정답과 해설 교육청/평가원
수학Ⅱ 정답과 해설
에서 이고
에서 이고
이므로 등식 를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍은
, , , ,
의 개다.
13. [정답]
[풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프와 직선과의 관계를 이해하고 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
도형 와 직선 의 교점 P , Q 의 좌표를 각각 라 하자.
를 대입하여 정리하면
……㉠
이 방정식의 두 근이 이므로
∴
를 ㉠에 대입하여 풀면 ±
∴ P , Q
∴ OP × OQ OP
[다른풀이]
도형 와 직선 의 교점 P , Q 의 좌표를 각각 라 하자.
를 대입하여 정리하면
……㉠
이 방정식의 두 근이 이므로
여기서 P Q 의 좌표의 곱이 이므로
그런데 도형 는 직선 에 대하여 대칭이므로 선분 PQ 의 중점을 M 이라 하면 삼각형 OPQ 는 이등변삼각형이다.
∴ OP × OQ OP OM
PQ
이때 OM ,
PQ
∴ OP × OQ
이므로 함수
의 점근선의 방정식은
, (ⅰ) 일 때
따라서 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 유한개이다.
(ⅱ) 일 때
그림과 같이 두 함수 ,
의 그래프의 교점의 개수가 무수히 많게 되는 의 값의 범위는
≤ ≤
따라서 조건을 만족시키는 정수 의 값은
, , , , 으로 그 합은 이다.
15. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 주어진 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.
곡선
의 그래프는 그림과 같다.
곡선 의 그래프는 점
에 대해 대칭이므로정답과 해설 교육청/평가원
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≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는
≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는
≤ ≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는
37. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 조건을 만족하는 점의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다.
점 P의 좌표를 이라 하면
에서
그런데 이므로 수열
은 ⋯ 이다. 따라서 자연수 에 대하여
,
따라서 점 P즉, 점 P × 의 좌표는 이다.
38. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 수열의 특징을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.
나머지 빈칸을 주어진 규칙에 따라 채워보면 각 행의 수들은 다음과 같은 규칙대로 나열됨을 알 수 있다.
제행: ⋯
제행: ⋯
제행: ⋯
제행: ⋯
따라서 구하는 제행의 개의 수들의 합은
×
39. [정답] 64 [풀이]
× 이므로 원 O에 있다.
원 O에 채워지는 수들은 부터 채워지고 원 O에 채워지는 수들은 부터 채워지고 원 O에 채워지는 수들은 부터 채워지고 원 O에 채워지는 수들은 부터 채워지고
⋮
× 에서 는 부터 채워지고, 세 번째 채워지므로 에 있다.
∴
40. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 조건을 만족시키는 점의 개수의 합을 구할 수 있는가?
각 경우로 나누면 다음과 같다.
(ⅰ) ≤ 일 때,
대칭성을 이용하여 조사하면 원 의 내부에 있고 곡선 의 아랫부분에 있는 점의 개수와 원 의 내부에 있고 곡선
의 윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로
(ⅲ) 일 때,
아래 그림에서
(ⅳ) 일 때,
아래 그림에서
(ⅴ) 일 때,
아래 그림에서
(ⅵ) ≤ ≤ 일 때,
대칭성을 이용하여 조사하면 원 의 내부에 있고 곡선 의 아랫부분에 있는 점의 개수와 원 의 내부에 있고 곡선
의 윗부분에 있는 점의 개수가 같으므로
따라서 구하는 값은
41. [정답] ③ [풀이]
이고,
이므로
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따라서 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 (ⅰ) ≥ 인 정수일 때,
≤ × , ×
∴ ≤
따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍
가 나타내는 영역은 그림과 같다.
이때, 은 점 과 점 사이의 거리의 제곱이다. 따라서 일 때, 점 에서 직선
까지의 거리의 제곱이 최소이므로
×
×
(ⅱ) 일 때,
≥ ,
≤
따라서 조건 (가)를 만족시키면서 위의 부등식을 만족시키는 순서쌍
가 나타내는 영역은 그림과 같다.
따라서 의 값은 점 에서 위의 점 까지의 거리의 제곱이므로
보다 크게 된다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 최솟값은 ×
이므로 의 값은
67. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 로그를 활용하여 실생활문제 해결하기 원산지 생산가격을 , 비율을 라 하자.
,
log log
log log ∴