이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프

이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 ⑴

01

본문 197쪽

01

⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조

02

^{⑴ ① (1, -1) ② x=1 ③ (0, 2)}

그래프는 풀이 참조

⑵ ① (-3, 2) ② x=-3 ③ (0, -1) 그래프는 풀이 참조

개념원리 확인하기

이렇게 풀어요

01

⑴ y =2xÛ`-8x+3=2(xÛ`-4x)+3

=2{(xÛ`-4x+ 4 )- 4 }+3

=2(xÛ`-4x+ 4 )- 8 +3=2(x- 2 )Û`- 5 ① 꼭짓점의 좌표: ( 2 , -5 )

② y축과의 교점의 좌표: ( 0 , 3 )

⑵ y =-;2!;xÛ`+3x+1= -;2!; (xÛ`- 6 x)+1

=-;2!; {(xÛ`- 6 x+ 9 )- 9 }+1

=-;2!; (xÛ`- 6 x+ 9 )+ ;2(; +1

=-;2!; (x- 3 )Û`+ :Á2Á:

① 꼭짓점의 좌표: { 3 , :Á2Á: } ② y축과의 교점의 좌표: ( 0 , 1 )

 ⑴ 풀이참조 ⑵ 풀이참조 y

-6-4-2 -2 -4 -6 2 4 6

4 6

O 2 x

y

-6-4-2 -2 -4 -6 2 4 6

4 2 6

O x

4

^1 단계 y=axÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이 동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=a(x-p)Û`

이 그래프의 축의 방정식이 x=5이므로 p=5

2 ^단계 y=a(x-5)Û`의 그래프가 점 (2, 3)을 지나므로 3=a_(2-5)Û`, 3=9a

∴ a=;3!;

3 ^단계 ∴ p-6a=5-6_;3!;=3 ^ 3

단계 채점 요소 배점

1 p의 값 구하기 3점

2 a의 값 구하기 3점

3 p-6a의 값 구하기 1점

5

^1 단계 꼭짓점의 좌표가 (-3, 3)이므로 -p=-3, q=3 ∴ p=3, q=3

2 ^단계 y=a(x+3)Û`+3의 그래프가 점 (0, 1)을 지나므로 1=a_(0+3)Û`+3, -2=9a

∴ a=-;9@;

3 ^단계 ∴ apq={-;9@;}_3_3=-2 ^ -2

단계 채점 요소 배점

1 p, q의 값 구하기 2점

2 a의 값 구하기 3점

3 apq의 값 구하기 1점

6

^1 단계 이차함수 y=a(x-p)Û`+q의 그래프와 x축에 서 로 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 -y=a(x-p)Û`+q

∴ y=-a(x-p)Û`-q

2 ^단계 이 그래프의 꼭짓점의 좌표가 (3, -5)이므로 p=3, -q=-5 ∴ p=3, q=5

3 ^단계 한편 y=a(x-3)Û`+5의 그래프가 점 (4, 2)를 지

나므로

2=a_(4-3)Û`+5 ∴ a=-3

4 ^단계 ∴ a+p+q=(-3)+3+5=5  5

단계 채점 요소 배점

1 x축에 대칭인 이차함수의 식 구하기 2점

2 p, q의 값 구하기 2점

3 a의 값 구하기 2점

4 a+p+q의 값 구하기 1점

80

^{정답과 풀이}

2

y=-3xÛ`+kx-2의 그래프가 점 (-1, -11)을 지나 므로

-11=-3_(-1)Û`+k_(-1)-2 -6=-k

∴ k=6

∴ y =-3xÛ`+6x-2

=-3{(xÛ`-2x+1)-1}-2

=-3(x-1)Û`+1

따라서 꼭짓점의 좌표는 (1, 1)이다.  (1, 1)

3

y = 12 xÛ`+ax+1

= 12 {(xÛ`+2ax+aÛ`)-aÛ`}+1

= 12 (x+a)Û`-aÛ`

2 +1

따라서 축의 방정식이 x=-a이므로 -a=2

∴ a=-2  -2

4

y =-xÛ`+6x-5

=-{(xÛ`-6x+9)-9}-5

=-(x-3)Û`+4

꼭짓점의 좌표는 (3, 4), y축과의 교점 의 좌표는 (0, -5)이고 위로 볼록하 므로 y=-xÛ`+6x-5의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.

따라서 주어진 이차함수의 그래프가 지

나지 않는 사분면은 제 2 사분면이다.  ②

5

^{y =-};2!;xÛ`+ax-4

=-;2!;{(xÛ`-2ax+aÛ`)-aÛ`}-4

=-;2!;(x-a)Û`+ aÛ`2 -4

이 그래프는 위로 볼록하고 축의 방정식이 x=a이므로 x<a일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하고, x>a 일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

∴ a=3  3

6

^{y =};2!;xÛ`+3x+8

=;2!;{(xÛ`+6x+9)-9}+8

=;2!;(x+3)Û`+;2&;

x y

O -5

3 4

02

⑴ y =3xÛ`-6x+2

=3(xÛ`-2x)+2

=3{(xÛ`-2x+1)-1}+2

=3(xÛ`-2x+1)-3+2

=3(x-1)Û`-1

① 꼭짓점의 좌표: (1, -1) ② 축의 방정식: x=1

③ y축과의 교점의 좌표: (0, 2)

⑵ y =-;3!;xÛ`-2x-1

=-;3!;(xÛ`+6x)-1

=-;3!;{(xÛ`+6x+9)-9}-1

=-;3!;(xÛ`+6x+9)+3-1

=-;3!;(x+3)Û`+2 ① 꼭짓점의 좌표: (-3, 2) ② 축의 방정식: x=-3

③ y축과의 교점의 좌표: (0, -1)

 ⑴ ① (1, -1) ② x=1 ③ (0, 2) 그래프는풀이참조

⑵ ① (-3, 2) ② x=-3 ③ (0, -1) 그래프는풀이참조

본문 198 ~ 200쪽

1

^-2

2

^{(1, 1)}

3

^-2

4

^②

5

³

6

^⑤

7

²⁷

핵심문제 익히기 확인문제

이렇게 풀어요

1

y =2xÛ`+4x+1

=2{(xÛ`+2x+1)-1}+1

=2(x+1)Û`-1

따라서 p=-1, q=-1이므로

p+q=(-1)+(-1)=-2  -2

y

-1O 1 2

x

y

-1O -3

2 x

기본서(중3-1)_해설_4단원(068~088)_ok.indd 80 2019-05-23 오전 9:47:50

81

따라서 y= 12 xÛ`+3x+8의 그래프는 오

x y

O 8

-3

;2&;

른쪽 그림과 같다. 증가

① y축과의 교점의 y좌표는 8이다.

② x축과 만나지 않는다.

③ 제 1, 2 사분면을 지난다.

④ y= 12xÛ`의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방 향으로 7

2 만큼 평행이동한 것이다. ^ ⑤

7

y =2xÛ`-8x+4

=2{(xÛ`-4x+4)-4}+4

=2(x-2)Û`-4

이 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만 큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y-b=2(x-a-2)Û`-4

∴ y=2(x-a-2)Û`-4+b yy ㉠

한편

y =2xÛ`-16x+3

=2{(xÛ`-8x+16)-16}+3

=2(x-4)Û`-29 yy ㉡

㉠, ㉡에서 -a-2=-4, -4+b=-29이므로 a=2, b=-25

∴ a-b=2-(-25)=27  27

본문 201쪽

01

^②

02

³

03

^②

04

^x<-1

05

^-5

소단원 핵심문제

이렇게 풀어요

01

^{y =-};2#;xÛ`-3x-;2&;

=-;2#;{(xÛ`+2x+1)-1}-;2&;

=-;2#;(x+1)Û`-2

따라서 꼭짓점의 좌표는 (-1, -2)이다.  ②

02

^{y =-};2!;xÛ`+2x+k=-;2!;{(xÛ`-4x+4)-4}+k

=-;2!;(x-2)Û`+2+k

이때 꼭짓점의 좌표가 (2, 2+k)이므로 2=p, 2+k=3 ∴ k=1, p=2

∴ k+p=1+2=3  3

03

^{y =};3@;xÛ`-4x+2=;3@;{(xÛ`-6x+9)-9}+2

=;3@;(x-3)Û`-4

따라서 꼭짓점의 좌표는 (3, -4), y축과의 교점의 좌표 는 (0, 2)이고 아래로 볼록하므로 주어진 이차함수의 그

래프는 ②이다.  ②

04

주어진 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0=a_1Û`-2_1+3 ∴ a=-1

∴ y =-xÛ`-2x+3=-{(xÛ`+2x+1)-1}+3

=-(x+1)Û`+4

따라서 축의 방정식은 x=-1이고 그래프가 위로 볼록하 므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 x의 값의 범

위는 x<-1이다.  x<-1

05

^{y =};3!;xÛ`+2x-4=;3!;{(xÛ`+6x+9)-9}-4

=;3!;(x+3)Û`-7

이 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -1 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y-(-1)=;3!;(x-3+3)Û`-7 ∴ y=;3!;xÛ`-8 이 그래프가 점 (3, n)을 지나므로

n=;3!;_3Û`-8=-5 ^ -5

이차함수 y=axÛ`+bx+c의 그래프 ⑵

02

본문 204쪽

01

⑴ 0, 2, 3, 0, -2, 3, -2, 0, 3, 0 ⑵ -6, 0, -6

02

^{⑴ ① 아래, > ②} 오른, 다르다, < ③ 위, >

⑵ ① 위, < ② 왼, 같다, < ③ 아래, <

개념원리 확인하기

82

^{정답과 풀이}

4

y=2xÛ`-4x-k-2=2(x-1)Û`-k-4 이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, -k-4)이다.

이 그래프는 아래로 볼록하므로 x축 과 만나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점의 y좌표가 0보다 커야 한다. 즉,

-k-4>0 ∴ k<-4  k<-4

5

^{y =};2!;xÛ`+2x+k=;2!;(x+2)Û`+k-2 이므로 꼭짓점의 좌표는 (-2, k-2)이다.

이 그래프는 아래로 볼록하므로 x축 과 서로 다른 두 점에서 만나려면 오 른쪽 그림과 같이 꼭짓점의 y좌표가 0보다 작아야 한다. 즉,

k-2<0 ∴ k<2

따라서 자연수 k의 값은 1이다.  1

6

⑴ 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0

축이 y축의 오른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 다르다.

∴ b<0

y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

⑵ 그래프가 위로 볼록하므로 a<0

축이 y축의 왼쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 같다.

∴ b<0

y축과의 교점이 x축의 아래쪽에 있으므로 c<0

 ⑴ a>0, b<0, c<0

⑵ a<0, b<0, c<0

7

ㄱ. 그래프가 위로 볼록하므로 a<0이고, 축이 y축의 오 른쪽에 있으므로 a와 b의 부호는 다르다.

∴ b>0

ㄴ. y축과의 교점이 x축의 위쪽에 있으므로 c>0 ㄷ. x=1을 대입하면

y =a_1Û`+b_1+c

=a+b+c

x=1일 때의 y의 값이 0보다 크므로 a+b+c>0

ㄹ. x=-1을 대입하면

y =a_(-1)Û`+b_(-1)+c

=a-b+c

x=-1일 때의 y의 값이 0보다 작으므로

a-b+c<0  ㄷ, ㄹ

x -k-4

y

O 1

-2 x k-2 y

O 이렇게 풀어요

01

^ ⑴ 0, 2, 3, 0, -2, 3, -2, 0, 3, 0 ⑵ -6, 0, -6

02

^{ ⑴ ① 아래, > ② 오른, 다르다, < ③ 위, >}

⑵ ① 위, < ② 왼, 같다, < ③ 아래, <

본문 205 ~ 207쪽

1

^{(-14, 0)}

2

³

3

¹⁷₈

4

^k<-4

5

¹

6

⑴ a>0, b<0, c<0 ⑵ a<0, b<0, c<0

문서에서 2020 개념원리 중 3-1 답지 정답 (페이지 79-82)