(1)1. 집 합
Ⅰ 집합과 명제
1
집합의 뜻과 표현
집합의 표현 방법
02
1.
두 집합 은 자연수 ,
은 자연수
가 있다.
집합 의 원소 에 대하여 집합 의 원소 중 의 약수의 최댓값을
라 하자.
예를 들어, , 이다.
수열
을
( , , , ⋯ )
라 할 때,
lim
→ ∞
×
의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 30]
2.
이상 이하의 자연수 에 대하여 집합
log
는 자연수 ≤ ≤
의 원소 중 유리수의 개수를
이라 하자. 예를 들어
,
이다.
≥ 가 되는 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 29]
2
집합의 포함 관계
부분집합의 개수
03
3.
두 집합
는 이하의 자연수
는 과 서로소인 자연수
에 대하여 다음 조건을 만족시키는 집합 의 개수를 구하시오.
[4점][2015(나) 3월/교육청(고2) 30]
(가) ⊂ , ≠ ∅
(나) ∩ ∅
(다) 집합 의 모든 원소는 와 서로소이다.
수학Ⅱ
2. 명 제
3
필요조건과 충분조건
필요조건과 충분조건
01
4.
두 실수 , 에 대하여 조건 가 조건 이기 위한 충분조건이지만 필
요조건이 아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 17]
ㄱ.
ㄴ.
또는
ㄷ.
< 보 기 >
① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
5.
두 실수 , 에 대하여 는 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이
아닌 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
[4점][2011 11월/교육청(고1) 17]
ㄱ.
ㄴ. ≥
≥ 또는 ≥
ㄷ.
≤
< 보 기 >
① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
6.
두 조건 에 대하여 〈 〉를
( 가 이기 위한 충분조건일 때 )
〈 〉
( 가 이기 위한 필요충분조건일 때 )
( 가 이기 위한 필요조건일 때 )
으로 정의한다. 세 집합 에 대하여 조건 이 다음과
같을 때,
⊂ ∩
⊂ ∪
⊂ 또는 ⊂
〈 〉 〈 〉 〈 〉의 값은?
[3점][2007 6월/교육청(고1) 7]
①
②
③
④
⑤
2. 명 제
Ⅰ 집합과 명제
4
절대부등식
산술평균과 기하평균
02
7.
AB ,
AC , ∠A ° 인 직각삼각형 ABC 에 내접하는 직
사각형을 만들 때, [그림1]과 같이 직사각형의 두 변이 삼각형의 변 위
에 존재하는 경우와 [그림2]와 같이 직사각형의 한 변만이 삼각형의 변
위에 존재하는 경우가 있다.
[그림1] [그림2]
[그림1]과 [그림2]의 경우에 내접하는 직사각형의 넓이를 각각
,
라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2008 3월/교육청(고2) 19]
ㄱ.
의 최댓값은 이다.
ㄴ.
이 최대일 때, 직사각형의 둘레의 길이는 이다.
ㄷ.
의 최댓값과
의 최댓값은 같다.
< 보 기 >
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
수학Ⅱ
1. 함 수
1
대응과 함수
함수의 개수 구하기
03
8.
집합 에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하
는 함수 의 개수를 구하시오.
[4점][2011 3월/교육청(고2) 26]
(가) 함수 는 에서 로의 함수이다.
(나) 의 모든 원소 에 대하여 이다.
함수방정식의 함숫값 구하기
04
9.
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 다음 조건을 만족시
킬 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 6월/교육청(고2) 29]
(가)
≤ ≤
(나) 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
2
합성함수와 역함수
그래프를 이용한 역함수의 함숫값
05
10.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수
≥
의 역함수가 존재하도록 하는 두 실수 , 에 대하여 의 최댓
값을 구하시오.
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 29]
11.
그림과 같이 점 을 지나는 함수
의 그래프와
의 그래프가 두 점 , 에서 만나고 그 외의 점에서 만
나지 않는다.
를 만족시키는 모든 실수 의
값의 합은? (단,
는 의 역함수이다.)
[3점][2012 3월/교육청(고2) 16]
O
①
②
③
④
⑤
1. 함 수
Ⅱ 함수
12.
정의역이 ≤ ≤ 인 두 함수 , 는 일대
일 대응이고 그래프는 그림과 같다.
등식
를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍
의 개수는? (단, 두 함수의 그래프는 각각 세 선분으로 되어 있다.)
[4점][2015(나) 3월/교육청(고2) 19]
①
②
③
④
⑤
수학Ⅱ
2. 유리함수와 무리함수
1
유리함수
유리함수의 활용
06
13.
그림과 같이 도형 가 직선 과 만나
는 두 점을 P , Q 라 하자. 두 점 P , Q 의 좌표의 곱이 일 때
O P ×
O Q 의 값을 구하시오. (단, )
[4점][2010 3월/교육청(고2) 29]
14.
함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) ≤ ≤ 에서
이다.
(나) 모든 실수 에 대하여 이다.
두 함수 ,
의 그래프가 무수히 많은 점에서 만나
도록 하는 정수 의 값의 합은?
[4점][2014(A) 3월/교육청(고2) 21]
①
②
③
④
⑤
15.
유리함수
와 수열
에 대하여
이다.
≤ 을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구
하시오.
[4점][2016(나) 3월/교육청 30]
16.
그림과 같이 점 A 와 곡선
위의 두 점 B , C 가 다
음 조건을 만족시킨다.
(가) 점 B 와 점 C 는 직선 에 대하여 대칭이다.
(나) 삼각형 ABC 의 넓이는
이다.
점 B 의 좌표를 라 할 때,
의 값은? (단,
)
[4점][2015(나) 3월 교육청(고2) 21]
①
②
③
④
⑤
2. 유리함수와 무리함수
Ⅱ 함수
2
무리함수
무리함수와 역함수의 교점
03
17.
두 함수
≥ ,
에 대하여
, 의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는
모든 정수 의 개수는?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 19]
①
②
③
④
⑤
무리함수의 활용
04
18.
좌표평면에서 자연수 에 대하여 두 곡선
,
과 축으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함
되고 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를
이라 하자.
의 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 11월/교육청(고2) 29]
19.
좌표평면에서 자연수 에 대하여 영역
≤ ≤ ≤ ≤
에 포함되는 정사각형 중에서 다음 조건을 만족시키는 모든 정사각형의
개수를 이라 하자.
(가) 각 꼭짓점의 좌표, 좌표가 모두 정수이다.
(나) 한 변의 길이가
이하이다.
예를 들어 이다. ≤ 을 만족시키는 자연수 의 최
댓값을 구하시오.
[4점][2016(나) 9월/평가원 30]
수학Ⅱ
1. 등차수열과 등비수열
1
등차수열
등차수열의 일반항
01
20.
등차수열
의 공차와 각 항이 이 아닌 실수일 때, 방정식
의 한 근을
이라 하면 등차수열
의 공차는? (단,
≠ )
[4점][2009(나) 4월/교육청 10]
①
②
③
④
⑤
등차수열의 합
03
21.
첫째항이 이고 공차가 인 등차수열
에 대하여 등식
⋯
을 만족시키는 두 자연수 , 가 존재하도록 하는 자연수 의 개수
는?
[4점][2014(A) 3월/교육청 15]
①
②
③
④
⑤
22.
첫째항이 , 공차가 정수인 등차수열
에 대하여 수열
을
⋯
이라 하자. 수열
이 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나)
을 만족시키는 의 최댓값을 구하시오.
[4점][2013(B) 3월/교육청 29]
23.
첫째항이 인 등차수열
에 대하여 수열
을
⋯
이라 하자. 수열
이 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나)
을 만족시키는 의 최솟값과 최댓값의 합을 구하시오.
[4점][2013(A) 3월/교육청 30]
1. 등차수열과 등비수열
Ⅲ 수열
등차수열의 합의 활용
05
24.
어느 농장에서 마리의 돼지가 일 동안 먹을 수 있는 사료를 마
련하였다. 그런데 사료를 주기 시작한 다음 날부터 매일 돼지가 마리
씩 줄어 일 동안 사료를 먹일 수 있었고, 마련한 사료는 다 떨
어졌다.
첫째 날
둘째 날
셋째 날
⋯
사료를 먹는
돼지의 수
⋯
이때, 의 값을 구하시오. (단, 돼지 한 마리가 하루에 먹는 사료의 양
은 일정하다.)
[4점][2007(가) 9월/교육청(고2) 27]
25.
이차함수
가 모든 실수 에 대하여
를 만족시킨다. 모든 자연수 에 대하여 이 공차가 인
등차수열
의 첫째항부터 제 항까지의 합과 같을 때,
이 성립하도록 하는 의 최댓값은?
[4점][2015(나) 9월/교육청(고2) 14]
①
②
③
④
⑤
26.
그림과 같이
AC
BC 이고, ∠C 인 직각삼
각형 ABC 가 있다. 변 AB 를 등분하는 점 P
P
⋯ P
를
지나 변 AB 에 수직인 직선을 그어 변 AC 또는 변 CB 와 만나는 점
을 각각 Q
, Q
, ⋯, Q
라 하자.
P
Q
P
Q
P
Q
⋯
P
Q
의 값을 구하시오.
[4점][2006(나) 3월/교육청 30]
2
등비수열
등비수열의 합
04
27.
자연수 에 대하여 연립부등식
≤ ,
≥
을 만족시키는 좌표평면 위의 점 가 나타내는 영역의 넓이를
이라 하자. 수열
의 첫째항부터 제항까지의 합
에 대하여
log
의 값을 구하시오.
[4점][2011(나) 4월/교육청 30]
3
등비수열의 합의 활용
적금과 상환
02
28.
월 초에 만원을 월이율 , 개월 마다 복리로 계산하는
예금 상품에 가입하고, 월부터 그 해 월까지 매월 말에 만원씩
찾았다. 그 해 월 말에 통장에 남아있는 금액은?
(단,
으로 계산한다.)
[4점][2008(나) 4월/교육청 14]
① 만 원
② 만 원
③ 만 원
④ 만 원
⑤ 만 원
수학Ⅱ
2. 수열의 합
1
의 계산
∑의 기본 성질
01
29.
두 수열
,
이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족
시킨다.
의 값을 구하시오.
[4점][2015(나) 6월/교육청(고2) 28]
(가)
(나)
∑의 활용
02
30.
함수 가 닫힌구간 에서 이고, 모든 실수
에 대하여 를 만족시킬 때, 함수 를
라 하자. 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 의
순서쌍 의 개수를
이라 할 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2015(B) 3월/교육청 30]
(가) ≤ ≤
(나) ≤
31.
그림과 같이 점 A 는 두 직선 과
의 교점이다. 자연
수 에 대하여 위에
AB
인 점을 B
,
위에
AC
인 점을 C
이라 하자. 삼각형 AB
C
의 무게중심의 좌표
를
이라 할 때,
를 만족하는 의 최솟값을 구하시오. (단,
B
, C
은 제 사분면의 점이다.)
[4점][2011(나) 7월/교육청 28]
2. 수열의 합
Ⅲ 수열
32.
그림과 같이 자연수 에 대하여 기울기가 이고 절편이 양수인 직
선이 원
에 접할 때, 이 직선이 축, 축과 만나는 점
을 각각 A
, B
이라 하자. 점 A
을 지나고 기울기가 인 직선이
축과 만나는 점을 C
이라 할 때, 삼각형 A
C
B
과 그 내부의 점들
중 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수를
이라 하자.
의
값을 구하시오.
[4점][2016(나) 4월/교육청 29]
O
B
C
A
33.
집합 는 이하의 자연수 의 부분집합
⋯
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 집합 의 임의의 두 원소
,
( ≠ )에 대하여
≠
(나)
의 값을 구하시오.
[4점][2015(A) 3월/교육청 30]
2
여러 가지 수열의 합
꼴의 수열의 합
01
34.
수열
에 대하여
⋯
⋯
일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2011(나) 11월/교육청(고2) 26]
멱급수 계산(등차×등비)
02
35.
다음과 같이 규칙적으로 나열된 수가 있다.
행
행
행
행
⋮ ⋮
행
⋯
행부터 행까지의 수를 모두 더한 값은?
[4점][2009(나) 4월/교육청 17]
①
②
③
④
⑤
수학Ⅱ
2. 수열의 합
3
발견적 추론
정수론의 추론
01
36.
수열
이 모든 자연수 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
은 자연수이다.
(나)
의 값을 구하시오.
[4점][2011(나) 3월/교육청 27]
좌표의 규칙성 추론
04
37.
함수
의 그래프 위에 다음 조건을 만족시키도록 점 P
, P
,
P
, ⋯ 을 차례로 정한다.
(가) 점 P
의 좌표는 이다.
(나) 직선 P
P
의 기울기는 이다. ( ⋯ )
점 P
의 좌표는?
[4점][2009(나) 3월/교육청 10]
①
②
③
④
⑤
기타 발견적 추론 문제
05
38.
그림은 직사각형 모양을 이루고 있는 × 개의 칸에 다음 규칙
에 따라 수를 나열한 것이다.
(가) 제 행에는 ⋯ 을 차례로 나열하고, 각 행의
첫 칸에는 모두 을 나열한다.
(나) 그림에 있는 × 개의 칸으로 이루어진 임의의 직사각형
에서 등식 가 성립하도록 한다.
예를 들면
에서 가 성립한다.
제행
⋯
제행
⋯
제행
⋯
제행
⋯
제행
⋯
이때 제 행(어두운 부분)에 나열된 개의 수의 합을 구하시오.
[4점][2008(나) 3월/교육청 30]
39.
다음 그림은 동심원 O
O
O
⋯과 직선
의 교점 위
에 자연수를 1부터 차례로 적은 것이다.
이미 채워진 수들의 규칙에 따라 계속하여 적어 나가면 는 원 O
과
직선
의 교점 위에 있다. 의 값을 구하시오.
[4점][2007(나) 6월/평가원 23]
2. 수열의 합
Ⅲ 수열
40.
좌표평면에서 함수
≥
과 자연수 에 대하여 점 을 중심으로 하고 반지름의 길이가
인 원
이 있다. 좌표와 좌표가 모두 정수인 점 중에서 원
의
내부에 있고 함수 의 그래프의 아랫부분에 있는 모든 점의 개
수를
, 원
의 내부에 있고 함수 의 그래프의 윗부분에
있는 모든 점의 개수를
이라 하자.
의 값은?
[4점][2017(나) 수능 21]
①
②
③
④
⑤
수학Ⅱ
3. 수학적 귀납법
2
수학적 귀납법
수학적 귀납법의 활용
01
41.
어느 공원에는 아래 그림과 같이 A 지점에서 출발하여 A 지점으로
돌아오는 제 산책로, A 지점에서 출발하여 B 지점으로 이어지는 제
산책로, B 지점에서 출발하여 A 지점으로 이어지는 제 산책로가 있고,
각 산책로의 거리는 km 이다.
이 산책로들을 따라 다음과 같은 규칙으로 산책한 거리가 km 일
때, A 지점에서 출발하여 A 지점에 도착하는 방법의 수를
, A 지
점에서 출발하여 B 지점에 도착하는 방법의 수를
이라 하자.
(가) 각 산책로에서는 화살표 방향으로만 진행해야 한다.
(나) 같은 산책로를 반복할 수 있다.
(다) 지나지 않는 산책로가 있을 수 있다.
의 값은? (단, 은 자연수이다.)
[4점][2011(나) 3월/교육청 20]
①
②
③
④
⑤
피보나치수열
02
42.
A , B , C 세 사람은 아래와 같은 규칙으로 전자우편을 보내기로
하였다.
Ⅰ. A 는 B 에게만 보낸다.
Ⅱ. B 는 A 와 C 모두에게 각각 한 통씩 보낸다.
Ⅲ. C 는 A 와 B 모두에게 각각 한 통씩 보낸다.
아래 그림과 같이 B 부터 전자우편을 보내기 시작할 때, [ 단계 ], [
단계 ], [ 단계 ]에서 A 가 받은 전자우편의 개수를 각각
,
,
라
할 때,
의 값을 구하시오. (예를 들면
이며, 전자우편의 개수
와 용량은 제한하지 않는다.)
[4점][2004(나) 4월/교육청 27]
1단계
2단계
3단계
일반항을 구하는 빈칸 추론
03
43.
수열
은
이고,
≥
를 만족
시킨다. 다음은 일반항
을 구하는 과정의 일부이다.
주어진 식으로부터
이다.
자연수
≥
에 대하여
가
이므로,
이 성립한다. 따라서
×
× ⋯ × × 나 ×
× × 나 이다.
위의 (가)에 알맞은 식을
, (나)에 알맞은 식을
이라 할 때,
×
의 값은?
1. 지 수
Ⅳ 지수와 로그
2
지수의 확장
곱셈공식을 이용한 지수법칙의 활용
03
44.
일 때,
의 값은?
[4점][2009(나) 4월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
지수를 포함한 수의 대소 비교
04
45.
,
,
일 때, 세 수 , , 의 대소 관계를 바
르게 나타낸 것은?
[4점][2009(가) 4월/교육청 8]
①
②
③
④
⑤
46.
부등식 ＜
＜
을 만족시키는 자연수 에 대하여
‧
‧
‧
이라고 할 때, 의 대소 관계로 옳은 것은?
[4점][2008(나) 6월/평가원 27]
① ＞ ＞
② ＞ ＞
③ ＞ ＞
④ ＞ ＞
⑤ ＞ ＞
수학Ⅱ
2. 로 그
1
로그의 뜻과 성질
로그의 성립조건
02
47.
log
의 값이 자연수가 되도록 하는 실수 의 개수
가 일 때, 모든 자연수 의 값의 곱을 구하시오.
[4점][2015(A) 3월/교육청 29]
밑변환 공식
04
48.
＜＜ 인 두 실수 에 대하여
log
log
가 성
립할 때, log
의 값을 구하시오.
[3점][2009(나) /수능 21]
지수 로그의 활용
05
49.
다음 조건을 만족시키는 이하의 모든 자연수 의 값의 합을 구하
시오.
[4점][2016(나) 6월/평가원 30]
log
과 log
은 같은 자연수이고
≤
인 두 실수 가 존재한다.
2
상용로그
상용로그의 정수부분과 소수부분
01
50.
양의 실수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 라
하자. 자연수 에 대하여
을 만족시키는 모든 의 값의 곱을
이라 할 때,
lim
→ ∞
log
의 값은?
[4점][2014(A) /수능 20]
①
②
③
④
⑤
51.
양수 에 대하여 상용로그 log 의 지표가 일 때,
이라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?
[4점][2008(나) 6월/평가원 11]
ㄱ.
ㄴ. 이면 이다.
ㄷ.
,
이면
이다.
< 보 기 >
① ㄱ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
52.
두 양수 에 대하여
log
＜ ＜
log
＜ ＜
이다.
의 정수 부분이 자리의 수일 때, 의 값을 구하시오.
2. 로 그
Ⅳ 지수와 로그
53.
첫째항이 이고 공비가
인 등비수열
에 대하여 log
의
가수를
이라 하자.
,
,
, … ,
,
,
이 주어진 순서로 등차수열을 이룰 때, 의 값을 구하시오. (단,
log 로 계산한다.)
[4점][2010(가) 6월/평가원 25]
54.
양의 실수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자. 다음 조건을
만족시키는 와 에 대하여 모든 자연수 의 값의 합을 구하시오.
[4점][2015(A) 10월/교육청 30]
(가)
(나) log
상용로그의 정수부분의 성질
02
55.
log의 지표가 이고 log의 지표가 일 때,
log
log
의 값 중에서 정수의 개수를 구하시오.
[4점][2008(나) 6월/평가원 24]
좌표평면에서의 정수부분과 소수부분
03
56.
양수 에 대하여 log의 지표를 라 하자. 등식
을 만족시키는 이하의 자연수 의 개수를 구하시오.
[4점][2013(A) 3월/교육청 27]
57.
자연수 에 대하여 log 의 지표를 , 가수를 라 할 때, ≤
가 성립하도록 하는 의 개수를 구하시오. (단,
)
[4점][2011(나) /수능 24]
수학Ⅱ
2. 로 그
58.
가 자연수일 때 log 의 지표 과 가수 에 대하여 좌표평면 위의
점 P
를 P 이라 하자. 점 P
를 곡선
위에 있도록
하는 모든 값의 합은?
[4점][2008(나) 9월/평가원 9]
①
②
③
④
⑤
59.
자연수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각 좌표와 좌표로
갖는 점을 P
라 하자. 다음 조건을 만족시키는 자연수 , 의 모든
순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2013(A) 6월/평가원 30]
(가) ≤
(나)
P
P
log
상용로그의 소수부분의 활용
04
60.
양수 에 대하여 log의 지표와 가수를 각각 , 라 할 때,
다음 조건을 만족시키는 의 값은
이다.
(가)
(나)
이 때, 의 값을 구하시오. (단, , 은 서로소인 자연수이다.)
[4점][2012(가) 4월/교육청 29]
61.
양수 에 대하여 log 의 지표와 가수를 각각
라 하고,
라 하자. 두 조건
≤
,
≤
를 만족시키는 자연수 의 개수를
라 할 때,
의 값을 구
하시오.
[4점][2015(A) 9월/평가원 30]
62.
양수 에 대하여 log 의 지표를
라 하자. 정수 부분이 네 자리
인 양수 에 대하여
log
을 만족시키는 모든 실수 의 곱을 라 할 때, log 의 값을 구하시
오.
[4점][2012(나) 7월/교육청 28]
2. 로 그
Ⅳ 지수와 로그
두 상용로그의 소수부분의 활용
05
63.
보다 작은 두 자연수 에 대하여 log 의 가수와
log 의 가수의 합이 이 되는 순서쌍 의 개수는?
[4점][2009(나) 6월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
64.
양수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자. 다음 조건을 만족시
키는 두 자연수 , 의 모든 순서쌍 의 개수를 구하시오.
[4점][2014(A) 6월/평가원 30]
(가) ≤ ≤
(나) log log ≤
log log 의 활용
06
65.
정의역이 ≤ 이고 함숫값이 log 의 가수인 함수를
라 하자. 함수 의 그래프와 직선
가 만나는
점의 개수가 가 되도록 하는 자연수 의 개수는?
[4점][2012예비(A) 5월/평가원 20]
①
②
③
④
⑤
66.
≥
인 실수 에 대하여 log 의 가수를 라 하자. 다음
조건을 만족시키는 두 실수 , 의 순서쌍 를 좌표평면에 나타
낸 영역을 라 하자.
(가) 이고 이다.
(나) 함수 의 그래프와 직선 가 한 점에서
만 만난다.
영역 에 속하는 점 에 대하여
의 최솟값은
×
이다. 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수
이다.)
[4점][2016(A) /수능 30]
수학Ⅱ
2. 로 그
복리법
08
67.
어떤 농산물은 유통과정을 한 번 거칠 때마다 일정한 비율로 가격이
인상된다. 이 농산물의 가격 형성 과정을 조사한 결과 유통과정을 다섯
번 거친 소비자 가격은 원산지 생산 가격의 배였다. 유통과정을 한
번만 거친다면 이때의 소비자 가격은 다섯 번 거친 소비자 가격의 약
몇 인가? (단, log , log 로 계산한다.)
[4점][2009(나) 4월/교육청 29]
①
②
③
④
⑤
정답과 해설
교육청/평가원
빠른 정답
정답과 해설
1. [정답] 25
[풀이]
[출제의도] 규칙성을 이용하여 수열의 극한 문제 해결하기
⋯
이므로 은 집합 의 원소 중에서 집합의 원소인
⋯
에서 각각 가장 큰 약수를 찾아 합한 것과 같다.
그리고 ⋯
의 개수는
개이다.
이면 이다.
≥ 일 때,
(ⅰ) 인 의 개수는 ⋯
을 ×(홀수)로 나타낼
수 있는 수의 개수와 같으므로 의 배수 중 의 배수가 아닌 것의
개수와 같다.
따라서 의 개수는
≥
개이다.
(ⅱ) 인 의 개수는 ⋯
을 ×(홀수)로 나타낼
수 있는 수의 개수와 같으므로 의 배수 중 의 배수가 아닌 것의
개수와 같다.
따라서 의 개수는
≥
개이다.
(ⅲ) 인 의 개수는 ⋯
을 ×(홀수)로 나타낼
수 있는 수의 개수와 같으므로 의 배수 중 의 배수가 아닌
것의 개수와 같다.
따라서 의 개수는
≥
개이다.
이와 같은 방법으로 계속하면 ≥ 인 에 대하여
( ,
, , ⋯ , )인 의 개수는 ⋯
중에서
×(홀수)로
나타낼 수 있는 수의 개수와 같으므로
의 배수 중
의 배수가 아닌
것의 개수와 같다.
따라서 의 개수는
≥
개이다.
또한,
을 만족하는 는
뿐이므로
의 개수는 개이다.
따라서 ≥ 일 때
⋯
×
×
⋯
×
×
․
․
․
이다.
그러므로
lim
→∞ ×
lim
→∞ ×
이다.
1
25
2
3
4
⑤
5
③
6
⑤
7
⑤
8
9
172
10
12
11
④
12
⑤
13
14
④
15
16
④
17
②
18
19
20
①
21
②
22
23
24
25
③
26
150
27
28
④
29
30
31
32
33
34
35
③
36
37
⑤
38
39
64
40
④
41
③
42
55
43
①
44
④
45
③
46
①
47
48
49
50
②
51
③
52
11
53
54
55
11
56
57
58
⑤
59
60
61
62
63
③
64
65
⑤
66
67
⑤
수학Ⅱ
정답과 해설
⋯
이므로
이다. 그러므로 ≥ 를
만족하는 자연수 은
이다.
일 때 log
가 유리수가 되기 위해서는
⋯
이므로
이다. 그러므로 ≥ 를
만족하는 자연수 은
이다.
≥ 일 때 ≥ 가 되는 이하의 자연수 은 존재하지 않는다.
따라서 ≥ 가 되는 모든 자연수 의 값의 합은
이다.
3. [정답]
[풀이]
[출제의도] 집합의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는
집합의 개수를 구한다.
×
이므로 집합의 모든 원소는 의 배수도 아니고 의 배수도
아니다.
(나)에서 ∩ ∅이므로 집합 의 모든 원소는 의 배수이거나 의
배수이어야 한다.
(다)에서
× 이므로 집합 의 모든 원소는 의 배수도 아니고
의 배수도 아니다.
따라서 집합 의 모든 원소는 이하의 의 배수 중에서 의 배수도
아니고 의 배수도 아닌 수이다.
따라서 집합 의 원소가 될 수 있는 수는
, , , , , ,
이다. (가)에서 집합 는 집합
의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로
집합 의 개수는
[다른풀이]
집합 를 전체집합으로 생각하자.
(가)에서 ⊂이므로 집합 의 모든 원소는 이하의 자연수이다.
집합 의 부분집합 중에서 의 배수의 집합을 , 의 배수의 집합을
, 의 배수의 집합을 라 하자.
(나)에서 ∩ ∅이고, ×
이므로 집합 의 모든 원소는 의
배수이거나 의 배수이다.
따라서 집합 의 모든 원소는
∪
에 속한다.
(다)에서 집합 의 모든 원소는 의 배수도 아니고 의 배수도 아니다.
따라서 집합 의 모든 원소는
∩
∪
에 속한다.
(가), (나), (다)에서 집합 의 모든 원소는
∪
∩
∪ ∪
에 속한다.
따라서 집합 의 모든 원소는 이하의 의 배수 중에서 의 배수도
아니고 의 배수도 아닌 수이다.
그러므로 집합 의 원소가 될 수 있는 수는
, , , , , ,
이다.
(가)에서 집합 는 집합
의 공집합이 아닌 부분집합이어야 하므로 집합 의 개수는
또는 ⇔ ( , ) 또는 ( , ) 또는
( , )
∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참)
ㄷ.
에서
또는
이므로
또는
∴ 는 이기 위한 충분조건이다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
5. [정답] ③
[풀이]
[출제의도] 필요조건과 충분조건 추론하기
ㄱ. → (참)
이면 , 또는 , 이다.
, 이면 이다.
, 이면 이다.
→ (거짓)
(반례) 이고
∴ 는 이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.
ㄴ. → (참)
→ 의 대우 명제는 참이다. 즉,
이고 이면 이다.
→ (거짓)
(반례) 이고
∴ 는 이기 위한 충분조건이지만 필요조건은 아니다.
ㄷ. → (거짓)
(반례) 이고
→ (참)
≤ 에서
이므로 이다.
∴ 는 이기 위한 필요조건
따라서 는 이기 위한 충분조건이지만 필요조건이 아닌 것은 ㄱ,
ㄴ이다.
6. [정답] ⑤
[풀이]
[출제의도] 필요조건과 충분조건 이해하기
⊂ ∩
⊂ ∪
⊂ 또는 ⊂
가 이기 위한 충분조건이므로 〈 〉
가 이기 위한 필요조건이므로 〈 〉
가 이기 위한 필요조건이므로 〈 〉
∴〈 〉 〈 〉 〈 〉
7. [정답] ⑤
[풀이]
[출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대ㆍ최소를
구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. 그림과 같이 직사각형의 두
변의 길이를 , 라고 하면
이고, 닮음비에 의해
BC
∴
산술 · 기하평균에서
정답과 해설
교육청/평가원
,
≥
×
(단, 등호는 일 때 성립)
≤ , ≤ ,
≤
따라서 의 최댓값과 의 최댓값은 같다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
8. [정답]
[풀이]
[출제의도] 조건을 만족하는 함수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는
문제이다.
함수 가 집합 의 모든 원소 에 대하여
를 만족하므로
, , 이다.
와 이 될 수 있는 값은 각각 이므로
함수 의 개수는 × 개다.
9. [정답] 172
[풀이]
[출제의도] 함수의 성질을 이용하여 함숫값 추측하기
조건 (나)에 의하여
×
⋮
이다.
의 범위는
이므로 조건 (가)에
의하여
이다.
∴
10. [정답] 12
[풀이]
[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
역함수가 존재하려면 함수 가 일대일 대응이어야 하므로
(ⅰ) ≥ 일 때, 함수 가 증가하여야 하므로
≤ , ≤
O
따라서 의 최댓값은 , 일 때
11. [정답] ④
[풀이]
[출제의도] 함수의 그래프와 방정식의 관계 이해하기
의 그래프는 다음과 같다.
에서
또는
이므로
이다.
따라서 모든 실수 의 값의 합은 이다.
12. [정답] ⑤
[풀이]
[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 자연수의 순서쌍의 개수를
구한다.
함수
의 그래프는 함수 의 그래프와 직선 에
대하여 대칭이므로 함수
의 그래프는 아래 그림과 같다.
이므로 등식
를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍은
, , , ,
의 개다.
수학Ⅱ
정답과 해설
에서 이고
에서 이고
이므로 등식 를 만족시키는 두 자연수 , 의 순서쌍은
, , , ,
의 개다.
13. [정답]
[풀이]
[출제의도] 분수함수의 그래프와 직선과의 관계를 이해하고 문제를
해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
도형 와 직선 의 교점 P , Q 의 좌표를
각각 라 하자.
를 대입하여 정리하면
……㉠
이 방정식의 두 근이 이므로
∴
를 ㉠에 대입하여 풀면 ±
∴ P
, Q
∴ OP × OQ OP
[다른풀이]
도형 와 직선 의 교점 P , Q 의 좌표를
각각 라 하자.
를 대입하여 정리하면
……㉠
이 방정식의 두 근이 이므로
여기서 P Q 의 좌표의 곱이 이므로
그런데 도형 는 직선 에 대하여 대칭이므로
선분 PQ 의 중점을 M 이라 하면 삼각형 OPQ 는 이등변삼각형이다.
∴ OP × OQ OP OM
PQ
이때 OM
,
PQ
∴ OP × OQ
이므로
함수
의 점근선의 방정식은
,
(ⅰ) 일 때
따라서 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 유한개이다.
(ⅱ) 일 때
그림과 같이 두 함수 ,
의 그래프의 교점의
개수가 무수히 많게 되는 의 값의 범위는
≤ ≤
따라서 조건을 만족시키는 정수 의 값은
, , , ,
으로 그 합은 이다.
15. [정답]
[풀이]
[출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 주어진 수열의 합을
구하는 문제를 해결한다.
곡선
의 그래프는 그림과 같다.
곡선 의 그래프는 점
에 대해 대칭이므로
정답과 해설
교육청/평가원
이므로
이다.
따라서 의 최댓값은 이다.
16. [정답] ④
[풀이]
[출제의도] 점의 대칭이동과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의
좌표를 구한다.
점 B 가 곡선
위의 점이므로
, 즉 ⋯⋯ ㉠
이므로
, 즉
두 점 B C 가 직선 에 대하여 서로 대칭이므로
C
∴ BC
(∵ )
직선 BC 와 직선 가 서로 수직이므로 직선 BC 의 기울기는
이다. 또한 이 직선이 점 B 를 지나므로 직선 BC 의 방정식은
, 즉
점 A와 직선 BC 사이의 거리를 라 하면
(∵ , )
삼각형 ABC 의 넓이가
이므로
∆ABC
× BC ×
×
×
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서
×
이므로
17. [정답] ②
[풀이]
[출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기
함수
≥ 의 역함수는
이고 두 함수 ,
의 그래프의 교점은 직선 위에 있다.
은 음이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로
≥ ,
≤
이므로 정수 의 개수는
18. [정답]
[풀이]
[출제의도] 수열의 합 추론하기
함수
의 그래프는 함수
의 그래프를 축의 방향으로
<그림1>
O
㉠
㉡ ㉢
<그림2>
이 때, 함수
의 그래프는
함수
의 그래프를 축에 대하여 대칭이동한 후 축의
방향으로
만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이므로
<그림2>와 같이 함수
의 그래프와 축, 축으로 둘러싸인
영역 ㉠의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수는
함수
의 그래프와 두 직선
, 으로 둘러싸인
영역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의 개수와 같다.
그러므로 영역 ㉠과 영역 ㉡의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의
개수는 영역 ㉡과 영역 ㉢의 좌표와 좌표가 모두 정수인 점의
개수와 같다.
축 위의 정수인 점은 , , ⋯,
이므로
개
축 위의 정수인 점은 , , ⋯, 이므로 개
∴
따라서
×
× ×
×
[다른풀이]
<그림1>에서 의 값에 대한 점의 개수는 아래의 표와 같다.
합
19. [정답]
[풀이]
[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 자연수 의 최댓값을 구할 수
있는가?
(은 자연수)라 하면
,
에서
이므로 ≥ 에서 곡선
은 그림과 같다.
