를 이해하여 교점 의 개수를 구한다.
, ln 의 교점의 개수는
정답과 해설 교육청/평가원
ⅱ) 일 때,
과 ln 의 교점이 뿐이므로
따라서
3. 지수∙로그함수의 활용 51. [정답] ①
[풀이]
[출제의도] 로그함수의 그래프를 그려보고, 그 성질을 이해하기
O
log
log
ㄱ. 참. 원점과 log를 지나는 직선의 기울기이므로 그림과 같이 두 점을 지나는 직선의 기울기는 항상 보다 작다.
ㄴ. 거짓. (반례)
일 때,
log
＞
ㄷ. 거짓. (반례) 일 때, log
52. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 로그의 대소 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 에서 log log 이다.
log log
log log
log log(참)
ㄴ. (반례) 일 때
이지만
log
log (거짓) ㄷ. log log ⇔ log log
∵
∴ log log (참)
53. [정답] ⑤ [풀이]
주어진 함수의 그래프를 그리면 아래와 같다.
ㄴ.
∴참
ㄷ.
이므로
∴ ∴참 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.
54. [정답] ③ [풀이]
∆AEB
log log
․
log
∆CDF
log log
․
log
∴ ∆CDF
∆AEB
55. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 로그함수
점 P Q R 의 좌표는 각각 log log 이고 점 Q는 선분 PR 의 중점이므로
log log
∵
□ABQP △ARP △BRQ
× ×
× ×
56. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하고 이를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
점 B C 의 좌표를 각각 B C 이라 하고, 점 E의 좌표를
라 하면 DG 에서 log log log
∴
AD DE 에서
□ABCD □DEFG에서
log