이차방정식과 그 풀이

이차방정식

Ⅲ

112~114p

기출

Best

01 ㄱ. 정리하면 Y™A이므로 이차방정식이다.

ㄴ. 이차식이다.

ㄷ. 정리하면 Y이므로 일차방정식이다.

ㄹ. 정리하면 Y™AY이므로 이차방정식이다.

ㅁ. 정리하면 Y이므로 일차방정식이다.

따라서 Y에 대한 이차방정식인 것은 ㄱ, ㄹ이다.

02 BY™AYY™A을 정리하면 BY™AY

이때 주어진 등식이 Y에 대한 이차방정식이 되려면 B, 즉 B이어야 한다.

따라서 상수 B의 값으로 옳지 않은 것은 ① 이다.

03 ① Y을 대입하면 @ 이므로 주어진 이차방정식의 해이다.

② Y를 대입하면 이므로 주어진 이차방정식의 해 이다.

③ Y을 대입하면 @이므로 주어진 이차방정식의 해 이다.

^{정답 및 해설}

31

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

④ Y을 대입하면 이므로 주어진 이차방정식의 해이다.

⑤ Y을 대입하면 이므로 주어진 이차방정 식의 해가 아니다.

04 Y을 Y™ABY에 대입하면 B, B

∴ B

05 YB를 Y™AY에 대입하면 B™AB, B™AB

06 ① Y 또는 Y

② Y 또는 Y

③ Y 또는 Y



④ Y 또는 Y

⑤ Y 또는 Y

 따라서 해가 Y 또는 Y

인 이차방정식은

07

∴ Y 또는 Y

08

∴ Y 또는 Y



09 Y을 Y™ABYB에 대입하면 BB, B, B

B을 Y™ABYB에 대입하면 Y™AY, Y™AY

따라서 다른 한 근은 Y

10

② Y 중근

④ Y™AY,  Y™AY

따라서 중근을 갖지 않는 이차방정식은 ③ Y™A이다.

11

^B[_ ]A ™A

12

Y 또는 Y

Y

 또는 Y

Œ, 에 의하여 두 이차방정식 Y™AY, Y™AY

의 공통인 근은 Y

13

Y™A에서 Y†

∴ Y 또는 Y

14

Y™AY에서

Y™AY, Y™AY, Y™A

즉, B, C이므로 BC

15

양변을 으로 나누면 Y™AY



Y™AY

, Y™AY[

]A

[

]A, Y™AY

, Y™A

 Y† 

, Y@†



∴ Y†



즉, ㉠: , ㉡: , ㉢: , ㉣: 

, ㉤: †



16

^Y _@ ^†`_

즉, ", #이므로 #"

17

^_

괄호를 풀어 정리하면 Y™AY, Y™AY

따라서 근의 짝수 공식에 의하여

Y  †`

18

^{Y Y}_ ^ _ ^_의 양변에 를 곱하면

괄호를 풀어 정리하면

Y™AY Y™AY

Y™AYY™AY

Y™AY

따라서 근의 짝수 공식에 의하여

Y  †`



32

1학기 중간고사 중3 수학

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

115~117p

기출

Best

쌍둥이

01 ①, ② 이차방정식이다.

③ 정리하면 Y™A이므로 이차방정식이다.

④ 정리하면 Y이므로 일차방정식이다.

⑤ 정리하면 Y™A이므로 이차방정식이다.

따라서 Y에 대한 이차방정식이 아닌 것은

④ Y™A@ Y이다.

02 Y BYY™A을 정리하면

BY™AYY™A,  BY™AY

따라서 주어진 등식이 Y에 대한 이차방정식이 되려면 B, 즉 B이어야 한다.

03 Y를 각각 대입하면

①  ② 

③ @ ④ ™A

⑤ 

따라서 Y를 근으로 갖는 이차방정식은 ② Y™AY이다.

04 Y을 Y™ABYB에 대입하면 BB, B

∴ B

05 YB를 Y™AY에 대입하면 B™AB

B이므로 양변을 B로 나누면 B B

∴ B B

06

Y 또는 Y

07

∴ Y 또는 Y

08 ^_

즉, B

, CA ∵ BC이므로 BC

09 Y을 Y™ABY에 대입하면 B, B

B를 Y™ABY에 대입하면

즉, 다른 한 근은 Y이므로 C

∴ BC

10

ㄴ. 완전제곱식 꼴로 나타낼 수 없다.

ㄷ. Y™AY,  Y™AY

ㄹ. 완전제곱식 꼴로 나타낼 수 없다.

따라서 중근을 갖는 이차방정식인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

11

^L[_]A™A이므로 L

∴ L

12

Y 또는 Y

Y

 또는 Y

Œ, 에 의하여 두 이차방정식 Y™AY, Y™AY

의 공통인 근은 Y

13

즉, B, C이므로 BC

14

Y™AY에서 Y™AY

, Y™AY

 Y™AY

, Y™A

 즉, Q, R

 이므로 QR

15

Y™AY에서

Y™AY, Y™AY[

 ]A[

 ]A Y™AY, Y™A, Y†

∴ Y†

즉, ", #, $이므로 "#$

16

^Y _ ^†u_ 즉, ", #이므로 "#

17

^_^Y™A_Y의 양변에 을 곱하면 Y™AY

∴ Y

 또는 Y

18

^{Y Y}_{  } 의 양변에 을 곱하면

^{정답 및 해설}

33

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

괄호를 풀어 정리하면

Y™AY Y™AY

Y™AY, Y™AY

근의 공식에 의하여

Y @ †`

 따라서 두 근의 합은 `

 `

 

118~119p

집중 공략

1

주어진 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 C™ABD의 값이

이어야 하므로

N™AN, N™AN

∴ N 또는 N

2

^Y_ 을 "로 치환하면

"™A"™A", "™A"

이때 "[Y

]Y "Y

Y





]이므로 이차방정식 Y[Y

]의 두 근은 Y 또는 Y

이고, 이들의 합은 

이다.

120~121p

서술형문제

1

⑴ Y=를 주어진 이차방정식에 대입하면 =™A=

=이므로 양변을 =로 나누면 =

=, =

= UUA

∴ 

⑵ =™A

=™A[=

=]A이므로 =™A

=™A™A UUA

∴ 

채점기준 배점

=

=의 값을 바르게 구하였다. 3

=™A

=™A의 값을 바르게 구하였다. 3

2

상수항을 우변으로 이항하면 Y™AY UUA 양변에 [

]A를 더하면 Y™AY UUA 좌변을 완전제곱식으로 나타내면 Y™A UUA 제곱근을 이용하여 해를 구하면

Y†, Y† UUA

∴ Y†

채점기준 배점

상수항을 우변으로 바르게 이항하였다. 1

양변에 더해야 할 수를 바르게 더하였다. 2

1

제곱근을 이용하여 해를 바르게 구하였다. 2

122~124p

실전 문제 1

^회

01 ㄱ. 이차방정식이다.

ㄴ. 정리하면 Y™AYY™AY이다. 즉, 항등식이므로 이차방정식 이 아니다.

ㄷ. 정리하면 Y™A이므로 이차방정식이다.

ㄹ. Y™A이 분모에 있으므로 이차방정식이 아니다.

따라서 Y에 대한 이차방정식인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

02 Y을 각각 대입하면

① ™A ② @

③ @ ④ 

⑤ ™A

따라서 Y을 근으로 갖지 않는 이차방정식은

03 Y를 BY™AY에 대입하면 B, B, B

Y을 Y™ACY에 대입하면 C, C

∴ BC

04 ① Y 또는 Y

② Y 또는 Y



③ Y 또는 Y



④ Y 또는 Y



⑤ Y 또는 Y

 따라서 해가 Y 또는 Y

인 이차방정식은

34

1학기 중간고사 중3 수학

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

05 Y™AYY에서

즉, B, C ∵ BC이므로 BC

06

BB™AB, B™AB

즉, 다른 한 근은 Y이므로 C

∴ BC

07

② 완전제곱식 꼴로 나타낼 수 없다.



 또는 Y

④ Y™AY, Y™A, Y

 중근

따라서 중근을 갖는 이차방정식은 ④ Y™AY,

08

즉, B, C이므로 BC

09

ㄷ. 음수인 제곱근은 존재하지 않으므로 실수 범위에서 근은 없다.

ㄹ. YQ†R에서 YQ†R이므로 두 근의 절댓값은 다 르다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

10

Y™AY에서

Y™AY, Y™AY, Y™A

즉, B, C이므로 BC

11

^Y†Ä™A@"

 †Ä"



이때 "이므로 ", "

또, #

∴ "#

12

Y"로 놓으면

" 또는 "

즉, Y 또는 Y이므로 Y 또는 Y

13

YB를 Y™AY에 대입하면

B™AB, B™AB UUA YC를 Y™AY에 대입하면

C™AC, C™AC UUA

@ UUA

∴ 

채점기준 배점

B™AB의 값을 바르게 구하였다. 2

C™AC의 값을 바르게 구하였다. 2

B™ABC™AC의 값을 바르게 구하였다. 2

14

⑴ Y™AYL이 중근을 가지므로 L[

 ]A UUA

이때 L ™A이므로

L, L UUA

∴ 

⑵ L를 Y™AYL에 대입하면

Y™AY , Y™AY

Y™AY, Y™A

∴ Y 중근 UUA

채점기준 배점

L의 값을 구하기 위한 식을 바르게 제시하였다. 2

L의 값을 바르게 구하였다. 1

이차방정식 Y™AYL의 중근을 바르게 구하였다. 3

15

⑴ Y™AY에서 좌변의 상수항을 우변으로 이항하면 Y™AY

양변에 [

]A를 더하면 Y™AY 좌변을 완전제곱식으로 고치고

우변을 정리하면 Y™A UUA

∴ Y™A

⑵ Y™A에서 제곱근을 이용하면

Y†`, Y†` UUA ∴ Y†`

채점기준 배점

이차방정식 Y™AY을 YQ™AR 꼴로 바르게 나

타내었다. 4

이차방정식 Y™AY을 바르게 풀었다. 2

16

^_^Y™A_^Y_의 양변에 을 곱하면 Y™AY

근의 공식에 의하여 Y

@ †`

 UUA

^{정답 및 해설}

35

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

즉, "†h#

 †`

 이므로 ", # UUA

∴ "# UUA

채점기준 배점

이차방정식 

Y™A

Y

의 근을 바르게 구하였다. 4 ", #의 값을 각각 바르게 구하였다. 2

"#의 값을 바르게 구하였다. 1

125~127p

실전 문제 2

^회

01

BY™A BYY™A,

이때 주어진 등식이 Y에 대한 이차방정식이 되려면 B, 즉 B이어야 한다.

따라서 상수 B의 값으로 옳지 않은 것은 ① 이다.

02 ① Y을 대입하면 이므로 주어진 이차방정식의 해가 아니다.

② Y을 대입하면 이므로 주어진 이차방정 식의 해가 아니다.

③ Y을 대입하면 이므로 주어진 이차방정 식의 해가 아니다.

④ Y을 대입하면 이므로 주어진 이차방정 식의 해가 아니다.

⑤ Y를 대입하면 ™A이므로 주어진 이차방정식의 해이다.

03 YB를 Y™AY에 대입하면 B™AB

B이므로 양변을 B로 나누면 B

B, B B

∴ B™A

B™A[B

B]A ™A

04

∴ Y

 또는 Y



05

즉, 이차방정식 Y™A BY의 한 근이 Y이므로 B, B

∴ B

06 이차방정식 Y™ABYC이 중근을 가지려면 C[B

]A이어야 하므로 CB™A

, B™AC

이때 모든 경우의 수는 @이고, B™AC를 만족시키는 B,

로 구하는 확률은 





07 Y을 Y™ABY에 대입하면 B, B

Y을 Y™AYC에 대입하면 C, C

∴ BC

08 ^C_^{, YB†|C}_^{, YB†|C}_ 즉, B, C

이므로 B, C

∴ CB

09 Y™AYY에서 Y™AYY, Y™AY

Y™AY, Y™A

즉, Q, R이므로 QR

10

Y™AY에서

Y™AY, Y™AY[

]A[

]A, Y™AY Y™A, Y†` ∴ Y†`

즉, B, C, D, E이므로 BCDE

11

Y™AY의 괄호를 풀어 정리하면

∴ Y 또는 Y

12

_ 의 양변에 을 곱하

괄호를 풀어 정리하면

 Y™AYYY™AY

Y™AYYY™AY, Y™AY

근의 짝수 공식에 의하여 Y†}x™A@ 

 ††

즉, ", #이므로 "#

13

Y를 Y™A BYB에 대입하면

 BB UUA

 BB에서

BB, B

∴ B UUA

채점기준 배점

B의 값을 구하기 위한 식을 바르게 제시하였다. 2

B의 값을 바르게 구하였다. 3

36

1학기 중간고사 중3 수학

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

14

⑴ Y를 Y™ABYB에 대입하면 BB, B

∴ B UUA

⑵ B를 Y™ABYB에 대입하면 Y™AY, Y™AY

UUA

따라서 다른 한 근은 Y UUA

∴ Y

채점기준 배점

B의 값을 바르게 구하였다. 3

이차방정식 Y™ABYB을 바르게 풀었다. 3

다른 한 근을 바르게 구하였다. 1

15

근의 공식에 의하여

Y†}x™A@@ 

@ †`

 UUA

즉, "†h#

 †`

 이므로 ", # UUA

∴ "# UUA

채점기준 배점

이차방정식 Y™AY의 근을 바르게 구하였다. 3 ", #의 값을 각각 바르게 구하였다. 2

"#의 값을 바르게 구하였다. 1

16

근의 공식에 의하여 Y

@

†‚B

 †‚B

 UUA

이때 해가 모두 유리수가 되려면 B의 값이  또는 자연수

의 제곱이 되어야 한다. UUA

Œ B에서 B



 B에서 B

Ž B에서 B



 B에서 B

 B에서 B



‘ B에서 B UUA

Œ_‘에 의하여 자연수 B의 값은 , , 이므로 구하는 합은

 UUA

∴ 

채점기준 배점

이차방정식 Y™AYB의 근을 B를 사용하여 바르

게 제시하였다. 2

B의 조건을 바르게 제시하였다. 2

B의 값을 모두 바르게 구하였다. 3

모든 자연수 B의 값의 합을 바르게 구하였다. 2

최다 오답문제

128p

주어진 이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 C™ABD의 값이 이 어야 하므로

L 또는 L

이때 L이면 Y™A의 계수가 L이 되어 이차방정식이 라는 조건에 맞지 않는다.

즉, 가능한 L의 값은 뿐이므로 이들의 합은 이다.

^{정답 및 해설}

37

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

130~133p 실전 모의고사•1회

부 록

01 ① 이다.

② ā ™A이다.

③ 의 제곱근은 이다.

④ 의 제곱근은 †이다.

02

이때 B이므로 B, B

즉, ]B]]B]B BBBB

03 u, .(

, 는 유리수이다.

L, , m

은 무리수이다.

04 "1“"#“ā™A™A이므로 점 1에 대응하는 수는 이 다.

05 와 u.U 사이의 자연수는 , , , 으로 개이다.

06 `ā™A@이므로 B

`ā™A@이므로 C

∴ BC

07 u uu

u

따라서 B, C이므로 BC

08 에서 이므로

의 정수 부분은 이다.

또, 의 소수 부분은 이다.

즉, B, C이므로 BC 

09 YZ항은 YZYZYZ이므로 YZ의 계수는 이다.

10

② YZ™AY™AYZZ™A

③ YZ™AY™AYZZ™A

11





12

^B™A_B™A^[B_B]A™A

13

따라서 두 다항식의 공통인수는 Y이다.

14

이때 L[

 ]A이므로 L

15

]B]]B]

이때 B, B이므로

  ]B]]B]B B

16

① Y™AYY Y

17

18

Y™AZ™AZ Y™A Z™AZ

Y™A Z™A

19

B™ABCC™A BC™A을 이용하여 계산하면 ™A@ ™A™A

20

Y™A Z™AZ에서

 YZ, YZ

∴ YZ

21

Œ `이므로 의 제곱근은 †이다.

즉, B UUA

 ā ™A이므로 의 제곱근은 †이다.

즉, C UUA

Œ, 에 의하여 BC UUA

∴ 

38

1학기 중간고사 중3 수학

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

채점기준 배점

B의 값을 바르게 구하였다. 2

C의 값을 바르게 구하였다. 2

BC의 값을 바르게 구하였다. 1

22

⑴ O의 값이 정수가 되게 하려면  또는 보다 작은 어떤

자연수의 제곱인 수여야 한다. UUA

따라서 O, , , , , , 이므로

자연수 O의 값은 , , , , , ,  UUA ∴ , , , , , , 

⑵ 자연수 O의 값 중에서 가장 큰 수는 , 가장 작은 수는 이 므로

B, C UUA

∴ B C

  UUA

채점기준 배점

O이 정수가 되게 하는 조건을 바르게 제시하였다. 2

O의 값을 모두 바르게 구하였다. 2

B, C의 값을 각각 바르게 구하였다. 2

B

C의 값을 바르게 구하였다. 1

23

^@_^{ }_{`</sub><sup> –</sup><sub></sub><sup> @</sup><sub></sub><sup> </sup><sub>`}^{ @}_ ^_^

 @

@

∴ 

채점기준 배점

주어진 식을 바르게 계산하였다. 5

24

G YY‚Y이므로 

G Y 

Y‚Y@‚YY

‚YYāYY YY

‚YY UUA

즉,  G  

G  

G U  G 

 UUA

∴ 

채점기준 배점



G Y의 분모의 유리화를 바르게 하였다. 3

주어진 식의 값을 바르게 구하였다. 4

25

^UUA

이때 세로의 길이가 YZ이므로

가로의 길이는 YZ이다. UUA

따라서 직사각형의 둘레의 길이는

YZ UUA

∴ YZ

채점기준 배점

Y™AYZZ™A을 바르게 인수분해하였다. 2

직사각형의 가로의 길이를 바르게 구하였다. 2

직사각형의 둘레의 길이를 바르게 구하였다. 2

134~137p 실전 모의고사•2회

01 u의 제곱근은 , 이다.

02 ④ ā ™A

03 Y일 때, Y, Y이므로

YY



04 1"“12“이므로 B

3#“34“이므로 C

∴ BC 

05 ② uu

③ 

m

이므로 

m



④ ‚u

⑤ 이므로 

06 ‚이므로 Y

07 u`‚@BC 08 <sup>삼각형의 넓이는 </sup><sub></sub>@`@`

@@` DN™A 직사각형의 가로의 길이를 YADN로 놓으면

`Y`, Y`, Y

09





```

10

② 무한소수 중에서 순환소수는 유리수이다.

^{정답 및 해설}

39

⥊⥐⥤QVLJ! ࿼ፎ"

11

Y™AY™A

Y™A

12

새로 만든 직사각형의 가로의 길이는 YB,

따라서 Y™ABYB™AY™AYC에서 B, CB™A

∴ BC

13

^

∴ Y

14

^B_^{ @}_^_ ^ C 

@



 

B™ACšA BC™A@C

15

Y™AY Y™A

16

"#이므로

가능한 ", #의 값을 순서쌍 ", #로 나타내면

이때 B"#이므로

B, , , , , , , 

17

따라서 공통인수는 Y이다.

18

BC, BC이므로

@ 



19

① Y을 대입하면 ™A

② Y을 대입하면 @

③ Y을 대입하면 

④ Y을 대입하면 @ 

⑤ Y을 대입하면 @

20

근의 공식에 의하여

Y @ †`

 따라서 B, C이므로 CB

21

G  UUA

@@@ UUA

∴ 

채점기준 배점

4 2

22

⑴ 에서 이므로 

즉, 의 정수 부분은 이므로 B UUA ∴ 

⑵ 의 정수 부분이 이므로 소수 부분은 

즉, C UUA

∴ 

⑶ BC@  UUA ∴ 

채점기준 배점

B의 값을 바르게 구하였다. 2

C의 값을 바르게 구하였다. 2

BC의 값을 바르게 구하였다. 2

23

B B UUA 이때 계산 결과가 유리수가 되려면 B이어야 하므로

B UUA

∴ 

채점기준 배점

주어진 식을 바르게 전개하였다. 2

B의 값을 바르게 구하였다. 3

24

큰 원의 반지름의 길이는 

  DN이므로

그 넓이는 ™ALADN™A이다. UUA

또, 작은 원의 반지름의 길이는 

  DN이므로

그 넓이는 ™ALADN™A이다. UUA

따라서 색칠한 부분의 넓이는

40

1학기 중간고사 중3 수학

⥊⥐⥤QVLJ ࿼ፎ"

문서에서 실수와 그 계산 (페이지 31-52)