Ⅳ. 연구의 실제
3. 자연수의 분할
수업에 적용한 학습 프로그램
자료 번호 4 탐구 주제 자연수의 분할
학습 목표 자연수를 분할하는 방법의 수를 구할 수 있다.
관련 영역 수와 연산, 자료와 가능성, 규칙성 학습 교구 서로 같은 구슬, 빈 상자
목표문제 : 몇 개의 자연수를 더하여 자연수 10을 만들 수 있는 방법의 수를 모두 찾아봅시다.
탐구문제 1 : 서로 같은 구슬(●) 4개를 구별이 없는 △개의 상자에 빈 상자 없이 나누어 넣는 방법은 모두 몇 가지입니까?
① △=1 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?
② △=2 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?
③ △=3 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?
④ △=4 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?
⑤ 위의 ①-④번 결과에서 각 상자에 있는 구슬을 숫자로 나타내어, 각 경 우에 그 수를 덧셈으로 표현하여 봅시다.
약속하기
서로 같은 구슬 □개를 구별이 없는 △개의 상자에
빈 상자 없이 나누어 넣는 방법의 수를 자연수의 분할수라고 합니다.
보충 1 : 1개의 상자에 서로 같은 □개의 구슬을 넣는 방법을 알아봅시다.
보충 2 : 구슬의 수와 상자의 수가 같은 경우에 구슬을 빈 상자 없이 넣는 방법에 대하여 알아봅시다.
탐구문제 2 : 서로 같은 구슬(●) 7개를 3개의 상자에 빈 상자 없이 나누어 넣는 방법은 모두 몇 가지입니까? 빈 상자가 없어야 한다는 조건을 염두에 두고 전반적인 아이디어를 생각해봅시다.
탐구문제 3 : [탐구문제 2]의 탐구방법으로 다음의 각 경우를 해결해 봅시다.
① 서로 같은 7개의 구슬을 2개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
② 서로 같은 7개의 구슬을 4개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
③ 서로 같은 7개의 구슬을 5개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
④ 서로 같은 7개의 구슬을 6개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
탐구문제 4 : 앞의 탐구문제들의 결과를 참고하여 다음 표의 빈칸을 채워 봅시다. 그리고 일반적으로 이러한 표를 만드는 규칙을 찾아봅시다.
구슬수 상자수 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
수학화 활동 사례 분석
③ △=3 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?
④ △=4 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?
⑤ 위의 ①-④번 결과에서 각 상자에 있는 구슬을 숫자로 나타내어, 각 경 우에 그 수를 덧셈으로 표현하여 봅시다.
가. 탐구문제의 이해
이 문제는 상자에 구슬을 직접 넣어보면서 경우의 수를 구할 수 있다.3) 하지 만 이전 학습주제였던 ‘모임의 분할’과의 차이점은 서로 다른 구슬이 아니라 서 로 같은 구슬이라는 것이다. 즉, 이 문제에서는 구슬을 구별할 필요가 없다.
① 상자가 하나인 경우: 1가지, (4,1)=1
② 상자가 두 개인 경우: 2가지, (4,2)=2
,
③ 상자가 세 개인 경우: 1가지, (4,3)=1
④ 상자가 네 개인 경우: 1가지, (4,4)=1
⑤ ①-④번 결과에서 각 상자에 있는 구슬을 숫자로 나타내어, 각 경우에 그 수를 덧셈으로 표현해 보면 다음과 같다.
: 4
3) 각 상자에 있는 구슬의 수를 숫자로 나타내어 각 경우에 그 수를 덧셈으로 표현하여 보면 ‘서 로 같은 구슬 □개를 구별이 없는 △개의 상자에 빈 상자 없이 담는 방법의 수’를 구하는 것
: 1+3, : 2+2
: 1+1+2
: 1+1+1+1
나. 학생들의 반응 분석
‘탐구문제 1’을 개인문제로 제시하였지만 모두가 쉽게 해결하였다. 구슬이 서 로 같았기 때문에 더 쉽게 분류할 수 있었다. 또한, ⑤번 문제를 해결하면서 자 연수 4를 분할하는 방법의 수에 대해서 자연스럽게 이해할 수 있었다. 즉, 구슬 이 5개라면 자연수 5를 분할하는 방법을 찾을 수 있고, 구슬이 10개라면 자연수 10을 분할하는 방법을 찾을 수 있다는 사실을 발견했다. 이에 대한 이해가 충분 했기 때문에 학생들에게 ‘자연수의 분할수’에 대한 정의를 다음과 같이 안내하 였다.
탐구문제 2 서로 같은 구슬(●) 7개를 3개의 상자에 빈 상자 없이 나누어 넣 는 방법은 모두 몇 가지입니까? 빈 상자가 없어야 한다는 조건을 염두에 두고 전반적인 아이디어를 생각해봅시다.
가. 탐구문제의 이해
미리 3개의 상자에 구슬을 하나씩 넣어 주고(빈 상자를 없앰) 문제해결을 시 작하면 주어진 문제는 결국 남은 4개의 구슬을 3개의 상자에 담는 문제로 귀착 된다. 이러한 전략은 조합론에서 흔히 사용되는 ‘미리주고 시작하기’ 전략이다 (최근배 외, 2010).
[그림 Ⅳ-17] 서로 같은 구슬 7개를 3개의 상자에 넣는 방법
이제 남은 구슬 4개를 3개의 상자에 넣어주면 되는데, 1개, 2개, 3개의 상자에 넣는 세 가지 경우가 있다. 즉, 7개의 구슬을 빈 상자 없이 3개의 상자에 나누어 넣는 방법의 수는 4개의 구슬을 1, 2, 3개의 상자에 나누어 넣는 방법의 수와 같 다고 할 수 있다(최근배 외, 2010).
나. 학생들의 반응 분석
‘탐구문제 2’도 혼자서 풀도록 하였다. 물론 ‘미리주고 생각하기’ 전략에 대한 설명은 미리하지 않았다. 학생들이 창의적으로 문제를 해결하는 과정을 알아보 고 싶었기 때문이다. 일반적으로 대다수의 학생들은 7개의 구슬을 모두 3개의 상자에 넣어가면서 방법을 구하고 있었다. 학생들은 몇 가지 경우를 그림으로 그려보더니 정답을 쉽게 찾아냈다.
[그림 Ⅳ-18]은 2모둠의 한 학생이 ‘탐구문제 2’를 해결한 아이디어이다. 이 학생은 다른 학생들과 문제해결 방법이 달랐는데, 풀이과정을 살펴보니 ‘미리주 고 생각하기’ 전략에 대해서 어렴풋이 짐작하는 것으로 보였다. 3개의 상자에 구슬을 하나씩 미리 집어넣고, 나머지 4개의 구슬이 들어갈 수 있는 방법을 숫 자로 표시하여 나타내었다.
[그림 Ⅳ-18] 2모둠의 한 학생의 문제해결 아이디어(자료번호4-탐구문제2)
하지만 이 학생을 제외한 대다수는 ‘탐구문제 1’을 이번 문제를 해결하는데 활용하지 못했다. ‘미리주고 생각하기’ 전략에 대해서 파악하지 못한 것이다. 이 전략은 ‘탐구문제 2’보다 복잡한 문제에서 활용도가 높으며, ‘탐구문제 3’을 해결 할 때 좋은 힌트가 될 것이다. 따라서 수업자는 학생들에게 ‘미리주고 생각하기’
전략에 대해서 설명해주었다.
탐구문제 3 [탐구문제 2]의 탐구방법으로 다음의 각 경우를 해결해 봅시다.
① 서로 같은 7개의 구슬을 2개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
② 서로 같은 7개의 구슬을 4개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
③ 서로 같은 7개의 구슬을 5개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
④ 서로 같은 7개의 구슬을 6개의 상자에 빈 상자 없이 넣는 방법의 수
가. 탐구문제의 이해
‘탐구문제 3’은 ‘탐구문제 2’와 같이 ‘미리주고 생각하기’ 전략을 활용하면 쉽 게 해결된다. 빈 상자에 구슬을 미리 하나씩 집어넣고 나머지 구슬을 상자에 넣 는 방법으로 구한다. 이를 통해 방법의 수를 구하면 다음과 같다.
①
②
③
④
나. 학생들의 반응 분석
‘탐구문제 3’은 모둠별로 해결하도록 하였다. 물론 이 문제는 혼자서 해결하기 에도 어렵지 않은 수준이며, ‘미리주고 생각하기’ 전략을 활용하지 않더라도 충 분히 해결할 수 있다.
[그림 Ⅳ-19]과 [그림 Ⅳ-21]에서 보이는 것처럼 1모둠과 3모둠은 상자와 구 슬을 그림으로 그려 문제를 해결하고 있다. ‘탐구문제 2’를 해결했듯이 ‘미리주 고 생각하기’ 전략을 사용하고 있다. 빈 상자에 구슬을 하나씩 먼저 넣고, 나머 지 구슬이 상자에 들어갈 수 있는 방법을 찾았다.
단, 1모둠은 ‘탐구문제 3-①’에 대해서만 위와 같은 전략을 사용하지 않고 모 든 경우를 찾아내는 방법으로 해결하였다. 즉, 서로 같은 구슬 7개를 2개의 빈 상자에 나누어 담는 방법의 수를 ‘3+4’, ‘2+5’, ‘1+6’의 3가지 방법이 있다고 설명 하고 있다. 이런 문제는 직접 경우의 수를 구하기에도 전혀 어렵지 않다.
[그림 Ⅳ-20]을 보면 2모둠은 그림을 그려서 문제를 해결하지는 않았지만 결 국 풀이는 같다는 것을 알 수 있다. 대신에 미리 공식을 세우고 나서 각각의 문 제에 적용하고 있다. 2모둠이 정리한 공식을 정교화하면 다음과 같다.
⋯
(a: 구슬의 수, b: 상자의 수)
[그림 Ⅳ-19] 1모둠의 문제해결 아이디어(자료번호4-탐구문제3)
[그림 Ⅳ-20] 2모둠의 문제해결 아이디어(자료번호4-탐구문제3)