수열 - 정답및해설

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공차를 d라 하면 aª=-22에서 aª=a¡+8d이므로 18+8d=-22, 8d=-40

∴ d=-5

첫째항이 1, 공차가 4-1=3인 등차수열이므로 an=1+(n-1)¥3=3n-2

첫째항이 3, 공차가 9-3=6인 등차수열이므로 an=3+(n-1)¥6=6n-3

첫째항이 -2, 공차가 -4-(-2)=-2인 등차수열이므로 an=-2+(n-1)¥(-2)=-2n

첫째항이 ;5!;, 공차가 ;5#;- =;5@;인 등차수열이므로 an

=;5!;+(n-1)¥;5@;=;5@;n-첫째항이 9, 공차가 5-9=-4인 등차수열이므로 an=9+(n-1)¥(-4)=-4n+13

첫째항이 -8, 공차가 4이므로 an=-8+(n-1)¥4=4n-12

∴ a¡º=4¥10-12=28

첫째항이 -1, 공차가 4-(-1)=5이므로 an=-1+(n-1)¥5=5n-6

∴ a•=5¥8-6=34

첫째항이 1, 공차가 -5-1=-6이므로 an=1+(n-1)¥(-6)=-6n+7

∴ a•=-6¥8+7=-41

첫째항이 -;3!;, 공차가 -1-{- }=-;3@;이므로 an=- +(n-1)¥{-;3@;}=-;3@;n+;3!;

∴ a•=-;3@;_8+ =-5

등차수열 {an}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a™=a+d=8 … ㉠

a§=a+5d=16 … ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=6, d=2

∴ a«=6+(n-1)¥2=2n+4

03 등차중항

^본문¹¹⁷^쪽

x가 5와 13의 등차중항이므로

x= =9

x가 -4와 -10의 등차중항이므로

x= =-7

3이 x와 2x의 등차중항이므로 3= , 3x=6, x=2

x가 1과 5의 등차중항이므로 x= =3 y가 5와 9의 등차중항이므로 y= 5+9=7

2 1+5

04

x+2x 2

03

-4+(-10) 2

02

5+13 2

01

18

1 3 1

17 16 15 14 13

1 5 1

12 11 10 09

08

∴ x=3, y=7

x가 -1과 -11의 등차중항이므로

x= =-6

y가 -11과 -21의 등차중항이므로

y= =-16

∴ x=-6, y=-16

11이 4와 x의 등차중항이므로 11= , x=18

y가 x와 32의 등차중항이므로 y= = =25

∴ x=18, y=25

y가 6과 14의 등차중항이므로 y= =10

6이 x와 y의 등차중항이므로 6= = , x=2 14가 y와 z의 등차중항이므로 14= = , z=18

∴ x=2, y=10, z=18

a¤ +a가 30과 -2a의 등차중항이므로 a¤ +a=

a¤ +2a-15=0, (a-3)(a+5)=0

∴ a=3 또는 a=-5

따라서 모든 a의 값의 합은 3+(-5)=-2

04 등차수열을 이루는 수

^본문¹¹⁸^쪽

구하는 세 수를 a-d, a, a+d로 놓으면 (a-d)+a+(a+d)=15 … ㉠ (a-d)_a_(a+d)=45 … ㉡

㉠에서 3a=15 ∴ a=5 a=5를 ㉡에 대입하면 (5-d)¥5¥(5+d)=45 25-d¤ =9, d¤ =16

∴ d=4 또는 d=-4

따라서 구하는 세 수는 1, 5, 9이다.

w, x, y, z는 이 순서대로 등차수열을 이루므로 w=a-3d, x=a-d, y=a+d, z=a+3d로 놓으면 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=56 4a=56 ∴ a=14

w와 z의 곱이 52이므로

(a-3d)(a+3d)=52, (14-3d)(14+3d)=52 196-9d¤ =52, d¤ =16 ∴ d=4 또는 d=-4 따라서 네 수 중 가장 큰 수는 14+3¥4=26 w, x, y, z는 이 순서대로 등차수열을 이루므로 w=a-3d, x=a-d, y=a+d, z=a+3d로 놓으면 (a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=32 4a=32 ∴ a=8

x와 y의 곱이 60이므로

(a-d)(a+d)=60, (8-d)(8+d)=60

04 03 02

30+(-2a) 2

08

10+z 2 y+z

x+10 2 x+y

2 6+14

07

18+32 2 x+32

2 4+x

06

-11+(-21) 2 -1+(-11)

05 http://hjini.tistory.com

친절한 해설

37

64-d¤ =60, d¤ =4 ∴ d=2 또는 d=-2 따라서 wz=(a-3d)(a+3d)=64-36=28

삼차방정식의 세 근을 a-d, a, a+d로 놓으면 삼차방정식 의 근과 계수의 관계에 의하여 세 근의 합은

(a-d)+a+(a+d)=6 3a=6 ∴ a=2

주어진 방정식의 한 근이 2이므로 방정식에 x=2를 대입하면 8-6¥4+2k+10=0, 2k=6

∴ k=3

05 등차수열의 합

^본문¹¹⁹^쪽

S¡™= =264

S¡º= =180

S¡º= =-195

S¡∞= =255

첫째항이 1, 공차가 4인 등차수열의 첫째항부터 제16항까지 의 합이므로

=496

첫째항이 0, 공차가 -2인 등차수열의 첫째항부터 제20항까 지의 합이므로

=-380

주어진 등차수열의 첫째항이 1, 공차가 6이므로 이 수열의 제n항을 145라 하면

145=1+(n-1)¥6 ∴ n=25

따라서 이 수열의 합은 =1825

주어진 등차수열의 첫째항이 1, 공차가 -3이므로 이 수열 의 제n항을 -86이라 하면

-86=1+(n-1)¥(-3) ∴ n=30

따라서 이 수열의 합은 =-1275

공차를 d라 하면

a§=1+(6-1)d=11, 5d=10 ∴ d=2 따라서 첫째항부터 제20항까지의 합은

=400 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£=a+2d=13 … ㉠ a¶=a+6d=33 … ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, d=5 따라서 첫째항부터 제10항까지의 합은

=255

첫째항이 6, 끝항이 48, 항수가 n+2인 등차수열의 합이

11

10{2¥3+(10-1)¥5}

10

20{2¥1+(20-1)¥2}

09

30{1+(-86)}

08

25(1+145) 2

07

20{2¥0+(20-1)¥(-2)}

06

16{2¥1+(16-1)¥4}

05

15{2¥(-4)+(15-1)¥3}

04

10{2¥3+(10-1)¥(-5)}

03

10(1+35)

02

12(4+40)

01

05

594이므로

=594, n+2=22 ∴ n=20

첫째항이 -18, 끝항이 10, 항수가 n+2인 등차수열의 합이 -56이므로

=-56, n+2=14 ∴ n=12 an=17+(n-1)¥(-3)=-3n+20

-3n+20<0에서 n>6.66y

즉 수열 {a«}은 제7항부터 음수이므로 첫째항부터 제6항까지 의 합이 최대이다.

an=-19+(n-1)¥2=2n-21 2n-21>0에서 n>10.5

즉 수열 {a«}은 제11항부터 양수이므로 첫째항부터 제10항 까지의 합이 최소이다.

등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면

a§=a+5d=5 … ㉠

a¡¢=a+13d=-11 … ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=15, d=-2

∴ an=15+(n-1)¥(-2)=-2n+17 -2n+17<0에서 n>8.5

즉 수열 {a«}은 제9항부터 음수이므로 첫째항부터 제8항까지 의 합이 최대이다.

따라서 a•=-2¥8+17=1이므로 구하는 최댓값은

S•= =64

06 등비수열

^본문¹²¹^쪽

=-1이므로 공비는 -1

=2이므로 공비는 2

공비를 r라 하면 r= =3이므로 6=3a¡ ∴ a¡=2

공비를 r라 하면 r= =-2이므로 -2=-2a¡ ∴ a¡=1

r= =5이므로 2_5=10, 10_5=50

r= =4이므로

_4=-4에서 =-1, -64_4=-256 an=ar^n-1이므로 an=5¥(-2)^n-1

an=ar^n-1이므로 an=2¥{ }

n-1

공비를 r라 하면 a¢= 에서 a¢=1¥r‹ = , r‹ = ∴ r=1

2 1

8 1 8

09

08

07

-16

06

-4

1250

05

250

04

-2

03

02

-4

01

8(15+1) 2

15 14 13

(n+2)(-18+10) 2

12

(n+2)(6+48) 2

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공비를 r라 하면 a∞=162에서 a∞=2¥r› =162, r› =81 ∴ r=3 첫째항이 1, 공비가 인 등비수열이므로

an={ }

n-1

첫째항이 1, 공비가 - 인 등비수열이므로

an={- }

n-1

첫째항이 9, 공비가 인 등비수열이므로

an=9¥{ }

n-1

첫째항이 32, 공비가 - 인 등비수열이므로

an=32¥{- }

n-1

첫째항이 , 공비가 2인 등비수열이므로

an= ¥2^n-1

첫째항이 3, 공비가 2이므로 an=3¥2^n-1

∴ a¢=3¥2‹ =24

첫째항이 2, 공비가 2이므로 an=2¥2^n-1=2ⁿ ∴ a¡º=2¹⁰ 첫째항이 4, 공비가 이므로 an=4¥{;2!;}^n-1 ∴ a¡º=4¥{;2!;}9 =

첫째항이 18, 공비가 이므로 an=18¥{;3!;}^n-1 ∴ a¡º=18¥{;3!;}9 = 등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a™=ar=3 … ㉠

a∞=ar› =81 … ㉡

㉡÷㉠을 하면 r‹ =27 ∴ r=3 r=3을 ㉠에 대입하면 a=1

∴ an=3^n-1

07 등비중항

^본문¹²³^쪽

x가 3과 12의 등비중항이므로 x¤ =3¥12=36 ∴ x=—6 x가 2와 72의 등비중항이므로 x¤ =2¥72=144 ∴ x=—12 y가 -2와 -8의 등비중항이므로 y¤ =(-2)¥(-8)=16 ∴ y=—4

03 02 01 20

2 3‡

19

1 2‡

18 17 16

1 4

15

1 2

14

1 3

13

1 3

12

1 4

11

10

x가 1과 9의 등비중항이므로

x¤ =1¥9=9 ∴ x=—3 9가 x와 y의 등비중항이므로 9¤ =x¥y ∴ y=—27 6이 a와 9a의 등비중항이므로 6¤ =a¥9a=9a¤ , a¤ =4 ∴ a=—2 a+2가 a-2와 a+10의 등비중항이므로 (a+2)¤ =(a-2)(a+10)

a¤ +4a+4=a¤ +8a-20 4a=24 ∴ a=6

a+1은 3a와 a의 등비중항이므로 (a+1)¤ =3a¥;4#;a, a¤ +2a+1= a¤

5a¤ -8a-4=0

(5a+2)(a-2)=0 ∴ a=- 또는 a=2 x, y, 12가 등차수열을 이루므로 2y=x+12 2, x, y가 등비수열을 이루므로 x¤ =2y x¤ =x+12, (x-4)(x+3)=0

∴ x=4, y=8 (∵ xy>0) 따라서 x+y=4+8=12

08 등비수열의 합

^본문¹²⁴^쪽

S∞= =2ﬁ -1=31

S∞= =3ﬁ -1=242

S∞= = =44

S∞= =-31

S∞=5_12=60

S¡º= = (9⁄ ‚ -1)

S¡∞= = (1+2⁄ ﬁ )

S¶= =-2(3‡ -1)

S•= =-14[1-{ }8 ]

첫째항이 1, 공비가 7이므로

S«= = (7« -1)

공비가 1이므로 Sn=8n 첫째항이 2, 공비가 -1이므로

12

11

1 6 1¥(7« -1)

7-1

10

1 2 -7[1-{;2!;}8 ]

1-;2!;

09

-4(3‡ -1)

08

3-1

5 3 5{1-(-2)⁄ ﬁ }

1-(-2)

07

3 8 3(9⁄ ‚ -1)

06

9-1

05

-16[1-{;2!;}5 ] 1-;2!;

04

4¥(1+32) 3 4{1-(-2)ﬁ }

1-(-2)

03

2(3ﬁ -1)

02

3-1

1¥(2ﬁ -1)

01

2-1

08

2 5 9 4 3

07 06 05 04

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친절한 해설

39

S«= = [1-{-;2!;}

] 첫째항이 4, 공비가 -1이므로

S«= =2{1-(-1)« }

첫째항이 1, 공비가 '3이므로

S«= = {('3)« -1}('3+1) 주어진 등비수열의 일반항을 an이라 하면 a«=3¥2^n-1, 3¥2^n-1=384 ∴ n=8 따라서 첫째항부터 제8항까지의 합은

S•= =765

주어진 등비수열의 일반항을 an이라 하면 a«=1¥(-2)^n-1, (-2)^n-1=256 ∴ n=9 따라서 첫째항부터 제9항까지의 합은 Sª= =;3!;(1+512)=171 첫째항이 1, 공비가 '2인 등비수열이므로 an=1¥('2)^n-1

ak=('2)^k-1=16, k=9

따라서 첫째항부터 제9항까지의 합은 Sª= ={('2)· -1}('2+1)

첫째항이 3, 공비가 인 등비수열의 제n항을 이라 하면

3¥{ }

n-1

= , { }

n-1

= ={ }6 이므로 n=7

∴ 3+;2#;+;4#;+;8#;+y+;6£4;= =6[1-{;2!;}7 ]

첫째항이 4, 공비가 -2인 등비수열의 제`n항을 -512라 하면

4¥(-2)^n-1=-512, (-2)^n-1=-128=(-2)‡

이때 n-1=7이므로 n=8

∴ 4-8+16-32+y-512

= =-340

첫째항이 1, 공비가 i인 등비수열이고 i⁴⁰은 제41항이므로 1+i+i¤ +y+i› ‚ = =

= =1

등비수열 {an}의 첫째항을 a, 공비를 r로 놓으면

a¡+a£=a+ar¤ =10 …㉠

a£+a∞=ar¤ +ar› =r¤ (a+ar¤ )=90 …㉡

㉡÷㉠을 하면 r¤ =9

∴ r=3 (∵ r>0) r=3을 ㉠에 대입하면 a+9a=10 ∴ a=1

24

1-i 1-i

1-(i› )⁄ ‚ ¥i 1-i 1¥(1-i› ⁄ )

1-i

22

4¥{1-(-2)° } 1-(-2)

21

3[1-{;2!;}7 ] 1-;2!;

1 2 1 64 1

2 3 64 1

3 64 1

20

1¥{('2)· -1}

'2-1

18

1¥{1-(-2)· } 1-(-2)

17

3¥(2° -1) 2-1

16

1 1¥{('3)« -1} 2

'3-1

14

4{1-(-1)« } 1-(-1)

13

4 3 2[1-{-;2!;}ⁿ]

1-{-;2!;}

따라서 주어진 수열의 첫째항부터 제6항까지의 합은 S§= = (3ﬂ -1)=364

09 수열의 합과 일반항 사이의 관계

^본문¹²⁷^쪽

⁄n=1일 때, a¡=S¡=1¤ +1=2

¤næ2일 때, an=Sn-Sn-1

=n¤ +n-{(n-1)¤ +(n-1)}

=n¤ +n-(n¤ -n)

=2n (næ2) … ㉠

이때 a¡=2는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 an=2n (næ1)

⁄n=1일 때, a¡=S¡=1¤ -2_1+1=0

¤næ2일 때, an=Sn-Sn-1

=n¤ -2n+1-{(n-1)¤ -2(n-1)+1}

=n¤ -2n+1-(n¤ -4n+4)

=2n-3

따라서 구하는 수열의 일반항은 a¡=0, an=2n-3 (næ2)

⁄n=1일 때, a¡=S¡=4¹⁺¹-4=12

¤næ2일 때, a«=Sn-Sn-1

=4ⁿ⁺¹-4-(4ⁿ-4)

=4ⁿ(4-1)

=3¥4ⁿ(næ2) … ㉠

이때 a¡=12는 ㉠에 n=1을 대입한 것과 같으므로 a«=3¥4« (næ1)

10 등비수열의 활용

^본문¹²⁸^쪽

한 변의 길이가 8인 정삼각형의 넓이는 ¥8¤ =16'3 1회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 16'3¥

2회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 16'3¥ ¥

⋮

n회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 16'3¥{ }

따라서 10회 시행 후 남아 있는 종이의 넓이는 16'3¥{ }

1회 시행 후 남은 조각의 넓이는 64¥

2회 시행 후 남은 조각의 넓이는 64¥ ¥

⋮

n회 시행 후 남은 조각의 넓이는 64¥{ }

따라서 20회 시행 후 남은 조각들의 넓이는 3 4

3 4 3 4 3

03

3 4 3 4

3 4 3 4 3 4 '3

02 05 03 02

1 2 1¥(3ﬂ -1)

3-1

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64¥{ }2 0

이 공장에서 올해 생산된 제품의 수를 a, 제품 수의 증가율 을 r라 하면

n년 후의 생산되는 제품의 수는 a(1+r)« (개) 10년 후의 제품 수가 10만 개이므로

a(1+r)¹⁰=10⁵ … ㉠ 20년 후의 제품 수가 50만 개이므로 a(1+r)²⁰=5_10⁵ … ㉡

㉡÷㉠을 하면 (1+r)¹⁰=5 … ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 a=2_10⁴ 따라서 30년 후에 생산되는 제품의 수는

a(1+r)³⁰=a{(1+r)¹⁰}³=2_10⁴_125=250(만 개) 로 예상할 수 있다.

10(1+10_0.04)=10_1.4=14(만 원) 100(1+0.05)¹⁰=100_1.63=163(만 원)

=406(만 원)

11 합의 기호 ;

^본문¹³⁰^쪽

5+5¤ +5‹ +y+5« = 5˚

6이 5개 있으므로 6

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면 a˚= 이고 항수가 50이므로 1+;2!;+;3!;+y+;5¡0;= ;k!;

첫째항이 1, 공차가 4인 등차수열의 합이므로 a˚=1+(k-1)¥4=4k-3

4k-3=41 ∴ k=11 일반항이 a˚=4k-3이고, 첫째항부터 제11항까지의 합이므로 1+5+9+…+41= (4k-3)

2k=2¥1+2¥2+2¥3=2+4+6

2‘=2⁄ +2¤ +2‹ +2› +2ﬁ =2+4+8+16+32 j(j+3)=1¥4+2¥5+3¥6+4¥7

=4+10+18+28

(a™˚–¡+a™˚)=(a¡+a™)+(a£+a¢)+y+(a™«–¡+a™«)

= a˚

이므로 a˚=2n¤

위의 식의 양변에 n=5를 대입하면¡¹⁰ a˚=2¥5¤ =50

k=1

¡_k=12n

¡2n k=1

¡n

08

k=1

¡4

07

j=1

¡5

06

i=1

¡3

05

k=1

¡11 k=1

04

¡50 k=1

1 k

03

¡5

02

k=1

¡n

01

k=1

30_1.015_(1.2-1) 0.015

30(1+0.015){(1+0.015)⁄ ¤ -1}

0.015

08 07 06 05

12 ; 의 성질

^본문¹³¹^쪽

(4a˚+1)=4 a˚+ 1=4¥3+1¥10=22 (-a˚+2b˚)=- a˚+2 b˚=-3+2¥5=7 (a˚-1)¤ = (a˚¤ -2a˚+1)

(a˚-1)¤= a˚¤ -2 a˚+ 1=5-2¥2+10=11 (3a˚+2)¤ = (9a˚¤ +12a˚+4)

(3a˚+2)¤=9 a˚¤ +12 a˚+ 4 (3a˚+2)¤=9¥5+12¥2+4¥10=109 (k+4)- (k-2)

= {(k+4)-(k-2)}= 6=6¥7=42 (k¤ +2)- (k¤ -1)

= {(k¤ +2)-(k¤ -1)}= 3=3¥10=30 (k-3)¤ - (k¤ -6k)

= {(k-3)¤ -(k¤ -6k)}= 9=9n

(a˚+b˚)¤ = (a˚¤ +2a˚b˚+b˚¤ ) (a˚+b˚)¤= (a˚¤ +b˚¤ )+2 a˚b˚

이므로 (a˚¤ +b˚¤ )+2¥20=100

∴ (a˚¤ +b˚¤ )=60

13 자연수의 거듭제곱의 합

^본문¹³²^쪽

(k+3)= k+ 3= +3¥10 (k+3)=55+30=85

(k¤ +k+1)= k¤ + k+ 1

(k¤ +k+1)= + +1¥10

(k¤ +k+1)=385+55+10=450

(k‹ -6k¤ )= k‹ -6 k¤

={ }2 -6¥{ }

(k‹ -6k¤ )=3025-2310=715

(2k+3)¤ = (4k¤ +12k+9) (2k+3)¤=4 k¤ +12 k+ 9

(2k+3)¤=4¥ +12¥ +9¥10

(2k+3)¤=1540+660+90=2290 k= k-¡² k

k=1

¡10 k=1

¡10

05

k=3

10¥11 2 10¥11¥21

¡10 k=1

¡10

04

k=1

10¥11¥21 6 10¥11

¡10 k=1

¡10

03

k=1

10¥11 2 10¥11¥21

¡10 k=1

¡10

02

k=1

10¥11 2

¡10 k=1

¡10

01

k=1

¡n k=1

¡n

08

k=1

¡n k=1

¡n

07

k=1

¡10 k=1

¡10

06

k=1

¡7 k=1

¡7

05

k=1

¡10 k=1

¡10

04

k=1

¡_k=110

¡10 k=1

¡10

03

k=1

¡10 k=1

¡10

02

k=1

¡10 k=1

¡10

01

k=1

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친절한 해설

41

k= k-(1+2)

= -3=52

(2k-5)= (2k-5)-(2¥1-5) (2k-5)=2 k- 5-(-3)

=2¥ -50+3=63

k(k-1)= k(k-1)- k(k-1) k(k-1)= (k¤ -k)- (k¤ -k) k(k-1)= k¤ - k- k¤ + k

k(k-1)= - -(1+2¤ )+(1+2)

k(k-1)=385-55-5+3=328

(4k-3)=4 k- 3

(4k+3)=4¥ -3(n-1)=2n¤ -5n+3 2n¤ -5n+3=6이므로 2n¤ -5n+3=0

(2n+1)(n-3)=0

∴ n=3 (∵ n은 정수)

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면 a˚=(2k-1)¤

∴ a˚= (2k-1)¤ = (4k¤ -4k+1)

=4 k¤ -4 k+ 1

=4¥ -4¥ +1¥n

= {2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3}

= =

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면 a˚=1+2+3+y+n=;Kn+!k=

∴;Kn+!a˚=;Kn+! =;2!;[;Kn+!k¤ +;Kn+!k]

= [;6!;n(n+1)(2n+1)+;2!;n(n+1)]

= _;6!;n(n+1)(2n+1+3)

= n(n+1)(n+2)

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면 a˚=3¥4˚ —⁄ 은 첫째항이 3, 공비가 4인 등비수열의 일반항이므로

;Kn+!3¥4˚ —⁄ = =4« -1

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면 a˚=1+2˚

∴;Kn+!a˚=;Kn+!(1+2˚ )=;Kn+!1+;Kn+!2˚

13

3(4« -1) 4-1

12

1 6 1 2 1 2

k(k+1) 2

n(n+1) 2

11

n(2n+1)(2n-1) 3 n(4n¤ -1)

3 n 3

n(n+1) 2 n(n+1)(2n+1)

¡n k=1

10

(n-1)¥n 2

n-1¡

k=1

¡n-1 k=1 n-1¡

08

k=1

10¥11 2 10¥11¥21

¡2 k=1

¡10 k=1

¡2 k=1

¡10 k=1

¡2 k=1

¡10 k=1

¡10

07

k=3

10¥11 2

¡10 k=1

¡10

06

k=2

10¥11 2

¡10

k=1 ∴;Kn+!a˚=1¥n+ =2« ±⁄ +n-2

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면 a˚=(2k-1)¥2k=4k¤ -2k 19¥20=(2k-1)¥2k에서 k=10

∴ (4k¤ -2k)=4¥ -2¥

=1540-110=1430 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a˚+b˚=k, a˚b˚=-k이므로

a˚‹ +b˚‹ =(a˚+b˚)‹ -3a˚b˚(a˚+b˚)

=k‹ -3¥(-k)¥k=k‹ +3k¤

∴ (a˚‹ +b˚‹ )= (k‹ +3k¤ )

={ }¤+3¥

=225+165=390

14 분수꼴로 주어진 수열의 합

^본문¹³⁴^쪽

주어진 식은 로 나타낼 수 있다.

=;2!; { - }

=;2!;[{ -;4!;}+{;3!;-;5!;}+{;4!;-;6!;}

+y+{ - }+{ - }]

=;2!;{;2!;-;3!;- - }

주어진 식은 로 나타낼 수 있다.

= {('3-1)+('5-'3)+('7-'5)+y+('∂21-'∂19)}

= ('∂21-1)

= { - }

={1- }+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}

+y+{ -;1¡0;}

=1- =

= { - }

1 k+2 1 k

¡10 k=1

2 k(k+2)

¡10

06

k=1

9 10 1 10

1 9 1 2

1 k 1 k-1

¡10 k=2

1 (k-1)k

¡10

05

k=2

1 2 1 2

'ƒ2k+å1-'ƒ2k-å1 2

¡10 k=1

('ƒ2k-å1-'ƒ2k+å1)

('ƒ2k-å1+'ƒ2k+å1)('ƒ2k-å1-'ƒ2k+å1)

¡10 k=1

1 'ƒ2k-å1+'ƒ2k+å1

¡10 k=1

1 'ƒ2k-å1+'ƒ2k+å1

¡10

04

k=1

57 154

1 22 1 21

1 22 1 20 1 21 1 19 1 2

1 k+3 1

k+1

¡19 k=1

1 (k+1)(k+3)

¡19 k=1

1 (k+1)(k+3)

¡19

02

k=1

5¥6¥11 6 5¥6

¡5 k=1

15

10¥11 2 10¥11¥21

¡10 k=1

14

2(2« -1) 2-1

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={1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}

+y+{ -;1¡1;}+{;1¡0;-;1¡2;}

=1+;2!;-;1¡1;-;1¡2;=

=2 ('k-'ƒk-1)

=2{(1-0)+('2-1)+('3-'2) +y+('∂10-'9)}

=2'ß∂10

= ('ƒk+3-'ƒk+2)

={('4-'3)+('5-'4)+('6-'5) +y+('∂12-'ß1å1)+('∂13-'ß1å2)}

=-'3+'ß∂13

주어진 수열의 제k항을 a˚라 하면

a˚= =

a˚=;2!;{ - }

주어진 식은 수열 {a˚}의 첫째항부터 제10항까지의 합이므로

;2!;{ - }

= [{1-;3!;}+{;3!;-;5!;}+y+[{;1¡9;-;2¡1;}]

=;2!;{1-;2¡1;}=

15 (등차수열)_ _(등비수열) 꼴의 수열의 합

^본문¹³⁶^쪽

주어진 식을 S로 놓으면

S=1+2¥5+3¥5¤ +y+n¥5« —⁄ yy㉠

㉠의 양변에 5를 곱하면

5S=5+2¥5¤ +3¥5‹ +y+n¥5« yy ㉡

㉠-㉡을 하면

-4S=1+5+5¤ +y+5« —⁄ -n¥5«

-4S= -n¥5« =

∴ S=

주어진 식을 S로 놓으면

S=1+ + +y+ … ㉠

㉠의 양변에 을 곱하면

S= + + +y+30 … ㉡ 3‹ ‚ 3

3‹

2 3¤

1 3 1 3

1 3

30 3¤ · 3

3¤

2 3

04

(4n-1)¥5« +1 16

(1-4n)¥5« -1 4 1¥(5« -1)

5-1

02

10 21 1

1 2k+1 1

2k-1

¡10 k=1

1 2k+1 1

2k-1

1 (2k+1)(2k-1) 1

(2k)¤ -1

10

¡_k=110

'ƒk+2-'ƒk+3

('ƒk+2+'ƒk+3)('ƒk+2-'ƒk+3)

¡_k=110

1 'ƒk+2+'ƒk+3

¡10

08

k=1

¡10 k=1

'ƒk-1-'k ('ƒk-1+'k)('ƒk-1-'k)

¡10 k=1

2 'ƒk-1+'k

¡10

07

k=1

175 132 1

㉠-㉡을 하면

S=1+ + + +y+

-S=

-∴ S

16 여러 가지 수열

^본문¹³⁷^쪽

제2군의 첫째항은 1이다.

모든 군의 첫째항이 1이므로 제n군의 첫째항도 1이다.

제n군은 첫째항이 1, 공차가 1, 항의 개수가 n인 등차수열 이므로 제n군의 합을 S«이라 하면

S«= =

제1군부터 제n군까지의 합을 S라 하면 S=;Kn+!S˚=;Kn+!

S=;2!;¥ +;2!;¥

S= =

3+1=4

주어진 수열은 분모와 분자의 합이 같은 항끼리 묶은 군수열 로, 제n군의 분모와 분자의 합은 n+1이다.

∴ a+b=n+1

8+3=11에서 은 제10군의 항이고, 분자가 3이므로 제10 군의 3번째 항이다.

제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제9군까지의 항의 개수는

;K9+!k= =45

따라서 45+3=48이므로 제48항이다.

주어진 수열을 {(1, 1)}, {(2, 1), (1, 2)}, {(3, 1), (2, 2), (1, 3)},…과 같이 두 수의 합이 같은 순서쌍끼리 묶은 군수 열로 생각하면 제n군의 순서쌍의 두 수의 합은 n+1이고, 제 n군의 첫째항은 n이므로 (9, 8)은 제16군의 8번째 항이다.

제n군의 항의 개수는 n이므로 제1군부터 제15군까지의 항 의 개수는

k= =120

따라서 (9, 8)은 제128항이다.

각 정사각형 속에 적혀 있는 수의 개수를 순서대로 나열하면 1, 4, 9, y, n¤ , y

따라서 10번째 정사각형 속에 적혀 있는 수의 합은 1부터 10¤ (=100)까지의 합이므로

k=100¥101=5050 2

¡100 k=1

12

15¥16 2

¡15 k=1

10

9¥10 2

08

07 06 05

n(n+1)(n+2) 6 n(n+1)(2n+1+3)

n(n+1) 2 n(n+1)(2n+1)

6 k¤ +k

04

n¤ +n 2 n{2¥1+(n-1)¥1}

03 02 01

3‹ ¤ -189 4_3‹ ‚

30 3‹ ‚ 1-{;3!;}‹ ‚

1-;3!;

30 3‹ ‚ 1 3¤ · 1

3‹

1 3¤

1 3 2

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친절한 해설

43 17 수열의 귀납적 정의

^본문¹³⁹^쪽

a«≠¡=a«+(-1)« 에서 a™=a¡+(-1)⁄ =2-1=1 a£=a™+(-1)¤ =1+1=2

∴ a¢=a£+(-1)‹ =2-1=1 a«≠™=a«≠¡+a«에서

a£=a™+a¡=3+1=4

∴ a¢=a£+a™=4+3=7 a«≠¡= a«에서 a™= a¡=;2!;¥1=;2!;

a£= a™=;3@;¥;2!;=;3!;

∴ a¢= a£=;4#;¥;3!;=

첫째항 a¡=1이고, 이웃하는 항들 사이의 관계를 살펴보면 a™÷a¡=2÷1=2

a£÷a™=4÷2=2 a¢÷a£=8÷4=2

⋮

a«≠¡÷a«=2 (næ1)

따라서 수열 {a«}의 귀납적 정의는 a¡=1, a«≠¡=2a« (n=1, 2, 3, …)

a«≠¡-a«=3에서 주어진 수열은 공차가 3인 등차수열이다.

이때 첫째항이 a¡=-1이므로 a«=-1+(n-1)¥3=3n-4

a«≠¡=a«+5에서 주어진 수열은 공차가 5인 등차수열이다.

이때 첫째항이 a¡=2이므로 a«=2+(n-1)¥5=5n-3

a«≠¡-a«=-3이므로 수열 {a«}은 공차가 -3인 등차수열 이다.

이때 첫째항이 a¡=100이므로

a«=100+(n-1)¥(-3)=-3n+103 a˚=10에서 -3k+103=10, 3k=93

∴ k=31

a«≠¡=5a«에서 주어진 수열은 공비가 5인 등비수열이다.

이때 첫째항이 a¡=1이므로 a«=1¥5« —⁄ =5« —⁄

a«≠¡¤ =a«a«≠™에서 주어진 수열은 등비수열이고,

a¡=1, a™÷a¡=4÷1=4이므로 첫째항이 1, 공비가 4이다.

∴ a«=1¥4« —⁄ =4« —⁄

n년 후의 씨앗의 개수를 a«이라 하면 a¡=10¥{1- }¥10=90

a™=a¡¥{1- }¥10=9a¡

⋮ a«≠¡=a«¥{1- }¥10=9a«

따라서 수열 {a«}은 첫째항이 90, 공비가 9인 등비수열이므로 a«=90¥9« —⁄ =10¥9«

1 10 1 10

1 10

14 13 12 10 09 08 06

1 4 3

4 2 3 1 2

04

n+1

03 02

∴ a£º=10¥9‹ ‚ (개)

18 여러 가지 수열의 귀납적 정의

^본문¹⁴¹^쪽

a«≠¡=a«+3n의 n에 1, 2, 3, …, n-1을 차례대로 대입하 여 변끼리 더하면

a™=a¡+3 a£=a™+6 a¢=a£+9

⋮

+>≥a«=≥a«–¡≥+3¥≥(n-1)

a«=a¡+ 3k=1+3¥ =

a«≠¡-a«=2« 의 n에 1, 2, 3, …, n-1을 차례대로 대입하 여 변끼리 더하면

a™-a¡=2 a£-a™=2¤

a¢-a£=2‹

⋮

+>≥a«-≥a«–¡≥=2≥« —⁄

a«-a¡= 2˚ = =2« -2

∴ a«=1+2« -2=2« -1

a«≠¡=3a«-2에서 a«≠¡-1=3(a«-1) a«-1=b«으로 놓으면

b«≠¡=3b«, b¡=a¡-1=1

따라서 수열 {b«}은 첫째항이 1, 공비가 3인 등비수열이므로 b«=1¥3« —⁄ =3« —⁄

∴ a«=b«+1=3« —⁄ +1

a«≠¡=4a«+3에서 a«≠¡+1=4(a«+1) a«+1=b«으로 놓으면

b«≠¡=4b«, b¡=a¡+1=4

따라서 수열 {b«}은 첫째항이 4, 공비가 4인 등비수열이므로 b«=4¥4« —⁄ =4«

∴ a«=b«-1=4« -1

19 수학적 귀납법

^본문¹⁴²^쪽

p(40)이 참이라는 사실로부터 40보다 작은 n의 값에 대한 참, 거짓을 알 수 없다.

p(1)이 참이면 p(3¥1)이 참이므로 옳은 설명이다.

p(2)가 참이면 p(54)=p(2¥27)=p(2¥3‹ )이므로 p(2)⇒ p(2¥3) ⇒ p(2¥3¤ ) ⇒ p(2¥3‹ )이 되어 참이다.

90=2¥3μ 을 만족시키는 자연수 m이 존재하지 않으므로 위 의 명제는 거짓이다.

p(3)이 참이면 p(3¤ ), p(3‹ ), p(3› ), …이 참이 된다. 그런 데 18과 같이 3의 거듭제곱으로 나타낼 수 없는 9의 배수가 존재하므로 위의 명제는 거짓이다.

p(1) ⇒ p(3) ⇒ p(5) ⇒ p(7) ⇒ …이므로 p(1)이 참이 면 모든 홀수 n에 대하여 p(n)은 참이다.

06 05 04 03 02 01 06 05

2(2« —⁄ -1) 2-1

n-1¡

k=1

03

3n¤ -3n+2 2 (n-1)n

¡n-1_k=1

02 http://hjini.tistory.com

p(1) ⇒ p(3) ⇒ p(5) ⇒ p(7) ⇒ … p(2) ⇒ p(4) ⇒ p(6) ⇒ p(8) ⇒ …

이므로 p(1), p(2)가 참이면 모든 자연수 n에 대하여 p(n) 은 참이다.

명제 p(n)이 n=3, 6, 12, 24, …일 때 성립함을 보이려면

⁄ n=3일 때, p(n)이 성립함을 보인다.

¤ 6=3¥2, 12=3¥2¤ , 24=3¥2‹ , …이므로 n=k(næ3) 일 때, p(n)이 성립한다고 가정하면 n=2k일 때도 p(n)이 성립함을 보인다.

⁄ n=1일 때,

(좌변)=1, (우변)= =1 따라서 주어진 등식이 성립한다.

¤ n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1+2+3+y+k=

위의 식의 양변에 k+1을 더하면

1+2+3+y+k+(k+1)= +(k+1) 1+2+3+y+k+(k+1)=

1+2+3+y+k+(k+1)=

따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

⁄, ¤에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

⁄ n=1일 때,

(좌변)=1¤ =1, (우변)= =1 따라서 주어진 등식이 성립한다.

¤ n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1¤ +2¤ +3¤ +y+k¤ =

위의 식의 양변에 (k+1)¤ 을 더하면 1¤ +2¤ +3¤ +y+k¤ +(k+1)¤

= +(k+1)¤

따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

⁄, ¤에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

⁄ n=1일 때,

(좌변)=3⁄ =3, (우변)= (3⁄ -1)=3 따라서 주어진 등식이 성립한다.

¤ n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 3+3¤ +3‹ +y+3˚ = (3˚ -1)

위의 식의 양변에 3˚ ±⁄ 을 더하면

3+3¤ +3‹ +y+3˚ +3˚ ±⁄ =3(3˚ -1)+3˚ ±⁄

2 3 2 3 2

14

(k+1)(k+2)(2k+3) 6

(k+1)(2k¤ +7k+6) 6

(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}

6 k(k+1)(2k+1)

k(k+1)(2k+1) 6 1¥2¥3

12

(k+1)(k+2) 2

k(k+1)+2(k+1) 2

k(k+1) 2 k(k+1)

2 1¥(1+1)

10

08

07

3+3¤ +y+3˚ +3˚ ±⁄=

3+3¤ +y+3˚ +3˚ ±⁄= (3˚ ±⁄ -1)

따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

⁄, ¤에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

⁄n=1일 때,

(좌변)=1¥2¥1=2, (우변)= =2 따라서 주어진 등식이 성립한다.

¤n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1¥2+2¥4+3¥6+y+k¥2k=

위의 식의 양변에 2(k+1)¤ 을 더하면 1¥2+2¥4+3¥6+y+k¥2k+2(k+1)¤

= +2(k+1)¤

따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.

⁄, ¤에서 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

⁄n=3일 때,

(좌변)=2‹ =8, (우변)=2¥3+1=7 따라서 주어진 부등식이 성립한다.

¤n=k (kæ3)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정 하면

2˚ >2k+1

위의 식의 양변에 2를 곱하면 2 ˚ ±⁄ >2(2k+1)>2(k+1)+1

따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

⁄, ¤에서 næ3인 자연수 n에 대하여 주어진 부등식이 성 립한다.

⁄n=4일 때,

(좌변)=1¥2¥3¥4=24, (우변)=2› =16 따라서 주어진 부등식이 성립한다.

¤n=k (kæ4)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정 하면

1¥2¥3¥y¥k>2˚

위의 식의 양변에 k+1을 곱하면

1¥2¥3¥y¥k¥(k+1)>2˚ (k+1)>2˚ ¥2=2˚ ±⁄

따라서 n=k+1일 때도 주어진 부등식이 성립한다.

⁄, ¤에서 næ4인 자연수 n에 대하여 주어진 부등식이 성 립한다.

19 18

(k+1)(k+2)(2k+3) 3

k(k+1)(2k+1) 3

k(k+1)(2k+1) 3 1¥2¥3

16

3 2

3¥3˚ -3+2¥3˚ ±⁄

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