일차함수

1

P P104~107

0 1

^Actionx, y 사이의 관계식을 구하고 y=ax+b(a+0)의 꼴인 것 을 찾는다.

① y=24-x

② y=x¤

③ y=60x

④ y=2(5+x)에서 y=2x+10

⑤ xy=100에서 y=

따라서 일차함수가 아닌 것은 ②, ⑤이다.

0 2

^Action평행이동한 그래프의 식을 구하고 x=-k, y=k를 대입한다.

일차함수 y=3x-1의 그래프를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3x-1+3

∴ y=3x+2 …… 50%

일차함수 y=3x+2의 그래프가 점 (-k, k)를 지나므 로 y=3x+2에 x=-k, y=k를 대입하면

k=-3k+2, 4k=2

∴ k=;2!; ^{…… 50%}

0 3

^Actiony=ax+b에 x=2, y=-1과 x=-1, y=5를 각각 대입 한다.

일차함수 y=ax의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평 행이동한 그래프의 식은 y=ax+b이다.

11100x

y=ax+b에 x=2, y=-1을 대입하면

-1=2a+b yy㉠

y=ax+b에 x=-1, y=5를 대입하면

5=-a+b yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=3

∴ ab=-6

04

^Action주어진 식이 일차함수가 되려면 식을 간단히 정리하였을 때 x¤

의 계수는 0이고, x의 계수는 0이 아니어야 한다.

y=x(ax+3)-bx+8에서 y=ax¤ +(3-b)x+8

이 식이 일차함수가 되려면 x¤ 의 계수는 0이고, x의 계 수는 0이 아니어야 한다.

따라서 a=0, 3-b+0이므로 a=0, b+3

05

^Actionf(2)=-4임을 이용하여 먼저 a의 값을 구한다.

f(2)=6a-a+1=-4이므로

5a=-5, a=-1 ∴ f(x)=-3x+2 3 f(-2)+f(5)=f(b)에서

3_(6+2)+(-15+2)=-3b+2 24+(-13)=-3b+2

3b=-9 ∴ b=-3

06

^Actionx좌표와 y좌표가 같은 점의 좌표를 (a, a)로 놓는다.

y=-3x+k에 x=-2, y=10을 대입하면 10=-3_(-2)+k ∴ k=4

일차함수 y=-3x+4의 그래프 위의 점 중에서 x좌표 와 y좌표가 같은 점의 좌표를 (a, a)라고 하면

a=-3a+4, 4a=4 ∴ a=1 따라서 구하는 점의 좌표는 (1, 1)이다.

07

^Actiony=-;a@;x+;aB;에 x=2, y=0과 x=0, y=-4를 각각 대 입한다.

일차함수 y=-;a@;x+;aB;의 그래프의 x절편이 2이므로 0=-;a@;_2+;aB;, ;a$;=;aB; ∴ b=4

일차함수 y=-;a@;x+;a$;의 그래프의 y절편이 -4이므 로 ;a$;=-4 ∴ a=-1

∴ a+b=3

정답과 풀이

01②, ⑤ 02풀이 참조, ;2!; 03^-6

04a=0, b+3 05^-3 06(1, 1)

07³ 08^-5 09a=-;2#;, b+-4

10;1!3^; 11⁴ 12-;;¡4£;; 13제3사분면 14;5$; 15^-2<a…-1 16-14, -2 17;4#; …a…2 1835년 후 1924시간 48분

20^{24 æ} 2144개

⑴ y=ax y=ax+k

⑵ y=ax+b221111⁄^{y축의 방향으로}_{k만큼 평행이동} y=ax+b+k y축의 방향으로

221111⁄_{k만큼 평행이동}

Lecture 일차함수의 그래프의 평행이동

x절편이 m, y절편이 n인 일차함수의 그래프는 두 점 (m, 0), (0, n)을 지난다.

Lecture 일차함수의 그래프의 x절편, y절편 답_052072_최고수준수학2가.ps 2013.9.13 7:38PM 페이지52 첫단추 2-mono-2400 2400DPI 150LPI T

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Ⅴ-`1. 일차함수와 그래프 53

08

^Action두 일차함수 y=ax+b, y=a'x+b'의 그래프가 일치하면 a=a ', b=b'이다.

y=ax+3에 x=1, y=4를 대입하면 4=a+3 ∴ a=1

일차함수 y=x+3의 그래프를 y축의 방향으로 b만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=x+3+b

이때 일차함수 y=x+3+b의 그래프가 일차함수 y=cx-4의 그래프와 일치하므로

1=c, 3+b=-4 ∴ b=-7, c=1

∴ a+b+c=1+(-7)+1=-5

09

^Action두 일차함수의 그래프가 서로 만나지 않으려면 두 그래프는 평 행해야 한다.

두 일차함수의 그래프가 서로 만나지 않으려면 두 그래프 가 평행해야 하므로 기울기는 같고 y절편은 달라야 한다.

따라서 2a=-3, -4+b이므로 a=-;2#;, b+-4

10

^Action점 O를 원점으로 하고, AB”를 x축, OC”를 y축으로 하여 좌 표평면 위에 그려 본다.

OB”=32_8=256(cm) O’A”=360-256=104(cm)

OC”=16_8=128(cm) …… 50%

점 O를 원점으로 하고, AB”를 x축, OC”를 y축으로 하여 미 끄럼틀을 좌표평면 위에 그리 면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 A(-104, 0),

C(0, 128)이므로 미끄럼판의 기울기는

=;1!0@4*;=;1!3^; ^{…… 50%}

11

^Action세 점이 한 직선 위에 있으므로 세 점 중 어느 두 점을 지나 는 직선의 기울기는 모두 같다.

세 점이 한 직선 위에 있으므로 두 점 (-1, -2), (2, 7)을 지나는 직선의 기울기와 두 점 (2, 7), (k, 2k+5)를 지나는 직선의 기울기는 같다.

두 점 (-1, -2), (2, 7)을 지나는 직선의 기울기는

= =3

두 점 (2, 7), (k, 2k+5)를 지나는 직선의 기울기도 3

이므로 = =3

2k-2=3(k-2), 2k-2=3k-6

∴ k=4

2k-2 k-2 2k+5-7

k-2 9 3 7-(-2) 2-(-1) 128-0 0-(-104)

x y

C

O

A B

12

^Action두 일차함수의 그래프가 평행하면 기울기가 같고, x축 위에 서 만나면 x절편이 같다.

두 일차함수 y=ax-5, y=-2x+5의 그래프가 평행 하므로 기울기가 같다.

∴ a=-2

두 일차함수 y=-2x-5, y=;2!;x-b의 그래프가 x축 위에서 만나므로 x절편이 같다.

y=-2x-5에 y=0을 대입하면 0=-2x-5 ∴ x=-;2%;

y=;2!;x-b에 y=0을 대입하면 0=;2!;x-b ∴ x=2b -;2%;=2b이므로 b=-;4%;

∴ a+b=-2+{-;4%;}=-:¡4£:

13

^Action그래프의 방향과 y절편이 음수임을 이용하여 a, b의 부호를 구 한다.

일차함수 y=-ax+b의 그래프가 오른쪽 아래로 향하 고 있으므로 -a<0 ∴ a>0 …… 25%

또, y절편이 음수이므로 b<0 …… 25%

따라서 ;bA;<0, -;b!;>0이므 로 일차함수 y=;bA;x-;b!;의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다.

…… 30%

따라서 제3사분면을 지나지 않는다. …… 20%

x y

O

a b

1 y= x-b 세 점이 한 직선 위에 있을 때, 세 점 중 어느 두 점을 택하여도 두 점을 지나는 직선의 기울기는 일정하다.

즉, 세 점 A, B, C를 지나는 직선에서 (두 점 A, B를 지나는 직선의 기울기)

=(두 점 B, C를 지나는 직선의 기울기)

=(두 점 A, C를 지나는 직선의 기울기)

Lecture 한 직선 위의 세 점

일차함수 y=ax+b의 그래프가

⑴ 오른쪽 위로 향하면 a>0 오른쪽 아래로 향하면 a<0

⑵ y절편이 양수이면 b>0 y절편이 음수이면 b<0

⑶ 원점을 지나면 b=0

Lecture 일차함수 y=ax+b의 그래프의 성질

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14

^Actiona>0이고 y절편이 4임을 이용하여 그래프를 그려 본다.

일차함수 y=ax+4의 그래프의 y 절편이 4이고, a>0이므로 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.

이때 색칠한 부분의 넓이가 10이 므로

;2!;_O’A”_4=10 ∴ O’A”=5 따라서 점 A의 좌표가 (-5, 0)이므로 y=ax+4에 x=-5, y=0을 대입하면 0=-5a+4 ∴ a=;5$;

일차함수 y=ax+4의 그래프의 x절편은 -;a$;, y절편은 4이므로 색칠한 부분의 넓이는 ;2!;_|-;a$;|_4=10 a>0이므로 ;2!;_;a$;_4=10

;a*;=10 ∴ a=;5$;

15

^Action일차함수의 그래프가 제 1사분면을 지나지 않을 때의 기울기 와 y절편의 부호를 생각해 본다.

일차함수

y=-(a+2)x+a+1의 그래 프가 제 1 사분면을 지나지 않으 려면 오른쪽 그림과 같이

(기울기)<0, (y절편)…0이어 야 한다.

따라서 -(a+2)<0, a+1…0이므로 -2<a…-1

16

^Action일차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표는 (x절편, 0) 이다.

y=-;2#;x+6에 y=0을 대입하면 0=-;2#;x+6, x=4 ∴ P(4, 0) y=2x+a에 y=0을 대입하면

0=2x+a, x=-;2A; ∴ Q{-;2A;, 0}

x y

O 다른 풀이

x y

O A

4

y=ax+4

이때 P’QÚ=3이므로 점 Q의 좌표는 (7, 0) 또는 (1, 0) 이다.

따라서 -;2A;=7 또는 -;2A;=1이므로 a=-14또는 a=-2

17

^Action일차함수 y=ax-1의 그래프는 항상 점 (0, -1)을 지나므 로 이 점을 기준으로 그래프를 움직여 본다.

일차함수 y=ax-1의 그래프 는 y절편이 -1이므로 항상 점 (0, -1)을 지난다.

이때 일차함수 y=ax-1의 그 래프가 선분 AB와 만나기 위 해서는 오른쪽 그림의 색칠한 부분에 있어야 한다.

⁄ y=ax-1의 그래프가 점 A(2, 3)을 지날 때,

⁄ 3=2a-1 ∴ a=2

¤ y=ax-1의 그래프가 점 B(4, 2)를 지날 때,

⁄ 2=4a-1 ∴ a=;4#;

⁄, ¤에 의하여 a의 값의 범위는

;4#;…a…2

18

^Action먼저 1년 동안 자라는 종유석의 길이를 구한다.

종유석이 10년에 4 cm씩 자라므로 1년에 ;5@; cm씩 자란

다. …… 20%

x년 후의 종유석의 길이를 y cm라고 하면 현재 이 종유 석의 길이가 38 cm이므로

y=38+;5@;x ^{…… 40%}

y=38+;5@;x에 y=52를 대입하면 52=38+;5@;x, ;5@;x=14 ∴ x=35

따라서 이 종유석의 길이가 52 cm가 되는 것은 35년 후

이다. …… 40%

19

^Action(거리)=(속력)_(시간)임을 이용한다.

x시간 후 서울과 태풍 사이의 거리를 y km라고 하면 y=620-25x

태풍이 서울에 도달했을 때 서울과 태풍 사이의 거리는 0 km이므로

y=620-25x에 y=0을 대입하면 0=620-25x ∴ x=24.8

따라서 태풍이 서울에 도달할 때까지 걸리는 시간은 24 시간 48분이다.

2 3

-1 A

B

2 4 x

y

O

정답과 풀이

일차함수 y=ax+b의 그래프와 x축, y축 으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림과 같이 항상 직각삼각형이다.

∴ (넓이)=;2!;_|x절편|_|y절편|

∴ (넓이)=;2!;_|-;aB;|_|b|

x y

O

-b b a

Lecture 일차함수의 그래프와 x축, y축으로 둘러싸 인 부분의 넓이

답_052072_최고수준수학2가.ps 2013.9.13 7:38PM 페이지54 첫단추 2-mono-2400 2400DPI 150LPI T

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Ⅴ-`1. 일차함수와 그래프 55

20

^Action기온이 1 æ 높아질 때의 소리의 속력의 증가량을 구한다.

주어진 표에서 기온이 5 æ 높아질 때마다 소리의 속력 이 3 m/초씩 증가하므로 기온이 1 æ 높아질 때마다 소 리의 속력은 ;5#; m/초씩 증가한다.

기온이 x æ일 때의 소리의 속력을 y m/초라고 하면 기 온이 0 æ일 때의 소리의 속력이 331 m/초이므로 y=331+;5#;x

y=331+;5#;x에 y=345.4를 대입하면 345.4=331+;5#;x, ;5#;x=14.4

∴ x=24

따라서 소리의 속력이 345.4 m/초일 때의 기온은 24 æ 이다.

21

^Action각 단계별로 필요한 타일의 개수를 구하여 규칙을 찾는다.

x단계에서 필요한 타일의 개수를 y개라 하고 표를 만들 면 다음과 같다.

x의 값이 1씩 증가할 때, y의 값은 4씩 증가하므로 y=4x+4

y=4x+4에 x=10을 대입하면 y=4_10+4=44

따라서 10단계에서 필요한 타일의 개수는 44개이다.

01

^Actionf(-1)>0, f(1)>0이어야 한다.

-1…x…1일 때, f(x)>0이 항상 성립하려면 f(-1)>0, f(1)>0이어야 한다.

최/

최/고/고/수/수/준준

완성하기

^PP108~111

01-2<a<0, 0<a<;3@; 02{;1#3);, ;1!3*;} 03⁶ 04^-6 05^-32 06^-1 07^-3 08^-1 09제3사분면10제4사분면11ㄱ, ㄹ 12최댓값 : ;2&;, 최솟값 : -;2#; 13-;2#; 14풀이 참조 1551분 16;;§3∞;; 분

x

y 8 12 16 20 y

1 2 3 4 y

⁄ f(-1)=-2a-a+2>0에서

¤ -3a>-2 ∴ a<;3@;

¤ f(1)=2a-a+2>0에서

¤ a>-2

이때 f(x)는 일차함수이므로 a+0

따라서 a의 값의 범위는 -2<a<0, 0<a<;3@;

02

^ActionB(a, 0), C(b, 0)으로 놓고 두 점 A, D의 좌표를 a, b를 사용하여 나타낸다.

B(a, 0), C(b, 0)이라고 하면 A{a, ;2#;a}, D(b, -2b+6) 사각형 ABCD가 정사각형이므로 AB”=B’CÚ에서 ;2#;a=b-a

∴ b=;2%;a yy㉠

B’CÚ=DC”에서 b-a=-2b+6

∴ a=3b-6 yy㉡

㉠, ㉡`을 연립하여 풀면 a=;1!3@;, b=;1#3);

따라서 점 D의 좌표는 {;1#3);, ;1!3*;}이다.

03

^Actionx절편은 y=0일 때의 x의 값, y절편은 x=0일 때의 y의 값 이다.

일차함수 y=3x의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3x에 x 대신 x+2를, y 대신 y-3을 대입한 식과 같으므로

y-3=3(x+2) ∴ y=3x+9 y=3x+9에 y=0을 대입하면 0=3x+9 ∴ x=-3

y=3x+9에 x=0을 대입하면 y=9 따라서 m=-3, n=9이므로 m+n=6

함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으 로 q만큼 평행이동하면 y=f(x)에 x 대신 x-p를, y 대신 y-q 를 대입한다.

즉, y-q=f(x-p)에서 y=f(x-p)+q

Lecture 함수의 평행이동

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정답과 풀이

0 4

^Actionx절편, y절편을 이용하여 a, b를 각각 c에 대한 식으로 나타 낸다.

일차함수 y=-;bA;x+;bC;의 그래프의 x절편이 -2이므 로 0= + , 2a=-c ∴ a=-;2!;c

또, y절편이 3이므로

=3, c=3b ∴ b=;3!;c

∴ =c÷(a+b)=c÷{-;2!;c+;3!;c}

=c÷{-;6!;c}=c_{-;c^;}

=-6

0 5

^Action△AOB=△AOC+△BOC이고,

△AOC : △BOC=2 : 1임을 이용한다.

y=;4#;x+6에 y=0을 대입 하면 0=;4#;x+6, x=-8

∴ A(-8, 0)

y=;4#;x+6에 x=0을 대입 하면 y=6

∴ B(0, 6)

∴ △AOB=;2!;_8_6=24 이때 △AOC=;3@;△AOB이므로

;2!;_8_q=;3@;_24 ∴ q=4 또, △BOC=;3!;△AOB이므로

;2!;_6_(-p)=;3!;_24 ∴ p=-;3*;

∴ 3pq=3_{-;3*;}_4=-32

0 6

^Action규칙에 따라 세 점이 이동한 점의 좌표를 각각 구한다.

점 (x, y)를 점 (x+y, ax-y)로 옮기는 규칙에 따라 점 (0, 0)은 (0+0, a_0-0), 즉 (0, 0)으로, 점 (1, 4)는 (1+4, a_1-4), 즉 (5, a-4)로, 점 (3, 0)은 (3+0, a_3-0), 즉 (3, 3a)로 이동한다.

이때 세 점이 한 직선 위에 있으므로 두 점 (0, 0), (5, a-4)를 지나는 직선의 기울기와 두 점 (0, 0), (3, 3a)를 지나는 직선의 기울기는 같다.

따라서 = , 즉 =a이므로

a-4=5a, 4a=-4 ∴ a=-1 a-4

5 3a

3 a-4

5

x y

O -8

A

p q B

6 y= x+63

4 C

112a+bc 1cb

1cb 2a

b

07

^Action일차함수의 그래프에서 (기울기)= 임을

이용한다.

(기울기)= 이므로 일차함수

y=f(x)의 그래프의 기울기는

= =-3

따라서 의 값은 일차함수 y=f(x)의

그래프의 기울기와 같으므로 -3이다.

08

^Action좌표평면 위에 사각형 ABCD를 그린 후 일차함수 y=;2!;x+k의 그래프의 기울기가 ;2!;임을 이용하여 그래프를 움직여 본다.

일차함수 y=;2!;x+k의 그래 프는 기울기가 ;2!;이므로 오 른쪽 그림과 같이 일차함수 y=;2!;x+k의그래프가 점 D(1, 3)을 지날 때 k의

값은 최대이고, 점 C(3, -2)를 지날 때 k의 값은 최소 이다.

⁄y=;2!;x+k의 그래프가 점 D(1, 3)을 지날 때,

⁄3=;2!;+k ∴ k=;2%;

¤y=;2!;x+k의 그래프가 점 C(3, -2)를 지날 때,

⁄-2=;2#;+k ∴ k=-;2&;

⁄, ¤에 의하여 k의 최댓값은 ;2%;, 최솟값은 -;2&;이므로

;2%;+{-;2&;}=-1

09

^Action서영이는 b를 바르게 보았고, 호준이는 a를 바르게 보았다.

서영이는 b, 즉 y절편을 바르게 보았으므로 b=3 호준이는 a, 즉 기울기를 바르게 보았으므로

a= = =-2

∴ y=-2x+3

따라서 일차함수 y=-2x+3의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므 로 제3사분면을 지나지 않는다.

x y

O 3

3 2 y=-2x+3

-6 3 -6-0 2-(-1)

x y

O

A(-2, 1) D(1, 3)

C(3, -2) B - -2

, 5 2

f(100)-f(1) 100-1

-6 2 f(x+2)-f(x)

x+2-x

(y의 값의 증가량) (x의 값의 증가량)

( y의 값의 증가량) ( x의 값의 증가량)

답_052072_최고수준수학2가.ps 2013.9.13 7:38PM 페이지56 첫단추 2-mono-2400 2400DPI 150LPI T

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Ⅴ-`1. 일차함수와 그래프 57

10

^Action주어진 조건을 이용하여 두 일차함수의 그래프를 그려 본다.

p>0, q<0이므로 일차함수 y=px+q의 그래프의 기 울기는 양수이고 y절편은 음수이다.

또, 일차함수 y=qx-p의 그래프의 기울기는 음수이고 y절편도 음수이다.

이때 |p|<|q|이므로 일차함수 y=px+q의 그래프의 y절편이 일차함수 y=qx-p의 그래프의 y절편보다 더 작다.

따라서 두 일차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제 4사 분면에서 만난다.

11

^Action두 일차함수의 그래프의 기울기, 함숫값, x절편 등을 비교해 본다.

ㄱ. 두 일차함수 y=ax+b, y=cx+d의 그래프 중 일 차함수 y=cx+d의 그래프가 y축에 더 가까우므로 a<c

ㄴ. 일차함수 y=ax+b는 x=-1일 때 y>0이므로 ㄴ. -a+b>0 ∴ a-b<0

ㄷ. 일차함수 y=cx+d는 x=-1일 때 y<0이므로 ㄴ. -c+d<0 ∴ c-d>0

ㄹ. 두 일차함수 y=ax+b, y=cx+d의 그래프의 x절 ㄴ. 편은 각각 -;aB;, -;cD;이고, -;aB;<-;cD;이므로 ㄴ. ;aB;>;cD;

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

12

^Action두 일차함수의 그래프가 평행하면 기울기가 같다.

일차함수 y=ax+b의 그래프가 일차함수 y=;2!;x+5의 그래프와 평행하므로

a=;2!; ∴ y=;2!;x+b x절편이 -7 이상 3 이하일 때 일차함수 y=;2!;x+b의 그래프 는 오른쪽 그림의 색칠한 부분에 있으므로 y절편 b는 x절편이

-7일 때 최댓값을 갖고, x절편이 3일 때 최솟값을 갖는 다.

⁄x절편이 -7일 때,

⁄0=-;2&;+b ∴ b=;2&;

x y

O -7

3 y

O x

-p q

y=qx-p y=px+q

¤x절편이 3일 때,

⁄0=;2#;+b ∴ b=-;2#;

⁄, ¤에 의하여 b의 최댓값은 ;2&;, 최솟값은 -;2#;이다.

13

^Action수직인 두 일차함수의 그래프의 기울기의 곱은 -1이다.

일차함수 y=ax+b의 그래프의 y절편이 2이므로 b=2 또, x절편이 -3이므로

0=-3a+2 ∴ a=;3@;

따라서 두 일차함수 y=;3@;x+2, y=mx+3의 그래프 가 수직이므로

;3@;m=-1 ∴ m=-;2#;

14

^Action점 P가 DC”, C’BÚ, B’A” 위에 있을 때로 나누어 생각한다.

⁄점 P가 DC” 위에 있을 때,

⁄y=;2!;_8_x

⁄y=4x (0<x…6)

¤점 P가 C’BÚ 위에 있을 때,

⁄y=;2!;_8_6

⁄y=24 (6<x…14)

‹점 P가 B’A” 위에 있을 때,

⁄y=;2!;_8_(20-x)

⁄y=80-4x (14<x<20)

⁄~‹에 의하여

y=

4x (0<x…6) 24 (6<x…14) 80-4x (14<x<20) ({

9

P 8

6

B C

A D P

8

6

B C

A D 8

6

B C

D

P A

두 일차함수 y=ax+b, y=a'x+b'의 그래프가 수직일 조건 aa'=-1

Lecture 두 일차함수의 그래프가 수직일 조건

¤AD”를 △APD의 밑변으로 보면 점 P가 B’CÚ 위에 있으므로 높이가 6으로 일정하다.

‹AP”=DC”+C’BÚ+B’A”-x=6+8+6-x=20-x

Lecture http://zuaki.tistory.com

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