전략 : 1

0`f`'(t)dt=k로 놓고 k의 값을 구한 후 f(x)를 구한다.

풀이 : ¹₀`f`'(t)dt=k (k는 상수) yy ㉠㉠㉠

로 놓으면 f(x)=e^x-x+k

∴ f`'(x)=e^x-1 y ❶

f`'(t)=e^t-1을 ㉠에 대입하면

k=: ¹₀(e^t-1)dt=[e^t-t]1)=e-2 y ❷ 따라서 f(x)=e^x-x+e-2이므로

f(1)=e-1+e-2=2e-3 y ❸

 2e-3

채점 기준 비율

❶ f`'(x)를 구할 수 있다. 30%

❷ k의 값을 구할 수 있다. 50%

❸ f(1)의 값을 구할 수 있다. 20%

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

^{238 ~ 239쪽}

Ⅳ. 적분법

111

11

정적분

11

^전략 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하여 f`'(x)를 구한다.

풀이 f(x)=: ^x₀(2-t)e^tdt의 양변을 x에 대하여 미분하면

f`'(x)=(2-x)e^x y ❶

f`'(x)=0에서 x=2 (∵ e^x>0)

^{x y 2 y}

f`'(x) + 0

-f(x) ↗ 극대 ↘

따라서 f(x)는 x=2에서 극대이므로 구하는 극댓값은 y ❷ f(2)=: ²₀ (2-t)e^tdt

이때 u(t)=2-t, v'(t)=e^t으로 놓으면 u'(t)=-1, v(t)=e^t

∴ f(2) =[(2-t)e^t]2)-: ²₀ (-e^t)dt

=-2+[e^t]²₀

=-2+(eÛ`-1)

=eÛ`-3 y ❸

 eÛ`-3

12

^전략 미분계수의 정의를 이용한다.

풀이 F'(x)=f(x)라 하면 lim

x 4Ú 1` 1 xÛ`-1 :

x

1 `f(t)dt =lim

x 4Ú 1` 1

(x-1)(x+1) [F(t)]^x₁

=limx 4Ú 1` F(x)-F(1)x-1 ´ 1x+1

= 12F'(1)= 12`f(1)

= 12a

따라서 12 a=1

2 이므로 a=1

 ④

13

^전략 주어진 식을 합의 기호 Á를 이용하여 나타낸다.

풀이 (주어진 식)= lim

n 4Ú ¦` en`Áⁿ

k=1Ç "Åe^k= lim

n 4Ú ¦`Áⁿ

k=1e^{1+ kn}´ 1n 에서 1+ kn를 x로, 1n 을 dx로 나타낼 때,

k=1이고 n 4Ú ¦이면 x=1 k=n이면 x=2

이므로 적분 구간은 [1, 2]이다.

∴ (주어진 식)=: ²₁ e^xdx=[e^x]2!=eÛ`-e

 ③

채점 기준 비율

❶ f`'(x)를 구할 수 있다. 30%

❷ f(x)가 극대가 될 때의 x의 값을 구할 수 있다. 20%

❸ f(x)의 극댓값을 구할 수 있다. 50%

08

^전략 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분한다.

풀이 : ^x₀`f(t)dt=e^x+ax+a의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=e^x+a

: ^x₀`f(t)dt=e^x+ax+a의 양변에 x=0을 대입하면 0=1+a ∴ a=-1

따라서 f(x)=e^x-1이므로 f(ln 2)=2-1=1

 ①

09

^전략 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분한다.

풀이 : ^x₁`f(t)dt=sin`px+ax+b의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=p cos`px+a

이 식의 양변에 x=1을 대입하면 f(1)=-p+a

즉 -p+a=p이므로 a=2p y ❶

따라서 f(x)=p cos`px+2p이므로

f(3)=p y ❷

또 : ^x₁`f(t)dt=sin`px+2px+b의 양변에 x=1을 대입하면

0=2p+b ∴ b=-2p y ❸

∴ a-bf(3)= 2p-(-2p)

p =4 y ❹

 4

10

^전략 g(x)=x: ^x

0`f`'(t)dt-: ^x

0 t f`'(t)dt로 변형한 후 양변을 x에 대하여 미분한다.

풀이 g(x)=: ^x₀(x-t)f`'(t)dt에서 g(x)=x: <sup>x</sup><sub>0</sub>`f`'(t)dt-: <sup>x</sup><sub>0</sub>t f`'(t)dt 양변을 x에 대하여 미분하면

g`'(x)=: <sup>x</sup><sub>0</sub>`f`'(t)dt+x f`'(x)-x f`'(x) ∴ g`'(x) =: ^x

0`f`'(t)dt

=[f(t)]^x

0=f(x)-f(0) ∴ g`'(2p) =f(2p)-f(0)

=(2p+1)-1

=2p  2p

채점 기준 비율

❶ a의 값을 구할 수 있다. 50%

❷ f(3)의 값을 구할 수 있다. 20%

❸ b의 값을 구할 수 있다. 20%

❹ a-bf(3)의 값을 구할 수 있다. 10%

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112

^{정답 및 풀이}

∴ : ¹₀`f(x)g`'(x)dx =[`f(x)g(x)]1)-: <sup>1</sup><sub>0</sub>`f`'(x)g(x)dx

=f(1)g(1)-f(0)g(0)- 3 16 이때 g(x)=x에서 g(1)=1, g(0)=0이므로 : ¹₀`f(x)g`'(x)dx=f(1)- 3

16 y ❷

따라서 f(1)- 316 = 1

16이므로 f(1)= 14 y ❸

 1 4

17

^전략 f(x)=: ^x

a`g(t)dt이면 f`'(x)=g(x)임을 이용한다.

풀이 f(x)=: ^x₀` 1

1+tÝ``dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f`'(x)= 1

1+xÝ`

f(x)=: ^x

0` 1

1+tÝ``dt의 양변에 x=0을 대입하면 f(0)=0 : ^a₀` e ^f(x)

1+xÝ``dx에서 f(x)=t로 놓으면 dt

dx=f`'(x)= 1 1+xÝ`

이고 x=0일 때 t=f(0)=0, x=a일 때 t=f(a)=1이므로 : ^a₀ e`^f(x)

1+xÝ``dx=: ¹₀`e<sup>t</sup>`dt=[e^t]¹₀=e-1

 ③

18

^전략 주어진 등식의 양변을 x에 대하여 미분하여 f`'(x)를 구한다.

풀이 f(x)= p2 :

x+1

1 `f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f`'(x)=p

2 `f(x+1) 이므로 f(x+1)= 2p`f`'(x)

∴ pÛ`: <sup>1</sup><sub>0</sub>x f(x+1)dx =pÛ`: ¹₀ x´ 2p`f`'(x)dx

=2p: ¹

0x f`'(x)dx : ¹

0x f`'(x)dx에서 u(x)=x, v'(x)=f`'(x)로 놓으면 u'(x)=1, v(x)=f(x)

∴ : ¹₀x f`'(x)dx =[x f(x)]1)-: <sup>1</sup><sub>0</sub>`f(x)dx

=f(1)-: ¹

0`f(x)dx

=1-: ¹

0`f(x)dx

채점 기준 비율

❶ : ¹₀`f`'(x)g(x)dx의 값을 구할 수 있다. 40%

❷ : ¹₀`f(x)g`'(x)dx를 f(1)을 이용하여 나타낼 수 있다. 40%

❸ f(1)의 값을 구할 수 있다. 20%

14

^{전략 OQk}Ó의 길이를 k에 대한 식으로 나타낸다.

풀이 중심각의 크기가 p

2 인 부채꼴의 호의 길이를 n등분하면 중심각의 크기 도 n등분되므로 오른쪽 그림의 삼각형 P_kOQ_k에서

∠PkOQk=p

2´ kn =kp 2n 따라서 OQkÓ=cos`kp2n 이므로 lim

n 4Ú ¦` 1n`^n-1Á

k=1OQkÓ= lim_{n 4Ú ¦}`^n-1Á

k=1cos`kp2n´ 1n k

n 를 x로, 1

n 을 dx로 나타낼 때, k=1이고 n 4Ú ¦이면 x=0 k=n-1이고 n 4Ú ¦이면 x=1 이므로 적분 구간은 [0, 1]이다.

∴ lim

n 4Ú ¦`^n-1Á

k=1cos`kp2n´ 1n =:

1 0 cos`p

2 x`dx

=[ 2p sin`p

2 x ]1)= 2p

 2 p

15

^전략 2-x=2 sin`h로 놓고 삼각치환법을 이용한다.

풀이 "Ã4x-xÛ`="Ã4-(2-x)Û` 에서 2-x=2 sin`h, 즉 x=2-2 sin`h {- p2ÉhÉ p2 }로 놓으면 dxdh=-2 cos`h이고 x=0일 때 h=p

2, x=2일 때 h=0이므로 : ²₀ "Ã4x-xÛ` dx =: <sup>2</sup><sub>0</sub> "Ã4-(2-x)Û` dx

=: ⁰

;2Ò;"Ã4-4 sinÛ``h`´(-2 cos`h)dh

=: ⁰_;2Ò;"Ã4(1-sinÛ``h)´(-2 cos`h)dh

=: ^;2Ò;₀ 4 cosÛ``h`dh=: <sup>;2Ò;</sup><sub>0</sub> (2+2 cos`2h)`dh

=[2h+sin`2h]^;2Ò;₀

=p

 ③

16

^전략 치환적분법과 부분적분법을 이용한다.

풀이 : ¹₀`f`'(x)g(x)dx=: ¹₀ x

(1+xÛ`)Ü``dx에서 1+xÛ`=t로 놓으 면 dtdx =2x이고 x=0일 때 t=1, x=1일 때 t=2이므로 : ¹₀ x

(1+xÛ`)Ü``dx =: ²₁ 1

tÜ`´ 12 `dt=[- 1 4tÛ` ]2!   

= 316 y ❶

A Pû

Qû O

B

1

;::;kp2n

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

^{239 ~ 240쪽}

Ⅳ. 적분법

113

11

정적분 ㄴ. Û ㄴ에서 g(1)=e- 1e-1>0이고

g(2) =: ²_-1 e^t f(t)dt

=: ⁰_-1 e^t f(t)dt+: ²₀ e^t f(t)dt

=: ⁰_-1 e^tdt+: ²₀ e^t(-t+1)dt

=: ²_-1 e^tdt-: ²₀ te^tdt

=[e^t]²_-1-{ [te^t]2)-: ²₀ e^tdt}

=eÛ`- 1e-{2eÛ`-[e^t]2) }

=- 1e-1 ㄴ. Û 에서 g(2)=-1

e -1<0이므로 사이값 정리에 의하여 방 정식 g(x)=0은 구간 (1, 2)에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다.

ㄴ. Û 그런데 ㄴ에서 함수 g(x)는 x>1에서 감소하므로 구간 (1, 2)에서 한 개의 실근을 갖는다.

ㄴ. Ú, Û에서 방정식 g(x)=0의 실근의 개수는 2이다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 ③

20

^전략 미분계수의 정의를 이용한다.

풀이 g(t)=te^t, G '(t)=g(t)라 하면 lim

x 4Ú 1` 1

xÛ`-1`: ^f(x)_f(1) te^t dt

=limx 4Ú 1` 1

xÛ`-1`: ^f(x)_f(1) g(t)dt

=limx 4Ú 1` 1

xÛ`-1[G(t)] ^f(x)_f(1)

=limx 4Ú 1`G( f(x))-G( f(1)) (x+1)(x-1)

=limx 4Ú 1` 1x+1´ f(x)-f(1)x-1 ´ G( f(x))-G( f(1)) f(x)-f(1)

= 12 `f`'(1)G`'( f(1))

= 12 `f`'(1)G`'(2) (∵ f(1)=2)

= 12 `f`'(1)g(2)=1

2 `f`'(1)´2eÛ`

=eÛ` f`'(1)

즉 eÛ` f`'(1)=8eÛ`이므로 f`'(1)=8

 8 한편 함수 y=f(x)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이므로

f(1)=1에서 f(-1)=-1 f(x)= p2: ^x+1

1 `f(t)dt의 양변에 x=-1을 대입하면 -1=p

2 :

0

1`f(t)dt, : <sup>0</sup><sub>1</sub>`f(t)dt=- 2p ∴ : ¹₀`f(t)dt= 2p

∴ pÛ`: <sup>1</sup><sub>0</sub>x f(x+1)dx =2p[1-: <sup>1</sup><sub>0</sub>`f(x)dx]

=2(p-2)

 ①

19

^{전략 g(x)=: x}_-1^et f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분한다.

풀이 ㄱ. g(0) =: ⁰_-1 e^t f(t)dt=: ⁰_-1 e^t dt

=[e^t]0_!=1- 1e

ㄴ. g(x) =: ^x_-1 e^t f(t)dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 ㄴ. g`'(x)=e^x f(x)

ㄴ. g`'(x)=0에서 f(x)=0`(∵ e^x>0) ㄴ. ∴ x=1

^{x y 1 y}

g`'(x) + 0

-g(x) ↗ 극대 ↘

ㄴ. 따라서 g(x)는 x=1에서 극댓값을 가지므로 구하는 극댓값 은

ㄴ. g(1) =: ¹_-1 e^t f(t)dt

=: ⁰

-1 e^t f(t)dt+: ¹

0 e^t f(t)dt

=: ⁰

-1 e^tdt+: ¹

0 e^t(-t+1)dt

=: ¹

-1 e^tdt-: ¹

0 te^tdt

ㄴ. 이때 : ¹₀ te^tdt에서 u(t)=t, v`'(t)=e<sup>t</sup>으로 놓으면 ㄴ. u`'(t)=1, v(t)=e^t

ㄴ. ∴ g(1) =[e^t]¹_-1-{ [te^t]¹₀-: ¹₀ e^tdt}

=e- 1e -{e-[e^t]¹₀}   

=e- 1e -1

ㄷ. ㄴ의 함수 g(x)의 증감표에서 극댓값이 한 개이므로 방정식 g(x)=0의 실근은 최대 2개이다.

ㄴ. Ú x=-1이면 g(-1)=: ^-1_-1e^t f(t)dt=0이므로 x=-1은 방정식 g(x)=0의 실근이다.

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114

^{정답 및 풀이}

Ⅳ. 적분법

문서에서 09 도함수의 활용 ⑵ (페이지 30-34)