r-1=3r+1 또는 (r-1)+(3r+1)=8
⁄r-1=3r+1일 때, 2r=-2 ∴ r=-1 따라서 조건을 만족시키는 자연수 r의 값은 존재하지 않는다.
¤(r-1)+(3r+1)=8일 때, 4r=8
∴ r=2
⁄, ¤에서 r=2 1.⑴ 120 ⑵ 36 2.③ 3.16 4.④
5.121 6.30 7.⑤ 8.③ 9.④ 10.28 11.380
본문 306쪽
S U M M A C U M L A U D E
12
조합01
⑴ 구하는 경우의 수는 10명 중에서 3명을 택하 는 경우의 수와 같으므로 ¡ºC£=120⑵ 남자 6명 중에서 1명을 뽑는 경우의 수는 §C¡=6 여자 4명 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는 ¢C™=6 따라서 구하는 경우의 수는 6¥6=36
⑴ 120 ⑵ 36
02
¡™C™®≠¡=¡™C¡º–®에서2r+1=10-r 또는 (2r+1)+(10-r)=12
⁄2r+1=10-r일 때, 3r=9 ∴ r=3
¤(2r+1)+(10-r)=12일 때, r+11=12 ∴ r=1
⁄, ¤에서 구하는 모든 자연수 r의 값의 합은
3+1=4 ③
03
7개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는¶C™=21
한 직선 위에 있는 4개의 점 중에서 2개를 택하는 방법의 수는 ¢C™=6
이때 한 직선 위에 있는 4개의 점은 한 직선만 만들므로 만들 수 있는 직선의 개수는
21-6+1=16 16
04
7개의 점 중에서 3개의 점을 택하는 방법의 수는¶C£=35
내신・모의고사대비TEST 조건 ㈏에서 «C™+«C£=2¥™«C¡
«C™+«C£=«≠¡C£이므로 «≠¡C£=2¥™«C¡
=2¥2n n‹ -n=24n, n‹ -25n=0 n(n+5)(n-5)=0
∴ n=0 또는 n=-5 또는 n=5 이때 n은 자연수이므로 n=5
∴ n+r=5+2=7 ⑤
08
전체 12명 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는¡™C£=220
남학생 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는
•C£=56
여학생 중에서 대표 3명을 뽑는 방법의 수는
¢C£=4
따라서 구하는 방법의 수는 220-(56+4)=160
③
09
5권의 소설책 중에서 2권을 뽑는 방법의 수는∞C™=10
4권의 잡지 중에서 2권을 뽑는 방법의 수는
¢C™=6
뽑은 4권의 책을 일렬로 꽂는 방법의 수는 4!=24
따라서 구하는 방법의 수는
10_6_24=1440 ④
10
조건 ㈎에서 f(3)의 값이 될 수 있는 수는 5, 6, 7, 8이지만 조건 ㈏에 의해 f(3)<f(4)<f(5)이어야 하므로 f(3)의 값이 될 수 있는 수는 5, 6이다.⁄f(3)=5일 때,
조건 ㈏에서 f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 수는 1, 2, 3, 4이고 f(1)<f(2)이어야 하므로 1, 2, 3, 4의 (n+1)¥n¥(n-1)
111111113¥2¥1
4개에서 2개를 택하여 그 값이 작은 것부터 차례로 f(1), f(2)에 대응시키면 된다.
또 f(4), f(5)의 값이 될 수 있는 수는 6, 7, 8이고 f(4)<f(5)이어야 하므로 6, 7, 8의 3개에서 2개를 택하여 작은 것부터 차례로 f(4), f(5)에 대응시키면 된다.
따라서 함수 f의 개수는
¢C™¥£C™=6¥3=18
¤f(3)=6일 때,
조건 ㈏에서 f(1), f(2)의 값이 될 수 있는 수는 1, 2, 3, 4, 5이고 f(1)<f(2)이어야 하므로 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 2개를 택하여 그 값이 작은 것부터 차례로 f(1), f(2)에 대응시키면 된다.
또 f(4), f(5)의 값이 될 수 있는 수는 7, 8이므로
`f(4)=7, f(5)=8
따라서 함수 f의 개수는 ∞C™¥1=10
⁄, ¤에서 구하는 함수 f의 개수는
18+10=28 28
11
다섯 자리 자연수를 만들 때, 3끼리는 이웃하지 않도록 하려면 3을 2번 또는 3번만 사용하여야 한다.⁄3을 2번 사용한 경우
∨ ∨ ∨ ∨ 꼴에서 에는 1, 2, 4, 5, 6의 5 개의 숫자에서 3개를 뽑아 일렬로 나열하고, 나머지 네 개의 ∨에서 2개를 택하여 3을 배열하면 되므로
∞P£¥¢C™=60¥6=360
¤3을 3번 사용한 경우
3 3 3 꼴에서 에는 1, 2, 4, 5, 6의 5개의 숫자 에서 2개를 뽑아 일렬로 나열하면 되므로
∞P™=20
⁄, ¤에서 구하는 다섯 자리 자연수의 개수는
360+20=380 380
1.4 2.8 3.② 4.⑤ 5.③ 6.③ 7.63 8.② 9.12 10.④ 11.③ 12.④ 13.② 14.127 15.② 16.28
I.
집합과 명제 S U M M A C U M L A U D E 본문 308쪽기출문제로 1등급 도전하기
01
A={x|x¤ -x-12…0}={x|(x+3)(x-4)…0}
={x|-3…x…4}
A'B=R, A-B={x|-3…x…1}이므로 집합 A, B를 수직선 위에 나타내면 다음 그림과 같다.
∴ B={x|x<-3 또는 x>1}
따라서 a=-3, b=1이므로
b-a=1-(-3)=4 4
02
A={1, 2}, BÇ ={1, 2, 6, 7, 8}에 대하여X'A=X이므로 A,X
X;BÇ =X이므로 X,BÇ
즉, A,X,BÇ HjK {1, 2},X,{1, 2, 6, 7, 8}
따라서 집합 X는 집합 {1, 2, 6, 7, 8}의 부분집합 중 원 소 1, 2를 모두 포함하는 부분집합이므로 그 개수는
2fi —¤ =8 8
03
ㄱ. 3 이하의 소수는 2, 3이므로 A£={2, 3}4의 양의 약수는 1, 2, 4이므로 B¢={1, 2, 4}
∴ A£;B¢={2} (참)
ㄴ. a<A«이면 a…n이고 a는 소수이다.
a…n<n+1이고 a는 소수이므로 a<A«≠¡
∴ A«,A«≠¡ (참)
-3 1
B A-B
4 x B A
ㄷ. (반례) m=4, n=8이면
B¢={1, 2, 4}, B•={1, 2, 4, 8}이므로 B¢,B•
ㄷ. 그런데 4는 8의 배수가 아니다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ②
04
A={x|(x-1)(x-26)>0}={x|x<1 또는 x>26}
이때 B={x|(x-a)(x-a¤ )…0}에 대해 A;B=0 이 되려면 다음 그림과 같이 aæ1이어야 한다.
즉, 1…a…a¤ …26이어야 하므로 1…a…'∂26
따라서 정수 a는 1, 2, 3, 4, 5로 5개이다. ⑤
05
㈎에서 A¯B이고, ㈏에서 B의 모든 원소 x에 대하여 x는 C의 원소가 아니므로 B와 C는 서로소, 즉 B;C=0이므로 ①, ④, ⑤번은 답이 될 수 없다.②번의 경우 A의 모든 원소가 B에 속하므로 ㈎를 만족 시키는 x는 존재하지 않는다.
따라서 벤다이어그램 중 두 명 제가 참이 되도록 하는 것은 ③ 이다.
③
06
ㄱ. A¡(3)={x|N(3, x)=1}이고 3과 4는 서로 소이므로 공약수의 개수가 1이다.ㄷ. ∴ 4<A¡(3) (참)
ㄴ. A£(4)={x|N(4, x)=3}이고 4의 약수의 개수가 3 이므로 A£(4)는 4의 배수의 집합이다.
∴ n(A£(4))=25 (거짓) U
A C B
a a@ 26 x
1
A
A B
내신・모의고사대비TEST
이므로 조건 ㈏, ㈐에 의해
49=28+{14+;2%;a}-(10+13) 49=;2%;a+19
;2%;a=30 ∴ a=12 12
10
두 조건 ㈎, ㈏를 만족 하는 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는 3, 4, 5를 오른쪽 벤다이어그램의 어두운 두 부분 ①, ②에 나누어 넣는 방법의 수와 같다.
이때 ①에 넣을 것을 집합 {3, 4, 5}의 한 부분집합으로 정 하면 ②에 넣을 것은 ①에 넣고 남은 것으로 자동으로 정 해진다.
따라서 순서쌍 (A, B)의 개수는 결국 집합 {3, 4, 5}의 부분집합의 개수와 같으므로 2‹ =8이다. ④
11
조건 p, q, r, s를p：이 제품은 10대, 20대에게 선호도가 높다.
q：이 제품은 판매량이 많다.
r：이 제품은 가격이 싸다.
s：이 제품은 기능이 많다.
라 하면, 시장 조사의 결과 ㈎, ㈏, ㈐`를 다음과 같이 나타 낼 수 있다.
㈎ p jjK q ㈏ r jjK q ㈐ s jjK p 이때 ㈎, ㈐에 의해 명제 s2⁄ q가 참이므로 대우인
~ q2⁄ ~s 도 참이다.
추론한 내용들을 조건 p, q, r, s를 이용하여 나타내어 보면
① s2⁄ ~r ② ~ r2⁄ ~q ③ ~ q2⁄ ~s
④ p2⁄ s ⑤ p2⁄ ~r
따라서 추론한 내용으로 항상 옳은 것은 ③이다. ③
A B