4.3 동질소통을 하는 위상구조
4.3.2 연결된 저수조의 수위해석
물이 차 있는 원통을 파이프로 연결할 경우, 서로 연결된 물통 사이의 위치에너지 차이에 의하여 물이 흘러 종국에는 연결된 모든 물통의 수위가 같아진다. 이와 같은 현상을 분석하기 위하여, 미분방정식의 풀이를 통한 해석해(Kreyszig 2010)를 계산하고, 이를 ASAP를 이용한 시뮬레이션 결과와 비교하였다. 원통형의 저수조는 Figure 22와 같이 도시할 수 있으며, 저수조 가장 아래 부분에 유출구가 위치한다. 유출구가 개방되어 물이 흘러나옴에 따라 변화하는 저수조의 수위 함수 h t( ) 를 구하는 문제로서, 유출구의 단면적을
A
, 원통 수조의 밑변 면적을B
로 정의하였다.Figure 22 Problem for water height function of one tank
위와 같은 조건에서 저수조의 유출구로 분출되는 물의 유출속 도는 위치에너지가 운동에너지로 전환된 상태이므로, 식 (2)와 같이 정리된다.
( ) t C 2 ( ) gh t
n =
(2)여기서
C
는 유출구의 크기 및 형태에 따른 형상계수인데, 본 연구 에서는 이상적인 상태로 가정하여C = 1
로 정의하였다. 유출속도에 따라 유출되는 물의 부피V
는 식 (3)과 같이 유출구 단면적과 유 출속도의 곱인 시간당 유출량에 단위 시간을 곱하여 정리된다.( ) V Av t t
D = D
(3)저수조 안의 부피변화는 식 (4)와 같이 저류조 단면적에 줄어든 수 위변화량의 곱으로 정리된다.
V* B h
D = - D (4)
여기서 질량보존법칙에 따라, 유출된 물의 양과 저수조 안에서 줄어 든 물의 양은 동일해야 하므로, 식 (3), (4)를 등치하고, 식 (2)를 이용하여, 유출 속도항을 수위함수로 표현되는 우항으로 치환하여 다음 식 (5)와 같이 정리할 수 있다.
h(t)
2
Figure 23 Problem for water height function of two tanks
수위가 높은 2번 저수조를 기준으로 유출 속도는 다음과 같이 두 저수조의 수두차를 이용하여 정리할 수 있다.
(
2 1)
2 ( ) ( )
v = g h t - h t
(7)전체 물의 양은 보전되고, 두 수조는 같은 형상으로 구성되어 있으 므로, 수두를 이용하여 보전방정식을 식 (8)과 같이 정리할 수 있다.
1
( )
2( ) 250
h t + h t =
(8)여기에 시간에 따른 수두 변화는 유출속도와 비례하므로 다음과 같 이 저수조의 수위와 연결 파이프의 유속으로 정리된다.
1( ) A
h t v t
D = B D (9)
식 (8)-(9) 의 관계식을 정리하면, 식 (10)과 같이 전개된다.
1 1
1 ( ) 2
250 2 ( )
h t A g t
h t D = B D
-
(10)양변을 적분하여 식 (11)를 구하였다.
h
1h
2250 2 ( )1 A 2
Figure 24 Problem for water height function of three tanks
문제를 Figure 24에 도시한 바와 같이 2개의 저수조에서 3개
( ) ( )
와 같이 도시하였다. 코드에서 process() 메소드에서 차분식을 이
public void process(List<TreeNode> neighborhoods) { double h1 = getDouble("height");
double transferTotal = 0;
for (TreeNode n : neighborhoods) { IASAPComponent nm = n.getModel();
Figure 25 Program code for water height problem with linked tanks
행렬식을 이용하여 반복해석을 수행하는 모델은 ASAP 환경으
이를 분리하지 않고 구현하면 가우스 세이델법과 유사하게 형태로 문제를 풀이하게 된다. 즉, 참조하는 값이 이미 계산되었을 경우, 이 전 값을 사용하지 않고 갱신된 값을 이용하도록 구현하면 보다 효 과적으로 수렴하도록 풀이할 수 있다.
3) 연결된 저수조의 수위 해석
구현한 컴포넌트를 이용하여, ASAP 환경에서 연결 정보 및 초기 속성 정보를 입력하면 시스템 시뮬레이션이 가능하다. 초기 조건으 로는 각 저수조의 초기 수위가 필요하며, 각 저수조는 방향성이 없 이 완전 연결된 형태로 네트워크를 구성하였다. 우선적으로 2개의 컴포넌트를 연결하여, 저수조가 2개일 경우를 모의하였다. 모의 결 과는 해석해와 비교함으로써 결과를 검증하였다.
Figure 26 Screenshots of ASAP for two tanks problem
모의 결과는 Figure 26과 같이 시스템의 네트워크 구성도와 시 뮬레이션 결과 그래프를 실시간으로 표시된다. 저수조 2개는 각각 2개의 붉은 원으로 표시되며, 두 원이 선으로 이어져 있는 것을 확 인할 수 있다. 선이 연결된 컴포넌트 간에만 정보교환이 가능하며, 이후 다른 예제를 통하여 다루도록 하겠다. 시뮬레이션 결과 그래프 는 컴포넌트에서 지정한 속성만 관찰할 수 있으며, 선택된 속성은 시뮬레이션 시간에 따라 변화되는 값을 동적으로 확인할 수 있다.
모의 결과를 검증하기 위하여, 미분방정식을 풀이한 해석해와 시뮬레이션 결과를 Figure 27에 도시하였다. 그래프에서 확인할 수
Figure 27 Comparison of simulated result to analytic result
차분식에 사용되는 단위시간의 크기에 따라 모의 결과의 오차 를 비교하기 위하여, 두 저수조의 수위가 동일해지는 시점을 기준으 로 Figure 28에 비교 정리하였다. 결과에서 점선은 해석해이고 점 으로 표시된 자료는 시뮬레이션을 통해 모의된 시간을 의미한다. 해 석해의 결과는 2.766 시간에 동일한 수위를 갖게 되는데, 1시간과 0.5시간으로 모의했을 경우는 동일 수위가 되는 시점이 3시간인데 반해, 0.1시간 단위로 모의했을 경우, 2.7시간, 0.01시간 단위로 모 의할 경우 2.75시간으로 산정되었다. 이는 단위 시간이 작아질수록 정해에 수렴해가는 과정으로 판단할 수 있다. 해석의 정확도를 위해 서 단위시간을 작게 설정해야 그러나 단위 시간의 크기는 전체 계 산시간과 반비례하므로, 연구자가 적절한 단위 시간을 선정할 필요 가 있다.
Figure 28 Simulation model results related to delta time
서브 시스템을 결합하여 시스템을 모의하는 시스템 시뮬레이션 은 모델을 확장할 때 효용성이 드러난다. 앞서 검증한 모델을 바탕 으로 저수조를 3개로 늘려서, 0.01시간 단위로 시뮬레이션을 수행한 결과를 Figure 29와 같이 도시하였다. 초기 조건은
h
1(0) 50 =
,2
(0) 150
h =
,h
3(0) 100 =
로 설정하여, 저수조의 수위가 같아지기까지 는 1.67 시간이 걸리는 것으로 모의되었다. 저수조별 수위를 살펴 보면, 1.45 시간이 경과한 시점에 첫 번째 저수조와 세 번째 저수조 의 수위가 115.91 cm로 같아진 후, 전체 저수조의 수위가 116.67 cm로 동일할 때까지 수위 변화가 동기화된 행태를 확인하였다.Figure 29 Simulated water height for three tanks problem
서로 연결된 저수조의 수위 변화를 모의한 결과를 통하여, 미분 연립방정식을 풀이하는 방법에 비하여 연구자가 쉽게 현상을 분석 할 수 있음을 확인하였다. 본 연구에서는 3개의 저수조만 연결하였 지만, 시뮬레이션 모델 구성을 고려하면 n개의 저수조로 확장 가능 하다고 판단된다. 또한 위상구조로 저수조의 연결을 정의하였기 때 문에 2차원 그리드 형태가 아닌 복잡한 형태의 네트워크로 구성된 연결을 갖더라도 문제를 정의할 수 있다.
앞서 식 (14)와 같이 연결관의 면적이 달라지는 경우에는 동일 시간 내에 전달량이 달라지게 된다. 이 경우에는 대상 저수조에서 어느 저수조와 연결되는 지에 따라 행위가 달라지는 형태, 다시 말 해 연결되어 있는 그룹 중 어느 한 경로를 선택해야 하는 이질소통 구조의 문제로 치환된다. 이질소통구조를 갖는 문제는 동질소통구조 를 갖는 문제와 동일하게 컴포넌트를 구현하되 정보를 가져오는 부 분에서 이질소통구조로 기술하고, 모델 적용 시에 이질소통에 따른 개별 속성을 입력하여 정상적으로 시스템 시뮬레이션이 가능하다.