대기중의 주어진 공간에서 일어나는 에어로졸에 의한 광산란 과정에 참여하는 빛은 단색광(monocromatic light)이 아니며 산란시 모든 방향으로 진행되어 간다. 그러므로 입자 한 개에서 일어나는 산란광이 측정지점까지 오는 동안에는 다른 입자를 통과해 오거나 측정경로에는 다른 입자에서 산란된 광이 재산란된 것도 있게 된다. 그러므로 우리는 에어로졸에 의한 빛의 산란과정을 보다 세심하게 검토할 필요가 있다. 이런 경우의 해석을 위해 우리는 그림 1.12 같은 방사체(radiation body)를 설정한다.
그림 1.12 테양광의 복사좌표계 (Friedlander, 1977)
임의의 각도로 경사진 면적 의 법선방향 단위벡터를 로 정한다. 그리고 이 법선 과 이루는 각도가 인 직선
를 긋는다. 직선
는 입체각(solid angle) dω를 가지 는 원뿔의 중심축이 된다. 만일 우리가 면적 경계 내의 모든 점에서 를 형성 할 때 같은 방법으로 입체각을 만들면 입체각 를 가지는 원뿔대가 만들어진다.우리가 공간상의 특정지점을 통과해 가는 에너지의 총량을
로 표기하고 이를원뿔대 의 의 면적을 단위시간 동안 지나가는 파장범위 ～ 의 에 너지라고 두면, 이는
cos (1.61)로 표기된다.
는 공간상의 위치 에서
방향의 파장 의 빛의 강도(intensity)를 나타내는데, 이는 식(1.61)에 의해
(1.62)가 된다. 만일
가 방향에 따라 변하지 않는다면 등방성(isotropic)을 가진다고 하고
가 위치에 따라 변하지 않는다면 균질(homogeneous)하다고 한다. 에너지 복사시 총복사에너지량은
∞
(1.63)로 나타내진다. 이후 편의를 위해 를 사용하지 않는다. 빛이 거리 를 이동하는 동안 빛의 강도변화는 산란 및 흡수에 의한 빛의 감쇄와 빛 에너지의 발산량을 포함 한다. 그러므로 이를 수식으로 표현하면
(1.64)
(1.65)로 표기된다. 빛이 진행하는 경로에 놓인 공기분자의 경우 빛에 의해 여기(excited)되 는 에너지는 가시광선의 영역에서 매우 작다. 원적외선(far infrared)의 경우 빛 주사 에 대한 열적복사가 중요하다. 하지만 가시영역의 경우에는 그렇지 않다. 그러므로 대 기에서 분자의 여기에 의한 빛의 발산은 무시된다. 하지만 에어로졸의 경우 가상의 발산(virtual emission)이 존재한다. 이는 에어로졸 입자들 간에 일어나는 재산란에 의 해
방향으로 빛의 발산이 있는 것처럼 나타난다. 이 경우
(1.66)의 관계가 성립된다. 방정식에서
는 발생강도를 나타낸다. 그러므로 이러한 논리를 종합하면 경로 에서 빛 에너지의 수지는
(1.67)가 된다. 다중산란의 경우 은 의 함수가 된다. 따라서 이러한 영향을
에 포함시키면 식(1.67)은 보다 보편적으로
(1.68)로 표기된다. 따라서 빛의 산란에 있어
항이 중요한 경우는 기존에 설명된 방법에따라 교정이 필요하게 된다. 식(1.68)을 그림 1.13와 같은 일반적인 경로에 대해 위치
에서부터 적분하면
′ ′ ′ (1.69)가 된다.
그림 1.13 다중산란 좌표계 (Friedlander, 1977)
여기서 ′는 위치 및 ′ 간의 광학적 두께(optical thickness)를 나타내며
′
′ (1.70)로 정의된다. 여기서 정의되는 광학적 두께 ′ 는 무차원으로서 위치 및 ′
거리에서 빛의 감쇠관계가
′
′ (1.71)로 표시되는 Lambert 법칙(혹은 Bouguer 법칙, Lambert-Beer 법칙)의 계수로 표시된 다. 식(1.69)를 계산하기 위해서는 위치 0 및 사이의 발산항의 적분값
′ 가 주 어져야 한다. 식(1.69)에는 두가지 항이 존재한다. 그 중 하나가 Lambert 법칙에 의해 정의되는 항이고, 또 다른 하나는 위치 0 및 에 존재하는 광발산항으로 이는 광학 적 두께에 대한 교정항이 된다. 광산란시 이 항은 초기에 의 진행방향으로 있지 않 던 빛이 에어로졸 입자들 사이에서 여러번 반복산란하는 동안 방향으로 우연히 놓 이게 된 빛 에너지에 의해 기인된 것이다. 우리는 이런 반복적인 산란을 다중 산란이 라고 한다. 우리가 식(1.71)의 Lambert 법칙을 유도할 때는 이 다중산란항이 무시되었 다. 이런 다중 산란을 무시하는 기준은 광학적두께를 사용하여 표기할수 있는데 의 경우 다중산란은 무시되고, 단산란(single scattering)이 유효해진다. 그 리고 경우 이중산란에 대한 교정을 시행해야 하며, 의 경우 다중산란은 결과값에 지대한 영향을 주게 되므로 세밀하게 계산하여야 한다.
만일 매질이 방향으로 위치 ∞까지 퍼져 있고 의 위치에 따라 빛의 발생항이 없다고 하면 적분영역을 확장하여
∞
′ ′ ′ (1.72)로 정의된다. 따라서 위치 에서 빛의 세기는 관측선을 따라 일어나는 모든 광산란에 너지와 같은 값이다. 이는 금방 이해하기 곤란한 상황일지도 모른다. 하지만 지금까지 설명된 논리를 잘 이해한 독자라면 논리적으로 타당함을 알 수 있을 것이다.
연습문제
1. 매우 작은 단분포 입자로 이루어진 에어로졸이 응집과정을 거치는 동안 계속적으 로 단분포만을 이룬다고 가정한다. 이 경우 입자는 응집을 하더라도 구형을 이룬다고 가정하고 응집과정 동안 입자의 크기는 Rayleigh 영역에 존재한다고 한다면 광산란 계수 의 입경에 대한 의존도를 수식으로 나타내어라.
2. 점 오염원에서 배출된 에어로졸이 대기중의 정상상태 난류흐름으로 배출되는 굴 뚝연기에 퍼져있다. 이 경우 굴뚝연기 내의 위치에 따른 광소멸계수 의 변동에 대한 방정식을 다음 경우에 따라 각각 구하라.
(a) 광산란 영역에 영향을 주는 기작이 난류확산(turbulent diffusion) 만 인 경우 (b) 광산란 영역에 영향을 주는 기작이 난류확산(turbulent diffusion) 및 성장(growth) 인 경우
3. 탄소의 광학적 성질을 가지는 입자가 의 빛에 대해 최대 광소멸을 일으키는 입자의 크기를 구하라.
4. 20 ℃, 1 기압의 공기만큼 광산란을 일으키는 입자의 양을 구하라. 입자의 광소멸 계수는 1.5 이고 주사되는 빛의 파장길이를 0.5 ㎛로 가정한다. 단위밀도의 입경 0.1, 0.5, 1.0 ㎛의 입자에 대해 각각 계산하라.