12 정적분의 활용
02 입체도형의 부피
본책 248 쪽 확 인
1 : 20S(x)dx =: 20(4x+5)dx=[2xÛ`+5x]2)=18
18
본책 249~250쪽 유 제
1 높이가 x`cm일 때의 단면의 넓이가 (e-x+x)`cmÛ`이므로 구 하는 부피는
: 40(e-x+x)dx =[-e-x+ 12 xÛ`]4)=-1
eÝ`+9(cmÜ`)
{- 1eÝ`+9}cmÜ`
2 오른쪽 그림과 같이 원뿔의 꼭짓 점을 원점, 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선을 x축으로 정하고, x좌표가 x인 점을 지나고 x축에 수직인 평면으로 원뿔을 자른 단면의 넓이를 S(x)라 하자.
이때 잘린 단면과 밑면은 닮은 도형이고 닮음비가 x`:`h이므로 넓 이의 비는 xÛ` : hÛ`이다. 즉
S(x) : prÛ`=xÛ` : hÛ` ∴ S(x)= prÛ`
hÛ` xÛ`
따라서 구하는 부피는 : h0S(x)dx =: h0 prÛ`
hÛ` xÛ``dx
= prÛ`
hÛ` [ 13xÜ`]h)= 13prÛ`h
13 prÛ`h
S(x) h
r
O x x
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12
정적분의 활용본책
246 ~ 251쪽Ⅳ. 적분법
117
3 오른쪽 그림과 같이 x축 위의 점x y
O
y=ex
H 2
P(x, ex) 1
H(x, 0)`(0ÉxÉ2)을 지나고 x축에 수직인 직선이 곡선 y=ex과 만나는 점 을 P라 하면 P(x, ex)이다.
점 P를 지나고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면은 PHÓ가 지름인 반원이므로 그 넓이를 S(x)라 하면
S(x)=1 2´p{PHÓ
2 }
2= p8e2x
따라서 구하는 부피는
: 20S(x)dx =: 20 p8 e2x`dx
= p8[ 12e2x]2)= p16(eÝ`-1)
p 16 (eÝ`-1) 4 오른쪽 그림과 같이 밑면의 중심을
원점, 잘린 평면과 밑면의 교선을 x축으 로 정하고, x축 위의 점 P(x, 0) (-3ÉxÉ3)을 지나고 x축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면을
△PQR라 하자. 이때
PQÓ="ÃOQÓ Û`-OPÓ Û`="Ã9-xÛ`, RQÓ=PQÓ`tan 45ç="Ã9-xÛ`
이므로 △PQR의 넓이를 S(x)라 하면 S(x)= 12 ´PQÓ´RQÓ=1
2 (9-xÛ`) 따라서 구하는 부피는
: 3-3S(x)dx =: 3-3 12 (9-xÛ`)dx=: 30(9-xÛ`)dx
=[9x- 13xÜ`]3)=18
18 x
O y -3P
3 3 45ù
R
Q
01 e-12 02② 03① 04'3 05③
064eÛ`-2 07 163 08① 09④ 10ln 4 119초 후 12③ 1396 14⑤ 15① 16e-2 17② 185
중단원 연습 문제
본책 251~253쪽01
전략 정적분을 이용하여 조건을 만족시키는 a의 값을 구한다.풀이 함수 y=e;2{;의 그래프와 x축, y축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 SÁ이라 하면
SÁ =: 20e;2{;`dx=[2e;2{;]2)=2(e-1) y ❶ 직선 y=ax와 x축 및 직선 x=2로 둘러싸인 도형의 넓이를 Sª라 하면
Sª= 12 ´2´2a=2a y ❷
이때 SÁ=2Sª이므로 2(e-1)=4a
∴ a= e-12 y ❸
e-12
02
전략 곡선 x=g(y)와 y축 및 두 직선 y=a, y=b로 둘러싸인 도형 의 넓이는 : ba|g(y)|dy이다.풀이 y=(x+1)Ü`에서 Ü 'y=x+1 ∴ x=Ü 'y-1
곡선 x=Ü 'y-1과 y축의 교점의 y좌표는 Ü 'y-1=0에서 y=1
따라서 구하는 넓이는
: 80|Ü 'y-1|dy =: 10(-Ü 'y+1)dy+: 81(Ü 'y-1)dy
=[- 34 y;3$;+y]1)+[ 34 y;3$;-y]8!
= 14+ 174= 92
②
03
전략 두 곡선의 교점의 x좌표를 구하여 적분 구간을 알아낸다.풀이 두 곡선 y='3 cos`x, y=sin`x의 교점의 x좌표는 '3 cos`x=sin`x에서 tan`x='3
∴ x= p3 `{∵ 0ÉxÉp 2 }
0ÉxÉ p3 에서 '3 cos`x¾sin`x이므로 구하는 넓이는 :0p3('3 cos`x-sin`x)dx =['3 sin`x+cos`x];0p3
=2-1=1
①
04
전략 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으면 : ba{ f(x)-g(x)}dx=0임을 이용한다.채점 기준 비율
❶ SÁ의 값을 구할 수 있다. 50%
❷ Sª의 값을 구할 수 있다. 20%
❸ a의 값을 구할 수 있다. 30%
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118
정답 및 풀이풀이 두 곡선 y=sin`x, y=a cos`x와 두 직선 x=0, x=2 3 p로 둘러싸인 두 도형의 넓이가 서로 같으므로
: ;3@;p
0 (sin`x-a cos`x)dx=0 [-cos`x-a sin`x];3@;p0 =0, - '3
2 a+3 2 =0 ∴ a='3
'3
05
전략 {(위의 식)-(아래의 식)}을 적분하여 두 곡선 사이의 넓이를 구한다.풀이 두 곡선 y=ex, y=xex의 교점의 x좌표는 ex=xex에서 (x-1)ex=0 ∴ x=1`(∵ ex>0)
0ÉxÉ1에서 ex¾xex, 1ÉxÉ2에서 exÉxex이므로
a =: 10(ex-xex)dx=: 10(1-x)ex dx
=[(1-x)ex]1)+: 10ex dx
=-1+[ex]10=e-2,
b =: 21(xex-ex)dx=: 21(x-1)ex dx
=[(x-1)ex]2!-: 21ex dx
=e2-[ex]21=e ∴ b-a=2
③
06
전략 {(위의 식)-(아래의 식)}을 적분하여 S(t)를 구한다.풀이 S(t) =: t1{(3+3`ln x)-2`ln x}dx
=: t1(3+ln x)dx 이므로
S'(t)= ddt :!t`(3+ln x)dx=3+ln t y ❶ 이때 S'(a)=5이므로 3+ln a=5
ln a=2 ∴ a=eÛ` y ❷
∴ S(eÛ`) =: eÛ`1(3+ln x)dx
=[(3+ln x)x]eÛ`1-: eÛ`
1 dx
=5eÛ`-3-[x]eÛ`1=4eÛ`-2 y ❸
4eÛ`-2
07
전략 접선의 방정식을 구한 후 곡선과 접선의 위치 관계를 파악한다.채점 기준 비율
❶ S'(t)를 구할 수 있다. 30%
❷ a의 값을 구할 수 있다. 30%
❸ S(a)의 값을 구할 수 있다. 40%
풀이 y=2'Äx-4에서
x y
y=2'Äx-4 y=;2!;x 4
8 O 4
y'= 2
2'Äx-4= 1 'Äx-4
곡선 위의 점 (8, 4)에서의 접선의 기 울기는 1
'Ä8-4= 12이므로 접선의 방 정식은
y-4= 12 (x-8) ∴ y=1
2 x y ❶
따라서 구하는 넓이는 1
2´8´4-:$8 2'Äx-4`dx =16-[ 43 (x-4);2#;]8$
=16- 323 =16
3 y ❷
163
08
전략 접선의 방정식을 구한 후 곡선과 접선의 위치 관계를 파악한다.풀이 y=ex-1+3에서 y'=ex-1 곡선 위의 점 (1, 4)에서의 접선의 기울 기는 1이므로 접선의 방정식은 y-4=x-1
∴ y=x+3 따라서 구하는 넓이는
: 10{(ex-1+3)-(x+3)}dx
=: 1
0(ex-1-x)dx=[ex-1- 12 xÛ`]1)
= 12 -1 e =e-2
2e ①
09
전략 함수와 그 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭임을 이 용한다.풀이 함수 f(x)=ln x의 역함수가 g(x)이므로 y=f(x)의 그래프와 y=g(x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.
따라서 오른쪽 그림에서 (빗금친 부분의 넓이)
=(B의 넓이) 이므로
: eÛ`1`f(x)dx+: 20`g(x)dx
=(A의 넓이)+(빗금친 부분의 넓이)
=(A의 넓이)+(B의 넓이)=eÛ`´2=2eÛ` ④
채점 기준 비율
❶ 접선의 방정식을 구할 수 있다. 40%
❷ 도형의 넓이를 구할 수 있다. 60%
x y
y=ex-1+3 y=x+3 4
3
O 1
x y
21
2 1
y=f(x) y=g(x) y=x
e2 e2
B A O
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12
정적분의 활용본책
251 ~ 253쪽Ⅳ. 적분법
119
다른 풀이 g(x)=ex이므로
: eÛ`1 `f(x)dx+: 20`g(x)dx =: eÛ`1 ln x`dx+: 20 ex dx ` `
=[x ln x]eÛ`1-: eÛ`1 dx+[ex]20
=2eÛ`-[x]eÛ`1+eÛ`-1=2eÛ`
10
전략 물의 깊이가 x가 되도록 물을 넣을 때의 수면의 넓이를 S(x) 라 하면 물의 부피는 : x0S(x)dx이다.
풀이 물의 깊이가 x일 때의 수면의 넓이를 S(x)라 하면 물의 부 피 V(x)는
V(x)=: x0S(x)dx=(x+1)`ln (x+1)-x 위의 식의 양변을 x에 대하여 미분하면
S(x)=ln (x+1)+ x+1x+1 -1=ln (x+1) 따라서 물의 깊이가 3일 때, 수면의 넓이는 S(3)=ln 4
ln 4
11
전략 반지름의 길이가 r인 원의 넓이는 prÛ`이다.풀이 밑면으로부터 높이가 x`cm인 지점의 단면의 넓이는 p(sin x+2)Û`=p(sinÛ` x+4 sin x+4)(cmÛ`) 이므로 용기의 부피는
: 2p0 p(sinÛ` x+4 sin x+4)dx
=p: 2p0 { 1-cos 2x2 +4 sin x+4}dx
=p: 2p
0 {- 12 cos 2x+4 sin x+ 92 }dx
=p[- 14 sin 2x-4 cos x+9 2 x]
2p 0
=9pÛ`(cmÜ`)
따라서 매초 pÛ``cmÜ` 만큼 물을 넣으면 9초 후에 물이 가득 찬다.
9초 후
12
전략 밑면을 좌표평면 위에 나타낸다.풀이 오른쪽 그림과 같이 지름 AB의 중 점을 원점, 지름 AB를 x축으로 정하자.
x축 위의 점 H(x, 0)`(-1ÉxÉ1)을 지나고 x축에 수직인 직선이 호 AB와 만나는 점을 P라 하면
PHÓÓ="ÃOPÓ Û`-OHÓ Û`="Ã1-xÛ`
점 P를 지나고 x축에 수직인 평면으로 자른 단면은 PHÓ를 한 변 으로 하는 정삼각형이므로 그 넓이는
'3
4 PHÓ Û`= '34 (1-xÛ`)
x y
O P
B
A H
-1 1
|x| 1 1
따라서 구하는 부피는 : 1-1'3
4 (1-xÛ`)dx ='3 2 :
1
0(1-xÛ`)dx
= '3
2 [x- 13 xÜ`]1)
= '3
2 ´ 23 ='3 3
③
13
전략 조건을 만족시키는 a의 관계식을 이용하여 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.풀이 f(x)=: x0(a-t)et dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f`'(x)=(a-x)ex
f`'(x)=0에서 x=a`(∵ ex>0)
x y a y
f`'(x) + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘
따라서 함수 f(x)는 x=a에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 f(a)=: a0(a-t)et dt
=[(a-t)et]a0+: a0et`dt
=-a+[et]a0=ea-a-1
∴ ea-a-1=32 yy`㉠
한편 곡선 y=3ex과 직선 y=3의 교점의 x좌표를 k라 하면 3ek=3에서 ek=1 ∴ k=0
따라서 곡선 y=3ex과 두 직선 x=a, y=3 으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림과 같으 므로 구하는 넓이는
: a0(3ex-3)dx =[3ex-3x]a)
=3ea-3a-3
=3(ea-a-1)
=3´32=96`(∵ ㉠)
96
14
전략 {(오른쪽의 식)-(왼쪽의 식)}을 적분하여 두 곡선 사이의 넓 이를 구한다.풀이 y=2`ln x에서 x=e;2};
y=-2`ln x에서 x=e-;2};
두 곡선 y=2 ln x, y=-2 ln x와 두 직 선 y=2, y=-2로 둘러싸인 도형은 오 른쪽 그림과 같으므로 구하는 넓이는
x y y=3ex
3 y=3
Ox=a
x y
y=-2`ln`x y=2`ln`x y=2
1 y=-2
O
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