모임의 분할

수업에 적용한 학습 프로그램

자료 번호 3 탐구 주제 모임의 분할

학습 목표 어떤 모임을 분할하는 방법의 수를 구할 수 있다.

관련 영역 자료와 가능성, 규칙성 학습 교구 서로 다른 색의 구슬, 빈 상자

목표문제 : 장미꽃, 맨드라미, 금잔화, 튤립, 해바라기, 국화꽃의 씨앗이 각각 한 개씩 있습니다. 이것을 화분 4개에 빈 화분 없이 나누어 심으려고 합니다.

나누어 심을 수 있는 방법의 수는 모두 몇 가지일까요?

탐구문제 1 : 빨간 색, 파란 색, 검은 색의 구슬 3개를 ^△개의 상자에 빈 상자 없이 나누어 넣는 방법을 그림을 그려서 알아봅시다.(단, 상자는 서로 구별하지 않으며 빈 상자 없이 나누어 담는다.)

① ^△=1 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?

② ^△=2 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?

③ ^△=3 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?

④ ^△≥4 일 때, 몇 가지 방법이 있나요?

⑤ 위의 ②번을 유심히 살펴보고 빨간 색 구슬과 상자와 관련된 사실을 찾아봅시다.

보충 1 : 1개의 상자에 서로 다른 □개의 구슬을 나누어 넣는 방법은 모두

보충 2 : 구슬의 수와 상자의 수가 같은 경우에 서로 다른 □개의 구슬을

수학화 활동 사례 분석

탐구문제 1 빨간 색, 파란 색, 검은 색의 구슬 3개를 △개의 상자에 빈 상자

다. 즉, 어떤 구슬은 혼자 상자에 있거나 다른 구슬과 같이 상자에 있게 된 다. 이와 같은 문제해결 전략을「특정한 것 중심으로 생각하기」라고 하 며, 이산수학에서 흔히 사용하는 전략 중 하나이다(최근배 외, 2010).

나. 학생들의 반응 분석

학생들은 ‘탐구문제 1’을 혼자서도 쉽게 구할 수 있었다. 구하는 경우의 수도 3개 이하였고, 실제로 나누어 보거나 그림을 그리는 방법으로 구할 수 있었다.

또한, ⑤번 문제에 대해서 빨간 색 구슬이 상자에 혼자 들어가 있거나 다른 구 슬과 함께 들어가 있다는 사실을 잘 발견했다. 하지만 ⑤번 문제의 의도가 뭔지 는 알지 못했다. 따라서 수업자는 이산수학에서 흔히 쓰이는 문제해결 전략으 로 ‘특정한 것 중심으로 생각하기’ 전략이 있다고 설명했으며, 이번 학습주제를 해결할 때 이 전략을 잘 활용하도록 하였다.

탐구문제 2 서로 다른 4개의 구슬()을 3개의 상자에 빈 상자 없이 나 누어 넣는 방법을 알아봅시다.(단, 상자는 서로 구별하지 않으며 빈 상자 없이 나누어 담는다.)

① 번 구슬 혼자만 1개의 상자에 들어갈 경우

② 번 구슬이 다른 구슬과 같이 상자에 들어갈 경우

③ 모두 몇 가지 방법이 있나요?

가. 탐구문제의 이해

‘특정한 것 중심으로 생각하기’ 전략을 통해 번 구슬을 중심으로 생각해본 다면, 번 구슬은 혼자 상자에 들어가거나 다른 구슬과 같이 상자에 들어가는 두 가지 경우 밖에 없다.

① 번 구슬 혼자만 1개의 상자에 들어가는 경우

[그림 Ⅳ-11] 번 구슬 혼자만 1개의 상자에 들어가는 경우

이 경우에는 3개의 구슬 , , 를 2개의 상자에 나누어 넣는 방법의 수 S(3,2)와 같다. 따라서 ‘탐구문제 1’에 의해서 답은 3가지이다(최근배 외, 2010).

② 번 구슬이 다른 구슬과 같이 상자에 들어갈 경우

이 경우에는 번 구슬을 제외한 다른 구슬들(, , )을 우선 빈 상자 없 이 3개의 상자에 나누어 담고, 그 후에 번 구슬을 넣으면 된다. 여기에서 번 구슬을 제외한 다른 구슬들(, , )을 빈 상자 없이 3개의 상자에 나누어 담 는 방법의 수 S(3,3)은 1가지이다(최근배 외, 2010).

[그림 Ⅳ-12] 번 구슬이 다른 구슬과 같이 상자에 들어갈 경우

이제 번 구슬을 넣어보자. 서로 다른 3개의 구슬을 빈 상자 없이 3개의 상 자에 나누어 넣는 방법은 1가지이지만 번 구슬을 어느 상자에 넣는지에 따라

각각 다른 경우가 되므로, 총 3가지 경우가 된다. 즉, 3×S(3,3)=3이다(최근배 외,

가. 탐구문제의 이해

③ A상자에 구슬 3개, B상자에 1개, C상자에 1개가 들어가는 경우: 10가지 A상자에 구슬 2개, B상자에 2개, C상자에 1개가 들어가는 경우: 15가지

④ A상자에 구슬 2개, B상자에 1개, C상자에 1개, D상자에 1개가 들어가는 경우: 10가지

[그림 Ⅳ-13] 1모둠의 문제해결 아이디어(자료번호3-탐구문제3)

[그림 Ⅳ-14]를 보면, 3모둠은 번 구슬을 중심으로 생각하고 있다. 하지만

번 구슬이 혼자 상자에 들어가거나 다른 구슬과 같이 상자에 들어가는 두 가 지 경우만으로 답을 구한 것은 아니다.

[그림 Ⅳ-14] 3모둠의 문제해결 아이디어(자료번호3-탐구문제3)

① 번 구슬이 혼자만 상자에 들어간 경우: 1가지

번 구슬이 다른 구슬 1개와 상자에 들어간 경우: 3가지

번 구슬이 다른 구슬 2개와 상자에 들어간 경우: 3가지

② 번 구슬이 혼자만 상자에 들어간 경우: 1가지

번 구슬이 다른 구슬 1개와 상자에 들어간 경우: 4가지

번 구슬이 다른 구슬 2개와 상자에 들어간 경우: 6가지

번 구슬이 다른 구슬 3개와 상자에 들어간 경우: 4가지

③ 번 구슬이 혼자만 상자에 들어간 경우: 7가지

번 구슬이 다른 구슬 1개와 상자에 들어간 경우: 12가지

번 구슬이 다른 구슬 2개와 상자에 들어간 경우: 6가지

④ 번 구슬이 혼자만 상자에 들어간 경우: 6가지

예를 들어 4개의 구슬을 빈 상자 없이 2개의 상자에 넣는 방법의 수를 규칙을 이용하여 표에서만 구하려고 한다면, <표 Ⅳ-2>에서 색칠된 ㄱ자 모양의 부분을 살펴보자. ㄱ자 모양에서 [1+2×3=7]이라는 것을 알 수 있다. 다른 부분의 ㄱ자 모양을 살펴보아도 마찬가지의 규칙이 적용된다(최근배 외, 2010).

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[그림 Ⅳ-15] ㄱ자 부분의 규칙(자료번호3-탐구문제4)

나. 학생들의 반응 분석

대다수의 학생이 이제까지 해결했던 탐구문제를 바탕으로 어느 정도 빈칸을 채웠으나 표에서 규칙을 발견하지는 못했다. 오직 2모둠의 한 학생만이 아래의 [그림 Ⅳ-16]과 같이 빈칸을 모두 채우고, 수업자가 의도한 규칙을 발견해냈다.

[그림 Ⅳ-16] 2모둠의 한 학생의 문제해결 아이디어(자료번호3-탐구문제4)

이 학생은 ^{ }       ×  와 같이 식을 정리했다(여기 에서 a는 구슬의 수, b는 상자의 수를 가리킨다). 그러고 나서 자신이 세운 식이 맞는지 표에서 몇 번 확인하더니, 구슬의 수가 7개와 8개일 때의 경우도 빈칸도 만들어 채웠다.

이 학생에게 자신이 발견한 식을 다른 학생들에게 발표할 기회를 주었다. 다 른 학생들은 발표를 듣고 난 후 어떤 규칙으로 식을 만들었는지 이해하였고, 주 어진 문제를 해결할 수 있었다.