이차방정식

본문 94~95쪽

Ⅲ. 이차방정식

01 이차방정식의 풀이

94~101쪽

01 ④ 02 ③ 03 6 04 ② 05 ③ 06 2개 07 ② 08 2 09 3 10 40/9 11 11/4 12 -2 13 11 14 3 15 16 16 3 17 19 18 18 19 x=-3/2 또는 x=1/3 20 ② 21 ⑤ 22 ④ 23 ① 24 ⑴ x=-1 또는 x=-4 ⑵ x=-3 또는 x=4 ⑶ x=2 또는 x=7 ⑷ x=-4 또는 x=3/2 25 x=-3 또는 x=1 26 5 27 x=-1 28 x=5 29 1 30 7/2 31 ⑴ 4 ⑵ x=14 32 -9 33 x=7 34 x=-5 35 ④ 36 8 37 ③ 38 3개 39 16 40 7 41 -3 42 9/4

43 x=-5/2 또는 x=1/3 44 19 45 ④ 46 -2

47 24 48 6 49 13/12 50 A=8, B=2, C=16, D=4, E=14 51 6 52 ⑴ x=-1±rt2

⑵ x=4±rt7 ⑶ x= -4±rt6~~2 53 -3

01

^① 3/2&x^2=0`(이차방정식)

② x^2(x-2)=x^3&+6에서 x^3&-2x^2=x^3&+6 .t3 -2x^2&-6=0`(이차방정식)

③ (x+1)(x-5)=-x에서 x^2&-4x-5=-x .t3 x^2&-3x-5=0`(이차방정식)

④ 2(x-1)(3+x)=2x^2&에서 2x^2&+4x-6=2x^2&

.t3 4x-6=0`(일차방정식)

⑤ x(3x+1)=7-3x^2에서 3x^2&+x=7-3x^2 .t3 6x^2&+x-7=0`(이차방정식)

따라서 x에 대한 이차방정식이 아닌 것은 ④이다.

 ④

02

^ㄱ. 3x^2&-5=3x^2&+2x에서 -2x-5=0`(일차방정식) ㄴ. 2x^2&+6=x-5에서

2x^2&-x+11=0`(이차방정식)

ㄷ. x^2&-10x+9는 등식이 아니므로 이차방정식이 아 니다.

ㄹ. x^2&-x(x+3)=0에서 x^2&-x^2&-3x=0 .t3 -3x=0`(일차방정식)

ㅁ. #1/@x^2 $+2/x=-1은 분모에 미지수가 있으므로 이차 방정식이 아니다.

ㅂ. 4x^2&-1=4(x-1)에서 4x^2&-1=4x-4 .t3 4x^2&-4x+3=0`(이차방정식)

따라서 이차방정식은 ㄴ, ㅂ이다.  ③

03

3x^2&-x=(x+2)(2x-1)에서 3x^2&-x=2x^2&+3x-2 x^2&-4x+2=0이므로 a=-4, b=2

.t3 b-a=2-(-4)=6 ^ 6

04

ax^2&+2x-4=(x-1)^2에서 (a-1)x^2&+4x-5=0 이 식이 이차방정식이 되려면 이차항의 계수가 0이 아

니어야 하므로 a-1≠0 .t3 a≠1 ^{ ②}

05

^{각 방정식에} x=1을 대입하여 등식이 성립하는 것을

찾는다.

① 1^2&-3\1≠0 ② 1^2&+2\1-2≠0 ③ 2\1^2&=3-1 ④ (1+1)(1-2)≠5

⑤ 3\1^2&+1≠4\1-9 ^{ ③}

06

^{각 방정식에} x=-3을 대입하여 등식이 성립하는 것 을 찾는다.

ㄱ. (-3)^2&+2\(-3)-3=0 ㄴ. 5\(-3)^2&-2\(-3)-1≠0 ㄷ. 3\(-3)^2&+5\(-3)=12 ㄹ. 2\(-3)^2&-3\(-3)≠-3+6 ㅁ. 2\(-3)^2&≠5-3\(-3) ㅂ. -3(-3-5)+6≠0

따라서 x=-3을 근으로 갖는 이차방정식은 ㄱ, ㄷ의

2개이다. ^ 2개

07

각 방정식에 주어진 해를 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.

① 4^2&-4≠0

② (-1)^2&+2\(-1)+1=0 ③ (-2)^2&+3\(-2)-4≠0 ④ 3^2&+7\3+12≠0

⑤ 1^2&+7≠4(1+3) ^{ ②}

08

3x^2&+ax-3a-2=0에 x=-2를 대입하면 3\(-2)^2&+a\(-2)-3a-2=0, -5a=-10

.t3 a=2 ^ 2

45

Ⅲ. 이차방정식

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 45 19. 10. 14. 오후 7:41

09

x^2&-ax+15=0에 x=3을 대입하면 9-3a+15=0, -3a=-24 .t3 a=8 2x^2&-3x+b=0에 x=-1을 대입하면 2+3+b=0 .t3 b=-5

.t3 a+b=8+(-5)=3 ^ 3

10

x=-1/3을 2x^2&-x+a=0에 대입하면 2/9+1/3+a=0 .t3 a=-5/9 x=-1/3을 3x^2&+bx-2=0에 대입하면 1/3-1/3&b-2=0, -1/3&b=5/3 .t3 b=-5

.t3 a-b=(-5/9)-(-5)=40/9 ^ 40/9

11

정사각형의 넓이가 1이므로 ^-CA^-=^-CD^-=rt2~~, ^-CB^-=^-CE^-=rt2 .t3 A(3-rt2&~), B(3+rt2&~)

(3-rt2&~)(3+rt2&~)=7이므로 x=7을 a(x-3)(x+4)=(2x-3)^2에 대입하면 a(7-3)(7+4)=(2\7-3)^2

44a=121 .t3 a=11/4 ^ 11/4

12

x^2&-4x+2=0에 x=alpha를 대입하면

alpha^2&-4alpha+2=0 .t3 alpha^2&-4alpha=-2 ^ -2

13

x^2&+3x-5=0에 x=alpha를 대입하면 alpha^2&+3alpha-5=0이므로 alpha^2&+3alpha=5

.t3 4alpha^2&+12alpha-9=4(alpha^2&+3alpha)-9=4\5-9

=20-9=11 ^ 11

14

x^2&-3x+1=0에 x=alpha를 대입하면 alpha^2&-3alpha+1=0 alpha≠0이므로 양변을 alpha로 나누면 alpha-&3+1/alpha=0

.t3 alpha+1/alpha=3 ^ 3

15

2x^2&+x-7=0에

x=alpha를 대입하면 2alpha^2&+alpha-7=0이므로 2alpha^2&+alpha=7 x=beta를 대입하면 2beta^2&+beta-7=0이므로 2beta^2&+beta=7 .t3 (2alpha^2&+alpha-5)(2beta^2&+beta+1)=(7-5)(7+1)=16

 16

16

3x^2&+2x-1=0에 x=a를 대입하면 3a^2&+2a-1=0이므로 3a^2&+2a=1

x^2&-5x+2=0에 x=b를 대입하면 b^2&-5b+2=0이므로 b^2&-5b=-2

.t3 3a^2&-b^2&+2a+5b=(3a^2&+2a)-(b^2&-5b)

=1-(-2)=3 ^ 3

17

x^2&+5x+3=0에 x=alpha를 대입하면 alpha^2&+5alpha+3=0 alpha≠0이므로 양변을 alpha로 나누면

alpha+5+3/alpha=0 .t3 alpha&+3/alpha&=-5 ^{…… 50%}

.t3 alpha^2&+#9/@alpha^2 $=(alpha+3/alpha)^^2&-6=(-5)^2&-6=19 ^{…… 50%}

 19

채점 기준 배점

alpha+3/alpha의 값 구하기 50%

alpha^2&+#9/@alpha^2 $의 값 구하기 50%

18

x^2&-4x+1=0에 x=alpha를 대입하면 alpha^2&-4alpha+1=0 alpha≠0이므로 양변을 alpha로 나누면

alpha-4+1/alpha=0 .t3 alpha+1/alpha=4

.t3 alpha^2&+alpha&+#1/@alpha^2 $+1/alpha=(alpha^2&+#1/@alpha^2 $)+(alpha+1/alpha&) =(alpha+1/alpha&)^^2&-2+(alpha+1/alpha&)

=4^2&-2+4=18 ^ 18

19

(2x+3)(3x-1)=0에서 2x+3=0 또는 3x-1=0 .t3 x=-3/2 또는 x=1/3 ^ x=-3/2 또는 x=1/3

20

^① x=-1/2 또는 x=-1 ② x=-1/2 또는 x=1 ③ x=-1 또는 x=1/2 ④ x=0 또는 x=1

⑤ x=1/2 또는 x=1 ^{ ②}

21

①, ②, ③, ④ x=-1/2 또는 x=4/3

⑤ x=-4/3 또는 x=1/2 ^{ ⑤}

22

^① x=-1 또는 x=6이므로 두 근의 합은 5 ② x=1/2 또는 x=1이므로 두 근의 합은 3/2 ③ x=-6 또는 x=3/2이므로 두 근의 합은 -9/2 ④ x=-2 또는 x=-3이므로 두 근의 합은 -5 ⑤ x=3/4 또는 x=2이므로 두 근의 합은 11/4 ^{ ④}

46

^{정답과 풀이}

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 46 19. 10. 14. 오후 7:41

Ⅲ.이차방정식 본문 95~98쪽

23

x^2&-5x-24=0에서 (x+3)(x-8)=0

.t3 x=-3 또는 x=8 ^{ ①}

24

^⑴ x^2&+5x+4=0에서 (x+1)(x+4)=0 .t3 x=-1 또는 x=-4

⑵ x^2&-x-12=0에서 (x+3)(x-4)=0 .t3 x=-3 또는 x=4

⑶ x^2&-9x+14=0에서 (x-2)(x-7)=0 .t3 x=2 또는 x=7

⑷ 2x^2&+5x-12=0에서 (x+4)(2x-3)=0 .t3 x=-4 또는 x=3/2

 ⑴ x=-1 또는 x=-4 ⑵ x=-3 또는 x=4

⑶ x=2 또는 x=7 ⑷ x=-4 또는 x=3/2

25

(x+3)(2x-1)=x^2&+3x에서 2x^2&+5x-3=x^2&+3x, x^2&+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 .t3 x=-3 또는 x=1

 x=-3 또는 x=1

26

x(x+7)=2x-6에서 x^2&+7x=2x-6 x^2&+5x+6=0, (x+2)(x+3)=0 .t3 x=-2 또는 x=-3

이때 alpha<beta이므로 alpha=-3, beta=-2

.t3 alpha^2&-beta^2&=(-3)^2&-(-2)^2&=5 ^ 5

27

x^2&-7x=4(x+3)에서 x^2&-7x=4x+12 x^2&-11x-12=0, (x+1)(x-12)=0 .t3 x=-1 또는 x=12

그런데 -2<x<3이므로 x=-1 ^ x=-1

28

x=1을 x^2&+3ax+1-2a=0에 대입하면 1+3a+1-2a=0 .t3 a=-2

a=-2를 x^2&+3ax+1-2a=0에 대입하면 x^2&-6x+5=0, (x-1)(x-5)=0 .t3 x=1 또는 x=5

따라서 다른 한 근은 x=5이다. ^ x=5

29

(x+3)(x-b)=0의 해는 x=-3 또는 x=b 두 이차방정식의 해가 같으므로

x=-3을 x^2&+2ax-6=0에 대입하면 9-6a-6=0 .t3 a=1/2

a=1/2을 x^2&+2ax-6=0에 대입하면

x^2&+x-6=0, (x+3)(x-2)=0 .t3 b=2

.t3 ab=1/2\2=1 ^ 1

다른풀이

두 이차방정식의 해가 같으므로 두 식이 일치한다.

2a=3-b, -6=-3b에서 a=1/2, b=2 .t3 ab=1

30

x=4를 ax^2&-(5a+1)x+12=0에 대입하면 16a-4(5a+1)+12=0, -4a+8=0 .t3 a=2 주어진 이차방정식은 2&x^2&-11&&x+12=0이므로 (2x-3)(x-4)=0 .t3 x=3/2 또는 x=4

따라서 b=3/2이므로 a+b=7/2이다. ^ 7/2

31

^⑴ x=2를 x^2&-k^2&x+5k+8=0에 대입하면 4-2k^2&+5k+8=0, -2k^2&+5k+12=0 2k^2&-5k-12=0, (2k+3)(k-4)=0 .t3 k=-3/2 또는 k=4

그런데 k는 양수이므로 k=4 ^{…… 60%}

⑵ k=4를 x^2&-k^2&x+5k+8=0에 대입하면 x^2&-16x+20+8=0, x^2&-16x+28=0 (x-2)(x-14)=0 .t3 x=2 또는 x=14 따라서 다른 한 근은 x=14이다. ^{…… 40%}

 ⑴ 4 ⑵ x=14

채점 기준 배점

⑴ 구하기 60%

⑵ 구하기 40%

32

x=-1을 주어진 이차방정식에 대입하면 (a-2)+(a^2&-4)+3(a-2)=0

a^2&+4a-12=0, (a+6)(a-2)=0 .t3 a=-6 또는 a=2

r1par a=-6일 때, -8x^2&-32x-24=0, x^2&+4x+3=0 (x+1)(x+3)=0

.t3 x=-1 또는 x=-3

r2par a=2일 때, x^2의 계수가 0이 되어 이차방정식이 아 니다.

r1par, r2par에서 a=-6이고 나머지 한 근은 -3이므로 구

하는 값은 -6-3=-9이다. ^ -9

33

x^2&-6x-7=0에서 (x+1)(x-7)=0 .t3 x=-1 또는 x=7

x^2&-9x+14=0에서 (x-2)(x-7)=0

47

Ⅲ. 이차방정식

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 47 19. 10. 14. 오후 7:41

.t3 x=2 또는 x=7

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=7이다.

 x=7

34

x^2&+4x-8=3(x+4)에서 x^2&+4x-8=3x+12 x^2&+x-20=0, (x+5)(x-4)=0

.t3 x=-5 또는 x=4

(x-3)^2&=2(x^2&+7)에서 x^2&-6x+9=2x^2&+14 x^2&+6x+5=0, (x+1)(x+5)=0

.t3 x=-1 또는 x=-5

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-5이다.

 x=-5

35

^{시계탑 :} 3x^2&+4x-4=0, (x+2)(3x-2)=0 .t3 x=-2 또는 x=2/3

관람차 : x^2&+3x-10=0, (x+5)(x-2)=0

.t3 x=-5 또는 x=2

롤러코스터 : x^2&-2x-8=0, (x+2)(x-4)=0

.t3 x=-2 또는 x=4

바이킹 : 3x^2&-x-2=0, (3x+2)(x-1)=0 .t3 x=-2/3 또는 x=1

회전목마 : 3x^2&-7x+2=0, (3x-1)(x-2)=0 .t3 x=1/3 또는 x=2

범퍼카 : 6x^2&-x-2=0, (2x+1)(3x-2)=0 .t3 x=-1/2 또는 x=2/3

시계탑에 주어진 이차방정식의 해가 x=-2 또는 x=2/3이므로 탈 수 있는 놀이기구는 롤러코스터와 범

퍼카이다.  ④

36

x=3을 x^2&+ax-24=0&에 대입하면 9+3a-24=0, 3a=15 .t3 a=5 x=3을 2x^2&-5x+b=0에 대입하면 18-15+b=0 .t3 b=-3

.t3 a-b=5-(-3)=8 ^ 8

37

^① x^2&+5x=0, x(x+5)=0 .t3 x=0 또는 x=-5

② x^2&+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 .t3 x=-3 또는 x=1

③ 16x^2&-8x+1=0, (4x-1)^2=0 .t3 x=1/4(중근)

④ (x-3)^2=4에서 x^2&-6x+9=4, x^2&-6x+5=0 (x-1)(x-5)=0 .t3 x=1 또는 x=5 ⑤ x(x-1)=12에서 x^2&-x=12, x^2&-x-12=0 (x+3)(x-4)=0 .t3 x=-3 또는 x=4

 ③

38

^ㄱ. 9x^2&-25=0, (3x+5)(3x-5)=0 .t3 x=-5/3 또는 x=5/3

ㄴ. 9x^2&-6x+1=0, (3x-1)^2=0 .t3 x=1/3~(중근)

ㄷ. 10x^2&-15x+5=0, 2x^2&-3x+1=0

(2x-1)(x-1)=0 .t3 x=1/2 또는 x=1 ㄹ. x(4-x)=4에서 4x-x^2=4, x^2&-4x+4=0 (x-2)^2=0 .t3 x=2~(중근)

ㅁ. x^2&+7x+25=-3x에서 x^2&+10x+25=0 (x+5)^2=0 .t3 x=-5~(중근) ㅂ. (x+3)^2=x+3에서 x^2&+6x+9=x+3 x^2&+5x+6=0, (x+2)(x+3)=0 .t3 x=-2 또는 x=-3

따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ㄴ, ㄹ, ㅁ의 3개이

다.  3개

39

중근을 가지므로 (x+2)^2=0에서 x^2&+4x+4=0 .t3 a=4, b=4

.t3 ab=16 ^ 16

40

x^2&+10x+4a-3=0이 중근을 가지므로 4a-3=(10/2)^^2이어야 하므로

4a-3=25, 4a=28 .t3 a=7 ^ 7

41

^{이차방정식} 2x^2&+12x+3(m+5)=0에서 x^2&+6x+up3m+15 2 ~~=0

이 이차방정식이 중근을 가지므로

up3m+15 2 ~~=(6/2)^^2&=9, 3m+15=18, 3m=3

.t3 m=1 ^{…… 50%}

즉, 2x^2&+12x+18=0이므로 x^2&+6x+9=0 (x+3)^2=0 .t3 x=-3~(중근)

.t3 n=-3 ^{…… 40%}

따라서 mn=-3이다. ^{…… 10%}

 -3

48

^{정답과 풀이}

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 48 19. 10. 14. 오후 7:41

Ⅲ.이차방정식 본문 98~101쪽

채점 기준 배점

m의 값 구하기 50%

n의 값 구하기 40%

mn의 값 구하기 10%

42

^{이차방정식} x^2&-4kx+9k=0이 중근을 가지므로 9k=( -4k~2 )^^2&=4k^2, 4&k^2&-9k=0

k(4k-9)=0 .t3 k=0 또는 k=9/4

k>0이므로 k=9/4 ^ 9/4

43

^{이차방정식} x^2&-6x+k=0이 중근을 가지므로 k=( -62 )^^2&=9

k=9를 6x^2&+(k+4)x-5=0에 대입하면 6x^2&+13x-5=0, (2x+5)(3x-1)=0

.t3 x=-5/2 또는 x=1/3 ^ x=-5/2 또는 x=1/3

44

(x-8)^2=11에서 x-8=±rt11 .t3 x=8±rt11

따라서 p=8, q=11이므로 p+q=19이다. ^ 19

45

^① x^2=24에서 x=±rt24~=±2rt6

② x^2&-8=0에서 x^2=8 .t3 x=±rt8~~=±2rt2 ③ 3x^2&-9=0에서 3x^2=9, x^2=3 .t3 x=±rt3 ④ 2(x-1)^2&-32=0에서 2(x-1)^2=32

(x-1)^2=16, x-1=±4

.t3 x=-3 또는 x=5

⑤ (x+4)^2=3에서 x+4=±rt3 .t3 x=-4±rt3

 ④

46

2(x+a)^2&=12에서 (x+a)^2&=6, x+a=±rt6

.t3 x=-a±rt6~ ^{…… 40%}

즉, x=-a±rt6=3±rtb이므로 a=-3, b=6 ^{…… 40%}

.t3 b/a= 6-3 ~=-2 …… 20%

 -2

채점 기준 배점

2(x+a)^2=12의 해 구하기 40%

a, b의 값 구하기 40%

b /

a의 값 구하기 20%

47

3(x+a)^2&=b에서 (x+a)^2&=b/3, x+a=±rtb/3 .t3 x=-a±rtb/3

즉, x=-a±rtb/3=-3±rt7&이므로 -a=-3, b/3=7 .t3 a=3, b=21

.t3 a+b=24 ^ 24

48

(x-1)^2=6k에서 x-1=±rt6k .t3 x=1±rt6k 이차방정식의 해가 정수가 되려면 6k가 제곱수이어야

한다.

따라서 가장 작은 자연수 k의 값은 6이다. ^ 6

49

3x^2&-3x-1=0에서 x^2&-x-1/3=0 x^2&-x=1/3, x^2&-x+1/4=1/3+1/4 .t3 (x-1/2)^^2&=7/12

따라서 a=1/2, b=7/12이므로 a+b=13/12이다. ^ 13/12

50

1/2&x^2&-4x+1=0에서

x^2&-8x+2=0 ⇨ A=8, B=2 x^2&-8x=-2

x^2&-8x+16=-2+16 ⇨ C=16 (x-4)^2=14 ⇨ D=4, E=14

 A=8, B=2, C=16, D=4, E=14

51

5x^2&-10x-20=0에서 x^2&-2x-4=0, x^2&-2x=4 x^2&-2x+1=4+1, (x-1)^2=5, x-1=±rt5 .t3 x=1±rt5

따라서 a=1, b=5이므로 a+b=6이다. ^ 6

52

^⑴ x^2&+2x-1=0에서 x^2&+2x=1

x^2&+2x+1=1+1, (x+1)^2&=2, x+1=±rt2 .t3 x=-1±rt2

⑵ x^2&-8x+9=0에서 x^2&-8x=-9 x^2&-8x+16=-9+16, (x-4)^2&=7 x-4=±rt7 .t3 x=4±rt7 ⑶ 2x^2&+8x+5=0에서 x^2&+4x+5/2=0 x^2&+4x=-5/2&, x^2&+4x+4=-5/2+4 (x+2)^2&=3/2, x+2=±#!rt6/2:

∴ x=-2±#!rt6/2:= -4±rt6~2

 ⑴ x=-1±rt2 ⑵ x=4±rt7 ⑶ x= -4±rt6~~2

49

Ⅲ. 이차방정식

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 49 19. 10. 14. 오후 7:42

53

x^2&-3x+a=0에서 x^2&-3x=-a

x^2&-3x+9/4=-a+9/4, (x-3/2)^^2&= 9-4a~4 …… 50%

x-3/2=± rt9-4a~2 .t3 x= 3±rt9-4a~2 …… 20%

b=3, 13=9-4a에서 a=-1, b=3 ^{…… 20%}

.t3 ab=(-1)\3=-3 ^{…… 10%}

 -3

채점 기준 배점

좌변을 완전제곱식의 꼴로 바꾸기 50%

x^2&-3x+a=0의 해 구하기 20%

a, b의 값 구하기 20%

ab의 값 구하기 10%

102~104쪽

01 2개 02 ③ 03 7 04 -42 05 5/3

06 x=4/3 07 2 08 x=-1 09 ② 10 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ 11 -11/2 12 x=-3/2 13 6 14 -3 15 4 16 2 17 3

18 ⑴ 8 ⑵ x=-1/5 19 ⑴ -7 또는 1 ⑵ 13 20 ⑴ q<49/4 ⑵ 6, 10, 12

01

^ㄱ. 3x^2&+12x+12=3x^2&+4, 12x+8=0 ㄴ. x^2&-4x=x^3&-4x^2&+4x, x^3&-5x^2&+8x=0 ㄷ. 2x^2&+3x-4=0

ㄹ. 25-10x+x^2&-3=x^2&+2x+1, 12x-21=0 ㅁ. x^2&-2x+3=x^2&-2x+1-5, 7=0

ㅂ. 2x^2&-4x+2=4x-4, 2x^2&-8x+6=0

따라서 이차방정식은 ㄷ, ㅂ의 2개이다. ^ 2개

02

각 방정식에 주어진 해를 대입하여 등식이 성립하는 것을 찾는다.

① -1(-1-4)-4≠0 ② 2\5^2&-9\5+5≠0

③ (-2)^2&+3\(-2)=-(-2)-4 ④ 6\2^2&+2≠1

⑤ 2(1+1)^2≠5\1+5 ^{ ③}

03

x^2&+ax+b=0에

x=-3을 대입하면 9-3a+b=0, 3a-b=9 …… ㉠ x=2를 대입하면 4+2a+b=0, 2a+b=-4 …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=-6

.t3 a^2&-b=1^2&-(-6)=7 ^ 7

04

x=a를 x^2&-4x+3=0에 대입하면 a^2&-4a+3=0에서 a^2&-4a=-3 x=b를 2x^2&-3x-2=0에 대입하면 2b^2&-3b-2=0에서 2b^2&-3b=2 .t3 (2a^2&-8a)(2b^2&-3b+5) =2(a^2&-4a)(2b^2&-3b+5) =2\(-3)\(2+5)

=-42 ^ -42

05

x=alpha를 x^2&-3kx-1=0에 대입하면 alpha^2&-3kalpha-1=0

alpha≠0이므로 양변을 alpha로 나누면 alpha-3k-1/alpha=0 alpha-1/alpha=3k=5이므로 k=5/3 ^ 5/3

06

3x^2&-2ax+a+3=0에 x=2를 대입하면 12-4a+a+3=0, -3a=-15 .t3 a=5

3x^2&-2ax+a+3=0에 a=5를 대입하면 3x^2&-10x+8=0, (x-2)(3x-4)=0 .t3 x=2 또는 x=4/3

따라서 다른 한 근은 x=4/3이다. ^ x=4/3

07

2x^2&-5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0 .t3 x=1/2 또는 x=2

x=2가 x^2&+ax-5a+2=0의 근이므로 4+2a-5a+2=0, -3a=-6

.t3 a=2 ^ 2

08

3x^2&-x-4=3(x+1)에서 3x^2&-x-4=3x+3 3x^2&-4x-7=0, (x+1)(3x-7)=0

.t3 x=-1 또는 x=7/3

(x-1)(x+2)=1+3x에서 x^2&+x-2=1+3x x^2&-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

.t3 x=-1 또는 x=3

따라서 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-1이다.

 x=-1

09

x^2&+ax-8=0에서 좌변이 (x-alpha)(x-beta)로 인수분 해 된다고 하면

50

^{정답과 풀이}

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 50 19. 10. 14. 오후 7:42

Ⅲ.이차방정식 본문 101~104쪽

(x-alpha)(x-beta)=0, x^2&-(alpha+beta)x+alphabeta=0이므로 a=-(alpha+beta), -8=alphabeta

alphabeta=-8, 즉 두 근의 곱은 -8이어야 한다.

두 근이 x=-8 또는 x=1일 때, a=7 두 근이 x=-4 또는 x=2일 때, a=2 두 근이 x=-2 또는 x=4일 때, a=-2 두 근이 x=-1 또는 x=8일 때, a=-7

따라서 ② -5는 a의 값이 될 수 없다. ^{ ②}

10

^ㄱ. x^2&+6x+8=0, (x+2)(x+4)=0

.t3 x=-2 또는 x=-4

ㄴ. 1/4&x^2&-x+1=0, 1/4(x^2&-4x+4)=0 1/4(x-2)^2=0 .t3 x=2(중근)

ㄷ. 2(x+1)^2=8에서 (x+1)^2=4, x+1=±2 .t3 x=-3 또는 x=1

ㄹ. x-x^2=3(x+1)-2에서 x-x^2=3x+3-2 x^2&+2x+1=0, (x+1)^2=0

.t3 x=-1(중근)

ㅁ. 3-x^2=6(x+2)에서 3-x^2=6x+12 x^2&+6x+9=0, (x+3)^2=0

.t3 x=-3(중근)

ㅂ. x^2&-6x+10=2x-6에서 x^2&-8x+16=0 (x-4)^2=0 .t3 x=4(중근)

따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ이다.

 ㄴ, ㄹ, ㅁ, ㅂ

11

x^2&+2x=6x+m에서 x^2&-4x-m=0이 중근을 가지 므로 -m=(up-4 `~2 `)^^2=4 .t3 m=-4

m=-4를 (m+2)x^2&-11x-4m+5=0에 대입하면 -2x^2&-11x+21=0, 2x^2&+11x-21=0

(x+7)(2x-3)=0 .t3 x=-7 또는 x=3/2 따라서 구하는 두 근의 합은 -11/2이다. ^ -11/2

12

2x^2&-12x+5a+3=0에서

x^2&-6x+up5a+3 ``2 ~~=0이 중근을 가지므로 up5a+3 ``2 ~~=^(up-6 `~2 `)^^2=9, 5a+3=18 .t3 a=3 주어진 방정식에 a=3을 대입하여 풀면 2x^2&+x-3=0에서 (2x+3)(x-1)=0 .t3 x=-3/2 또는 x=1

4x^2&-4x-15=0에서 (2x+3)(2x-5)=0

.t3 x=-3/2 또는 x=5/2

따라서 주어진 두 이차방정식의 공통인 근은 x=-3/2

이다.  x=-3/2

13

1/2(x-3)^2=a에서 (x-3)^2=2a, x-3=±rt2a .t3 x=3±rt2a

이때 주어진 이차방정식의 해가 x=b±rt6~~이므로 3=b, 2a=6

따라서 a=3, b=3이므로 a+b=6이다. ^ 6

14

3x^2&-6x+1=0에서 x^2&-2x+1/3=0, x^2&-2x=-1/3 x^2&-2x+1=-&1/3+1, (x-1)^2=2/3

따라서 p=-1, q=2/3이므로

p-3q=-1-3\2/3=-3이다. ^ -3

15

4x^2&-ax-7=0에서 x^2&-a/4&x-7/4=0 x^2&-a/4x+low64 ~a^2&~~=7/4+low64 ~a^2&~~

(x-a/8)^^2=up112+a^2 `64 ~`, x-a/8=± 2112+xa^2x~8 .t3 x= a±2112+xa^2x~8

a/8=1/2이므로 a=4 ^ 4

16

3x^2&-(2a+1)x-a=0에 x=a를 대입하면 3a^2&-(2a+1)a-a=0, 3a^2&-2a^2&-a-a=0

a^2&-2a=0, a(a-2)=0 .t3 a=2~(∵ a≠0) ^ 2

17

x^2&+2ax+4b=0이 중근을 가지려면 4b=(2a/2)^^2=a^2

a는 2의 배수이므로

(a, b)=(2, 1), (4, 4), (6, 9), (8, 16), … a, b는 한 자리의 자연수이므로 자연수 a가 최대가 될

때는 a=6, b=9일 때이다.

.t3 b-a=3 ^ 3

18

^⑴ (a+2)x^2&+a(a-4)x+6=0에 x=-3을 대입하면 (a+2)\(-3)^2&+a(a-4)\(-3)+6=0 9a+18-3a^2&+12a+6=0

51

Ⅲ. 이차방정식

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 51 19. 10. 14. 오후 7:42

3a^2&-21a-24=0, a^2&-7a-8=0 (a+1)(a-8)=0

.t3 a=-1 또는 a=8

a>0이므로 a=8 ^{…… 50%}

⑵ (a+2)x^2&+a(a-4)x+6=0에 a=8을 대입하면 10x^2&+32x+6=0, 5x^2&+16x+3=0,

(x+3)(5x+1)=0 .t3 x=-3 또는 x=-1/5

따라서 다른 한 근은 x=-1/5이다. ^{…… 50%}

 ⑴ 8 ⑵ x=-1/5

채점 기준 배점

⑴ 구하기 50%

⑵ 구하기 50%

19

^⑴ x^2&+4=(k+3)x에서 x^2&-(k+3)x+4=0 4=^{up-(k+3) `2 ^}^^2&, (k+3)^2=16

k+3=±4 .t3 k=-7 또는 k=1 ^{…… 50%}

⑵ x^2&+mx+n=0에

x=-7을 대입하면 49-7m+n=0 ……~㉠

x=1을 대입하면 1+m+n=0 ……~㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 m=6, n=-7

.t3 m-n=13 ^{…… 50%}

 ⑴ -7 또는 1 ⑵ 13

채점 기준 배점

⑴ 구하기 50%

⑵ 구하기 50%

20

^⑴ x^2&-7x+q=0에서 x^2&-7x+49/4=49/4-q (x-7/2)^^2=up49-4q `4 , x-7/2=± rt49-4q~2 .t3 x= 7±rt49-4q~2

서로 다른 두 해를 가지려면 rt49-4q~>0이어야 하 므로 49-4q>0, 4q<49 .t3 q<49/4 ^{…… 50%}

⑵ 유리수인 해를 가지려면 49-4q가 0 또는 제곱수이 어야 하므로

49-4q=0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 4q=49, 48, 45, 40, 33, 24, 13, 0 .t3 q=49/4, 12, 45/4, 10, 33/4, 6, 13/4, 0

따라서 q는 자연수이므로 q의 값은 6, 10, 12이다.

…… 50%

 ⑴ q<49/4 ⑵ 6, 10, 12

채점 기준 배점

⑴ 구하기 50%

⑵ 구하기 50%

105쪽

1

^{태호 :} 2x^2&-5x-3=0, (2x+1)(x-3)=0 .t3 x=-1/2 또는 x=3

중원 : (x-1)^2=16, x-1=±4 .t3 x=-3 또는 x=5

이령 : x(x+7)=-6, x^2&+7x+6=0 (x+1)(x+6)=0

.t3 x=-1 또는 x=-6

강우 : (x-3)^2=3x-5, x^2&-9x+14=0 (x-2)(x-7)=0

.t3 x=2 또는 x=7

따라서 태호는 부채, 중원이는 피규어, 이령이는 과자, 강우는 펭귄 인형을 받는다.

답 태호 : 부채, 중원 : 피규어, 이령 : 과자, 강우 : 펭귄 인형

52

^{정답과 풀이}

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 52 19. 10. 14. 오후 7:42

Ⅲ.이차방정식 본문 104~108쪽

02 이차방정식의 활용

108~120쪽

01 -13 02 ⑴ x= 5±rt13~~2 ⑵ x= -1±rt73~~6

⑶ x=4±rt5 ⑷ x= 5±rt37~~4 03 -10 04 11 05 6 06 ⑴ x=1/4 또는 x=1/2 ⑵ x= -2±rt22~~3

⑶ x= 4±rt46~~3 ⑷ x= 7±rt29~~10 07 2 08 -2 09 x= 3±rt21~~2 10 4/11 11 -1 12 ① 13 -1 14 -3 15 4개 16 ② 17 ④ 18 3개 19 ④ 20 k=5, x=3 21 4 22 ⑤ 23 12 24 5/2 25 4 26 k<17/3 27 ① 28 연우, 수아

29 a>-27/4 30 -1 31 -20

32 ⑴ 2x^2&-10x+8=0 ⑵ -2x^2&-5x+12=0

⑶ -3x^2&+36x-108=0

33 x^2&-14x+48=0 34 1/2&x^2&-7x+12=0 35 x=-2 또는 x=6 36 3 37 ① 38 13 39 -3-rt11~ 40 ④ 41 17 42 3 43 9 44 14 45 56 46 13, 16 47 16 48 14살 49 10개 50 6명 51 7월 7일, 8일, 9일 52 500 53 30 54 8마리 55 1초 후 56 8초 후

57 7초 후 58 19`cm, 12`cm 59 14`m 60 2`m 61 14`cm 62 80`cm 63 6`cm 64 2`cm 65 7`cm 66 3`cm 67 10`cm

68 1536pai`cm^3 69 7`cm 70 (15rt2&~-15)`cm 71 10`cm 72 2`cm 73 15`cm

74 15`cm, 25`cm 75 2`m 76 3`m 77 12`cm

01

^{이차방정식} 2x^2&+7x-1=0에서 근의 공식을 이용하 여 해를 구하면

x= -7±27^2&-4x\x2\(x-1)x~2\2 = -7±rt57~4

A=-7, B=57이므로 10A+B=-13 ^ -13

02

^⑴ x^2&-5x+3=0에서

x= -(-5)±2(-5)^2x-4x\x1\3x~2\1 = 5±rt13~2 ⑵ 3x^2&+x-6=0에서

x= -1±21^2&-4x\x3\(x-6)x~2\3 = -1±rt73~6 ⑶ x^2&-8x+11=0에서

x=-(-4)±2(-4)&^2x-1x\11x~=4±rt5

⑷ 4x^2&-10x-3=0에서

x= -(-5)±2(-5)x^2x-4x\(x-3)x~4 = 5±rt37~4

 ⑴ x= 5±rt13~~2 ⑵ x= -1±rt73~~6 ⑶ x=4±rt5~~

⑷ x= 5±rt37~~4

03

x^2&+4x+k=0에서

x=-2±22^2&-1x\kx~=-2±rt4-k

따라서 4-k=14이므로 k=-10이다. ^ -10

04

ax^2&-3x-2=0에서

x= -(-3)±2(-3)x^2x-4x\ax\(x-2)x~2a ~ = 3±rt9+8a~2a = 3±rtb~~6

2a=6, 9+8a=b에서 a=3, b=33

.t3 b/a=33/3=11 ^ 11

05

^양변에 20을 곱하면 4x^2&-4x=5 4x^2&-4x-5=0에서

x= -(-2)±2(-2)^2x-4x\x(x-5)x~4 = 2±rt24~4 = 1±rt6~~2

따라서 a=1, b=6이므로 ab=6이다. ^ 6

06

^{⑴ 양변에} 4를 곱하면

8x^2&-6x+1=0, (4x-1)(2x-1)=0 .t3 x=1/4 또는 x=1/2

⑵ 양변에 6을 곱하면

3x^2&+4x=6, 3x^2&+4x-6=0

.t3 x= -2±22^2&-3x\(x-6)x~3 = -2±rt22~3 ⑶ 양변에 10을 곱하면

3x^2&-8x-10=0

.t3 x= -(-4)±2(-4)x^2&-3x\(x-10x)x~3 = 4±rt46~3

⑷ 양변에 100을 곱하면 5x^2&+1=7x, 5x^2&-7x+1=0

.t3 x= -(-7)±2(-7)x^2&-4x\5x\1x~2\5 = 7±rt29~10

53

Ⅲ. 이차방정식

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 53 19. 10. 14. 오후 7:42

 ⑴ x=1/4 또는 x=1/2 ⑵ x= -2±rt22~~3

⑶ x= 4±rt46~~3 ⑷ x= 7±rt29~~10

07

^양변에 10을 곱하면 2x^2&+11x-40=0 (x+8)(2x-5)=0

.t3 x=-8 또는 x=5/2

이때 alpha>beta이므로 alpha=5/2, beta=-8

.t3 4alpha+beta=10-8=2 ^ 2

08

^양변에 6을 곱하면 2x^2&-x+6a=0이므로 x= -(-1)±rt(-1)^2-4\2\6a~2\2

= 1±rt1-48a~4 = b±rt13~4 ^{…… 50%}

b=1, 13=1-48a .t3 a=-1/4, b=1 ^{…… 30%}

.t3 4a-b=4\(-1/4)-1=-2 ^{…… 20%}

 -2

채점 기준 배점

근의 공식에 대입하여 근 구하기 50%

a, b의 값 구하기 30%

4a-b의 값 구하기 20%

09

(2x-1)(3x+2)=4(x+1)^2&-x에서 6x^2&+x-2=4x^2&+8x+4-x

2x^2&-6x-6=0, x^2&-3x-3=0

.t3 x= -(-3)±rt(-3)^2-4\1\(-3)~2

= 3±rt21~2 ^ x= 3±rt21~~2

10

^양변에 15를 곱하면

5(x-1)(x+4)+15=3(x^2&-9)에서 5(x^2&+3x-4)+15=3(x^2&-9) 5x^2&+15x-20+15=3x^2&-27

2x^2&+15x+22=0, (x+2)(2x+11)=0 .t3 x=-2 또는 x=-11/2

따라서 alpha=-2, beta=-11/2이므로

alpha/beta=-2&/(-11/2)=-2\(-2/11)=4/11이다.

 4/11

11

^양변에 6을 곱하면

2(x-1)=6x-3(x^2&-1), 2x-2=6x-3x^2&+3 3x^2&-4x-5=0

.t3 x= -(-2)±rt(-2)^2-3\(-5)~3 = 2±rt19~3 즉, 두 근 중 작은 근인 a= 2-rt19~3 에서

-5<-rt19~<-4, -3<2-rt19~<-2 -1< 2-rt19~3 <-2/3

따라서 -1<a<0이므로 n=-1이다. ^ -1

12

3x-1=A로 치환하면

A^2&-4A-12=0, (A+2)(A-6)=0 .t3 A=-2 또는 A=6

즉, 3x-1=-2 또는 3x-1=6이므로

x=-1/3 또는 x=7/3 ^{ ①}

13

x-y=A로 치환하면

A(A-5)=6, A^2&-5A-6=0

(A+1)(A-6)=0 .t3 A=-1 또는 A=6 즉, x-y=-1 또는 x-y=6

x<y이므로 x-y=-1 ^ -1

14

^양변에 10을 곱하면

(x+4)^2&-5(x+4)=14에서 (x+4)^2&-5(x+4)&-14=0 x+4=A로 치환하면

A^2&-5A-14=0, (A+2)(A-7)=0 .t3 A=-2 또는 A=7

즉, x+4=-2 또는 x+4=7 .t3 x=-6 또는 x=3

따라서 두 근의 합은 -6+3=-3이다. ^ -3

15

x^2&+2xy+y^2&-3x-3y-10=0 (x+y)^2&-3(x+y)-10=0 x+y=A로 치환하면

A^2&-3A-10=0, (A+2)(A-5)=0 .t3 A=-2 또는 A=5

즉, x+y=-2 또는 x+y=5 x, y는 자연수이므로 x+y=5이다.

따라서 x+y=5를 만족시키는 순서쌍 (x, y)는 (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)의 4개이다. ^ 4개

54

^{정답과 풀이}

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 54 19. 10. 14. 오후 7:42

Ⅲ.이차방정식 본문 109~112쪽

16

^① 4^2&-1\4=12>0 ⇨ 2개

② (-3)^2&-4\2\5=-31<0 ⇨ 0개 ③ 6^2&-4\9=0 ⇨ 1개

④ (-1)^2&-1\(-9)=10>0 ⇨ 2개

⑤ 5^2&-4\3\(-1)=37>0 ⇨ 2개 ^{ ②}

17

^① 7^2&-4\1\12=1>0 ⇨ 2개

② (-9)^2&-4\5\1=61>0 ⇨ 2개 ③ (-4)^2&-1\5=11>0 ⇨ 2개 ④ x^2&-6x+16=0에서

(-3)^2&-1\16=-7<0 ⇨ 0개 ⑤ x^2&-7x+2=0에서

(-7)^2&-4\1\2=41>0 ⇨ 2개 ^{ ④}

18

^ㄱ. (-1)^2&-4\1\1=-3<0 ⇨ 0개

ㄴ. (-1)^2&-3\1/3=0 ⇨ 1개 ㄷ. (-1)^2&-1\3=-2<0 ⇨ 0개 ㄹ. (-5)^2&-4\1\(-6)=49>0 ⇨ 2개 ㅁ. x=-5 또는 x=1 ⇨ 2개

ㅂ. 7^2&-4\3\6=-23<0 ⇨ 0개

따라서 근을 갖는 이차방정식은 ㄴ, ㄹ, ㅁ의 3개이다.

 3개

19

x^2&-4kx+k+3=0이 중근을 가지려면 (-2k)^2&-(k+3)=0, 4k^2&-k-3=0 (4k+3)(k-1)=0

.t3 k=-3/4 또는 k=1

따라서 모든 상수 k의 값의 합은 1/4이다. ^{ ④}

20

x(x-6)=1-2k에서 x^2&-6x=1-2k

x^2&-6x+2k-1=0

중근을 가지므로 (-3)^2&-(2k-1)=0 -2k=-10 .t3 k=5

k=5를 x^2&-6x+2k-1=0에 대입하면 x^2&-6x+9=0, (x-3)^2=0

.t3 x=3~(중근) ^ k=5, x=3

21

x^2&-8x+p=0이 중근을 가지므로 (-4)^2&-p=0 .t3 p=16

p=16을 x^2&- p4x+q=0에 대입하면 x^2&-4x+q=0 중근을 가지므로 (-2)^2&-q=0 .t3 q=4

.t3 pq=16/4=4 ^ 4

22

a^2&-4\9\4=0, a^2=144 .t3 a=±12 r1par a=12일 때

9x^2&+12x+4=0, (3x+2)^2=0 .t3 x=-2/3~(중근)

r2par a=-12일 때

9x^2&-12x+4=0, (3x-2)^2=0 .t3 x=2/3~(중근)

따라서 음수인 중근을 갖도록 하는 a의 값은 ⑤ 12이다.

 ⑤

23

a=4m, b=4n(m, n은 서로소)이라 하면 x^2&+2ax+16b=0에서 x^2&+8mx+64n=0 중근을 가지므로 (4m)^2&-64n=0 .t3 m^2=4n

n은 제곱수이고, m, n은 서로소이므로 n=1, m=2이다.

따라서 a=8, b=4이므로 a+b=12이다. ^ 12

24

3x^2&-6x+k=0이 중근을 가지므로 (-3)^2&-3k=0 .t3 k=3

k=3을 (k-1)x^2&-7x+3=0에 대입하면 2x^2&-7x+3=0, (2x-1)(x-3)=0 .t3 x=1/2 또는 x=3

따라서 구하는 두 근의 차는 3-1/2=5/2이다. ^ 5/2

25

x^2&+4x-k=0이 중근을 가지므로 2^2&-(-k)=0 .t3 k=-4

x=-4를 x^2&+2ax+a^2=0에 대입하면

16-8a+a^2=0, (a-4)^2=0 .t3 a=4 ^ 4

26

서로 다른 두 근을 가지려면

(-4)^2&-(3k-1)>0, 16-3k+1>0

-3k>-17 .t3 k<17/3 ^ k<17/3

27

해를 가지려면

(-3)^2&-4(k-1)->0, 9-4k+4->0 -4k->-13 .t3 k-<13/4

따라서 k의 값이 될 수 없는 것은 ① 4이다. ^{ ①}

28

2x^2&-3x+k=0에서 (-3)^2&-4\2\k=9-8k 9-8k>0, 즉 k<9/8일 때 서로 다른 두 근을 가진다.

55

Ⅲ. 이차방정식

해(45-63)유형콕3-상(3단원)ok.indd 55 19. 10. 14. 오후 7:42

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