IV 이차함수
1. 이차함수와 그 그래프
1 ⑴ 2, 4 ⑵ -2, 4 ⑶ 4 1-1 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ◯ 2 ⑴ × ⑵ ◯ ⑶ × ⑷ ◯ ⑸ ◯ 2-1 ㄱ, ㄹ
3 ⑴ 원점, 아래 ⑵ 1, 2 ⑶ 증가 3-1 ㄱ, ㄷ
4 ⑴ 원점, 위 ⑵ 3, 4 ⑶ 감소 4-1 ㄴ, ㄷ
5 y
O x 2 4 6 8
-2
-4 2 4
y=3x@
5-1 y
O x -2 -4 -6 -8 -2
-4 2 4
y=- x@2!
6 ⑴ ㄴ, ㄹ ⑵ ㄹ ⑶ ㄴ과 ㄷ 6-1 ⑴ ㄴ, ㄷ, ㅂ ⑵ ㄴ ⑶ ㄷ과 ㄹ
01 이차함수 y=ax@의 그래프
113~115쪽⑴ 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표가 {2, 0}이므로 x절편은 2, y축과 만나는 점의 좌표가 {0, 4}이므로 y절편은 4이다.
⑵ x의 값이 2만큼 증가할 때 y의 값은 -4만큼 증가하므로 a=-4
2 =-2
⑶ 일차함수 y=-2x+4의 그래프는 일차함수 y=-2x의 그 래프를 y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다.
일차함수 y=3x+2의 그래프는 일차함수 y
O x 2
-3@
y=3x의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평 행 이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.
⑴ x=1을 y=3x+2에 대입하면 y=3\1+2=5
이므로 점 {1, 5}를 지난다.
⑵ 제1, 2, 3사분면을 지난다.
⑶ y절편이 2이므로 y축과 만나는 점의 좌표는 {0, 2}이다.
⑴ {x에 대한 이차식)=0의 꼴이므로 이차방정식이다.
⑶ y=5x+2에서 5x+2가 일차식이므로 이차함수가 아니다.
⑸ y=2{x-1}@=2x@-4x+2이므로 이차함수이다.
1
1-1
2
ㄴ. y=1
x@에서 x@이 분모에 있으므로 이차함수가 아니다.
ㄷ. y=3x{x+1}-3x@=3x@+3x-3x@=3x 에서 3x가 일차식이므로 이차함수가 아니다.
ㄹ. y =2x{x-2}+6{x-1}
=2x@-4x+6x-6=2x@+2x-6 이므로 이차함수이다.
따라서 이차함수인 것는 ㄱ, ㄹ이다.
ㄴ. y축에 대칭이다.
ㄱ. 꼭짓점의 좌표는 {0, 0}이다.
ㄷ. x=-2를 y=-x@에 대입하면
y=-{-2}@=-4이므로 점 {-2, -4}를 지난다.
⑴ 이차함수 y=ax@의 그래프는 a>0일 때 아래로 볼록하므 로 ㄴ, ㄹ이다.
⑵ 이차함수 y=ax@의 그래프의 폭은 a의 절댓값이 작을수록 넓어지므로 그래프의 폭이 가장 넓은 것은 ㄹ이다.
⑶ 두 이차함수 y=ax@과 y=-ax@의 그래프가 x축에 서로 대칭이므로 ㄴ과 ㄷ이다.
⑴ 이차함수 y=ax@의 그래프는 a<0일 때 위로 볼록하므로 ㄴ, ㄷ, ㅂ이다.
⑵ 이차함수 y=ax@의 그래프의 폭은 a의 절댓값이 클수록 좁 아지므로 그래프의 폭이 가장 좁은 것은 ㄴ이다.
⑶ 두 이차함수 y=ax@과 y=-ax@의 그래프가 x축에 서로 대칭이므로 ㄷ과 ㄹ이다.
2-1
3-1 4-1
6
6-1
116~117쪽
01 ① 02 ㄴ, ㄷ 03 -3 04 ⑤ 05 ㄱ, ㄷ 06 ③ 07 5 08 -1 09 y=-4!x@ 10 y=2x@ 11 ③ 12 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㄷ 13 ① 14 y=4#x@
01 ① y=px@이므로 이차함수이다.
② y=2!\x\10=5x이므로 이차함수가 아니다.
③ y=x+{x+5}=2x+5이므로 이차함수가 아니다.
④ y=x#이므로 이차함수가 아니다.
⑤ (거리)=(속력)\(시간)에서 y=5x이므로 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ①이다.
개념북
정답 및 풀이 02 ㄱ. y=4x이므로 이차함수가 아니다.ㄴ. y=2!\x\x=2!x@이므로 이차함수이다.
ㄷ. y=4px@이므로 이차함수이다.
ㄹ. y=p\5@\2x=50px이므로 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ㄴ, ㄷ이다.
03 f{-1} ={-1}@-4\{-1}+a
=1+4+a=5+a 즉, 5+a=2이므로 a=-3 04 f{2} =-3\2@+2a+7
=-12+2a+7=-5+2a
즉, -5+2a=3이므로 2a=8 / a=4 따라서 f{x}=-3x@+4x+7이므로 f{1}=-3\1@+4\1+7=-3+4+7=8 05 ㄴ. 꼭짓점의 좌표는 {0, 0}이다.
ㄹ. x>0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
06 ③ y축에 대칭이다.
07 이차함수 y=ax@의 그래프가 점 {-2, 2}를 지나므로 2=a\{-2}@, 2=4a / a=2!
즉, 이차함수 y=2!x@의 그래프가 점 {3, b}를 지나므로 b=2!\3@=2(
/ a+b=2!+2(=5
08 이차함수 y=3x@의 그래프가 점 {a, -3a}를 지나므로 -3a=3a@, 3a@+3a=0, 3a{a+1}=0
/ a=0 또는 a=-1 이때 a=0이므로 a=-1
09 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하는 포물선을 그래프 로 하는 이차함수의 식을 y=ax@으로 놓으면 이 그래프가 점 {2, -1}을 지나므로
-1=a\2@, -1=4a / a=-4!
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-4!x@이다.
10 이차함수 y=f{x}의 그래프가 원점을 꼭짓점으로 하고, y축을 축으로 하므로 이차함수의 식을 y=ax@으로 놓으면 이 그래프 가 점 {2, 8}을 지나므로
8=a\2@, 8=4a / a=2
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=2x@이다.
11 이차함수 y=ax@의 그래프에서 a의 절댓값이 클수록 그래프 의 폭이 좁아지므로 각 함수에서 a의 절댓값의 크기를 비교해 보면
|4!|<|-3@|<|3|<|-4|<|-5|
따라서 이차함수 y=-5x@의 그래프의 폭이 가장 좁다.
12 이차함수 y=ax@의 그래프에서 a의 절댓값이 작을수록 그래 프의 폭이 넓어지므로 각 함수에서 a의 절댓값의 크기를 비교 해 보면
|-1|<|2|<|2%|<|-3|
따라서 그래프의 폭이 넓은 것부터 차례로 나열하면 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㄷ이다.
13 두 이차함수 y=ax@과 y=-ax@의 그래프가 x축에 서로 대칭 이므로 이차함수 y=6x@의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래 프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-6x@이다.
14 이차함수 y=-4#x@의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=4#x@이다.
01 ① y= 1
x@-2에서 x@이 분모에 있으므로 이차함수가 아니다.
② x@-y=0에서 y=x@이므로 이차함수이다.
③ y=3x+9에서 3x+9가 일차식이므로 이차함수가 아니다.
④ y=x@+{1-x}@=x@+1-2x+x@=2x@-2x+1이므로 이차함수이다.
⑤ y=2x#+{2x+1}@=2x#+4x@+4x+1에서
2x#+4x@+4x+1이 이차식이 아니므로 이차함수가 아니다.
따라서 이차함수인 것은 ②, ④이다.
02 f{1}=2\1@+1-6=2+1-6=-3
f{-2}=2\{-2}@+{-2}-6=8-2-6=0 / f{1}-f{-2}=-3-0=-3
03 ② 아래로 볼록한 포물선이다.
04 점선으로 나타나는 그래프의 식을 y=ax@으로 놓으면 아래로 볼록한 포물선이므로 a>0이다.
또, 이차함수 y=2x@의 그래프보다 폭이 넓으므로 a의 절댓값 이 2보다 작다.
따라서 점선으로 나타나는 그래프의 식은 0<a<2를 만족시 켜야 하므로 점선으로 나타나는 그래프의 식이 될 수 있는 것 은 ③이다.
118쪽
01 ②, ④ 02 -3 03 ② 04 ③ 05 ② 06 ⑤ 07 a=4
Ⅳ. 이차함수
37
점선으로 나타나는 그래프는 이차함수 y=2x@의 그래프와 x축
y ={2x+1}@-x{ax+5}+1
=4x@+4x+1-ax@-5x+1
개념북
정답 및 풀이05 꼭짓점의 좌표가 {5, 0}이므로 이차함수 y=-x@의 그래프를 x축의 방향으로 5만큼 평행이동한 그래프이다.
따라서 이차함수의 식은 y=-{x-5}@
이 그래프가 점 {7, k}를 지나므로 k=-{7-5}@=-4
06 ① x=-3을 y=-3!{x+6}@에 대입하면 y=-3!\{-3+6}@=-3
따라서 점 {-3, -3}을 지난다.
⑤ 이차함수 y=-3!x@의 그래프를 x축의 방향으로 -6만큼 평행이동한 것이다.
07 이차함수 y=-3{x-1}@+6의 그래프는 이차함수 y=-3x@
의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 6만큼 평 행이동한 것이므로 p=1, q=6
/ p+q=1+6=7
08 y={x-1}@+4의 그래프는 오른쪽 그림과 y
O x 45
1
같이 꼭짓점이 제1사분면 위에 있고 아래로 볼록한 포물선이다.
① 제1, 2 사분면을 지난다.
② 아래로 볼록한 포물선이다.
③ 꼭짓점의 좌표는 {1, 4}이다.
④ y={x-1}@+4에 x=0을 대입하면 y={0-1}@+4=1+4=5
즉, y축과 만나는 점의 좌표는 {0, 5}이다.
⑤ 그래프의 폭은 x@의 계수가 결정하므로 이차함수 y=x@+3 의 그래프와 폭이 같다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
09 이차함수 y=-4{x+3}@-7의 그래프는 축의 방정식이 x=-3이고 위로 볼록하므로 x<-3일 때 x의 값이 증가하 면 y의 값도 증가한다.
10 이차함수 y=4#x@의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프는 축의 방정식이 x=2 이고 아래로 볼록하므로 x<2일 때 x의 값이 증가하면 y의 값 은 감소한다.
11 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점이 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0 12 ① 그래프가 아래로 볼록하므로 a>0
② 이차함수 y=a{x+p}@+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {-p, q}이고 제3사분면 위에 있으므로
-p<0, q<0, 즉, p>0, q<0이다.
③ pq<0
01 x@의 계수가 같으면 평행이동하여 포갤 수 있다.
따라서 x@의 계수가 5인 이차함수의 식을 찾으면
① y=5x@+4, ⑤ y=5{x-4}@+3
02 이차함수 y=-3x@의 그래프를 y축의 방향 y
O 1 x -2 -5
y=-3x@-2
으로 -2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-3x@-2
⑤ 꼭짓점의 좌표는 {0, -2}이다.
03 이차함수 y=3!x@+q의 그래프가 점 {-3, 2}를 지나므로 2=3!\{-3}@+q / q=-1
따라서 주어진 이차함수의 식은 y=3!x@-1이므로 이 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {0, -1}이다.
04 ② 이차함수 y=-3{x+2}@의 그래프의 축의 방정식이 x=-2이고 위로 볼록한 그래프이므로 x>-2일 때 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
126쪽
01 ①, ⑤ 02 ⑤ 03 ③ 04 ② 05 1 06 ③ 07 -18 08 4
④ p>0, -q>0이므로 p-q>0
⑤ apq<0
따라서 옳은 것은 ④이다.
13 이차함수 y=3{x+2}@-6의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {-2, -6}이고, 이차함수 y=3x@의 그래프의 꼭짓점의 좌표 는 {0, 0}이므로
{-2, -6} 111112111111! {-2+p, -6+q)
={0, 0}
즉, -2+p=0, -6+q=0이므로 p=2, q=6 / p+q=2+6=8
14 이차함수 y=-2!{x-1}@+7의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 {1, 7}이고, 이차함수 y=-2!{x+2}@+9의 그래프의 꼭짓 점의 좌표는 {-2, 9}이므로
{1, 7} 111112111111! {1+p, 7+q}
={-2, 9}
즉, 1+p=-2, 7+q=9이므로 p=-3, q=2 / p+q=-3+2=-1
x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동
x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동
개념북
정답 및 풀이 05 이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프의 꼭짓점의 좌표가{4, -1}이므로 p=4, q=-1
이차함수 y=a{x-4}@-1의 그래프가 점 {2, -9}를 지나므로 -9=a\{2-4}@-1, -9=4a-1
4a=-8 / a=-2
/ a+p+q=-2+4+{-1}=1
06 이차함수 y={x-2}@-3의 그래프는 꼭짓점의 좌표가 {2, -3}으로 제4사분면 위에 있고 아래로 볼록한 포물선이 다.
y={x-2}@-3에 x=0을 대입하면 y={0-2}@-3=1
이므로 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표는 {0, 1}이다.
따라서 이차함수 y={x-2}@-3의 그래프 y
O x -3
1 2
는 오른쪽 그림과 같으므로 그래프가 지나 지 않는 사분면은 제3사분면이다.
07 이차함수 y=ax@의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그 래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=-ax@
이차함수 y=4x@의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나 타내는 이차함수의 식은 y=-4x@
이차함수 y=-4x@의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 이차 함수의 식은
y=-4{x+3}@-2
이 그래프가 점 {-1, k}를 지나므로 k=-4\{-1+3}@-2=-16-2=-18
08 sAOB에서 OBZ를 밑변으로 하면 꼭짓점 A의 x좌 표의 절댓값이 삼각형의 높이가 된다.
이차함수 y=-4!{x+4}@+6의 그래프의 꼭짓점 A의 좌표 는 {-4, 6}
y=-4!{x+4}@+6에 x=0을 대입하면 y=-4!\{0+4}@+6=-4+6=2
즉, 그래프가 y축과 만나는 점 B의 좌표는 {0, 2}이다.
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 y축에 내 y
O x A
2B H6
-4
린 수선의 발을 H라 하면 OBZ=2, AHZ=4이므로 sAOB =2!\OBZ\AHZ
=2!\2\4=4
01 ① y=2px ② y=x@ ③ y=5x
④ y=2!\4x\x=2x@
⑤ y=2!\{3x+x}\5=10x
따라서 y가 x에 대한 이차함수인 것은 ②, ④이다.
02 f{-2}={-2}@+{-2}-2=4-2-2=0 03 ㄱ. y축을 축으로 한다.
ㄹ. a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.
04 ⑤ x>0일 때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.
05 이차함수 y=ax@의 그래프가 위로 볼록하려면 a<0이어야 한다.
위로 볼록한 이차함수 y=-x@, y=-2!x@, y=-4x@의 그 래프 중에서 폭이 가장 넓은 것은 a의 절댓값이 가장 작은
③ y=-2!x@이다.
06 이차함수 y=2x@의 그래프가 점 {-3, a}를 지나므로 a=2\{-3}@=18
이차함수 y=2x@의 그래프와 x축에 서로 대칭인 그래프를 나 타내는 이차함수의 식은 y=-2x@이므로 b=-2
/ a-b=18-{-2}=20
08 이차함수 y=2x@+6의 그래프는 이차함수 y=2x@의 그래프를 y축의 방향으로 6만큼 평행이동한 것이므로 ABZ=6
09 이차함수 y=2!x@의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼 평행이 동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=2!{x-4}@
이 그래프가 점 {-2, a}를 지나므로 a=2!\{-2-4}@=2!\36=18
10 이차함수 y=a{x-1}@-6의 그래프는 이차함수 y=ax@의 그 래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 -6만큼 평행 이동한 것이므로
a=3, p=1, q=-6
/ a+p+q=3+1+{-6}=-2
127~129쪽
실전! 중단원 마무리
01 ②, ④ 02 ② 03 ④ 04 ⑤ 05 ③ 06 ④ 07 ② 08 ⑤ 09 ⑤ 10 -2 11 ⑤ 12 ④ 13 ④ 14 2 15 ⑤ 16 2
17 9 18 9 19 32
Ⅳ. 이차함수
41
11 ⑤ 이차함수 y=2x@의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
12 ① y
O x -5
y=-2x@-5
② y
O x -3
-9 y=-{x+3}@
③ y
O x -1 -1 y={x+1}@-1
④ y
O1 x
-3 -1
y=2{x-1}@-3 ⑤ y
O x 2
-6 4
y=- {x-4}@+22!
따라서 그래프가 모든 사분면을 지나는 것은 ④이다.
13 일차함수 y=ax+b의 그래프에서 기울기가 음수이므로 a<0
y절편이 양수이므로 b>0
이차함수 y=a{x-b}@의 그래프는 a<0이므로 위로 볼록한 포물선이고, 꼭짓점의 좌표 {b, 0}에서 b>0이므로 꼭짓점은 x축의 양의 부분에 있다.
따라서 이차함수 y=a{x-b}@의 그래프로 적당한 것은 ④이다.
14 이차함수 y=-{x-k}@+3k의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
14 이차함수 y=-{x-k}@+3k의 그래프의 꼭짓점의 좌표는