학생들의 분수 스키마에 관하여 Steffe와 Olive가 제시한 가설을 확인하기 위 하여 2학년부터 6학년까지 학생을 대상으로 학생들에게 분수 스키마를 측정하 기 위한 검사지를 제작·투입하였다.학생들의 분수 스키마를 분석하여 결과를 학습 현장에 적용하는 일은 분수 학습 지도의 방향을 제시하고 학생들의 분수 개념 확립에 도움을 주는 연구가 될 것이다.
1.분수 스키마 검사 방법
가.분수 스키마 검사지 제작
검사지는 9개의 문항이 포함되어 있으며 문항 구성은 <표 Ⅲ-1>과 같다.9개 의 문항 중 첫 번째 문항은 이번 연구와는 관련이 없는 문항으로 가장 기본적 인 분수의 개념을 묻는 문항이다.그 외에 8개의 문항은 분리 스키마 측정을 위 한 문항 2개,부분-전체 분수 스키마 문항 2개,부분 단위 분수 스키마 문항 1 개,부분 분수 스키마 문항 1개,역 부분 분수 스키마 문항 1개,반복 분수 스키 마 문항 1개로 구성되어 있다.이 중 부분-전체 분수 스키마 문항은 단위 분수 가 포함된 상황과 단위 분수가 아닌 진분수가 포함된 상황 각 각 1문항씩으로 구성되었다.각 문항은 특정 스키마의 존재 여부를 나타낼 수 있도록 만들어졌 다.즉,각 문제에 대한 학생들의 응답을 통해 우리는 학생들이 어떠한 스키마 를 가지고 있는지 확인할 수 있다.
<표 Ⅲ-1> 분수 스키마 검사지 문항 구성
리 스키마가 형성되지 않았음을 보여준다.
[그림 Ⅲ-1]분리 스키마 측정 문항
[그림 Ⅲ-2]분리 스키마 문항의 바른 풀이
[그림 Ⅲ-3]분리 스키마 측정 문항의 잘못된 풀이
2)부분-전체 분수 스키마 측정
부분-전체 분수 스키마를 측정하기 위해 2개의 문항이 사용된다.하나의 문 제는 단위분수를 포함하고 있으며 또 다른 문제는 단위분수가 아닌 진분수를 포함하고 있다.부분-전체 분수 스키마는 전체를 똑같이 나누는 것,나눈 것으 로부터 정해진 부분을 선택하는 것이 포함된다. [그림 Ⅲ-4]와 같은 문제의 측 정 결과는 단위분수가 포함된 상황과 단위분수가 아닌 진분수가 포함된 상황 사이의 관련성을 파악하는 데 사용된다.
[그림 Ⅲ-5]학생의 경우 분모가 나타내는 수로 전체를 똑같이 나누고 분자만 큼 색칠함으로써 부분-전체 분수 스키마가 형성되어져 있음을 알 수 있다.반
면에 [그림 Ⅲ-6]학생은 전체를 분모가 나타내는 수만큼 똑같이 나누어야 한다 는 스키마를 형성하지 못했으므로 부분-전체 분수 스키마가 형성되지 못함을 알 수 있다.
[그림 Ⅲ-4]부분-전체 분수 스키마 측정 문항
[그림 Ⅲ-5]부분-전체 분수 스키마 문항의 바른 풀이
3)부분 분수 스키마 측정
[그림 Ⅲ-7]은 부분 분수 스키마를 측정하기 위한 2개의 문항이다.하나의 문 제는 단위분수를 포함하고 있고 이는 부분 단위 분수 스키마를 나타낸다.또 다 른 문제는 단위분수가 아닌 진분수를 포함하고 있으며 이는 부분 분수 스키마 를 나타낸다.2개의 문제는 부분 단위분수와 부분 분수 문제 사이의 관계를 확 인하는 데 사용되며 이 2개의 문항이 결합하여 0부터 2까지의 범위에서 점수가 매겨진 후 분리 스키마와의 관계를 확인하는 데 사용될 것이다.
[그림 Ⅲ-8]의 학생은 짧은 막대를 4번 반복하면 전체가 됨을 알고 짧은 막대 를
로 인식하고 있으며 더 나아가 7번 문항의 짧은 막대는 단위 막대를 3번
반복했을 때의 크기와 같으므로
으로 인식함을 알 수 있다.그러므로 이 학
생은 부분 단위 분수 스키마와 부분 분수 스키마를 형성하였음을 알 수 있다.
반면 [그림 Ⅲ-9]의 학생은 짧은 막대와 전체의 관계를 잘 파악하지 못해 오답 을 작성함으로써 부분 단위 분수 및 부분 분수 스키마를 형성하지 못했음을 알 수 있다.
[그림 Ⅲ-7부분 분수 스키마 측정 문항
[그림 Ⅲ-8]부분 분수 스키마 문항의 바른 풀이
[그림 Ⅲ-9]부분 분수 스키마 문항의 잘못된 풀이
4)역 부분 분수 스키마 측정
[그림 Ⅲ-10]은 역 부분 분수 스키마를 측정하기 위한 문항이다.이 측정 결 과는 분리 스키마와 역 부분 분수 스키마 사이의 관계를 확인하는 데 사용한다.
[그림 Ⅲ-11]의 학생은
를
의 4개로 인식하며 전체를 구성하기 위해 를 4부분으로 나누어
을 만들었다.그리고 이렇게 만든
을 5번 반복함으로
마를 형성하고 있다고 판단할 수 있다.반대로 [그림 Ⅲ-12]의 학생은 전체를 5 등분하고 4부분을 선택하는 조작활동을 통해 아래의 문제를 부분-전체 분수 스 키마의 개념으로 접근하여 문제를 해결했다.이 학생은 역 부분 분수 스키마가 형성되지 않았음을 알 수 있다.
[그림 Ⅲ-10]역 부분 분수 스키마 측정 문항
[그림 Ⅲ-11]역 부분 분수 스키마 문항의 바른 풀이
[그림 Ⅲ-12]역 부분 분수 스키마 문항의 잘못된 풀이
5)반복 부분 분수 스키마 측정
[그림 Ⅲ-13]은 역 부분 분수 스키마를 측정하기 위한 문항이다.이 측정 결 과는 분리 스키마와 반복 부분 분수 스키마 사이의 관계를 확인하는 데 사용한 다.
[그림 Ⅲ-14]의 학생은 주어진 막대(
)를 4부분으로 나누어서 단위분수(
)
를 만들고 그 부분 중 하나를 3번 반복함으로써 전체(
)를 구성하였다.이 학
생은
과 같은 가분수를 만들기 위해 단위분수를 전체를 넘어 반복시킬 수 있 음을 이해한다.이는 이 학생이 반복 분수 스키마를 가지고 있음을 확인할 수 있다. [그림 Ⅲ-15]의 학생은 전체를 3부분으로 나누고 그렇게 하여 얻어진 단 위분수를 한 번 더 반복함으로써 처음 막대를 그렸는데 이는
을
로 인식하
여 문제를 해결했음을 알 수 있다. 이 학생은 아직 반복분수 스키마를 발달시 키지 못했음을 알 수 있다.
[그림 Ⅲ-13]반복 분수 스키마 측정 문항
[그림 Ⅲ-14]반복 분수 스키마 문항의 바른 풀이
[그림 Ⅲ-15]반복 분수 스키마 문항의 잘못된 풀이
라.분수 스키마 분석 방법
하나의 스키마의 생성이 다른 스키마의 생성에 선행하는가 혹은 두 스키마의 생성에는 관련성이 없는가 하는 문제를 판단하기 위하여 우리는 감마 통계와 Somer'sD 통계를 사용하였다.
1)Gamma
감마 통계는 변수들 간 순서의 일치쌍과 불일치쌍을 비교하여 관계를 정의하 는 것으로 -1부터 1까지의 범위에서 값이 매겨진다.
독립
종속 0 1
0 a b
1 c d
[그림 Ⅲ-16]독립변수와 종속변수 사이의 일치쌍 영역
독립
종속 0 1
0 a b
1 c d
[그림 Ⅲ-17]독립변수와 종속변수 사이의 불일치쌍 영역
P=a×d Q=b×c
nC2=
=P +Q +Tx+Ty+
G =
위의 집단에서 임의로 2개의 표본 (i,j),(h,k)를 추출하였을 때 나올 수 있
발달한다는 가설을 확인하기 위해 우리는 감마 통계를 사용할 것이다.만약 감
분리 스키마가 있어야 역 부분 분수 스키마와 반복 분수 스키마 문제를 해결할
<표 Ⅲ-2> 학년에 따른 분수 스키마의 차이
<표 Ⅲ-3> 부분-전체 분수 상황에서 단위와 비단위 문제에서의 성공
<표 Ⅲ-5>에 나타나 있다.우리는 분리 스키마를 가지고 있는 학생이 역 부분
유형
만약 ••••••
나.부분-전체 분수 스키마의 예
[그림 Ⅲ-20]'2학년 2학기 수학 5.분수'단원 학습 내용(부분-전체)
[그림 Ⅲ-21]'3학년 1학기 수학 7.분수'단원 학습 내용(부분-전체)
[그림 Ⅲ-22]'6학년 1학기 수학 8.연비와 비례배분'단원 학습 내용(부분-전체)
나.부분 (단위)분수 스키마의 예
3학년 1학기 7단원 분수의 2차시 '분수로 나타낼 수 있어요'에서는 [그림 Ⅲ -23]와 같이 '4는 20의 얼마인지 분수로 나타내기'가 제시된다.전체 20을 부분 4로 묶어 보고 4는 20을 5개 묶음으로 똑같이 나눈 것 중 묶음임을 알아서
로 나타낸다.이는 부분과 전체를 주고 부분이 전체의 얼마인지를 살펴보는 부 분단위 분수 스키마의 예라고 할 수 있다.또한 [그림 Ⅲ-24]은 12는 18의 얼마 인지 아는 활동으로 18을 6개씩 똑같이 묶으면 3묶음이 나옴을 알고 12는 18을 똑같이 3묶음으로 나눈 것 중 2묶음임을 알아서
임을 아는 부분 분수 스키마
의 예라고 할 수 있다.또한 [그림 Ⅲ-25]와 같이 ‘6학년 1단원 6.비율 그래프’
에서 비율 그래프를 그리기 위하여 전체와 부분을 통하여 백분율(비율)을 구하 는 문제가 나오는 데 이 역시 부분 분수 스키마를 활용하는 문제이다.
[그림 Ⅲ-23]'3학년 1학기 수학 7.분수'단원 학습 내용(부분 단위 분수)
[그림 Ⅲ-24]'3학년 1학기 수학 7.분수'단원 학습 내용(부부 분수)
[그림 Ⅲ-25]'6학년 1학기 수학 6.비율 그래프'단원 학습 내용(부분 분수)
다.역 부분 분수 스키마의 예
6학년 1학기 수학 교과서 6단원에서 다루는 비율 그래프에서는 [그림 Ⅲ-26]
과 문제가 나온다.이는 전체의 30%가 1500원일 때 전체(100%)를 묻는 문제로
이 1500원이므로
은 50원이고 전체인 1,즉 전체는 5000원임을 구하는
것이다.이는 부분과 분수를 제시해 주고 전체를 구하는 역 부분 분수 스키마의 예라고 할 수 있다.또한 6학년 1학기 7.비례식에서 [그림 Ⅲ-27]와 같은 문항 은 톱니바퀴 ㉮의 회전수와 톱니바퀴 ㉯의 회전수의 비
가 주어지고 톱니바
퀴 ㉮의 회전수 56이 주어졌을 때 톱니바퀴 ㉯의 회전수를 구하는 문제이다.여 기에서 톱니바퀴 ㉮를 부분,톱니바퀴 ㉯를 전체로 본다면 부분과 분수가 제시 되고 전체를 구하는 형식이 되므로 [그림 Ⅲ-26]와 같이 유사한 방식으로 문제 를 해결할 수 있다.따라서 역 부분 분수 스키마 문항이라고 할 수 있다.
[그림 Ⅲ-26]'6학년 1학기 수학 6.비율 그래프'단원 학습 내용(역 부분 분수)
[그림 Ⅲ-27]'6학년 1학기 수학 7.비례식'단원 학습 내용(역 부분 분수)
라.반복 분수 스키마의 예
6학년 1학기 7단원의 비례식에서 [그림 Ⅲ-28]와 같은 문제는 100000원 예금 에 이자가 4000원일 때 2000000원 예금일 때 이자를 구하는 문제로
=
이자
와 같이 나타낼 수 있다.이를 해결하여 이자(전체)를 구하기 위해서는 부분인 2000000을 100000으로 나눈 것 중 4000만큼을 세야한다.이는 부분과 전
체를 넘어선 분수가 제시되고 전체를 구하는 문제이므로 반복 분수 스키마를 가지고 해결할 수 있는 문항이다.
그러나 이 외에 초등학교 교과서 상에서는 반복 분수 스키마 문항이 거의 제 시되지 않는다.
[그림 Ⅲ-28]'6학년 1학기 수학 7.비례식'단원 학습 내용(반복 부분 분수)