이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프

2

⑴ y =x@-6x

=x@-6x+9-9

={x-3}@-9

⑵ y =-3x@+3x-5

=-3{x@-x}-5 =-3[x@-x+ 14-1

4 ]-5 =-3[x@-x+ 14 ]+3

4-5 =-3[x- 12 ]@-17

4

⑶ y =1 6 x@+1

3 x-1 =1

6{x@+2x}-1 =1

6{x@+2x+1-1}-1 =1

6{x@+2x+1}-1 6-1 =1

6{x+1}@-7 6

3

⑴ y =x@+4x+3 ^y

-1x -2

3

O

={x@+4x+4-4}+3

={x@+4x+4}-4+3

={x+2}@-1

⑵ y =-x@-2x+1 =-{x@+2x}+1 =-{x@+2x+1-1}+1 =-{x@+2x+1}+1+1 =-{x+1}@+2

-1 21

O x

y

1

⑴ 16, 16, 4, 7

⑵ 9, 9, 9, 18, 3, 19

⑶ 8, 8, 16, 16, 8, 16, 8, 4, 10

2

^{풀이 참조}

3

^{그래프는 풀이 참조}

⑴ {-2, -1}, {0, 3}, 아래로 볼록

⑵ {-1, 2}, {0, 1}, 위로 볼록

⑶ {-1, 3}, {0, 5}, 아래로 볼록

⑷ {1, 3}, [0, 52 ], 위로 볼록

4

⑴ 0, 0, 3, 4, -3, -4, -3, -4

⑵ {-2, 0}, {4, 0} ⑶ {-5, 0}, {2, 0}

⑷ [- 32 , 0], [ 12 , 0]

5

⑴  ⑵ × ⑶  ⑷  ⑸ ×

유형

10

^{P. 124~125}

8

그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

꼭짓점 {p, q}가 제2사분면 위에 있으므로 p<0(①), q>0

② ap<0

③ (양수)-(음수)=(양수)이므로 a-p>0

④ a+q>0

⑤ apq<0

따라서 옳은 것은 ③이다.

6

축의 방정식이 x=4이므로 구하는 이차함수의 식을

y=a{x-4}@+q로 놓으면 p=4 y !

이 그래프가 두 점 {0, 5}, {1, -2}를 지나므로 x=0, y=5를 대입하면

5=a{0-4}@+q ∴ 5=16a+q y ㉠ x=1, y=-2를 대입하면

-2=a{1-4}@+q ∴ -2=9a+q y ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, q=-11 y @

∴ a-p-q=1-4-{-11}=8 y #

채점 기준 비율

!p의 값 구하기 30%

@a, q의 값 구하기 50%

#a-p-q의 값 구하기 20%

[ 7 ~ 8 ] 이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프에서 a, p, q의 부호

⑴ a의 부호: 그래프의 모양에 따라

① 그래프가 아래로 볼록하면 ⇨ a>0

② 그래프가 위로 볼록하면 ⇨ a<0

⑵ p, q의 부호: 꼭짓점의 위치에 따라

① 제1사분면 ⇨ p>0, q>0 ② 제2사분면 ⇨ p<0, q>0

③ 제3사분면 ⇨ p<0, q<0 ④ 제4사분면 ⇨ p>0, q<0

7

그래프가 위로 볼록하므로 a<0

꼭짓점 {p, q}가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0 [ 5 ~ 6 ] 이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프의 식 구하기 ⑵ 축의 방정식 x=p와 그래프가 지나는 두 점의 좌표를 알 때

⇨ y=a{x-p}@+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하여 a, q의 값을 구 한다.

5

축의 방정식이 x=-2이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a{x+2}@+q로 놓자.

이 그래프가 두 점 {-1, 3}, {0, 9}를 지나므로 x=-1, y=3을 대입하면

3=a{-1+2}@+q ∴ 3=a+q y ㉠ x=0, y=9를 대입하면

9=a{0+2}@+q ∴ 9=4a+q y ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=1

∴ y=2{x+2}@+1

라이

1

⑶ 그래프가 아래로 볼록하므로 a > 0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b < 0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c > 0

⑷ 그래프가 위로 볼록하므로 a < 0

축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b < 0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c > 0

⑸ 그래프가 위로 볼록하므로 a < 0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b > 0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c < 0

⑹ 그래프가 아래로 볼록하므로 a > 0

축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b > 0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c > 0

1

^{{2, 9}}

2

　x=3, {3, -4}

3

^⑤

4

^③

5

^-3

6

²¹

7

^⑤

8

^④

9

　⑴ A{-1, 0}, B{5, 0}, C{2, 9} ⑵ 27

10

^②

11

^①

12

^②

13

a<0, b<0, c<0, 과정은 풀이 참조

14

a>0, b<0, c>0

쌍둥이 기출문제 P. 128~129

[ 1 ~ 8 ] y=ax@+bx+c ⇨ y=a{x-p}@+q 꼴로 변형

⑴ 축의 방정식: x=p

⑵ 꼭짓점의 좌표: {p, q}

⑶ y축과의 교점의 좌표: {0, c}

⑷ y=ax@의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프

1

y =-2x@+8x+1

=-2{x@-4x}+1

=-2{x@-4x+4-4}+1

=-2{x@-4x+4}+8+1

=-2{x-2}@+9

따라서 꼭짓점의 좌표는 {2, 9}이다.

2

^{y =1}₃ ^x@-2x-1

=1

3{x@-6x}-1 =1

3{x@-6x+9-9}-1 =1

3{x@-6x+9}-3-1 =1

3{x-3}@-4

3

y =2x@-4x+3

O x

y

1 3 1

=2{x@-2x}+3

=2{x@-2x+1-1}+3

=2{x@-2x+1}-2+3

=2{x-1}@+1

따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

4

^{y =-1}₂ ^x@+3x-4

=-1

2{x@-6x}-4 =-1

2{x@-6x+9-9}-4 =-1

2{x@-6x+9}+9 2-4 =-1

2{x-3}@+1 2

따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므 로 제2사분면을 지나지 않는다.

O x

y

-4 3 2!

따라서 축의 방정식은 x=3이고, 꼭짓점의 좌표는 {3, -4}

이다.

5

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=1

4{x-m}@+n 이 식이 y=1

4x@+x와 같아야 한다. 이때 y =1

4 x@+x =1

4{x@+4x}

=1

4{x@+4x+4-4}

=1

4{x@+4x+4}-1 =1

4{x+2}@-1

따라서 m=-2, n=-1이므로 m+n=-2+{-1}=-3

6

평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=a{x-m}@+n

이 식이 y=-3x@+18x-6과 같아야 한다. 이때 y =-3x@+18x-6

=-3{x@-6x}-6

=-3{x@-6x+9-9}-6

=-3{x@-6x+9}+27-6

=-3{x-3}@+21

따라서 a=-3, m=3, n=21이므로 a+m+n=-3+3+21=21

라이 트

유 형 편

[ 11 ~ 12 ] 이차함수의 식 구하기

⑴ 그래프가 지나는 서로 다른 세 점의 좌표를 알 때

➊ y=ax@+bx+c로 놓는다.

➋ 세 점의 좌표를 각각 대입하여 a, b, c의 값을 구한다.

⑵ x축과 만나는 두 점 {a, 0}, {b, 0}과 그래프가 지나는 다른 한 점의 좌표를 알 때

➊ y=a{x-a}{x-b}로 놓는다.

➋ 다른 한 점의 좌표를 대입하여 a의 값을 구한다.

11

y=ax@+bx+c로 놓으면

이 그래프가 점 {0, 5}를 지나므로 c=5 즉, y=ax@+bx+5의 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로

3=4a+2b+5 ∴ 2a+b=-1 y`㉠

점 {4, 5}를 지나므로

5=16a+4b+5 ∴ 4a+b=0 y`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1

2 , b=-2

∴ abc=1

2\{-2}\5=-5

10

x@-2x-3=0에서 {x+1}{x-3}=0

∴ x=-1 또는 x=3

∴ A{-1, 0}, B{3, 0}

또 y축과의 교점의 좌표가 {0, -3}이므로 C{0, -3}

따라서 sACB는 밑변의 길이가 4이고, 높이가 3이므로 sACB= 12\4\3=6

7

y =2x@-12x+17=2{x@-6x}+17

=2{x@-6x+9-9}+17

=2{x@-6x+9}-18+17

=2{x-3}@-1

① 아래로 볼록한 포물선이다.

② 직선 x=3을 축으로 한다.

③ 꼭짓점의 좌표는 {3, -1}이다.

④ y축과의 교점의 좌표는 {0, 17}이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

[ 9 ~ 10 ] y=ax@+bx+c의 그래프가 x축과 만나는 점 y=ax@+bx+c에 y=0을 대입하면 a{x-a}{x-b}=0

⇨ {a, 0}, {b, 0}

9

⑴ -x@+4x+5=0에서 x@-4x-5=0 {x+1}{x-5}=0 ∴ x=-1 또는 x=5

∴ A{-1, 0}, B{5, 0}

y =-x@+4x+5=-{x@-4x}+5

=-{x@-4x+4-4}+5

=-{x@-4x+4}+4+5

=-{x-2}@+9 　 ∴ C{2, 9}

⑵ 따라서 sABC는 밑변의 길이가 6이고, 높이가 9이므로 sABC=1

2 \6\9=27

8

y =-x@+8x-5=-{x@-8x}-5

=-{x@-8x+16-16}-5

=-{x@-8x+16}+16-5

=-{x-4}@+11

④ x<4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

12

x축 위의 두 점 {-2, 0}, {4, 0}을 지나므로 y=a{x+2}{x-4}로 놓자.

이 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로 8=a\2\{-4} ∴ a=-1

∴ y =-{x+2}{x-4}

=-x@+2x+8

y=ax@+bx+c로 놓으면

이 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로 c=8 즉, y=ax@+bx+8의 그래프가 점 {-2, 0}을 지나므로

0=4a-2b+8 ∴ 2a-b=-4 y`㉠

점 {4, 0}을 지나므로

0=16a+4b+8 ∴ 4a+b=-2 y`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2

∴ y=-x@+2x+8

[ 13 ~ 14 ] 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프에서 a, b, c의 부호

⑴ 아래로 볼록 ⇨ a>0 위로 볼록 ⇨ a<0

⑵ 축이 y축의 왼쪽 ⇨ ab>0 (a와 b는 같은 부호) 축이 y축의 오른쪽 ⇨ ab<0 (a와 b는 반대 부호)

⑶ y축과의 교점이 x축보다 위쪽 ⇨ c>0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽 ⇨ c<0

13

그래프가 위로 볼록하므로 a<0 y ! 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b<0 y @ y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0 y #

채점 기준 비율

!a의 부호 구하기 30%

@b의 부호 구하기 40%

#c의 부호 구하기 30%

14

그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b<0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0

문서에서 제곱근과 실수 (페이지 74-78)