이차함수의 식 구하기 (2) y=ax 2 +bx+c의 꼴

37 출제유형 다지기

p. 192

특별하게 연습하기

p. 194

구하고자 하는 이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 놓는다.

! 점 (0, 2)의 좌표를 대입하면 c=2

@ 점 (-1, 5)의 좌표를 대입하면

5=a-b+c, a-b=3 y ①

# 점 (1, -7)의 좌표를 대입하면

-7=a+b+c, a+b=-9 y ②

①과 ②를 연립하여 풀면 a=-3, b=-6

즉, 구하고자 하는 이차함수의 식은 y=-3x

²-6x+2이다.

∴ y=-3x

²-6x+2

01 구하고자 하는 이차함수의 식을 y=a(x+3)(x-1)로 놓는다.

(0, 9)를 대입하면 9=-3a, a=-3

즉, y =-3(x+3)(x-1)

=-3(x²+2x-3)

=-3x²-6x+9

∴ y=-3x

²-6x+9

02

Step 조건확인

함숫값의 이해, 이차함수의 식

Step 서술순서

이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 놓는다.

f(0)=1을 이용하여 c의 값을 구한다.

f(-1)=3, f(1)=-5를 이용하여 a, b의 값을 각각 구한다.

이차함수의 식을 구한다.

03

Step 서술하기

구하고자 하는 이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 놓는다.

! f(0)=1에서 c=1

@ f(-1)=3에서 a-b+c=3, a-b=2 … ①

# f(1)=-5에서 a+b+c=-5, a+b=-6 … ②

①과 ②를 연립하여 풀면 a=-2, b=-4

즉, 구하고자 하는 이차함수의 식은 y=-2x

²-4x+1이다.

∴ y=-2x

²-4x+1 모범답안

Step 서술하기

구하고자 하는 이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 놓는다.

(가), (나)에 의하여 a=2, c=10이다.

y=2x²+bx+10=2{x²+;2B;x+ b16²

}- b

8²+10 모범답안

Step 검토하기

이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 바르게 설정하였는가?

f(0)=1을 이용하여 c의 값을 바르게 구하였는가?

f(-1)=3, f(1)=-5를 이용하여 a, b의 값을 각각 바르게

구하였는가?

이차함수의 식을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 함숫값을 이해하고, 이차함수의 식을 구할 수 있다. 1 문제해결

과정

B 이차함수의 식을 y=ax²+bx+c로 바르게 설정한 경우 1 C f(0)=1을 이용하여 c의 값을 바르게 구한 경우 1 D f(-1)=3, f(1)=-5를 이용하여 a, b의 값을 각각 바르

게 구한 경우 (과정) 2

E 이차함수의 식을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

Step 조건확인

평행이동, y절편, 꼭짓점, 축의 위치

Step 서술순서

이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 놓는다.

(가), (나)의 조건을 만족하는 a, c의 값을 각각 구한다.

꼭짓점의 좌표를 구한다.

(다)의 직선의 방정식에 꼭짓점의 좌표를 대입한다.

(라)를 만족하는 b의 값을 구한다.

이차함수의 식을 구한다.

04 http://zuaki.tistory.com

=2{x+;4B;}²- b8²+10

이때 꼭짓점의 좌표는 {-;4B;, - b

8²+10}이다.

(다)에 의하여 y=-;2!;x+1에 {-;4B;, - b

8²+10}을 대입하면

- b

8+10=;8B;+1, b²+b-72=0, (b+9)(b-8)=0, b=-9 또는 b=8

(라)에 의하여 ab>0이어야 하므로 b=8이다.

즉, 구하고자 하는 이차함수의 식은 y=2x

²+8x+10이다.

∴ y=2x

²+8x+10

Step 검토하기

이차함수의 식을 y=ax

²+bx+c로 바르게 설정하였는가?

(가), (나)의 조건을 만족하는 a, c의 값을 각각 바르게 구하였는가?

꼭짓점의 좌표를 바르게 구하였는가?

(다)의 직선의 방정식에 꼭짓점의 좌표를 바르게 대입하였는가?

(라)를 만족하는 b의 값을 바르게 구하였는가?

이차함수의 식을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 조건을 모두 만족하는 그래프가 나타내는 이차함수의 식을

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 이차함수의 식을 y=ax²+bx+c로 바르게 설정한 경우 1 C (가), (나)의 조건을 만족하는 a, c의 값을 각각 바르게 구한

경우 1

D 꼭짓점의 좌표를 바르게 구한 경우 (과정) 2 E (다)의 직선의 방정식에 꼭짓점의 좌표를 바르게 대입한 경우 1 F (라)를 만족하는 b의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2

G 이차함수의 식을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 H 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1

(1) (1, -16) (

2) (-3, 0), (5, 0)

교과서 기본예제 2

A(1, 9), B(-2, 0), C(4, 0)

이차함수의 그래프와 도형의 넓이

38 출제유형 다지기

p. 196

유사문제

(1) ! y=0을 대입하면 x

²+3x-4=0, (x-1)(x+4)=0, x=1 또는 x=-4

즉, x축과 두 점 (-4, 0), (1, 0)에서 만난다.

@ x=0을 대입하면 y=-4이므로 y축과 점 (0, -4)에서 만난다.

∴ A(-4, 0), B(1, 0), C(0, -4) (2) △ABC=;2!;_5_4=10

∴ △ABC=10

특별하게 연습하기

p. 198

(1) ! y=0을 대입하면 x

²+2x-8=0, (x-2)(x+4)=0, x=2 또는 x=-4

즉, x축과 두 점 (-4, 0), (2, 0)에서 만난다.

@ x=0을 대입하면 y=-8이므로 y축과 점 (0, -8)에서 만난다.

∴ A(-4, 0), B(2, 0), C(0, -8) (2) △ABC=;2!;_6_8=24

∴ △ ABC=24

01 (1) ! y=-2x

²+8x+4=-2(x-2)²+12이므로 꼭짓점의

좌표는 (2, 12)이다.

@ x=0을 대입하면 y=4이므로 y축과 (0, 4)에서 만난다.

∴ A(2, 12), B(0, 4) (2) △OAB=;2!;_4_2=4

∴ △OAB=4

02

Step 조건확인

꼭짓점과 x절편, ABCD의 넓이

Step 서술순서

두 이차함수를 y=a(x-p)

²+q의 꼴로 나타내어 점 A, B의

좌표를 각각 구한다.

두 이차함수에 y=0을 대입하여 점 C, D의 좌표를 각각 구한다.

ABCD의 넓이를 구한다.

03

Step 서술하기

! 이차함수 y=x

²-2x-3의 그래프에 대하여 y=x²-2x-3=(x-1)²-4이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, -4)이다.

y=0을 대입하면 x²-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0, x=-1 또는 x=3

즉, x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만난다.

@ 이차함수 y=x

²+2x-3의 그래프에 대하여

y=x²+2x-3=(x+1)²-4이므로 꼭짓점의 좌표는 모범답안

http://zuaki.tistory.com

(-1, -4)이다.

y=0을 대입하면 x²+2x-3=0, (x-1)(x+3)=0, x=1 또는 x=-3

즉, x축과 두 점 (-3, 0), (1, 0)에서 만난다.

이때 A(1, -4), B(-1, -4), C(-3, 0), D(-1, 0)

∴ ABCD=2_4=8

Step 검토하기

두 이차함수를 y=a(x-p)

²+q의 꼴로 나타내어 점 A, B의

좌표를 각각 바르게 구하였는가?

두 이차함수에 y=0을 대입하여 점 C, D의 좌표를 각각 바르 게 구하였는가?

ABCD의 넓이를 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 두 이차함수의 꼭짓점의 좌표와 x절편을 이은 사각형의 넓

이를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 두 이차함수를 y=a(x-p)²+q의 꼴로 나타내어 점 A, B의 좌표를 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 C 두 이차함수에 y=0을 대입하여 점 C, D의 좌표를 각각 바

르게 구한 경우 (과정) (각2점) 4

D ABCD의 넓이를 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

Step 조건확인

꼭짓점과 x절편, △ABC의 넓이를 이등분, 직선의 방정식

Step 서술순서

y=a(x-p)

²+q의 꼴로 나타내어 점 A의 좌표를 구한다.

y=0을 대입하여 점 B, C의 좌표를 각각 구한다.

직선이 AC”의 중점을 지나야 함을 제시한다.

직선의 방정식을 구한다.

04

Step 서술하기

! y=-;2!;x

²-2x+16=-;2!;(x+2)²+18이므로

꼭짓점의 좌표는 (-2, 18)이다.

@ y=0을 대입하면 -;2!;x

²-2x+16=0

x²+4x-32=0, (x+8)(x-4)=0, x=-8 또는 x=4

즉, x축과 두 점 (-8, 0), (4, 0)에서 만난다.

이때 A(-2, 18), B(-8, 0), C(4, 0)이다.

점 B를 지나는 직선이 △ABC의 넓이를 이등분하려면 AC”의 중점 (1, 9)를 지나야 하므로

두 점 (-8, 0), (1, 9)를 지나는 직선의 방정식은 y=x+8이다.

∴ y=x+8

모범답안

Step 검토하기

y=a(x-p)²+q의 꼴로 나타내어 점 A의 좌표를 바르게 구

하였는가?

y=0을 대입하여 점 B, C의 좌표를 각각 바르게 구하였는가?

직선이 AC”의 중점을 지나야 함을 바르게 제시하였는가?

직선의 방정식을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 두 이차함수의 꼭짓점의 좌표와 x절편을 구하고, 이들을 이 은 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구할 수

있다. 1

문제해결 과정

B y=a(x-p)²+q의 꼴로 나타내어 점 A의 좌표를 바르게

구한 경우 1

C y=0을 대입하여 점 B, C의 좌표를 각각 바르게 구한 경

우 (과정) 2

D 직선이 AC”의 중점을 지나야 함을 바르게 제시한 경우 2

E 직선의 방정식을 바르게 구한 경우 1

의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1

(

1) 최댓값 : 없다. 최솟값 : -17

(

2) 최댓값 : -4, 최솟값 : 없다.

교과서 기본예제 2 a=1

유사문제

두 점 (-2, 0), (6, 0)은 직선 x=2에 대하여 대칭이고, 최댓값 8을 가지므로 꼭짓점의 좌표는 (2, 8)이다.

즉, y=a(x-2)

²+8의 꼴로 나타낼 수 있으므로

점 (6, 0)의 좌표를 대입하면 16a+8=0, a=-;2!;

이때 y=-;2!;(x-2)

²+8=-;2!;x²+2x+6

∴ y=-;2!;x

²+2x+6

이차함수의 최댓값과 최솟값

39 출제유형 다지기

p. 200

특별하게 연습하기

p. 202

(1)

y=3(x²-4x+4)-5=3(x-2)²-5이므로

꼭짓점의 좌표는 (2, -5)이다.

∴ (2, -5) (2)

x²

의 계수가 양수이므로 아래로 볼록한 포물선이다.

즉, x=2에서 최솟값은 -5이고 최댓값은 없다.

∴ 최솟값 -5

01

x=2일 때, 최솟값 k를 가지므로 y=(x-2)²+k의 꼴로 나타낼

수 있다.

이때 x

²+2(a-3)x-5=(x-2)²+k=x²-4x+k+4이므로 2(a-3)=-4, -5=k+4

∴ a=1, k=-9

02 http://zuaki.tistory.com

Step 조건확인

y=a(x-p)

²+q의 꼴, 최댓값과 최솟값 2

Step 서술순서

(1) y=a(x-p)

²+q의 꼴로 나타낸다.

(1) 최댓값 M을 구한다.

(2) M=k(a-r)

²+s의 꼴로 나타낸다.

(2) M의 최솟값을 구한다.

03

Step 서술하기

(1) y=-;2!;x

²+4ax+a=-;2!;(x-4a)²+8a²+a이므로 x=4a에서 최댓값은 M=8a²+a이다.

∴ M=8a

²+a

(2) M=8a

²+a=8 {a+;1¡6;}

-;3¡2;이므로 a=-;1¡6;에서 최솟값은 -;3¡2;이다.

∴ -;3¡2;

모범답안

Step 서술하기

y=-3x²+6kx-1=-3(x-k)²+3k²-1의 그래프에 대하여

꼭짓점의 좌표는 (k, 3k

²-1)이다.

이때 x=k에서 최댓값은 3k

²-1=5이므로 3k²=6, k²=2, k=—'2

! k='2일 때,

꼭짓점의 좌표는 ('2, 5)이므로 제1사분면 위의 점

모범답안

Step 검토하기

(1) y=a(x-p)

²+q의 꼴로 바르게 나타내었는가?

(1) 최댓값 M을 바르게 구하였는가?

(2) M=k(a-r)

²+s의 꼴로 바르게 나타내었는가?

(2) M의 최솟값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A y=a(x-p)²+q의 꼴로 나타내어 최댓값 또는 최솟값을

구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B (1) y=a(x-p)²+q의 꼴로 바르게 나타낸 경우 1

C (1) 최댓값 M을 바르게 구한 경우 1

D (2) M=k(a-r)²+s의 꼴로 바르게 나타낸 경우 1 E (2) M의 최솟값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 F 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

Step 조건확인

y=a(x-p)

²+q의 꼴, 최댓값, 제2사분면 2

Step 서술순서

y=a(x-p)

²+q의 꼴로 나타낸다.

최댓값을 이용하여 k의 값을 구한다.

조건에 맞는 k의 값을 구한다.

04 @ k=-'2일 때,

꼭짓점의 좌표는 (-'2, 5)이므로 제2사분면 위의 점

∴ k=-'2

Step 검토하기

y=a(x-p)

²+q의 꼴로 바르게 나타내었는가?

최댓값을 이용하여 k의 값을 바르게 구하였는가?

조건에 맞는 k의 값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A y=a(x-p)²+q의 꼴로 나타내어 조건에 맞는 미지수의

값을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B y=a(x-p)²+q의 꼴로 바르게 나타낸 경우 1 C 최댓값을 이용하여 k의 값을 바르게 구한 경우 (과정) 2 D 조건에 맞는 k의 값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

교과서 기본예제 1

(

1) 1초 또는 5초

(2) 45 m

교과서 기본예제 2

:™2¶: cm

유사문제

(1) 빵 한 개의 가격이 (1000+100x)원일 때, (400-20x)개가 팔리므로

y=(1000+100x)(400-20x)=-2000x²+20000x+400000

∴ y=-2000x

²+20000x+400000

(2) y=-2000x

²+20000x+400000=-2000(x-5)²+450000

이때 x=5일 때, 최댓값은 450000이므로

한 개당 1000+100x=1500원씩 팔았을 때, 총 판매금액의 최댓값 은 450000원이다.

∴ 한 개당 판매가격 : 1500원, 총 판매금액의 최댓값 : 450000원

이차함수의 최댓값과 최솟값의 활용

40 출제유형 다지기

p. 204

특별하게 연습하기

p. 206

직사각형의 넓이를 y, 가로의 길이를 x라 하면 세로의 길이는 30-x이다.

y=x(30-x)=-x²+30x=-(x-15)²+225

01 http://zuaki.tistory.com

즉, x=15 cm일 때 직사각형의 넓이의 최댓값은 225 cm

이다.

∴ 가로의 길이 : 15 cm, 세로의 길이 : 15 cm

(1) 세로의 길이를 x m라 하면 가로의 길이는 (12-2x) m이다.

이때 y=x(12-2x)=-2x

²+12x

∴ y=-2x

²+12x

(2) y=-2x

²+12x=-2(x-3)²+18이므로

세로의 길이가 3 m일 때, 울타리의 밑면의 최대 넓이는 18 m

이다.

∴ 세로의 길이 : 3 m, 최대 넓이 : 18 m

02

Step 조건확인

총 판매금액의 최댓값, 상품 한 개당 판매가격

Step 서술순서

(1) 문제의 뜻에 맞는 이차함수의 식을 세운다.

(2) y=a(x-p)

²+q의 꼴로 나타낸다.

(2) 총 판매금액의 최댓값과 그때의 상품 한 개당 판매가격을 각 각 구한다.

03

Step 서술하기

(1) 상품 한 개의 가격이 (100+x) 원일 때, (800-4x)개가 팔리 므로

y=(100+x)(800-4x)=-4x²+400x+80000

∴ y=-4x

²+400x+80000

(2) y=-4x

²+400x+80000=-4(x-50)²+90000

이때 x=50일 때, 최댓값은 90000이므로

한 개당 100+x=150원씩 팔았을 때, 총 판매금액의 최댓값 은 90000원이다.

∴ 상품 한 개당 판매가격 : 150원, 총 판매금액의 최댓값 : 90000원

모범답안

Step 검토하기

(1) 문제의 뜻에 맞는 이차함수의 식을 바르게 세웠는가?

(2) y=a(x-p)

²+q의 꼴로 바르게 나타내었는가?

(2) 총 판매금액의 최댓값과 그때의 상품 한 개당 판매가격을 각 각 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 문제의 뜻에 맞는 이차함수의 식을 세우고, 문제를 해결할

수 있다. 1

문제해결 과정

B (1) 문제의 뜻에 맞는 이차함수의 식을 바르게 세운 경우 1 C (2) y=a(x-p)²+q의 꼴로 바르게 나타낸 경우 1 D (2) 총 판매금액의 최댓값과 그때의 한 개당 판매가격을 각각 바르게 구한 경우 (각1점) 2 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

Step 조건확인

이차함수와 일차함수의 그래프, PQ”의 길이의 최솟값

Step 서술순서

점 P의 x좌표를 p로 놓고 두 점 P, Q의 좌표를 제시한다.

04 PQ”의 길이를 구하고, PQ”=a(p-m)

²+n의 꼴로 나타낸다.

PQ”의 길이의 최솟값을 구한다.

Step 서술하기

점 P의 좌표를 (p, -4p

²-1)이라 하면 Q(p, 2p+3)이다.

이때 PQ”=2p+3-(-4p

²-1) =4p²+2p+4 =4{p+;4!;}²+:¡4∞:

즉, p=-;4!;일 때, PQ”의 최솟값은 :¡4∞:이다.

∴ :¡4∞:

모범답안

Step 검토하기

점 P의 x좌표를 p로 놓고 두 점 P, Q의 좌표를 바르게 제시하 였는가?

PQ”의 길이를 구하고, PQ”=a(p-m)

²+n의 꼴로 바르게 나

타내었는가?

PQ”의 길이의 최솟값을 바르게 구하였는가?

수학 용어 및 기호를 바르게 사용하였는가?

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A 두 그래프 위의 점 사이의 거리를 식으로 나타낼 수 있고,

그 최솟값을 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B 점 P의 x좌표를 p로 놓고 두 점 P, Q의 좌표를 바르게 제

시한 경우 (각1점) 2

C PQ”의 길이를 구하고, PQ”=a(p-m)²+n의 꼴로 바르

게 나타낸 경우 (각1점) 2

D PQ”의 길이의 최솟값을 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

자신있게 쫑내기

p. 208

01 (1) y=-;3!;x

²+2x+1 =-;3!;(x²-6x+9)+4 =-;3!;(x-3)²+4

∴

y=-;3!;(x-3)²+4

(2) 이차함수 y=-;3!;(x-3)

²+4의 그래프에 대하여

축의 방정식은 x=3이고, 꼭짓점의 좌표는 (3, 4)이다.

∴ 축의 방정식 : x=3, 꼭짓점의 좌표 : (3, 4)

채점기준표

평가내용 채점기준 배점

문제이해 A y=a(x-p)²+q의 꼴로 고쳐서 축의 방정식과 꼭짓점의

좌표를 구할 수 있다. 1

문제해결 과정

B (1) y=a(x-p)²+q의 꼴로 바르게 나타낸 경우 1 C (2) 축의 방정식을 바르게 구한 경우 1 D (2) 꼭짓점의 좌표를 바르게 구한 경우 1 의사소통

표현 E 수학 용어 및 기호를 바르게 사용한 경우 1

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