가. 영역별 분석 1) 이산수학
가) 이 영역의 주요 내용
고등학교 교과과정에서 이산수학은 심화 선택으로 되어있기는 하지만 그 기초적인 방법론들 소위 공식이나 정리라고 불리는 내용들은 거의 대부분 수학10-가/나에서 이미 배운 내용들이며 특히 수I 에서 행렬을 배우고 있어 대학별로 적지 않은 수리 논술 문제의 소재가 되고 있다.3)
우선 이산수학 교과서 상의 목차를 살펴보면 아래와 같다.
영 역 내 용
선택과 배열
순열과 조합 ∙ 경우의 수 ∙ 순열
∙ 조합
세는 방법 ∙ 포함배제의 원리 ∙ 집합의 분할
∙ 여러 가지 배열 ∙ 비둘기집 원리
그래프
그래프 ∙ 그래프의 뜻 ∙ 여러 가지 그래프 여러 가지 회로 ∙ 오일러 회로 ∙ 해밀턴 회로
수형도 ∙ 여러 가지 수형도 ∙ 생성 수형도 그래프의 활용 ∙ 행렬과 그래프 ∙ 색칠 문제
수와 알고리즘
수와 알고리듬 ∙ 수의 규칙성 ∙ 이진법으로 나타낸 수
∙ 소수의 판정과 최대공약수
점화 관계 ∙ 두 항 사이의 관계(1), (2) ∙ 여러 가지 수열
∙ 세 항 사이의 관계식
의사 결정과 최적화 의사 결정 과정 ∙ 게임과 의사 결정 ∙ 선거와 정당성
∙ 공평한 분배
최적화와 알고리듬 ∙ 계획 세우기 ∙ 그래프와 최적화
∙ 의사결정과 최적화 단원을 제외하고는 수학 10-가의 집합, 수I의 행렬 및 순열과 조합과 많은 부 분이 중복되는 단원명을 가지고 있는데 이는 10-가/나의 심화 발전된 과목의 특성에 기인한다.
∙ 이 내용들 중에서 특히 수학 10가/나, 수I과 겹쳐지는 “선택과 배열” “행렬과 그래프” “수와 알고 리듬”등은 자주 등장하는 소재들이다.
∙ 이중 특히 수학10가/나 및 수I의 내용의 심화 발전된 단원의 주요 내용을 살펴보면 다음과 같다.
3) 대학에서 논술 문제 출제 시에 특별한 세부 영역을 고려하지는 않는다. 대학에서 측정하고자하는 바는 영역을 통합적 으로 이해하고 분석하는 통합적 능력임을 밝혀둔다.
(1) 선택과 배열
∙ 포함 배제 원리
전체집합 U 와 그 부분집합 A, B, C 에 대하여 1. 두 집합의 포함 배제 원리
n( Ac∩Bc) = n( U ) -n( A) - n( B) + n( A ∩B ) 2. 세 집합의 포함 배제 원리
n( Ac∩Bc∩Cc) = n( U ) -n( A) - n( B) - n( C) + n( A ∩B ) + n( B ∩C ) + n( C∩A ) - n( A ∩B∩C )
∙ 집합의 분할 1. 집합의 분할
주어진 집합을 공집합이 아닌 몇 개의 서로 소(素)인 부분집합으로 나누는 것을 집합의 분할이라 한다. 즉, 집합
A
의 부분집합 A1, A2, A3, …,An 에 대하여(ⅰ) Ai∩Aj = ∅(단, i, j, = 1, 2, 3, …, n 이고
i
≠j
) (ⅱ) A1∪A2∪ … ∪An =U 이면{ A1, A2, A3, …,An }은 집합 A 의 분할이다.
2. 분할의 수 구하기
서로 다른 n 개의 원소를 p개, q개, …, r 개,(
p
+q
+ … +r
=n
)로 나누는 서로 다른 방 법의 수는(1) nCp×n-pCq× … ×rCr ( p, q, …, r 에 같은 수가 없는 경우) (2) ( nCp×n-pCq× … ×rCr )× 1
k! ( p, q, …, r 에 같은 수가 k 개 있는 경우) 3. 분배의 수
r 개의 조로 분할한 후, r 개의 서로 다른 대상에게 나누어 주는 방법의 수는 분할의 수 × r!
(2) 그래프
행렬은 수학의 여러 부분에서 다양한 응용을 가지고 있는 단원이다. 특히 행렬은 점들과 각 점들 의 연결상태로 대표되는 선분들을 나타내는 아주 유용한 도구가 되는데 점들과 점들의 관계인 선분 의 연결 상태를 수학에서는 “그래프”라고 부른다.
점과 선으로 이루어진 집합을 그래프라 하며,
행렬
죄수 2 자백함 죄수 2 자백하지 않음 죄수 1 자백함 죄수 1, 2 모두 2년 복역 죄수 1은 풀려나고,
죄수 2는 10년 복역 죄수 1 자백하지 않음 죄수 2는 풀려나고,
죄수 1은 10년 복역 죄수 1, 2 모두 6개월 복역 이 표현은 가장 좌측의 열과 가장 위쪽 행에 행위자(죄수 1, 2)와 행위자의 행위(자백 혹은 침묵) 를 함께 표현 하는 방법이다.
<2007년 고대 인문계 수시2, 2008년 숙대 자연계 수시2>
(1) 선택과 배열
이 영역의 출제 경향은 “확률과 통계”영역 참고
(2) 그래프
행렬과 관련된 문제로는 2006학년도 고려대학교 수시2에서 출제된바 있다. 고려대학교의 문제는 암호와 관련된 문제로서 행렬에서는 교환법칙이 성립하지 않음을 이용하는 문제였다. 또한, 2008학 년도 서울대학교 모의 논술에서는 DNA조각을 행렬로 모델링하는 방법을 소개하고 행렬과 DNA와의 관계에 대하여 질문하고 있다. 이때, DNA조각을 행렬로 표현하는 방법 역시 기본적으로 그래프와 관 련이 있는 내용이다.
행렬에서 자명하지 않은 내용이 바로 “교환법칙”이 성립하지 않는 다는 것과 영행렬이 아닌 두 행 렬 A, B 의 곱 A×B가 영행렬이 될 수 있다는 사실인데, 주의 깊게 생각해 두어야하는 내용이 바 로 이 두 가지 성질 모두 행렬의 “곱셈”과 관련이 있다는 것이다. 한편, 행렬의 곱셈은 본질적으로 같은 위치의 성분끼리 곱한 후 합하는 과정인데 주변에서 곱해서 합하는 예를 많이 생각해보고 또, 그래프로 표현될 수 있는 상황을 행렬로 표현하여 그 행렬의 곱이 주어진 상황에서 어떤 의미를 갖 는지 고민해보는 것이 이 영역의 문제에 대한 가장 좋은 준비 방법이 될 것이다.
(3) 수와 알고리즘
이 영역의 출제 경향은 “수열”영역 참고
(4) 의사 결정과 최적화
과거의 기출문제를 살펴보면 ‘죄수의 딜레마’가 고려대학교 2007학년도 수시2 인문계 문제로 출제 되었고 2008학년도에는 숙명여자대학교에서 수시2학기에 자연계 문제로 출제되었다. ‘죄수의 딜레마’
의 출발이 경제학에서의 의사 결정에 관한 내용이었던 관계로 다양한 사회적 현상과 함께 출제될 수 있어 인문계나 자연계를 아우르는 문제를 출제하기 좋은 소재가 되는 것은 분명하다.
이 영역의 문제에서는 계산 능력이나 수리적인 능력을 보는 것보다 주어진 상황을 합리적으로 이 해하고 다시 주어진 상황에 적용하는 것을 측정하려고 하는 경우가 많으므로 ‘죄수의 딜레마’ 자체에
집중하기 보다는 그 상황이 가져다주는 ‘딜레마’의 의미와 전체를 함께 이해하는데 초점을 맞추어야 할 것이다.
또한, 공정한 선거 단원과 관련하여 2007학년도 서강대학교 수시1학기 자연과학부에서 출제된바 있다. 공정한 선거는 다양한 선거(투표와 다른 개념이다.)의 방법에 따른 결과의 차이에 대하여 묻고 있다.
참고로 ‘죄수의 딜레마’와 유사한 다양한 의사 결정 상황에 대하여 찾아보고 각각의 상황을 볼 수 있는 현실적인 예를 찾아보는 것이 실전 문제를 대비하는데 많은 도움이 될 것이다.
2) 미분과 적분
가) 이 영역의 주요 내용
고등학교 교과과정에서 미분과 적분은 수Ⅱ과정에 있는 미분과 적분 단원과 심화 선택인 미분과 적분 교과가 있다. 하지만, 심화 선택인 미분과 적분 교과의 내용이 직접 출제되기는 어려운 면이 있 으며, 현재까지 이 영역에서 출제되는 주요 내용은 미분과 적분의 기본적인 개념과 구분구적법에 관 련된 내용이 주류를 이루고 있어 수Ⅱ의 미분과 적분 단원을 중심으로 살펴보자.5)
우선 수Ⅱ의 미분과 적분 단원의 목차를 살펴보면 아래와 같다.
영 역 내 용
다항함수의 미분법
미분계수와 도함수 ∙ 평균변화율과 미분계수 ∙ 미분계수의 뜻
∙ 도함수와 미분법
도함수의 활용
∙ 접선의 방정식 ∙ 함수의 증가와 감소
∙ 함수의 극대와 극소 ∙ 함수의 그래프와 그 응용
∙ 속도와 가속도
다항함수의 적분법
부정적분 ∙ 부정적분의 뜻 ∙ 부정적분의 계산
정적분 ∙ 구분구적법과 정적분 ∙ 정적분의 기본 정리
∙ 정적분의 계산
정적분의 활용 ∙ 넓이 ∙ 부피
∙ 속도와 거리
미분과 적분 영역과 관련된 가장 중요한 내용은 구분구적법과 미적분학의 기본정리이다. 객관식 수 능에서 평가하기 쉽지 않은 이 영역은 특히 논술에 있어서는 더욱이 중요한 내용으로 부각되었다.
5) 여러 대학에서 논술 문제 출제 시에 특별한 세부 영역을 고려하지는 않는다. 대학에서 측정하고자하는 바는 영역을 통 합적으로 이해하고 분석하는 통합적 능력임을 밝혀둔다.
다양한 아이디어와 오류 찾기 문제 단순한 수식의 계산이 아닌 아이디어를 측정하기에 좋은 영역 이기 때문이다.
한편, 2008학년도에 들어서 고려대학교와 서울대학교에서는 실생활과의 관련성과 무관하게 수학적 인 결과의 증명을 요구하는 문제를 출제 하였는데, 조금 더 엄밀하고 수학적인 상상력이 다양하게 요 구되는 수준 높은 문제를 출제하려는 경향을 엿 볼 수 있다.
(1) 미분계수
∙ 평균 변화율
x의 증분 Δx에 대한 y의 증분 Δy의 비 Δy
Δx = f( b) -f( a)
b -a = f( a +Δx) -f( a) Δx 를 x 가 a에서 b까지 변할 때 함수 y = f(x)의 평균변화율이라고 하고 이는 두 점
(a ,f( a)),( b,f( b))를 지나는 직선의 기울기와 같다.
∙ 미분계수
1. Δx→0일 때 Δy
Δx 의 극한값 즉, lim
Δx→0
f(a+Δx)-f( a)
Δx 를 순간변화율 혹은 미분계수라고 부른다.
2. 미분계수는 점 (a,f(a))에서 함수 y = f(x)의 그래프에 접하는 접선의 기울기와 같다.
(2) 적분
∙ 부정적분
함수 f(x)를 x에 대하여 미분하여, f(x)가 되는 함수 F(x)를 f(x)의 부정적분이라고 한다.
즉, 부정적분은 미분의 역연산이다.
∙ 구분구적법
어떤 도형의 넓이나 부피를 구할 때, 그 도형을 여러 개의 간단한 도형으로 세분하여 이들 도형 의 넓이나 부피의 합을 구한 후, 이 합의 극한값으로 원래 도형의 넓이나 부피를 구하는 방법이다.
∙ 정적분
다음과 같은 식으로 표현되는 적분으로 구분구적법이 언제나 양의 값을 갖는데 반해 정적분은 음 의 값을 가질 수도 있으며 기본적으로 구간을 “등분”한다는 차이점이 있다.
→∞lim
단
(3) 주요 정리 (미적분학의 기본정리, 평균값 정리)
미적분학의 기본정리라고 한다.
∙ 미분에 관한 평균값 정리
도함수 f'(x)이 폐구간 [ a, b]에서 연속이면 f(b)-f( a)
b-a =f'(c) 를 만족하는 값 c가 a와 b사이에 적어도 하나 존재한다.
∙ 적분에 관한 평균값 정리
함수 f(x)가 폐구간 [ a, b]에서 연속이면
인 c 가 a 와 b 사 이에 존재한다.나) 이 영역의 출제 경향 및 준비 방법
미분
미분과 적분, 원운동 서울대학교 2008학년도 논술 2차예시
미분계수
인하대학교 2008학년도 수시2-2 인하대학교 2009학년도 모의 논술 연세대학교 2008학년도 모의 고려대학교 2007학년도수시2 단면의 길이와 구의 부피 계산 연세대학교 2008학년도 모의
점과 직선 사이의 거리 미분 서강대학교 2006학년도 수시2-1 도함수의 그래프와 원래 함수의 그래프 고려대학교 2006학년도 수시2 예시
골프공의 속력 중앙대학교 2006학년도 수시1 경제적인 비행항로 중앙대학교 2005학년도 수시2
적분
곡선으로 둘러싸인 도형의 넓아 인하대학교 2008학년도 수시2-1
곡선으로 둘러싸인 도형의 넓아 인하대학교 2008학년도 수시2-1