가. 인지적 요구 정도에 따른 수학적 과제 유형
수학적 과제는 학습자의 인지적 요구(cognitive demand) 정도에 따라 달라진다.
Stein, et. al.(2009)에 따르면, 수학적 과제를 Low-Level과 High-Level로 나누 고, Low-Level에 'Memorization Tasks'(이하 MT로 칭함)와 'Procedures Without Connections Tasks'(이하 PNCT로 칭함)를 두고, High-Level에는 'Procedures With Connections Tasks'(이하 PWCT로 칭함)와 'Doing Mathematics Tasks'(이하 DMT로 칭함)를 포함시켰다. 이때, MT는 기억하기 과 제로 절차가 필요 없는 단순한 산수 계산이나 공식을 이용하는 암기 위주의 과제 를 뜻하며, PNCT는 연결성 없는 절차 과제로써 과제에 해결 방법이 제시되어 있 거나 특정 절차를 이용하여 해결하는 과제를 말한다. 또한, PWCT는 연결성 있는 절차 과제로 다양한 표현을 이용하여 여러 가지 방법으로 제시하고 수학적 개념을 이용한 일반적인 절차를 사용하는 것을 말하며, DM은 비알고리즘적인 사고를 요 구하고 해결 방법이 바로 드러나지 않도록 수학적 제약이 존재하는 가장 많은 인 지적 수준을 요구하는 과제이다.<그림 Ⅱ-3 참조>
결국, 높은 수준의 수학 과제는 낮은 수준의 것보다 많은 인지적 노력을 필요로 한다. 즉, 과제를 해결하는데 더 많은 수고와 시간이 필요하다는 뜻이다. MT에서 는 특별한 절차나 응용이 필요 없고 PNCT에서는 보통 적용할 절차가 주어지며 그 과정이 굉장히 단순하다. 또, PWCT는 앞서 제시된 것들과는 달라서 절차가 주어 지더라도 다양한 과정을 생각할 수 있고 수학적인 개념과 근본적으로 연관되며, 더 나아가 DMT에서는 수학적 개념을 연결 짓고 문제를 해결하는데 단계를 탐구하고 이해하도록 한다. 이러한 수학적 과제의 인지적 요구 정도는 학생들이 얼마나 수학 적으로 이해하고 있는지에 영향을 미친다고 한다(김구연과 홍창준, 2012). 수학 학 습에 있어서 과제가 가지고 있는 영향력을 고려한다면, 교사들이 과제와 학생들에 게 요구되는 사고의 유형 사이의 관계를 이해하는 것은 필수적인 것이 된다. 결국,
수학적 과제에 대한 인지적 요구 정도란 학생들이 주어진 과제에 참여하여 성공적 으로 해결하기 위해 그들에게 요구되는 사고의 종류와 수준을 의미하는 셈이다(이 경화, 2007).
[그림 Ⅱ-4] 수학적 과제유형의 종류
나. 과제 분석 지표
Stein외(2009)는 수학적 과제의 유형 내지 수준을 구분하기 위하여 인지적 요구 정도에 따른 ‘과제 분석 지표’를 제안하였다. 이 지표의 세부적인 내용은 다음 <표
Ⅱ-4>과 같으며, 이 표를 보면 각 과제의 유형마다 특징들이 나열되어 있다.
과제 유형 과제 특징
Memorization Tasks
[MT]
1.해당 과제에는 이미 습득된 사실,법칙,공식,정의를 재현하거나,또는 사실, 공식,정의를 기억하는 것이 포함된다.
2.해당 과제는 절차가 존재하지 않거나 절차를 사용할 수 없는 단기 수행의 과제이기 때문에,절차를 사용하여 풀 수 없다.
3.해당 과제는 이전에 접한 자료와 동일한 것이거나 재현되는 과정(방법)이 명 백히 직설적으로 드러나서,모호함이 없다.
4.해당 과제는 습득되거나 재현된 사실,규칙,공식,정의들에 기초한 개념이나 의미와는 관련성이 없다.
Procedures Without Connections
Tasks [PNCT]
1.해당 과제는 알고리즘에 관한 것이다.왜냐하면 해당 절차의 사용이 반드시 필요하거나 그 절차의 사용이 명백하게 이전의 설명,경험 또는 과제의 실전 에 기초를 둔 것이기 때문이다.
2.해당 과제는 성공적인 과제 수행을 위해 ‘제한된 인지적 요구’를 필요로 한 다.따라서 과제를 해결하는데 필요한 것과 해결 방법에 있어서 모호함이 없 다.
3.해당 과제는 (그 과제 수행을 위해)사용되는 절차에 기초한 개념이나 의미 와 관련성이 없다.
4.해당 과제는 수학적 이해를 도모하기 보다는 정확한 답을 얻는데 중점을 두 고 있다.
5.해당 과제는 설명이 필요 없거나 오로지 사용된 절차를 드러내는데 필요한 설명만을 요구한다.
Procedures With Connections
Tasks [PWCT]
1.해당 과제는 수학적 개념과 아이디어에 대하여 보다 심오한 수준의 이해를 도모하기 위하여 학생들로 하여금 절차 사용에 중점을 두도록 하고 있다.
2.해당 과제는 (그 과제를 해결하는데 있어서)중요한 개념과 관련하여,불분 명하고 지협적인 아이디어보다는 상당히 연계되어 있으면서도 폭넓은 일반적 인 절차를 (명백하게든 암묵적으로든)따르도록 이끈다.
3.해당 과제는 대체적으로 다양한 방법으로 제안된다 (예를 들어,시각적인 도 표,조작,기호,문제 상황).그 이유는 여러 가지 표상 간의 연결성은 의미를 전개하는 데 도움이 되기 때문이다.
4.해당 과제는 어느 정도의 ‘인지적 노력’을 요구한다.비록 일반적인 절차에 따라 과제가 수행되지만,의식 없이 행해질 수는 없다.즉,해당 과제는 학생 들로 하여금 과제를 성공적으로 수행하고 이해력을 증진하도록 하는데 (해당 과제를 해결하는데 요구되는)절차에 기초한 개념적 아이디어를 사용하게끔 한다.
Doing Mathematics
Tasks [DMT]
1.해당 과제는 복잡하면서도 알고리즘적이지 않는 사고를 요구한다(예를 들어, 여기에,예상되거나 과제에 의해 명백히 제안된 잘 연습된 접근 방법,과제 지도,익숙한 예제는 해당되지 않는다).
2.해당 과제는 학생들로 하여금 수학적인 개념,절차 또는 관계의 특징을 탐색 하고 이해하도록 요구한다.
3.해당 과제는 자기 자신의 인지 과정을 점검하거나 조절하도록 요구한다.
4.해당 과제는 학생들로 하여금 관련된 지식과 경험에 근접하여 이들을 적절 히 활용해서 그 과제를 완수하도록 요구한다.
5.해당 과제는 학생들로 하여금 과제를 분석하고,가능한 해결 전략과 결과를 제한하는 ‘과제 제약(task constraints)’에 대해 적극적으로 조사할 것을 요구 한다.
6.해당 과제는 ‘상당한 인지적 노력’을 요구하며,학생들로 하여금 예측 불가능 한 해결 과정의 속성 때문에 유발되는 불안감을 어느 정도 갖도록 한다.
<표 Ⅱ-4> Stein외(2009)가 제안한 과제 분석 지표