옆면의 넓이는 × ×
75. [정답] ④
AG
, AB , GB
이므로 ∆ABG는 직각삼각형이다.B에서 AG에 내린 수선의 발을 H라 하면
BH는
이고 AH
이므로
,
이다.∴
76. [정답] ④
사각뿔 A BCDE 에서 밑면 BCDE 는 한 변이
인 정사각형이고 높이는 이므로 부피 라 하면
⋅
′
에서
에서 극대이자 최대를 갖는다.
77. [정답] ②
에서 이므로 ∆는 정삼각형이다. 따라서 ∆의 넓이는
이 때, 가 최소가 되려면 의 값이 최대가 되어야 한다.
이므로
≥
∴ ≤
(단, 등호는 일 때, 성립한다.)
평면과 평면 사이의 각을 , 평면과 평면 사이의 각을 라 하자.
cos cos 이때,
이므로
cos cos
sintan
∴ cos
∴ ×
79. [정답] ②
[출제의도] 공간도형에서 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
아래 그림과 같이 P 를 원점으로 하는 공간좌표에 놓으면
PM MH 이고,
∆QHM을 지나는 평면으로 입체를 자른 단면은 아래 그림과 같이
RQ
, RS 이므로QS
이고,SH 이므로 QH 이다.
PM MH , QH 이므로 Q
∴ PQ
80. [정답] ④
ㄱ. 점 P는 4초 만에 원점에 온다.
점 Q는
초 만에 원점에 온다. 각각 , 바퀴를 돌았다고 하면
를 만족하는 순서쌍은 (0. 0)밖에 없으므로 처음 출발 할 때만 만난다.∠AOB
제이코사인법칙에 의해서
AB ···cos
∴ AB
∆OAB
·
·
···sin
∴
CB
× 따라서 내리막길의 길이 CB
[다른풀이]
에서 ∴
위의 그림과 같은 원뿔의 전개도에서
와 의 최단 거리는 이다.
에서 에 가장 가까운 지점을 라 하면
에서 까지는 오르막길,
에서 까지는 내리막길이 된다.
△에서 제이코사인법칙에 의하여
․ ․ ․ cos∘
∴
△의 넓이를 라 하면
× × × sin∘
한편,
․
․
․
∴
△에서
∴
82. [정답] ①
[출제의도] 좌표공간에서 벡터의 연산을 이해하여 관련 문항을 해결 할 수 있다.
두 점 A B 의 중점의 좌표는
이므로
따라서 이므로
[출제의도] 계산 능력 – 공간좌표
⋅ ⋅ ,
⋅ ⋅ ,
⋅ ⋅
∴
85. [정답] ④ [출제의도] 공간좌표
→
∴
86. [정답] ⑤
[출제의도] 좌표공간에서 두 점의 내분점을 구할 수 있는가?
내분점의 좌표는
이므로∴
87. [정답] ③
A , B 이고
AB를 로 내분하는 점의 좌표는
에서 ,
∴
88. [정답] ①
[출제의도] 공간좌표에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가?
두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 내분하는 점의 좌표는
× ×
× ×
× ×
즉,
따라서
89. [정답] ⑤
, ∴
90. [정답] ②
[출제의도] 공간좌표의 내분점 계산하기 선분 AB 를 로 내분하는 점의 좌표는
이므로
91. [정답] ①
[출제의도] 좌표공간에서 선분의 외분점을 구할 수 있는가?
두 점 A B 에 대하여 선분 AB 를 로 외분하는 점의 좌표는
× ×
× ×
× ×
즉,
이 점이 축 위에 있으므로
P , Q 이므로
선분 PQ 를 로 내분하는 점의 좌표를 라 하면
∴
93. [정답] 350
[출제의도] 공간좌표 이해하기
그림과 같이 점 M을 좌표공간의 원점으로 하면
점 B , 점 C
에서 점 P는 BM를 로 내분하므로 P CP
따라서
94. [정답] ①
△AOC∽△AQ′Q이므로 점 Q'의 좌표는 Q′
△BOC∽△AP′P이므로 점 P'의 좌표는 P′
삼각형 OP′Q′은 직각삼각형이므로 구하는 넓이는
× ×
95. [정답] ④
[출제의도] 공간좌표를 이용하여 삼각형의 무게중심의 좌표를 구할 수 있는가?
세 점 A , B , C 을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표는
∴
이때, 무게중심의 좌표가 이므로
,
∴
∴
96. [정답] 20
[출제의도] 공간도형과 공간좌표
평면 가 평면 위에 있다고 하면 세 구가 평면 위에 있으므로 세 구의 방정식은
정육면체 A 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (3, 1, 3) 정육면체 B 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (3, 3, 1) 정육면체 C 안에 내접하고 있는 구의 중심의 좌표는 (1, 3, 1) 이므로 개의 구의 중심을 연결한 삼각형의 무게중심의 좌표 는
∴
98. [정답] ⑤
[출제의도] 공간도형의 성질을 알고 이를 이용하여 선분의 길이를 구 할 수 있는가를 묻는 문제이다.
MQ가 최대가 되려면 점 B 를 지나야 하므로 (최댓값) MB
99. [정답] ②
[출제의도] 공간좌표 이해하기
O
구 를 평면으로 자른 단면은 원
이 되므로, 밑면의 넓이는 가 되고, 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 이다.
∴원뿔의 부피의 최댓값은
100. [정답] ④
주어진 그림에서 위, 아래의 단면은 원이다.
즉, 반지름의 길이를 각각 , 로 놓고 위 그림을 얻을 수 있다.
구의 중심에서 위의 단면까지의 거리를 로 놓으면
,
따라서 두 단면의 넓이의 합은
구 의 중심을 A 라 하고 구 에서
의 중심을 B 라 하자.
두 구가 원점 O 에서 서로 접하므로 두 벡터 OA와 OB는 평행하다.
즉, OB OA 는 실수)
∴
∴
∴
102. [정답] ②
[출제의도] 좌표공간에서 구의 방정식을 구할 수 있는가?
가 축, 축에 접하면서 평면과 만나서 생긴 원의 반지름이
이므로
구의 중심을 C , 반지름을 라 두면, 다음과 같은 식이 성립한다.
축과 만나는 현의 길이가 이므로 현의 수직이등분선 중 하나는 구의 중심을 지난다.
현의 양 끝점을 각 각 (의 좌표의 좌표) 그 중점을 이라 두면 AM MC
AC 이므로
∴
103. [정답] ③
좌표공간은 평면, 평면, 평면에 의해 다음과 같이 개의 영역으로 나누어진다.
① 인 영역,
② 인 영역,
③ 인 영역,
④ 인 영역,
⑤ 인 영역,
⑥ 인 영역,
⑦ 인 영역,
⑧ 인 영역,
한편, 주어진 구
의 중심은 이므로 구 의 중심은 ⑤의 영역에 있다.
따라서 구 는 ⑤의 영역을 지난다.
또, 구의 반지름의 길이 는
이고, 이므로
구 는 평면, 평면, 평면에 의하여 두 부분으로 나누어진다.
따라서 구 는 ①, ⑦, ⑥의 영역을 지난다.
한편, 이므로 구 는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 ③의 영역을 지난다.
또, 이므로
구 는 축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
따라서 ②의 영역을 지난다.
하지만, 이므로
중심에서 까지의 거리가 3이므로 그 평면이 만드는 원의 반지름은
∴
이것은 평면의 경우도 마찬가지이다.
그런데 두 평면이 서로를 중심에서 3만큼 떨어지게 남겨두고 자르므로 여기서 왼쪽 부분의 넓이가 두 평면에 의해 잘린 단면의 한 부분이 된다. 이 넓이를 구해서 곱하기 2를 하면 된다.
×
105. [정답]
[출제의도] 공간도형과 공간벡터
구를 평면에 수직이고 OP 를 지나는 평면으로 잘라서 단면화해 보자.
이 때 아래와 같은 그림을 얻을 수 있다.
를 평면에 정사영 시킨 점을 이때, OH OP 이다.
PQ 를 만족하도록 평면 를 잡고 평면과 이루는 각을 라 하자.
의 넓이를 라 하면,
cos
cos가 최대인 순간은 위의 그림과 같이 가 와 평면의 교선에 최대한 가까이 있는 경우이다.
이 때 를 구하면
cos cos
, cos
cos
따라서 원 의 넓이의 최댓값은
∴
106. [정답] ⑤
[출제의도] 좌표공간에서 구 중심의 자취 구하기 두 구 ⋯⋯ ①
⋯⋯ ②의 중심
O C 사이의 거리는 이므로 두 구는 외접한다.
그림에서 ∠COP 라 놓으면, cos ⋅⋅
점 P에서 선분 OC 에 수선을 내린 수선의 발을 H라 하면,
PH ⋅ sin cos
따라서 구하는 길이는
⋅
107. [정답]
[출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 두 구의 중심 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
그림과 같이 세 평면과 두 구의 평면 위로의 정사영을 생각하자. 오른쪽 그림에서
∠OAD ∠OBE 이므로 OD
,OE
이다.따라서 DE BC
이므로 AB
이다.
이므로 이다.
108. [정답] 11
평면과 평면이 이루는 각을 단면화 시켜서 관찰하기 위하여 우선 도형을 옆에서 관찰하면 다음과 같다.
S의 중심을 O라 하면
OO , OH 이고 ∴ OH
위에서 이 도형의 이면각 를 표현하기 위해 O O O H 를 포함하는 평면으로 자른 단면을 그려보면 다음과 같다.
이때, sin
cos sin
도형 D의 단면의 넓이는 이므로 정사영의 넓이는 ×
이다
∴
109. [정답] 11
원 위의 한 점 과 점 을 지나는 직선의 방정식은
,
따라서 이 직선과 구 의 교점을 라 하면
, 에서 (
) 이 때, 점 는 구
위의 점이므로
,
∴ (∵
)
또한, 구하고자 하는 도형은 점
을 지나면서 평면에 평행한 평면과 구 의 교선이므로
,
따라서 도형 전체의 길이는
×
∴
110. [정답] 72
[출제의도] 공간도형과 이차곡선에 관한 수학내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
꼭짓점이 A이고 구에 접하는 접선들로 이루어진 직원뿔을 평면으로 자른 단면은 타원이므로, 두 점 P Q는 타원 위의 점이다. 따라서 타원의 장축은 직선 위에 존재하고, 장축의 한 끝점은 원점이다. 그림과 같이 원점을 O, 구의 중심을 O′, O′에서 축에 내린 수선의 발을 T , 원점이 아닌 장축의 다른 끝점을 R , AR과 구의 접점을 U, 점 T 에서 AO′에 내린 수선의 발을 H라 하자.
A T U
R
O′
A
T
O R
H U
OT AT AU AO′
이므로 직각삼각형 ATO′에서 TH
이고 ∆ATU에서 제이코사인법칙에 의하여
구 는 중심이 이고 반지름이
이다.
원 는 중심이 이고 반지름이 이다.
구의 중심을 C , 원의 중심을 C 라 하고 C에서 평면에 내린 수선의 발을 H 라 하자.
원 위를 움직이는 점 Q를 고정시킬 때, 점 Q에 대하여
PQ가 최대가 되도록 하는 점 P는 직선 CQ 위에 놓인다.
이때, PQ의 최댓값은 PC CQ CQ이다.
따라서 CQ가 최대일 때, PQ가 최대가 된다.
CQ
CH HQ
HQ따라서 HQ가 최대일 때, CQ가 최대가 된다.
HQ가 최대가 되도록 하는 점 Q는 직선 HC 위에 놓인다.
이때, 최댓값은
HC CQ 이다.
따라서 CQ의 최댓값은
HQ 이다.따라서 PQ의 최댓값은 CQ 이다.
[다른풀이]
점 를 A, 점 를 A′ , 점 를 B 라 하자.
구 을
평면으로 정사영시킨 점 A′을 중심으로 하는 반지름 인 원
과 점 B 를 중심으로 하고 반지름이 인 원
이 그림과 같다.
AQ의 최댓값은
, AA′ , PQ의 최댓값은 이다.구 …㉠는 중심이 이고 반지름의 길이가 2인 구이고 구 …㉡은 중심이 원점
이고 반지름의 길이가 4인 구이다.
이때,
이므로 ㉠은 ㉡에 포함되고, ㉡의 중심은 ㉠에 포함된다. 2
따라서 ㉠에 접하는 평면이 ㉡과 만나서 생기는 도형은 원이고 넓이가 최대가 되려면 점 O에서 평면 사이의 거리가 가장 짧아야 한다. 즉, 두 구의 중심 를 지나는 직선과 구 ㉠과의 교점 중에서 점 O에 가까운 점을 P라 하면 점 P가 평면의 접점이 될 때이다.
이때, 단면이 나타내는 원의 반지름의 길이를 라 하면
따라서 넓이의 최댓값은
∴
113. [정답]
그림에서 평면 가 구 과 만나서 생기는 도형의 평면 위로의 정사영 위의 임의의 한 점의 좌표를 P cos 이라 하면
cos ≤ 이어야 하므로
cos ≤ 양변을 제곱하여 정리하면
cos cos ≥
≤ ≤ 에서 항상 성립해야 하므로
방정식 cos cos 의 판별식을
라 하면
cos cos ≤
cos cos ≤
∴ cos ≤
∴ ․
114. [정답]
[출제의도] 공간도형과 공간좌표